课题：3.2.1 几类不同增长的函数模型
精讲部分
学习目标展示
1.熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律 2.应用数学理论解决实际问题
衔接性知识
我们学习了哪几种初等函数？请画出它们的图象
基础知识工具箱
项目
定义
符号
常见函数模型
直线模型
可以用直线模型表示
指数函数模型
能用指数函数表示的函数模型. 指数函数增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数a＞1），常形象地称为“指数爆炸”
，且
对数函数模型
能用对数函数表达的函数模型叫对数函数模型. 对数增长的特点是随着自变量的增大（底数a＞1），函数值增大的速度越来越慢
，且
幂函数模型
能用幂函数表达的函数模型，叫做幂函数模型
为常数
(1) 指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较
性质 函数
在上的增减性
增函数
增函数
增函数
增长的速度
先慢后快
先快后慢
相对平稳
图象的变化
随着的增大，图象上升的速度逐渐变快
随着的增大，图象上升的速度逐渐变慢
随着值的不同而不同
(2) 指数函数、对数函数和幂函数的衰减趋势比较
性质 函数
在上的增减性
减函数
减函数
减函数
衰减的速度
先快后慢
先慢后快
相对平稳
图象的变化
随着的增大，图象下降的速度逐渐变慢
随着的增大，图象下降的速度逐渐变
随着值的不同而不同
典例精讲剖析
例1．有一批影碟机（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售. 甲商场用如下的方法促销，买一台单价为780元，买二台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费最小.21cnjy.com
例2．为了尽快改善职工住房困难，鼓励个人购房和积累建房基金，决定住房的职工必须按基本工资的高低交纳建房积金，办法如下：21·cn·jy·com
每月工资
公积金
1000元以下
不交纳
1000元至2000元
交纳超过1000元部分的5%
2000元至3000元
1000元至2000元部分交纳5%，
超过2000元部分交纳10%
3000元以上
1000元至2000元部分交5%,2000元至
3000元交10%,3000元以上部分交15%
例3．(1)某种储蓄的月利率是0.36%，今存入本金100元，求本金与利息的和(即本息和)y(元)与所存月数x之间的函数关系式，并计算5个月后的本息和(不计复利)．
(2)按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式．如果存入本金1 000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少？www.21-cn-jy.com
例4．某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双. 由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量. 厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程. 厂里也暂时不准备增加设备和工人. 假如你是厂长，就月份x，产量为y给出四种函数模型：y = ax + b，y = ax2 + bx + c，y = a+ b，y = abx + c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？【来源：21·世纪·教育·网】
精练部分
A类试题（普通班用）
1．某商店某种商品(以下提到的商品均指该商品)进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件．商店为使销售该商品的月利润最高，应将每件商品定价为( )
A．45元 B．55元 C．65元 D．70元
2．某厂原来月产量为a，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b，则( )
A．a＝b B．a>b C．a
3．甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点
4．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管OA＝1m，水从喷头A喷出后呈抛物线状，先向上至最高点落下，若最高点距水面2m，A离抛物线对称轴1m，则在水池半径的下列可选值中，最合算的是( )2-1-c-n-j-y
A．3.5m B．3m C．2.5m D．2m
5．为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围每月（30天）的通话时间x（分），与通话费y(元)的关系如图所示. 21*cnjy*com
（1）分别求出通话费y1， y2与通话时间x之间的函数关系式；
（2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜.
