【多媒体导学案】人教版数学九年级上册第22章第12课时二次函数的应用（2）（教师版）

二次函数的应用（2）（教师版）
一、学习目标 1．经历数学建模的基本过程；2. 会运用二次函数求商品销售、商品生产与销售问题中的最值问题；3．体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值．
二、知识回顾 商品销售中的几个公式总价、单价、数量之间的关系：总价=单价×数量 利润、售价、进价的关系：利润=售价—进价 总利润、单件利润、数量的关系：总利润=单件利润×数量
三、新知讲解 二次函数应用题从题设给定形式和解法上看，常见的有以下三类：①待定系数法型：题设明确指出两个变量间是二次函数关系并给 ( http: / / www.21cnjy.com )出几对变量值，要求求出函数关系式并进行简单的应用．解答的关键是熟练运用待定系数法准确求出函数关系式．②分析数量关系型：题设结合实际情景给出了一定的数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式并进行运用，解答的关键是认真分析题意，并正确写出数量关系式．③建模型：要求自主构建二次函数，利用二次函数的图象、性质等解决实际问题，这类对构建数学模型要求高，有一定的难度．
四、典例探究 扫一扫，有惊喜哦！1．商品销售问题——求最值【例1】（2015 梅州）九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：售价（元/件）100110120130…月销量（件）200180160140…已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是______元；②月销量是_______件；（直接写出结果）（2）设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大？最大利润是多少？总结：解答这类问题要注意：（1）建模：明确关系式“商品销售总利润=单件利润×销售件数”是建立二次函数表达式的依据；（2）用模：顶点横坐标在自变量的取值范围内 ( http: / / www.21cnjy.com )时，二次函数在顶点处取得最值；顶点横坐标不在自变量的取值范围内时，要根据题目条件，具体分析，才能求出符合题意的最值．练1（2015 邵阳）为了响应政府提出的由 ( http: / / www.21cnjy.com )中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣10x+1200．（1）求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润=销售额﹣成本）；（2）当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？2．生产销售问题——结合图象求最值【例2】（2015 南京） ( http: / / www.21cnjy.com )某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）、销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；（2）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ ( http: / / www.21cnjy.com )总结：结合实际问题情景和图象确定函数解析式，注意数形结合思想及待定系数法的应用.明确关系式“商品销售总利润=单件利润×销售件数”是建立二次函数表达式的依据.求最值时注意：由自变量的取值范围确定实际问题的最值；实际问题中注意审题和观察图象，列函数解析式时注意自变量的取值范围.练2（2015 玉林）某超市对进货价为 ( http: / / www.21cnjy.com )10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．（1）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？ ( http: / / www.21cnjy.com )
五、课后小测 1．某旅行社有100张床位，每床每 ( http: / / www.21cnjy.com )日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张．若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张．以每提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每日应提高多少元？2.（2015 湖北）为满足市场需 ( http: / / www.21cnjy.com )求，某超市在五月初五“端午节”来领前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子 ( http: / / www.21cnjy.com )的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？3.（2012四川成都）“城市发展 交通先行”，成都市今年在中心城区启动了缓堵保畅的二环路高架桥快速通道建设工程，建成后将大大提升二环路的通行能力．研究表明，某种情况下，高架桥上的车流速度V(单位：千米／时)是车流密度(单位：辆／千米)的函数，且当0<≤28时，V=80；当28<≤188时，V是的一次函数. 函数关系如图所示. （1）求当28<≤188时，V关于的函数表达式； （2）若车流速度V不低于50千米／时，求当车流密度为多少时，车流量P(单位：辆／时)达到最大，并求出这一最大值． (注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度×车流密度) ( http: / / www.21cnjy.com )4．