江苏省海门中学2023-2024学年高二下学期3月阶段练习数学试卷（含答案）

2023—2024学年度第二学期高二年级3月份阶段练习
数 学 试 题
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2．已知向量，向量在向量上的投影向量为
A． B． C． D．
3．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”。“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学。某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”和“书”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有
A．240种 B．36种 C．120种 D．360种
4．“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”，孟子延伸为“仁、义、礼、智”，董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”。将“仁义礼智信”排成一排，其中“仁、义、礼”保持顺序不变的概率为
A． B． C． D．
5．在正四棱锥中，，与平面所成角为，则点到平面的距离为
A． B． C． D．
6．古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势。如下图的“曲池”是上。下底面均为半圆形的柱体,若垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，，，，为弧的中点，则直线与平面所成角的正弦值为
A． B． C． D．
7．2024年3月初，某运动队的7名队员合影留念，计划站成一横排，但甲不站最左端，乙不站最右端，丙不站正中间。则理论上他们的排法有
A．3864种 B．3216种 C．3144种 D．2952种
8．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，分别是底面与侧面的中心，为该正方体表面上的一个动点，且满足，记点的轨迹所在的平面为，则过四点的球面被平面截得的圆的周长是
A． B． C． D．
第6题图 第8题图
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。正确答案为3个的选对1个得2分；正确答案为2个的选对1个得3分；有选错的得0分。）
9．下列等式正确的是
A．(n＋1)Amn＝Am＋1n＋1 B．n－1)＝(n－2)!
C．Amm＝mnn！ D．1n－mAm＋1n＝Amn
10．如图，在直棱柱中，分别是的中点，则下列说法正确的有
A． B．
C．直线与平面的夹角正切值为 D．
11．如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是，的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是
第10题图 第11题图
A．一定是异面直线
B．存在点，使得
C．直线与平面所成角的正切值的最大值为
D．过M，N，P三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。）
12．已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是 .
13．中国古建筑闻名于世，源远流长.如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图可近似地看作如图2所示的五面体.现装修工人准备用四种不同形状的风铃装饰五脊殿的六个顶点，要求E，F处用同一种形状的风铃，其它每条棱的两个顶点挂不同形状的风铃，则不同的装饰方案共有 种。
14．在正方体中，，点平面，点F是线段的中点，若，则当的面积取得最小值时， ．
四、解答题（本题共5小题，共77分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（本小题满分13分）已知向量，，
(1)求的值； (2)求； (3)求的最小值.
16．（本小题满分15分）用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．
(1)在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
(2)在组成的三位数中，若十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301,423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；
(3)在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．
17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
(1)求证：BE⊥DC；
(2)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值．
18. （本小题满分17分）如图，是半球的直径，是底面半圆弧上的两个三等分点，是半球面上一点，且．
（1）证明：平面：
（2）若点在底面圆内的射影恰在上，求直线与平面所成角的正弦值．
19．（本小题满分17分）有个元素，将其中相同的元素归成一类，共有k类，这k类元素中每类分别中个，，将这个元素全部取出的排列叫做个不尽相异元素的全排列．
(1)求上述个不尽相异的元素的全排列数．
(2)由结论（1），回答“1个球队与10个球队各比赛1次，共有10场比赛，问五胜三负二平的可能情形有多少种？”
2023—2024学年度第二学期高二年级第一次联考
数 学 试 题 答 案
一、单项选择题。（本题共8小题，每小题5分，共40分。）
1.B 2.A 3.A 4.D 5.B 6.D 7.B 8.B
二、多项选择题。（本题共3小题，每小题6分，共18分。）
9.ABD 10.BC 11.AD
三、填空题。（本题共3小题，每小题5分，共15分。）
12. 10 13.72 14.
四、解答题。（本题共5小题，共77分。）
15.（1）因为，，所以，又因为，
所以.
（2）因为，，所以.
（3）因为，，所以，
所以，
当时，取得最小值，则最小值为.
16.(1)将组成的三位数中所有偶数分为两类：
①若个位数为0，则共有A24＝12(个)符合题意的三位数；
②若个位数为2或4，则共有2×3×3＝18(个)符合题意的三位数．
故共有12＋18＝30(个)符合题意的三位数．
(2)将这些“凹数”分为三类：
①若十位上的数字为0，则共有A24＝12(个)符合题意的“凹数”；
②若十位上的数字为1，则共有A23＝6(个)符合题意的“凹数”；
③若十位上的数字为2，则共有A22＝2(个)符合题意的“凹数”．
故共有12＋6＋2＝20(个)符合题意的“凹数”．
(3)将符合题意的五位数分为三类：
①若两个奇数数字在万位和百位上，则共有A22A33＝12(个)符合题意的五位数；
②若两个奇数数字在千位和十位上，则共有A22A12A22＝8(个)符合题意的五位数；
③若两个奇数数字在百位和个位上，则共有A22A12A22＝8(个)符合题意的五位数．
故共有12＋8＋8＝28(个)符合题意的五位数．
17.(1)证明　依题意，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系(如图)，可得A(0,0,0)，
B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)，
所以＝(0,1,1)，＝(2,0,0)，故·＝0，所以BE⊥DC.
(2)解　＝(1,2,0)，＝(－2，－2,2)，＝(2,2,0)，＝(1,0,0)．
由点F在棱PC上，设＝λ(0≤λ≤1)，
故＝＋＝＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF⊥AC，得·＝0，
则2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝34，即＝\a\vs4\al\co1(－\f(1132).设n1＝(x，y，z)为平面FAB的法向量，
则n1·\o(AB→)BF→))＝0即x＝0，1132)z＝0.不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3,1)为平面FAB的一个法向量．
易知向量n2＝(0,1,0)为平面ABP的一个法向量，则cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1|·|n2|＝－3\r(10)×1＝－10)10.
