课题：3.1.1方程的根与函数的零点 （1）
精讲部分
学习目标展示
（1）理解函数的概念，会求一般函数的零点，了解函数零点与方程根的关系
（2）会求二次函数的零点及零点个数的判定
衔接性知识
1.解下列方程：
（1） (2)
（3） （4）
2.求下函数的图象与轴交点坐标：
（1） (2)
（3） （4）
3.由上述1与2说明方程与的图象的交点之间有什么关系？
基础知识工具箱
要点
定义
符号
零点
使的实数叫做函数的零点
是的零点
三个等价关系
方程有实根函数的图象与轴有交点点函数有零点
二次函数与方程零点的判定
判别式
方程的根
函数的零点
两不相等实根
两个零点
两相等实根
一个零点
没有实根
0个零点
注意
零点是实数而不是点
零点的求法
求函数零点就是求方程的实数根，若方程有实数根，则函数存在零点；若方程没有实数根，则函数不存在零点
典例精讲剖析
例1. 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出零点.
(1) (2) (3)
(4) (5)
例2. 已知函数的两个零点是和，求函数的零点
例3.函数仅有一个零点，求实数的取值范围．
例4. 已知二次函数，并且，判断函数的零点的个数
精练部分
A类试题（普通班用）
1.函数的零点为 ( )
A. B. C. D.
2.函数的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3. 已知二次函数的零点是和，且，求二次函数的解析式．
4．已知函数的两个零点是2和3，求函数的零点
5．已知，并且、是函数f(x)的两个零点，且，则实数、、、的大小关系可能是( )
B类试题（3+3+4）（尖子班用）
1.函数的零点为 ( )
A. B. C. D.
2.函数的零点个数为( )
A．0个 B．1个 C．至少1个 D．至多1个
3．函数的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4．函数，则函数的零点为
5．若函数的零点是2，则函数的零点是
6．已知，并且、是函数f(x)的两个零点，且，则实数、、、的大小关系可能是( )
7．已知二次函数的零点是和，且，求二次函数的解析式．
8．已知函数的两个零点是2和3，求函数的零点
9．定义在上的偶函数在上递增，函数的一个零点为，求满足的的取值集合．
10．已知，讨论函数的零点的个数.
课题：3.1.1方程的根与函数的零点 （1）
精讲部分
学习目标展示
（1）理解函数的概念，会求一般函数的零点，了解函数零点与方程根的关系
（2）会求二次函数的零点及零点个数的判定
衔接性知识
1.解下列方程：
（1） (2)
（3） （4）
2.求下函数的图象与轴交点坐标：
（1） (2)
（3） （4）
3.由上述1与2说明方程与的图象的交点之间有什么关系？
基础知识工具箱
要点
定义
符号
零点
使的实数叫做函数的零点
是的零点
三个等价关系
方程有实根函数的图象与轴有交点点函数有零点
二次函数与方程零点的判定
判别式
方程的根
函数的零点
两不相等实根
两个零点
两相等实根
一个零点
没有实根
0个零点
注意
零点是实数而不是点
零点的求法
求函数零点就是求方程的实数根，若方程有实数根，则函数存在零点；若方程没有实数根，则函数不存在零点
典例精讲剖析
例1. 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出零点.
(1) (2) (3)
(4) (5)
解：(1)设，解得，所以函数的零点是
(2) 设，由于，所以方程无实数根，从而无零点.
(3) 设，解得，所以函数的零点为.
(4)设，解得，所以函数的零点为.
(5)设，得或，所以或
从而函数的零点为，与.
例2. 已知函数的两个零点是和，求函数的零点
解：因为函数的两个零点是和
所以的两个根为和，
所以，解得，
令，得，，即或
所以的零点为与
例3.函数仅有一个零点，求实数的取值范围．
解：当时，，令，得，此时仅有一个零点－1；
当时，由仅有一个零点，得方程有两个相等的实数根，，即.