（2015 阜阳模拟）某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A种产品，所获利润yA（万元）与投资金额x（万元）之间存在某种关系的部分对应值如下表：x（万元）122.535yA（万元）0.40.811.22信息二：如果单独投资B种产 ( http: / / www.21cnjy.com )品，则所获利润yB（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：yB=ax2+bx，且投资2万元时获利润2.4万元，当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）求出yB与x的函数关系式；（2）从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示yA与x之间的关系，并求出yA与x的函数关系式；（3）如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？5．（2015 莒县一模 ( http: / / www.21cnjy.com )）2013年我国多地出现雾霾天气，某企业抓住商机准备生产空气净化设备，该企业决定从以下两个投资方案中选择一个进行投资生产，方案一：生产甲产品，每件产品成本为a元（a为常数，且40＜a＜100），每件产品销售价为120元，每年最多可生产125万件；方案二：生产乙产品，每件产品成本价为80元，每件产品销售价为180元，每年可生产120万件，另外，年销售x万件乙产品时需上交0.5x2万元的特别关税，在不考虑其它因素的情况下：（1）分别写出该企业两个投资方案的年利 ( http: / / www.21cnjy.com )润y1（万元）、y2（万元）与相应生产件数x（万件）（x为正整数）之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；（2）分别求出这两个投资方案的最大年利润；（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？6．（2015 大庆校级模拟）近期，海 ( http: / / www.21cnjy.com )峡两岸关系的气氛大为改善．大陆相关部门对原产台湾地区的15种水果实施进口零关税措施，扩大了台湾水果在大陆的销售．某经销商销售了台湾水果凤梨，根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下关系：每千克销售（元）40393837…30每天销量（千克）60657075…110设当单价从40元/千克下调了x元时，销售量为y千克；（1）写出y与x间的函数关系式；（2）如果凤梨的进价是20元/千克，若不考虑其他情况，那么单价从40元/千克下调多少元时，当天的销售利润W最大？利润最大是多少？（3）目前两岸还未直接通航，运输要 ( http: / / www.21cnjy.com )绕行，需耗时一周（七天），凤梨最长的保存期为一个月（30天），若每天售价不低于32元/千克，问一次进货最多只能是多少千克？（4）若你是该销售部负责人，那么你该怎样进货、销售，才能使销售部利润最大？7．（2015 包头一模）利民商店经销甲、乙两种商品．现有如下信息：信息1：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了19元．商品的进货单价之和是5元；信息2：甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元．信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件请根据以上信息，解答下列问题：（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元？（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和 ( http: / / www.21cnjy.com )乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元．在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？
典例探究答案：
【例1】【解析】（1）根据利润=售价﹣进价求出利润，运用待定系数法求出月销量；
（2）根据月利润=每件的利润×月销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求出最大利润．
解：（1）①销售该运动服每件的利润是（x﹣60）元；
②设月销量W与x的关系式为w=kx+b，
由题意得，，
解得，，
∴W=﹣2x+400；
（2）由题意得，y=（x﹣60）（﹣2x+400）
=﹣2x2+520x﹣24000
=﹣2（x﹣130）2+9800，
∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．
点评：本题考查的是二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式和二次函数的性质以及最值的求法是解题的关键．
练1．【解析】（1）根据“总利润=单件的利润×销售量”列出二次函数关系式即可；
（2）将得到的二次函数配方后即可确定最大利润．
解：（1）S=y（x﹣20）=（x﹣40）（﹣10x+1200）=﹣10x2+1600x﹣48000；
（2）S=﹣10x2+1600x﹣48000=﹣10（x﹣80）2+16000，