由图可知，二面角F－AB－P为锐角，所以二面角F－AB－P的余弦值为10)10.
18.（1）连接，因为是底面半圆弧上的两个三等分点，所以有，又因为，所以都为正三角形，所以，四边形是菱形，记与的交点为，为和的中点，因为，所以三角形为正三角形，所以，所以，因为是半球面上一点，是半球的直径，所以，因为，平面，所以平面．
因为点在底面圆内的射影恰在上，由（1）知为的中点，为正三角形，所以，所以底面，因为四边形是菱形，所以，即两两互相垂直，以点为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，
所以，，，设平面的一个法向量为
，则，所以，取，则，设直线与平面的所成角为，所以，故直线与平面所成角的正弦值为．
19.（1）假定个不尽相异元素的所有排列数有种，在每种排列中，如果把相同的元素，
当成不相同的元素，则个元素的所有排列数可增加为种；
另一方面，个不同的元素的全排列有种，∴即．
即得个不尽相异元素的全排列数．
（2）将比赛结果的胜、负、平看作三种元素，按题意，10场比赛的结果是五胜三负二平，
即是一个不尽相异元素的全排列，由（1）知，共有种可能情况．
2023—2024学年度第二学期高二年级3月份阶段练习
数 学 试 题 解 析
1.解：若，则，即，
由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四点共面；反之，若，，，四点共面，当与四个点中的一个比如点重合时，，可取任意值，不一定有，所以是，，，四点共面的充分不必要条件．
2.解：因为向量，所以，
所以向量在向量上的投影向量为：
3.“乐”和“书”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有排法．
4.选将“仁、义、礼”放好保持顺序不变，将“智”插空放入有4种方法，将“信”插空放入有5种方法，共有20种方法，将“仁义礼智信”排成一排共有种方法，因此将“仁义礼智信”排成一排，其中“仁、义、礼”保持顺序不变的概率为.
5.依题意，设，则平面，因为平面，所以为与平面所成角，即，因为，所以，则，以点为原点，建立空间直角坐标系如图，则，所以，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，故，所以点到平面的距离为.
6.在半圆柱下底面半圆所在平面内过作直线的垂线，由于垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，则以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，于是，，又为的中点，则，，,，设平面的法向量，则，令，得，设直线与平面所成角为，则
，直线与平面所成角的正弦值为.
7.根据题意，分3种情况讨论：①、甲在右端，若乙在中间，则丙有5个位置可选，再将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，有种情况；甲在右端，若乙不在中间，则乙还有5个位置可选，此时丙还有4个位置可选，再将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置， 有种情况；两种情况合并，共有种情况；②、若甲在中间，分丙在右端与丙不在右端两种，情况同①. 共有种情况；③、若甲不在中间也不在右端，先排甲，有4种方法，再排乙，乙若在中间，则丙有5种排法；乙若不在中间，则乙有4种排法，此时丙有4种排法；最后，将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，共有种情况；综上，则共有种不同的站法．
第5题解析图 第6题解析图 第8题解析图
8.取面对角线中点，连接，，，，分别在上，且，以为原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，， ，，，，，，，，，三棱锥中， 为直角三角形，所以，因此点即为三棱锥的外接球球心，球半径长为，，，，，，共面，
，，， ，平面，，平面，平面，点的轨迹为矩形的四边，如图所示，，为平面的法向量，则球心到平面的距离为，球面被平面截得的圆的半径，圆的周长为.
9.对于A，(n＋1)Amn＝(n＋1)·n－m！)＝n＋1！,n－m！)＝n＋1！,[n＋1－m＋1]！)＝Am＋1n＋1，正确；
对于B，n－1)＝n－1n－2×…×3×2×1,nn－1)＝(n－2)！正确；
对于C，Amm≠mnn！，错误；对于D，1n－mAm＋1n＝1n－m·n－m－1！)＝n－m！)＝Amn，正确．
10.对于A：因为，所以，则，A错误；对于B：因为，为线段中点，所以，又面面，面面，面，所以面，又面，所以，B正确；对于C：因为面，所以面，
所以为直线与平面的夹角，又，C正确；
对于D：
，又，
所以，D错误.
第11题解析图① 第11题解析图② 第12题解析图
11.以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系：
则，设，则点坐标为；
对A：设平面的法向量为，，
则，即，取，解得，故；
又，，考虑到，则，故，故一定是异面直线，A正确；对B：，，若，则，即，解得，又，故不存在这样的点，使得，B错误；对C： ，取平面的法向量，
则，设直线与平面的夹角为
则，则，
，又，故，即直线与平面所成角的正切值的最大值为，C错误；对D：在正方体中，过的截面为六边形且六边形为正六边形时面积最大.
此时过的截面经过对称中心，设截面交于中点，也为中点，
所以为的中点时，过三点的平面截正方体所得截面面积最大，
取的中点为，连接，如上所示：
故此时截面为正六边形，其面积，故D正确.
12.因为，则，
即，即，所以，因为，由空间向量基本定理可知，在平面内存在一点，使得成立，即，所以，即，则，又三棱锥的体积为15，则.
13.①使用3种形状风铃，只能同，同，同.此时共有：种挂法，
②使用4种形状风铃，此时有两种情况；1）同，不同：直接将4种风铃挂到四个点上，全排列有：种，2）不同，同：此时与1）相同，共有种。共24+24+24=72种.
14.以点D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，设，则，
因为，故，即，由于平面，平面，故，所以的面积为，
而，
故，当时，取最小值，即S最小，
此时，则，故，即