6．商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数n是羊毛衫标价x的一次函数，标价越高，购买人数越少．已知标价为每件300元时，购买人数为零．标价为每件225元时，购买人数为75人，若这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的相同价格(标价)出售，问：
(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？
(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？21·世纪*教育网
B类试题（尖子班用）
1．某商店某种商品(以下提到的商品均指该商品)进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件．商店为使销售该商品的月利润最高，应将每件商品定价为( )
A．45元 B．55元 C．65元 D．70元
2．某厂原来月产量为a，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b，则( )
A．a＝b B．a>b C．a3．甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点
4．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管OA＝1m，水从喷头A喷出后呈抛物线状，先向上至最高点落下，若最高点距水面2m，A离抛物线对称轴1m，则在水池半径的下列可选值中，最合算的是( )21教育网
A．3.5m B．3m C．2.5m D．2m
5．英语老师准备存款5000元．银行的定期存款中存期为1年的年利率1.98%.试计算五年后本金和利息共有________元．2·1·c·n·j·y
6．设物体在8∶00到16∶00之间的温度T是时间t的函数：T(t)＝at2＋bt＋c(a≠0)，其中温度的单位是°C，时间的单位是小时，t＝0表示12∶00，t取正值表示12∶00以后，若测得该物体在8∶00的温度为8°C，12∶00的温度为60°C,13∶00的温度为58°C，则T(t)＝________.www-2-1-cnjy-com
7．等腰三角形周长为20，则底边长y关于腰长x的函数解析式是
8．为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围每月（30天）的通话时间x（分），与通话费y(元)的关系如图所示.【来源：21cnj*y.co*m】
（1）分别求出通话费y1， y2与通话时间x之间的函数关系式；
（2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜.
9.商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数n是羊毛衫标价x的一次函数，标价越高，购买人数越少．已知标价为每件300元时，购买人数为零．标价为每件225元时，购买人数为75人，若这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的相同价格(标价)出售，问：
(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？
(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？【出处：21教育名师】
10．学校请了30名木工，要制作200把椅子和100张课桌．已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为10∶7，问30名工人应当如何分组(一组制课桌，另一组制椅子)，能使完成全部任务最快？21世纪教育网版权所有
课题：3.2.1 几类不同增长的函数模型
精讲部分
学习目标展示
1.熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律 2.应用数学理论解决实际问题
衔接性知识
我们学习了哪几种初等函数？请画出它们的图象
基础知识工具箱
项目
定义
符号
常见函数模型
直线模型
可以用直线模型表示
指数函数模型
能用指数函数表示的函数模型. 指数函数增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数a＞1），常形象地称为“指数爆炸”
，且
对数函数模型
能用对数函数表达的函数模型叫对数函数模型. 对数增长的特点是随着自变量的增大（底数a＞1），函数值增大的速度越来越慢
，且
幂函数模型
能用幂函数表达的函数模型，叫做幂函数模型
为常数
(1) 指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较
性质 函数
在上的增减性
增函数
增函数
增函数
增长的速度
先慢后快
先快后慢
相对平稳
图象的变化
随着的增大，图象上升的速度逐渐变快
随着的增大，图象上升的速度逐渐变慢
随着值的不同而不同
(2) 指数函数、对数函数和幂函数的衰减趋势比较
性质 函数
在上的增减性
减函数
减函数
减函数
衰减的速度
先快后慢
先慢后快
相对平稳
图象的变化
随着的增大，图象下降的速度逐渐变慢
随着的增大，图象下降的速度逐渐变
随着值的不同而不同
典例精讲剖析
例1．有一批影碟机（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售. 甲商场用如下的方法促销，买一台单价为780元，买二台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费最小.【来源：21·世纪·教育·网】
【解析】设单位购买x台影碟机，在甲商场购买，每台的单价为800 – 20x，则总费用
，在乙商场购买，费用y = 600x.
（1）当0＜x＜10时，(800x – 20x2)＞600x
∴购买影碟机低于10台，在乙商场购买.
（2）当x = 10时，(800x – 20x2) = 600x
∴购买10台影碟机，在甲商场或在乙商场费用一样.
（3）当10＜x≤18时，(800x – 20x2)＜600x
∴购买影碟机多于10台且不多于18台，在甲商场购买.
（4）当x≥18时，600x＞440x
∴购买影碟机多于18台，在甲商场购买.