则当销售单价定为80元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是16000元．
点评：此题主要考查了二次函数的性质在 ( http: / / www.21cnjy.com )实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．
【例2】【解析】（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；
（2）根据线段AB经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；
（3）利用总利润=单位利润×产量列出有关x的二次函数，求得最值即可．
解：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；
（2）设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y=k1x+b1，
∵y=k1x+b1的图象过点（0，60）与（90，42），
∴，
∴，
∴这个一次函数的表达式为；y=﹣0.2x+60（0≤x≤90）；
（3）设y2与x之间的函数关系式为y=k2x+b2，
∵经过点（0，120）与（130，42），
∴，
解得：，
∴这个一次函数的表达式为y2=﹣0.6x+120（0≤x≤130），
设产量为xkg时，获得的利润为W元，
当0≤x≤90时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣（﹣0.2x+60）]=﹣0.4（x﹣75）2+2250，
∴当x=75时，W的值最大，最大值为2250；
当90≤x130时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣42]=﹣0.6（x﹣65）2+2535，
∴当x=90时，W=﹣0.6（90﹣65）2+2535=2160，
由﹣0.6＜0知，当x＞65时，W随x的增大而减小，∴90≤x≤130时，W≤2160，
因此当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为2250．
点评：本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度不大．
练2．【解析】（1）由图象过点（20，20）和（30，0），利用待定系数法求直线解析式；
（2）每天利润=每千克的利润×销售量．据此列出表达式，运用函数性质解答．
解：（1）设y=kx+b，由图象可知，
，
解之，得：，
∴y=﹣2x+60；
（2）p=（x﹣10）y
=（x﹣10）（﹣2x+60）
=﹣2x2+80x﹣600，
∵a=﹣2＜0，
∴p有最大值，
当x==20时，p最大值=200．
即当销售单价为20元/千克时，每天可获得最大利润200元．
点评：此题主要考查了待定系数法求一次函 ( http: / / www.21cnjy.com )数解析式以及求二次函数最值等知识，解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式，注意待定系数法的应用，注意数形结合思想的应用．
课后小测答案：
1．【解析】设每床每日应提高x元，每日获利为y元，则可得出y与x之间的函数关系式，根据顶点式直接解答即可．
解：设每床每日应提高x元，每日获利为y元，
则y=（10+x）（100﹣ 10）=﹣5（x﹣5）2+1125（2＜x＜10）
∵a=﹣5＜0，
∴函数图象知：开口向下，二次函数有最大值，
∴为了投资少而获利大，当x=6时，每日获利y最大．
点评：根据每日获利=每床每日实际收费×实际租出床位数，建立二次函数关系式，求获利大，就要把函数关系式写成顶点式，才能得出结论．
2. 【解析】（1）根据“当售 ( http: / / www.21cnjy.com )价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）先由（2）中所求得的P与x的函数 ( http: / / www.21cnjy.com )关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式即可求解．
解：（1）由题意得，y=700﹣20（x﹣45）=﹣20x+1600；
（2）P=（x﹣40）（﹣20x+1600）=﹣20x2+2400x﹣64000=﹣20（x﹣60）2+8000，
∵x≥45，a=﹣20＜0，
∴当x=60时，P最大值=8000元，
即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；
（3）由题意，得﹣20（x﹣60）2+8000=6000，
解得x1=50，x2=70．
∵抛物线P=﹣20（x﹣60）2+8000的开口向下，
∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润．
又∵x≤58，
∴50≤x≤58．
∵在y=﹣20x+1600中，k=﹣20＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=58时，y最小值=﹣20×58+1600=440，
即超市每天至少销售粽子440盒．
点评：本题考查的是二次函数与一次函数在实际 ( http: / / www.21cnjy.com )生活中的应用，主要利用了利润=1盒粽子所获得的利润×销售量，求函数的最值时，注意自变量的取值范围．
3. 解析：本题先用待定系数法求出V关于的函数表达式，然后建立车流量关于车流密度的二次函数解析式，最后将解析式化成顶点式，得到函数的最大值.
答案：（1）当28<≤188时，设
∴
∴
∴
（2）根据题意，得
=
可见，当车流密度x为94辆/千米时，车流量P最大，为4418辆/时.