从而实数的取值范围是
例4. 已知二次函数，并且，判断函数的零点的个数
解：法1.，或
∴由二次函数的图象知有两个零点．
法2.，有两个不相等的实数根
∴有两个零点．
精练部分
A类试题（普通班用）
1.函数的零点为 ( )
A. B. C. D.
解：由，得，，所以函数的零点为，选C
2.函数的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解：令，∴或
；令，，，故函数有两个零点．选C
3. 已知二次函数的零点是和，且，求二次函数的解析式．
解：由二次函数的零点是和，设
，∴，即，
∴
故二次函数的解析式为
4．已知函数的两个零点是2和3，求函数的零点
解：有两个零点2和3，
的根为2和3，，
令，得，，即或
∴有两个零点和
5．已知，并且、是函数的两个零点，且，则实数、、、的大小关系可能是( )
解：∵、是函数的两个零点，
∴，又，
.
结合二次函数的图象可知，、必在、之间．所以有
B类试题（3+3+4）（尖子班用）
1.函数的零点为 ( )
A. B. C. D.
解：由，得，，所以函数的零点为，选C
2.函数的零点个数为( )
A．0个 B．1个 C．至少1个 D．至多1个
解：易知函数定义域为，令，得，即，由得，它无实数根，所以无零点，选A
3．函数的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解：令，∴或
；令，，，故函数有两个零点．选C
4．函数，则函数的零点为
解：令，得，，所以函数的零点为，填
5．若函数的零点是2，则函数的零点是
解：由条件，，令，得或，所以的零点为和.填和
6．已知，并且、是函数的两个零点，且，则实数、、、的大小关系可能是( )
解：∵、是函数的两个零点，
∴，又，
.
结合二次函数的图象可知，、必在、之间．所以有
7．已知二次函数的零点是和，且，求二次函数的解析式．
解：由二次函数的零点是和，设
，∴，即，
∴
故二次函数的解析式为
8．已知函数的两个零点是2和3，求函数的零点
解：有两个零点2和3，
的根为2和3，，
令，得，，即或
∴有两个零点和
9．定义在上的偶函数在上递增，函数的一个零点为，求满足的的取值集合．
解：∵是函数的零点，∴，∵为偶函数，∴，
∵在上递增，，
∴，，∴，
∵为偶函数，∴在上单调减，
∵，又，
∴，，∴，∴≤x≤2.
从而或，即故x的取值集合为．
10．已知，讨论函数的零点的个数.
解：令，得，令，，
则的零点的个数等于与的图象的交点的个数，在同一坐标系中画出与的图象，如图所示，
，
下面对进行分类讨论，由图象得，
当时，与的图象无交点，的零点的个数为；
当时，与的图象有个交点，的零点的个数等于；
当时，与的图象有个交点，的零点的个数等于；
当或时，与的图象有个交点，的零点的个数等于.
课题：3.1.1方程的根与函数的零点 （2）
精讲部分
学习目标展示
（1）掌握零点存在性定理并能应用
（2）会零点存在性定理判定零点的存在性及零点的存在区间
衔接性知识
1. 函数零点的定义？函数零点与方程根有什么关系？
2. 如何判断二次函数零点的个数？
3. 求函数的零点，判断、 与的符号
基础知识工具箱
要点
内容
符号
零点存在性定理
如果函数的图象在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点.
设在区间上连续，若，存在，使得
零点存在性定理的理解
①定理的前提条件有两个：i)函数的图象在区间上的图象是连续不断的一条曲线，ii)
②若函数满足定理的条件，则在内有零点，可能有一个零点，也可能有多个零点；
③若函数不满足定理的条件，则在内也可有零点
零点存在性定理的推论
如果函数的图象在区间上的图象是连续不断的一条曲线，有，并且在上是单调函数，那么函数在区间内有唯一的零点.