答：若购买小于10台，去乙商场购买；若购买10台，在甲商场或在乙商场费用一样多；若购买多于10台，在甲商场购买.【出处：21教育名师】
例2．为了尽快改善职工住房困难，鼓励个人购房和积累建房基金，决定住房的职工必须按基本工资的高低交纳建房积金，办法如下：
每月工资
公积金
1000元以下
不交纳
1000元至2000元
交纳超过1000元部分的5%
2000元至3000元
1000元至2000元部分交纳5%，
超过2000元部分交纳10%
3000元以上
1000元至2000元部分交5%,2000元至
3000元交10%,3000元以上部分交15%
【解析】设职工每月工资为x元，交纳公积金后实得数为y元，则
当0当1000≤x<2000时，
y＝1000＋(x－1000)(1－5%)＝0.95x＋50；
当2000≤x<3000时，
y＝1000＋1000(1－5%)＋(x－2000)(1－10%)＝0.9x＋150；
当x≥3000时，
y＝1000＋1000(1－5%)＋1000(1－10%)＋(x－3000)(1－15%)＝0.85x＋300.
因此y与x的关系可用分段函数表示如下
例3．(1)某种储蓄的月利率是0.36%，今存入本金100元，求本金与利息的和(即本息和)y(元)与所存月数x之间的函数关系式，并计算5个月后的本息和(不计复利)．
(2)按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式．如果存入本金1 000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少？21·cn·jy·com
【解析】(1)利息＝本金×月利率×月数．
y＝100＋100×0.36%·x＝100＋0.36x，当x＝5时，y＝101.8，∴5个月后的本息和为101.8元．21·世纪*教育网
(2)已知本金为a元，1期后的本利和为
y1＝a＋a×r＝a(1＋r)，
2期后的本利和为
y2＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2；
3期后的本利和为y3＝a(1＋r)3；
……
x期后的本利和为y＝a(1＋r)x.
将a＝1 000，r＝2.25%，x＝5代入上式得
y＝1 000×(1＋2.25%)5＝1 000×1.022 55.
由计算器算得y＝1 117.68(元)．
答：复利函数式为y＝a(1＋r)x,5期后的本利和为1 117.68元．
例4．某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双. 由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量. 厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程. 厂里也暂时不准备增加设备和工人. 假如你是厂长，就月份x，产量为y给出四种函数模型：y = ax + b，y = ax2 + bx + c，y = a+ b，y = abx + c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？
【解析】本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型.
由题意知A（1，1），B（2，1.2），C（3，1.3），D（4，1.37）.
（1）设模拟函数为y=ax+b，将B、C两点的坐标代入函数式，有，解得
所以得y=0.1x+1.
因此此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上升1000双，这是不太可能的.
（2）设y = ax2 + bx + c，将A、B、C三点代入，有，解得，
所以y= – 0.05x2+0.35x+0.7.
因此由此法计算4月份产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且，由二次函数性质可知，产量自4月份开始将月月下降（图象开口向下，对称轴x=3.5），不合实际.
（3）设y=+b，将A，B两点的坐标代入，有，解得，
所以y=.
因此把x = 3和4代入，分别得到y=1.35和1.48，与实际产量差距较大.
（4）设y = abx + c，将A，B，C三点的坐标代入，得，解得，
所以y= – 0.8×(0.5)x+1.4.
因此把x= 4代入得y= – 0.8×0.54+1.4=1.35.比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，比如增产的趋势和可能性. 经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于新建厂，开始随工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模拟恰好反映了这种趋势.
因此，选用y= –0.8×0.54+1.4模拟比较接近客观实际.
精练部分
A类试题（普通班用）
1．某商店某种商品(以下提到的商品均指该商品)进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件．商店为使销售该商品的月利润最高，应将每件商品定价为( )
A．45元 B．55元 C．65元 D．70元
[答案] D
[解析] 设每件商品定价为x元，则一个月的销量为500－(x－50)×10＝1000－10x件，
故月利润为y＝(x－40)·(1000－10x)＝－10(x－40)(x－100)，
∵，∴40∴当x＝70时，y取最大值，故选D.