4．【解析】（1）用待定系数法将坐标（2，2.4）（4，3.2）代入函数关系式yB=ax2+bx求解即可；
（2）根据表格中对应的关系可以确定为一次函数，通过待定系数法求得函数表达式；
（3）根据等量关系“总利润=投资A产品所获利润+投资B产品所获利润”列出函数关系式求得最大值．
解：（1）由题意得，将坐标（2，2.4）（4，3.2）代入函数关系式yB=ax2+bx，
，
求解得：．
∴yB与x的函数关系式：yB=﹣0.2x2+1.6x
（2）根据表格中对应的关系可以确定为一次函数，
故设函数关系式yA=kx+b，将（1，0.4）（2，0.8）代入得：，
解得：，
则yA=0.4x；
（3）设投资B产品x万元，投资A产品（15﹣x）万元，总利润为W万元，
W=﹣0.2x2+1.6x+0.4（15﹣x）=﹣0.2（x﹣3）2+7.8
即当投资B3万元，A12万元时所获总利润最大，为7.8万元．
点评：本题考查了函数关系式以及其最大值的求解问题．
5．【解析】（1）根据题意直接得出y1与y2与x的函数关系式即可；
（2）根据a的取值范围可知y1随x的增大而增大，可求出y1的最大值．又因为﹣0.5＜0，可求出y2的最大值；
（3）第三问要分两种情况决定选择方案一还是方案二．当2000﹣200a＞500以及2000﹣200a＜500．
解：（1）由题意得：
y1=（120﹣a）x（1≤x≤125，x为正整数），
y2=100x﹣0.5x2（1≤x≤120，x为正整数）；
（2）①∵40＜a＜100，∴120﹣a＞0，
即y1随x的增大而增大，
∴当x=125时，y1最大值=（120﹣a）×125=15000﹣125a（万元）
②y2=﹣0.5（x﹣100）2+5000，
∵a=﹣0.5＜0，
∴x=100时，y2最大值=5000（万元）；
（3）∵由15000﹣125a＞5000，
∴a＜80，
∴当40＜a＜80时，选择方案一；
由15000﹣125a=5000，得a=80，
∴当a=80时，选择方案一或方案二均可；
由15000﹣125a＜5000，得a＞80，
∴当80＜a＜100时，选择方案二．
点评：此题属于一次函数和二次函数的综合的应用题，考查数列模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，解题的构建是确定数列模型．
6．【解析】（1）由图表售价 ( http: / / www.21cnjy.com )与销售量关系可以写出y与x间的函数关系式，（2）由利润=（售价﹣成本）×销售量，列出w与x的关系式，求得最大值，（3）设一次进货m千克，由售价32元/千克得x=40﹣32=8，m≤销售量×天数，（4）由二次函数的解析式求出利润最大时，x的值，然后求出m．
解：（1）y=60+5x
（2）w=（40﹣x﹣20）y=﹣5（x﹣4）2+1280
∴下调4元时当天利润最大是1280元
（3）设一次进货m千克，由售价32元/千克
得x=40﹣32=8，
此时y=60+5x=100，
∴m≤100×（30﹣7）=2300，
答：一次进货最多2300千克
（4）下调4元时当天利润最大，
由x=4，y=60+5x=80，m=80×（30﹣7）=1840千克
∴每次进货1840千克，售价36元/千克时，销售部利润最大．
点评：本题主要考查二次函数的应用，由利润=（售价﹣成本）×销售量，列出w与x的关系式，运用二次函数解决实际问题，比较简单．
7．【解析】（1）根据题意，列出方程组求解，即可解决问题．
（2）根据题意列出关于m的函数关系式，借助二次函数的性质即可解决问题．
解：（1）设甲商品的进货单价是x元，乙商品的进货单价是y元．
由题意得，
解得．
答：甲商品的进货单价是2元，乙商品的进货单价是3元．
（2）由题意知甲种商品每件获取的利润为1元，乙种商品每件获取的
利润为2元，设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s元，
则s=（1﹣m）（500+100×）+（2﹣m）（300+100×）
即 s=﹣2000m2+2200m+1100=﹣2000（m﹣0.55）2+1705．
∵﹣2000＜0
∴当m=0.55时，s有最大值，最大值为1705．
答：当m定为0.55元时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元．
点评：该题以二次函数为载体，以二元一次 ( http: / / www.21cnjy.com )方程组的应用、二次函数的性质及其应用为考查的核心构造而成；解题的关键是深入把握题意，准确找出命题中隐含的数量关系；灵活运用有关性质来分析、判断、解答．