函数的零点的个数的判断方法
①解方程法，方程的根的个数就是函数的零点的个数；②如果方程的根不容易求解，则可通过函数与图象的交数判断函数零点的个数
零点的分布
函数在内有两个零点
或
函数在在内有且只有一个零点
或或
典例精讲剖析
例1. 函数的零点所在的一个区间是 （ ）
A． B． C． D．
例2. 若是方程的解，则属于区间（ ）
（A）（）. （B）（）. （C）（） （D）（）
例3. 求函数的零点的个数
精练部分
A类试题（普通班用）
1. 方程与的根为，则所在区间为( )
A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)
2. 函数在以下哪个区间内一定有零点( )
A． B． C． D．
3.函数的零点个数是
4．证明：函数在区间（2，3）上至少有一个零点
5．已知关于x的二次方程的一根在区间内，另一根在区间内，求实数的取值范围.
B类试题（3+3+4）（尖子班用）
1. 方程与的根为，则所在区间为( )
A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)
2. 函数在以下哪个区间内一定有零点( )
A． B． C． D．
3. 已知，则函数的零点的个数为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4. 函数的零点所在的区间是，则整数的值为________．
5. 函数的零点个数是
6. 已知函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围是 ．
7. 证明：函数在区间（2，3）上至少有一个零点
8. 已知关于x的二次方程的一根在区间内，另一根在区间内，求实数的取值范围.
9. 已知关于x的方程，是否存在实数，使
(1)方程有一正一负两根；(2)方程的两根都大于1；(3)方程的一根大于1，一根小于1.
10. 设函数
（1）当时证明：函数在区间内存在唯一零点；
（2）若当，不等式有解.求实数b的取值范围．
课题：3.1.1方程的根与函数的零点 （2）
精讲部分
学习目标展示
（1）掌握零点存在性定理并能应用
（2）会零点存在性定理判定零点的存在性及零点的存在区间
衔接性知识
1. 函数零点的定义？函数零点与方程根有什么关系？
2. 如何判断二次函数零点的个数？
3. 求函数的零点，判断、 与的符号
基础知识工具箱
要点
内容
符号
零点存在性定理
如果函数的图象在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点.
设在区间上连续，若，存在，使得
零点存在性定理的理解
①定理的前提条件有两个：i)函数的图象在区间上的图象是连续不断的一条曲线，ii)
②若函数满足定理的条件，则在内有零点，可能有一个零点，也可能有多个零点；
③若函数不满足定理的条件，则在内也可有零点
零点存在性定理的推论
如果函数的图象在区间上的图象是连续不断的一条曲线，有，并且在上是单调函数，那么函数在区间内有唯一的零点.
函数的零点的个数的判断方法
①解方程法，方程的根的个数就是函数的零点的个数；②如果方程的根不容易求解，则可通过函数与图象的交数判断函数零点的个数
零点的分布
函数在内有两个零点
或
函数在在内有且只有一个零点
或或
典例精讲剖析
例1. 函数的零点所在的一个区间是 （ ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数的图象是连续不断的一条曲线，又，，，所以，故函数的零点所在的一个区间是，选B.
例2. 若是方程的解，则属于区间（ ）
（A）（）. （B）（）. （C）（） （D）（）
【解析】构造函数，则函数的图象是连续不断的一条曲线.
又，，，
，所以，
故的零点所在的一个区间是，即方程的解属于区间.选C
注释：，
例3. 求函数的零点的个数
【解析】法1.，，
，又函数在上的图象是连续不断的
函数在区间内有零点
而在其定义域内是增函数，所以函数只有一个零点
法2. 函数的零点就是即的实数根
记，，在同一坐标系中画出与的图象，由图象可知，与的图象只有一个交点，所以函数只有一个零点
精练部分
A类试题（普通班用）
1. 方程与的根为，则所在区间为( )
A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)
[答案] C
[解析] 令，则，，，故选C
2. 函数在以下哪个区间内一定有零点( )
A． B． C． D．
[答案] D
[解析]因为的图象是一条连续不断的图象又，，
，所以在一定有零点，选D
3.函数的零点个数是
[答案] 2
【解析】 法1.方程的解为，方程的解为，所以函数有两个零点：与
法2.画出函数的图象，它与轴有两个交点，所以函数有两个零点，填 2
4．证明：函数在区间（2，3）上至少有一个零点
证明：函数的定义域为R，
函数f(x)的图像灾区间(2,3)上是连续的。
又，，f(2)f(3)<0,
函数f(x)在区间(2,3)上至少有一个零点。
5．已知关于x的二次方程的一根在区间内，另一根在区间内，求实数的取值范围.
