青海省西宁市大通县2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷（含解析）

青海省西宁市大通县2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．数列1,,,,,…的一个通项公式是( )
A. B. C. D.
2．经过点,且与直线平行的直线方程是( )
A. B. C. D.
3．抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
4．在等差数列中,若,则( )
A.13 B.26 C.39 D.52
5．一条渐近线方程为,且经过点的双曲线的标准方程是( )
A. B. C. D.
6．在等比数列中,,,则( )
A. B. C.32 D.64
7．如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,E是PD的中点,点F满足,若,,,则( )
A. B. C. D.
8．设等差数列的前n项和为,若,则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知椭圆C的长轴长等于20,离心率等于,则椭圆C的标准方程可以是( )
A. B. C. D.
10．已知向量,,则( )
A. B. C. D.
11．已知数列的前n项和为,若,,则( )
A.4是数列中的项 B.当最大时,n的值只能取5
C.数列是等差数列 D.当时,n的最大值为11
12．某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台O的北偏东方向处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,已知经过O,A,B三点的圆为圆C,规定圆C及其内部区域为安全预警区.以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现,在平台O的正南方向200m的P处,有一辆小汽车沿北偏西方向行驶,则( )
A.观测点A,B之间的距离是280m
B.圆C的方程为
C.小汽车行驶路线所在直线的方程为
D.小汽车会进入安全预警区
三、填空题
13．已知方程表示双曲线,则实数m的取值范围是________.
14．已知椭圆的左,右顶点分别为A,B,上顶点为C,则直线CA,CB的斜率之积为________.
15．中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名,其外观有五层而实际上内部有九层,隐喻“九五至尊”之意,为迎接国庆节的到来,有网友建议在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰,若在黄鹤楼内部塔楼的顶层挂4盏灯笼,且相邻的两层中,下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍,则九层塔楼一共需要挂________盏灯笼.
16．已知圆,过圆C外一点P作C的两条切线,切点分别为A,B,若,则________.
四、解答题
17．已知,在椭圆上,,分别为C的左,右焦点.
（1）求椭圆C的离心率;
（2）若动点P,Q均在C上,且P,Q在x轴的两侧,求四边形的周长.
18．已知的圆心为,且过点.
（1）求的标准方程;
（2）若直线l与相切于点A,求l的方程.
19．已知数列是单调递增的等比数列,数列是等差数列,且,,.
（1）求数列与数列的通项公式;
（2）求数列的前n项和.
20．如图,已知正方体的棱长为1,E是的中点.
（1）求证:平面;
（2）求点B到平面的距离;
（3）求平面和底面夹角的正弦值.
21．已知数列的前n项和为,.
（1）求数列的通项公式;
（2）设,数列的前n项和为,若,求k的最小值.
22．已知点F是抛物线的焦点,点在C上,且.
（1）求C的方程;
（2）过点F作两条互相垂直的直线,,交C于A,B两点,交C于M,N两点.求证:为定值.
参考答案
1．答案：B
解析：数列1,,,,,…的分子都是1,分母依次为1,3,5,7,9,…,则第n项的分母为,
所以数列1,,,,,…的一个通项公式是.
故选:B
2．答案：C
解析：与直线平行的直线的方程可设为,
又经过点,所以,解得,
故所求直线方程为.
故选:C.
3．答案：C
解析：由题意知抛物线C的标准方程为,所以其准线方程为.
故选:C.
4．答案：D
解析：因为是等差数列,所以,解得,
所以.
故选:D.
5．答案：A
解析：由题意设双曲线的方程为,
将点代入双曲线方程得,
所以双曲线的方程为,即.
故选:A.
6．答案：C
解析：设等比数列的公比为q,
则,
即,解得,
所以.
故选:C.
7．答案：C
解析：由题意知
.
故选:C.
8．答案：A
解析：在等差数列中,,,成等差数列,即,
设,则,于是,解得,所以.
故选:A
9．答案：AC
解析：由椭圆C的长轴长等于20,离心率等于,得,
所以,
所以椭圆C的标准方程是或.
故选:AC.
10．答案：BC
解析：选项A,由题意,得,故A错误;
选项B,,
所以,
所以,故B正确;
选项C,,故C正确;
选项D,由,
因为,所以,D错误.
故选:BC.
11．答案：ACD
解析：由,得,
所以数列是首项为20,公差为的等差数列,
则,
令,得,即,故A正确;
易知
利用二次函数性质可知当最大时,n的值为5或6,故B错误;
由,所以,,
所以数列是等差数列,故C正确;
令,则,解得,所以当时,n的最大值为11,故D正确.
故选:ACD.
12．答案：BCD
解析：由题意,得,,所以,即观测点A,B之间的距离是,故A错误;
设圆C的方程为,因为圆C经过O,A,B三点,
所以,解得,
所以圆C的方程为,故B正确;
小汽车行驶路线所在直线的斜率为,又点P的坐标是,所以小汽车行驶路线所在直线的方程为,故C正确;
圆C化成标准方程为,圆心为,半径,
圆心C到直线的距离,
所以直线与圆C相交,即小汽车会进入安全预警区,故D正确.
故选:BCD.
13．答案：
解析：因为方程表示双曲线,
所以,解得或,
即实数m的取值范围是.
故答案为:.
14．答案：或
解析：由题意知,,,所以,
即直线CA,CB的斜率之积为.
故答案为:
15．答案：2044
解析：解:由题意,各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列,
由题意知,公比,
因为等比数列前n项和,.
所以前9项和为,
所以九层塔楼一共需要挂2044盏灯笼.
故答案为:2044.
16．答案：1
解析：由圆可得圆心坐标为,半径,
由PA,PB为圆C切线,故,
又
故,
又,故为等边三角形,故.
故答案为:1.
17．答案：（1）;
（2）8.
解析：（1）由点,在椭圆上,
得,解得,,则半焦距,
所以C的离心率为.
（2）因为动点P,Q均在C上,且P,Q在x轴的两侧,
所以由椭圆的定义得,四边形的周长为.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题可知,的半径为,
所以的标准方程为.
（2）因为直线l与相切于点A,且,
所以,所以,
由点斜式得,,整理得,.
19．答案：（1）,,
（2）
解析：（1）设等比数列的公比为q,等差数列的公差为d,
由,得,
即,即,
解得或.
当时,,不满足单调递增,
当时,,满足单调递增,
故,所以.
又,所以,
所以,
即数列与数列的通项公式为,,
（2）利用等比数列前n项和公式可得,数列的前项和为,
数列的前n项和为,
所以数列的前项和,
即
20．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）以点为坐标原点,,,所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,,,,,故,,,
所以,,所以,,
又,,平面,因此平面.
（2）平面的法向量为,
,则,
取,可得,
又,则点B到平面的距离为.
（3）设平面和底面夹角为,
因为平面的一个法向量为,
所以,
故,
所以平面和底面夹角的正弦值为.
21．答案：（1）
（2）8
解析：（1）当时,由,得;
当时,,符合上式.
综上所述,.
（2）,
所以.
由,得,解得,又,所以k的最小值为8.
22．答案：（1）;
（2）证明见解析.
解析：（1）抛物线C的准线方程为,
依题意,,解得或,而,则,
所以抛物线C的方程为.
（2）由（1）知,直线,的斜率均存在,
不妨设直线的方程为,,,
由消去y得,显然,
则,,
因此,
由,得直线的斜率为,同理得,
所以.