青海省西宁市海湖中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷 (原卷版+解析版)

青海省西宁市海湖中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知直线,则直线l的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2．双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
3．已知直线,,若,则实数( )
A.1 B.3 C.1或3 D.0
4．棱长为1的正方体的八个顶点都在球面上,则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
5．若方程表示一个圆,则m可取的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
6．记为等差数列的前n项和,已知,.若,则( )
A.5 B.6 C.7 D.8
7．在空间四边形ABCD中,若,且E,F分别是AB,CD的中点,则异面直线AC与EF所成角为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
8．已知P为椭圆上一点,,是C的两个焦点,椭圆C的离心率为,且的周长为16,若为等腰三角形,则的取值不可能为( )
A.4 B.5 C.6 D.8
二、多项选择题
9．下列数列是等差数列的是( )
A.0,0,0,0,0,…
B.1,11,111,1111,…
C.,,,1,3,…
D.1,2,3,5,8,…
10．已知正项等比数列的前n项和为,公比为q,若,,则( )
A. B. C. D.
11．已知圆,则下列说法正确的是( )
A.点在圆M内 B.圆M关于对称
C.半径为1 D.直线与圆M相切
12．已知双曲线的左焦点为F,P为C右支上的动点,过P作C的一条渐近线的垂线,垂足为A,O为坐标原点,则下列说法正确的是( )
A.点F到C的一条渐近线的距离为2
B.双曲线C的离心率为
C.则P到C的两条渐近线的距离之积大于4
D.当最小时,则的周长为
三、填空题
13．若椭圆上一点P到焦点的距离为6,则点P到另一个焦点的距离________.
14．已知空间向量,,则________.
15．已知为等差数列,,则的值为________.
16．已知圆与圆内切,且圆的半径小于6,点P是圆上的一个动点,则点P到直线距离的最大值为________.
四、解答题
17．在平面直角坐标系xOy中,已知的三个顶点的坐标分别为,,.
（1）求经过点A且与直线BC平行的直线方程;
（2）在中,求BC边上的高线所在的直线方程.
18．已知圆D的圆心坐标为,且经过点.
（1）求圆D的标准方程;
（2）若直线与圆D交于M,N两点,求线段MN的长度.
19．已知椭圆的离心率为,右焦点为.
（1）求此椭圆的方程;
（2）若过点F且倾斜角为的直线与此椭圆相交于A,B两点,求|AB|的值.
20．为数列的前n项和.已知,.
（1）证明是等比数列,并求数列的通项公式;
（2）数列满足,求数列的前n项和.
21．正四棱锥中,,,其中O为底面中心,M为PD上靠近P的三等分点.
（1）求证:平面ACP;
（2）求四面体的体积.
22．已知抛物线经过点,直线l与抛物线相交于不同的A,B两点.
（1）求抛物线C的方程;
（2）如果,证明直线l过定点,并求定点坐标.
参考答案
1．答案：A
解析：直线l的斜率,由于,所以,
的倾斜角为.
故选:A.
2．答案：A
解析：由题知,双曲线C的焦点在x轴上,且,,
所以,渐近线方程为,即.
故选:A
3．答案：A
解析：因为,所以,
解得:或,
当时,,,两直线平行,满足题意,
当时,,,两直线重合,舍,
所以.
故选:A.
4．答案：A
解析：由题知该球为正方体的外接球,正方体的体对角线为球的直径,
设球的半径为R,
则,,
所以该球的表面积为.
故选:A.
5．答案：D
解析：由方程分别对x,y进行配方得:,
依题意它表示一个圆,须使,解得:或,在选项中只有D项满足.
故选:D.
6．答案：B
解析：设等差数列的公差为d.由条件可知,解得,
所以,.
由,得,即,解得(舍去).
故选:B.
7．答案：B
解析：因为在空间四边形ABCD中,,
所以空间四边形ABCD是一个正四面体ABCD,
在下图中,连结DE,EC,因为为等腰三角形,设空间四边形ABCD的边长为2,
在中,,,可得,
在下图中,取AD的中点M,连结ME,MF,
因为E,F分别是AB,CD的中点,所以,,
是异面直线AC与EF所成的角,
在中,,故为等腰直角三角形,
所以,
故异面直线AC与EF所成角的大小为.
故选:B.
8．答案：D
解析：由椭圆C的离心率为,即,
由的周长为16,即,
可得:,,
若,,
若,,
若,,只有8不可能,
故选:D
9．答案：AC
解析：根据等差数列的定义可知A,C是等差数列.
故选:AC
10．答案：BC
解析：因为为等比数列,所以,,,…也构成等比数列.
因为,,所以,
得.
因为,所以,解得.
因为,
所以,,故A错误,B正确;
因为,且,所以,故C正确,D错误.
故选:BC
11．答案：CD
解析：圆的标准方程为:,
圆心为,半径为1,
A.因为,所以点在圆M外,故错误;
B.因为,即圆心不在直线上,故错误;
C.由圆的标准方程知,半径为1,故正确;
D.因为圆心为到直线的距离为,与圆M的半径相等,故直线与圆M相切,故正确;
故选:CD
12．答案：BCD
解析：双曲线的渐近线为,左焦点,所以点F到C的一条渐近线的距离为,所以A错误;
由双曲线方程可得,,所以离心率,所以B正确;
设点,则,即,
点P到两渐近线距离分别为和,
则,所以C正确;
设双曲线的右焦点,则,所以,
若最小,则只需最小即可,
过作垂直渐近线与点A,交双曲线右支与点P,此时最小,
,由勾股定理得,所以,所以,
所以的周长为,所以D正确.
故选:BCD.
13．答案：14
解析：由,则,由P在椭圆上,故有,
又,所以.
故答案为:14.
14．答案：
解析：因为,,
所以,则.
故答案为:.
15．答案：180
解析：法一根据等差数列通项公式得:
,
,
,
故答案为:.
法二,
由等差数列的性质知:,
,,
,
故答案为:180.
16．答案：2
解析：根据题意,圆化为标准方程为,
其圆心为,半径,,
又由圆与圆内切,且圆的半径小于6,则有,解得,
圆心到的距离,
点P是圆上一个动点,则点P到直线距离的最大值为.
故答案为:2
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由的三个顶点的坐标分别为,,,
可得直线BC的斜率,
所以过点A且与直线BC平行的直线方程为,即.
（2）由直线BC的斜率,可得BC边上的高线斜率,
所以BC边上的高线方程为,
即BC边上的高线所在的直线方程为.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意可得:圆D的半径,
所以圆D的标准方程为;
（2）由（1）可知圆心,半径,
则圆心到直线的距离,
所以.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由,得,
椭圆方程为
（2）由题意可知直线AB的方程为:,
由得,
解得.
.
20．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）证明:依题意,由两边同时加上,
可得,
因为,
所以数列是以为首项,3为公比的等比数列,
所以,
,
则当时,,
当时,也满足上式,
所以数列的通项公式为:.
（2）由（1）可得,
则,
,
两式相减,
可得,
所以.
21．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）在正四棱锥中O为底面中心,连接AC,BD,
则AC与BD交于点O,且,平面ABCD,平面ABCD,
所以,又,AC,平面ACP,所以平面ACP.
（2）因为,,所以,
又M为PD上靠近P的三等分点,所以,
则.
22．答案：（1）
（2）证明见解析,定点
解析：（1）由题意可知,将点代入抛物线方程,
可得,解得,则抛物线方程为.
（2）因为直线l与抛物线相交于不同的A,B两点,
所以直线不与x轴平行,可设,与联立,得,
设,,,.,,
由
,解得,
过定点.