分析：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后利用函数零点的存在性定理可列不等式组求解.
【解析】设则函数零点分别在区间和内，画出示意图，得
∴.
从而实数的取值范围是
B类试题（3+3+4）（尖子班用）
1. 方程与的根为，则所在区间为( )
A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)
[答案] C
[解析] 令，则，，，故选C
2. 函数在以下哪个区间内一定有零点( )
A． B． C． D．
[答案] D
【解析】因为的图象是一条连续不断的图象又，，
，所以在一定有零点，选D
3. 已知，则函数的零点的个数为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] B
【解析】函数|的零点的个数就等于方程的解的个数，即函数与的图象交点的个数．
如图所示：
故函数与的交点的个数为2，选B．
注释：①的图象即为分段函数的图象；
②的图象即为分段函数的图象
4. 函数的零点所在的区间是，则整数的值为________．
[答案] 2
【解析】因为函数的图象是连续不断的一条曲线，又，，，所以，故函数的零点所在的一个区间是，所以整数的值为
5. 函数的零点个数是
[答案] 2
【解析】 法1.方程的解为，方程的解为，所以函数有两个零点：与，选C
法2.画出函数的图象，它与轴有两个交点，所以函数有两个零点，填 2
6. 已知函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围是 ．
[答案]
【解析】分与两种情况，画出函数与函数的图象，由图知，当时，两个函数有两个交点，所以实数的取值范围是
7. 证明：函数在区间（2，3）上至少有一个零点
证明：函数的定义域为R，
函数f(x)的图像灾区间(2,3)上是连续的。
又，，f(2)f(3)<0,
函数f(x)在区间(2,3)上至少有一个零点。
8. 已知关于x的二次方程的一根在区间内，另一根在区间内，求实数的取值范围.
分析：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后利用函数零点的存在性定理可列不等式组求解.
【解析】设则函数零点分别在区间和内，画出示意图，得
∴.
从而实数的取值范围是
9. 已知关于x的方程，是否存在实数，使
(1)方程有一正一负两根；(2)方程的两根都大于1；(3)方程的一根大于1，一根小于1.
【解析】(1)因为方程有一正一负两根，所以由根与系数的关系得，
解得.即当时，方程有一正一负两根．
(2)当方程两根都大于1时，函数的大致图象如图(1)(2)所示，
所以必须满足，或，不等式组无解．
所以不存在实数a，使方程的两根都大于1.
(3)因为方程有一根大于1，一根小于1，函数的大致图象如图(3)(4)所示，
所以必须满足或，解得.
∴即当a＞0时，方程的一个根大于1，一个根小于1.
10. 设函数
（1）当时证明：函数在区间内存在唯一零点；
（2）若当，不等式有解.求实数b的取值范围．
【解析】（1）由，得
，，
所以函数在区间内存在零点
又由二次函数的图象，可知在上单调递增
从而函数在区间内存在唯一零点
（2）由题意可知在区间上有解
所以在区间上有解．
令，可得在区间上递减，
所以 ，从而实数的取值范围为：.
方法2. 由题意可知在区间上有解.
令，则等价于在区间上的最小值小于0.
当即时，在上递减
，即，所以；
当即时，在上递减，在递增
恒成立.所以；
当时，在上递增
即，所以．
综上可得或或所以
从而实数的取值范围为