2．某厂原来月产量为a，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b，则( )
A．a＝b B．a>b C．a[答案] B
[解析] 一月份产量为a(1＋10%)，二月份产量b＝a(1＋10%)(1－10%)＝a(1－1%)，
∴b3．甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点
[答案] D
[解析] 从图可以看出，甲、乙两人同时出发(t＝0)，跑相同多的路程(S0)，甲用时(t1)比乙用时(t2)较短，即甲比乙的速度快，甲先到达终点．2·1·c·n·j·y
4．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管OA＝1m，水从喷头A喷出后呈抛物线状，先向上至最高点落下，若最高点距水面2m，A离抛物线对称轴1m，则在水池半径的下列可选值中，最合算的是( )2-1-c-n-j-y
A．3.5m B．3m C．2.5m D．2m
[答案] C
[解析] 建立如图坐标系，据题设y轴右侧的抛物线方程为y＝a(x－1)2＋2.
∵抛物线过点A(0,1)
∴将(0,1)点代入方程得a＝－1，∴y＝－(x－1)2＋2.
令y＝0，得x＝1＋，x＝1－(舍)，故落在水面上的最远点B到O点距离为(1＋)m，考虑合算，须达到要求条件下用料最少，∴选C. 21*cnjy*com
5．为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围每月（30天）的通话时间x（分），与通话费y(元)的关系如图所示.【来源：21cnj*y.co*m】
（1）分别求出通话费y1， y2与通话时间x之间的函数关系式；
（2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜.
【分析】（1）由图象可设y1 = k1x +29，y2 = k2x，把点B (30, 35)，C (30, 15)分别代入y1，y2得.21*cnjy*com
∴.
（2）令y1 = y2，即，则.
当x = 96时，y1 = y2，两种卡收费一致；
当x＜96时，y1＞y2，即如意卡便宜；
当x＞96时，y1＜y2，即便民卡便宜.
6．商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数n是羊毛衫标价x的一次函数，标价越高，购买人数越少．已知标价为每件300元时，购买人数为零．标价为每件225元时，购买人数为75人，若这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的相同价格(标价)出售，问：
(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？
(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？www-2-1-cnjy-com
[解析] (1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，则n＝kx＋b(k<0)，
∴，∴，∴n＝－x＋300.
y＝－(x－300)·(x－100)＝－(x－200)2＋10000，x∈(100,300]
∴x＝200时，ymax＝10000
即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．
(2)由题意得，－(x－300)·(x－100)＝10000×75%
∴x2－400x＋30000＝－7500，∴x2－400x＋37500＝0，
∴(x－250)(x－150)＝0，∴x1＝250，x2＝150
所以当商场以每件150元或250元出售时，可获得最大利润的75%.
B类试题（尖子班用）
1．某商店某种商品(以下提到的商品均指该商品)进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件．商店为使销售该商品的月利润最高，应将每件商品定价为( )
A．45元 B．55元 C．65元 D．70元
[答案] D
[解析] 设每件商品定价为x元，则一个月的销量为500－(x－50)×10＝1000－10x件，
故月利润为y＝(x－40)·(1000－10x)＝－10(x－40)(x－100)，
∵，∴40∴当x＝70时，y取最大值，故选D.
2．某厂原来月产量为a，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b，则( )
A．a＝b B．a>b C．a[答案] B
[解析] 一月份产量为a(1＋10%)，二月份产量b＝a(1＋10%)(1－10%)＝a(1－1%)，
∴b3．甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点
[答案] D
[解析] 从图可以看出，甲、乙两人同时出发(t＝0)，跑相同多的路程(S0)，甲用时(t1)比乙用时(t2)较短，即甲比乙的速度快，甲先到达终点．【版权所有：21教育】
4．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管OA＝1m，水从喷头A喷出后呈抛物线状，先向上至最高点落下，若最高点距水面2m，A离抛物线对称轴1m，则在水池半径的下列可选值中，最合算的是( )
A．3.5m B．3m C．2.5m D．2m
[答案] C
[解析] 建立如图坐标系，据题设y轴右侧的抛物线方程为y＝a(x－1)2＋2.
∵抛物线过点A(0,1)
∴将(0,1)点代入方程得a＝－1，∴y＝－(x－1)2＋2.
