重庆市南开中学校2023-2024学年九年级下学期开学数学试卷（无答案）

2023-2024学年重庆市沙坪坝区南开中学九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应的方框涂黑．
1．3的倒数是（　　）
A．﹣3 B． C．﹣ D．3
2．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．反比例函数的图象一定经过的点是（　　）
A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（1，6） D．（﹣1，﹣6）
4．如图，已知AB∥CD，将一块直角三角板按如图的位置放置，使直角顶点E在直线CD上，若∠1＝26°，则∠2的度数为（　　）
A．64° B．54° C．44° D．26°
5．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若OA：AD＝2：3，则△ABC与△DEF的面积比是（　　）
A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：25
6．估计的值应在（　　）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
7．用大小相同的按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了6个，第②个图案用了11个，第③个图案用了18个，第④个图案用了27个，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案中用的个数为（　　）
A．79 B．81 C．83 D．84
8．如图，AC是⊙O的直径，PB、PC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠P＝60°，PC＝3，则AB的长度为（　　）
A．1 B． C． D．
9．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，DE、AF交于点G，连接CG．若∠BCG＝α，则∠ADE的度数为（　　）
A． B． C．90°﹣2α D．
10．在多项式x﹣y+z﹣m+n中，先任意添加一个括号，再交换括号内首项和末项的符号，最后将所得式子化简，称之为“加换操作”．例如：x﹣y+z﹣（m+n）＝x﹣y+z﹣m﹣n，x﹣（﹣y+z+m）+n＝x+y﹣z﹣m+n，…给出下列说法：
①存在某种“加换操作”，使其结果为x﹣y﹣z+m﹣n；
②不存在某种“加换操作”，使其结果与原多项式的和为0；
③所有的“加换操作”共有8种不同的结果．
以上说法中正确的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将正确答案直接填写在答题卡中对应横线上.
11．计算：（π﹣3）0﹣2﹣1＝　 　．
12．桌面上有四张背面完全一样的卡片，卡片正面分别标有数字1，2，3，4．把四张卡片背面朝上，随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张，则两次抽取卡片上的数字之和为5的概率是 　 　．
13．如图，在正五边形ABCDE中，过点C作CF⊥ED于点F，那么∠DCF的度数为 　 　．
14．某商场销售一款毛衣，平均每天可售出30件，每件获利28元．受气温影响，商场决定适当降价出售．据调查，毛衣单价每降低1元，则每天可多售出3件．如果每天获利1080元，每件降价多少元？设每件降价x元，根据题意，可列方程为 　 　．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，BC＝2，点D在线段AC上，将△BCD沿着BD翻折，点C的对应点为点E，连接AE，若BE∥AC，则AE的长度为 　 　．
16．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，∠ABC＝60°，AD＝4，以点C为圆心，CD为半径作弧，交AD于点E，交AC于点F，则阴影部分的面积为 　 　．（结果保留π）
17．若关于x的一元一次不等式组有解且至多有4个整数解，且关于y的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 　 　．
18．如果一个四位自然数各数位上的数字均不为0，且满足+＝100，那么称这个四位数为“完美数”．例如：四位数2764，∵24+76＝100，∴2764是“完美数”，则最大的“完美数”为 　 　；对于“完美数”M＝，记P（M）＝a+++，Q（M）＝，当P（M）能被13整除时，Q（M）的最小值为 　 　．
三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．计算：
（1）（x+y）（x﹣y）+y（2x+y）；
（2）．
20．学习了菱形的判定后，小南对等腰三角形底边上的高的垂直平分线进行了拓展性研究．请根据她的思路完成以下作图与填空：
（1）用直尺和圆规，作等腰三角形ABC底边上的高AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，垂足为点O，连接DE、DF．（只保留作图痕迹）
（2）已知：如图，三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，EF垂直平分AD，垂足为点O．
求证：四边形AEDF是菱形．
∵AB＝AC，AD⊥BC．
∴AD平分∠BAC，
∴①　 　．
∵EF垂直平分AD，
∴AE＝DE，AF＝DF，
∠AOE＝∠AOF＝90°．
在△AOE和△AOF中，
，
∴△AOE≌△AOF（ASA）．
∴AE＝AF．
∴③　 　．
∴四边形AEDF是菱形．
小南进一步研究发现，任意等腰三角形均有此特征，请你依照题意完成下面命题：
在等腰三角形中，④　 　．
21．弘径中华民族传统文化，某校在春节来临之际开展“贺新春 品民俗”知识竞赛活动，现从七年级和八年段参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分为四组：A．x＜70，B.70≤x＜80，C.80≤x＜90，D.90≤x≤100），下面给出了部分信息：
七年级学生成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，88，91，91，92，95，96，99；
八年级C组学生成绩为：88，81，84，86，87，83，89．
七、八年级学生成绩统计表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 85.2 86 b 62.1
八年级 85.2 a 91 85.3
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，m＝　 　；
（2）根据以上数据，你认为哪个年级对民俗文化知识掌握更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共840名学生参加了此次知识竞赛活动，估计两个年级成绩为优秀（90分及以上）的学生共有多少人？
22．去年全国根食产量再创新高，为推进乡村振兴奠定了坚实基础，某粮食生产专业户原计划生产水稻和小麦共14吨，由于水稻超产8%，小麦超产5%，实际生产了15吨．
（1）该专业户去年原计划生产水稻、小麦各多少吨？
（2）据了解，该专业户去年水稻种植面积是小麦种植面积的2倍，且水稻亩产量比小麦多120千克，求水稻种植面积是多少亩？
23．如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为BC中点，动点P，Q分别以每秒1个单位长度的速度间时从点D出发，点P沿折线D→B→A方向运动到点A，点Q沿折线D→C→A方向运动到点A．设运动时间为t秒，点P，Q的距离为y．
（1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中（图2）画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，写出点P，Q距离大于4个单位长度时t的取值范围．
24．今年重庆年轻人跨年新方式，先在解放碑下听新年钟声再到洪崖洞吃夜宵火锅．小南从解放碑A去往洪崖洞F有两条路线，如图：①A﹣B﹣C﹣F；②A﹣D﹣E﹣F．经勘测，F在A的正东方向，且在C的正南方向450米处，且在E的正北方向360米处，A在B的南偏西30°方向．D在A的东南方向，C、E分别在B、D的正东方向，BC＝400米．（参考数据：，≈1.73）
（1）求路线①的长度（结果精确到个位）；
（2）由于路线②人流量更大，平均步行速度为1.1m/s，路线①平均步行速度1.4m/s，请通过计算说明小南选择哪条路线才能尽快到达洪崖洞F？
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣1，0），B（6，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PE∥y轴交BC于点E，在y轴上取一点F，使得EF＝EC，求PE+CF的最大值及此时点P坐标；
（3）将该抛物线沿射线BC方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上确定一点M，使得∠BCM＝2∠OBC，写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的其中一种情况的过程．
26．在等边△ABC中，点D，E是边BC上的动点，且点D在点E的左侧，连接AD、AE．
（1）如图1，若AB＝6，DE＝3，，求线段BD的长；
（2）如图2，点F是线段AC延长线上一点，连接DF、EF．若AD＝DF，∠CAE＝∠CDF．求证：；
（3）将线段AD绕着点D顺时针旋转120°得到线段DG，连接BG、EG，当BG+EG取得最小值时，请直接写出的值．
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