令y＝0，得x＝1＋，x＝1－(舍)，故落在水面上的最远点B到O点距离为(1＋)m，考虑合算，须达到要求条件下用料最少，∴选C.21教育名师原创作品
5．英语老师准备存款5000元．银行的定期存款中存期为1年的年利率1.98%.试计算五年后本金和利息共有________元．
[答案] 5514.99
[解析] 根据题意，五年后的本息共5000(1＋1.98%)5＝5514.99(元)．
6．设物体在8∶00到16∶00之间的温度T是时间t的函数：T(t)＝at2＋bt＋c(a≠0)，其中温度的单位是°C，时间的单位是小时，t＝0表示12∶00，t取正值表示12∶00以后，若测得该物体在8∶00的温度为8°C，12∶00的温度为60°C,13∶00的温度为58°C，则T(t)＝________.
[答案] －3t2＋t＋60
[解析] 将t＝－4，T＝8；t＝0，T＝60；t＝1，T＝58分别代入函数表达式中即可解出a＝－3，b＝1，c＝60.21教育网
7．等腰三角形周长为20，则底边长y关于腰长x的函数解析式是
[解析] ∵2x＋y＝20，∴y＝20－2x
由得：58．为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围每月（30天）的通话时间x（分），与通话费y(元)的关系如图所示.
（1）分别求出通话费y1， y2与通话时间x之间的函数关系式；
（2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜.
【分析】（1）由图象可设y1 = k1x +29，y2 = k2x，把点B (30, 35)，C (30, 15)分别代入y1，y2得.www.21-cn-jy.com
∴.
（2）令y1 = y2，即，则.
当x = 96时，y1 = y2，两种卡收费一致；
当x＜96时，y1＞y2，即如意卡便宜；
当x＞96时，y1＜y2，即便民卡便宜.
9.商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数n是羊毛衫标价x的一次函数，标价越高，购买人数越少．已知标价为每件300元时，购买人数为零．标价为每件225元时，购买人数为75人，若这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的相同价格(标价)出售，问：
(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？
(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？21世纪教育网版权所有
[解析] (1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，则n＝kx＋b(k<0)，
∴，∴，∴n＝－x＋300.
y＝－(x－300)·(x－100)＝－(x－200)2＋10000，x∈(100,300]
∴x＝200时，ymax＝10000
即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．
(2)由题意得，－(x－300)·(x－100)＝10000×75%
∴x2－400x＋30000＝－7500，∴x2－400x＋37500＝0，
∴(x－250)(x－150)＝0，∴x1＝250，x2＝150
所以当商场以每件150元或250元出售时，可获得最大利润的75%.
10．学校请了30名木工，要制作200把椅子和100张课桌．已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为10∶7，问30名工人应当如何分组(一组制课桌，另一组制椅子)，能使完成全部任务最快？21cnjy.com
[分析] 制作课桌和椅子中所花较多的时间即为完成任务的时间，只要它最小，即完成任务最快．
[解析] 设x名工人制课桌，(30－x)名工人制椅子，一个工人在一个单位时间里可制7张课桌或10把椅子，
∴制作100张课桌所需时间为函数P(x)＝，
制作200把椅子所需时间为函数Q(x)＝，
完成全部任务所需的时间f(x)为P(x)与Q(x)中的较大值．
欲使完成任务最快，须使P(x)与Q(x)尽可能接近(或相等)．
令P(x)＝Q(x)，即＝，
解得x＝12.5，∵人数x∈N，考察x＝12和13的情形有P(12)≈1.19，Q(12)≈1.111，P(13)≈1.099，Q(13)≈1.176，∴f(12)＝1.19，f(13)＝1.176，
∵f(12)>f(13)，∴x＝13时，f(x)取最小值，∴用13名工人制作课桌，17名工人制作椅子完成任务最快．
[点评] 本题有几点需特别注意，人数x必须是自然数，故P(x)与Q(x)不相等，f(x)是P(x)与Q(x)中的较大者，完成任务最快的时间是f(x)的最小值．
