【多媒体导学案】人教版数学九年级上册第22章第13课时二次函数的应用（3）（教师版）

二次函数的应用（3）（教师版）
一、学习目标 体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，了解数学的应用价值；掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．
二、知识回顾 1．二次函数的三种解析式 （1）一般式y=ax2+bx+c(a≠0) （2）顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0) （3）交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)2. 抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴、y轴的交点坐标怎么求？ （1）令x=0，代入抛物线解析式，可得y=c，（0，c）就是抛物线与y轴的交点坐标；（2）令y=0，即 ax2+bx+c=0，解这个一元二次方程，求得x的解，即可得到抛物线与x轴的交点坐标.3．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为y=ax2．
三、新知讲解 利用二次函数解决拱桥问题、投球问题、运动轨迹问题、喷水问题等实际问题的一般解题思路：建立适当的平面直角坐标系（若题目中已经给出，无需再建）；根据题意找出已知点的坐标；求出抛物线解析式；直接利用二次函数的性质和图象解决实际问题．注：通过建立平面直角坐标系，可以将有关抛物线图象转化为二次函数模型．
四、典例探究 扫一扫，有惊喜哦！1．实际问题与二次函数——拱桥问题【例1】（2013秋 云梦县期末）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD的宽是10米．（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米 ( http: / / www.21cnjy.com )的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？ ( http: / / www.21cnjy.com )总结：拱桥问题的题目分为两大类：①求拱宽；②求拱高．拱桥问题的解题步骤如下：建立适当直角坐标系，可根据抛物线的对称性建立以y轴为对称轴的坐标系；确定解析式的类型，若顶点在原点上，一般设二次函数的解析式为y=ax2；若顶点不在原点上，一般设二次函数的解析式为y=ax2+k；根据抛物线上点的坐标求二次函数解析式；求特定点的拱宽或拱高（横坐标值或纵坐标值）．练1．（2014秋 硚口区期中）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．1m B．2m C．（2﹣4）m D．（﹣2）m2．实际问题与函数关系——投球问题【例2】（2013 武汉模拟）在一次羽毛球赛中，甲运动员在离地面米的P点处发球，球的运动轨迹PAN看作一个抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，其高度为3米，离甲运动员站立地点O的水平距离为5米，球网BC离点O的水平距离为6米，以点O为圆点建立如图所示的坐标系，乙运动员站立地点M的坐标为（m，0）（1）求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）；（2）求羽毛球落地点N离球网的水平距离（即NC的长）；（3）乙原地起跳后可接球的最大高度为2.4米，若乙因为接球高度不够而失球，求m的取值范围． ( http: / / www.21cnjy.com )总结：解投球时球的运动轨迹、弹道轨迹、跳水时人体的运动轨迹的二次函数应用问题，一般分为以下四个步骤：建立适当的直角坐标系(若题目中给出，不用重建)；根据给定的条件，找出抛物线上已知的点，并写出坐标；利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式：当已知三个点的坐标时，可用一般式y=ax2+bx+c求其解析式；当已知顶点坐标为(k，h)和另外一点的坐标时，可用顶点式y=a(x-h)2+k求其解析式；当已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为(x1，0)、(x2，0)时，可用交点式y=a(x-x1)(x-x2)求其解析式；利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，从而使问题获解．练2．（2012 杭州模拟）林书豪身高1.91m，在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=x2+3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离约为（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．3.2m B．4m C．4.5m D．4.6m3．实际问题与函数关系——喷水问题【例3】（2015 武汉模拟）如图，小区中 ( http: / / www.21cnjy.com )央公园要修建一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰好在水面的中心，OA=1.25米．由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计水流在离OA距离为1米处达到距水面的最大高度2.25米． ( http: / / www.21cnjy.com )（1）建立适当的平面直角坐标系，使A点的坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标为（0，1.25），水流的最高点的坐标为（1，2.25），求水流的抛物线路线在第一象限内对应的函数关系式（不要求写取值范围）；（2）若不计其他因素，则水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落到池外？（3）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池半径为3.5米，要使水流不落到池外，此时水流距水面的最大高度达到多少米？总结：在“喷水”问题中，可根据自 ( http: / / www.21cnjy.com )变量的实际意义，将喷嘴或出水点建立在y轴上，以便在坐标系中快捷地找出一些重要点的坐标，为求得抛物线的解析式提供充分条件.在“喷水”问题中，如果已知抛物线的顶点 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标，常将抛物线的解析式设为y=a（x-h）2+k；如果已知抛物线与x轴的两个交点，常设抛物线的解析式为y=（x-x1）（x-x2）．练3．（2013秋 海阳市期中）一个台型喷泉，若沿着中轴线截面，得到如图所示的抛物线，一个单位长度是1米，已知这两段抛物线关于y轴对称，其右侧的抛物线为：．（1）喷泉水柱的最高点到接水盘水面的距离是多少？（2）喷泉水柱的最高处形成一个环形，这个环形的直径是多少？ ( http: / / www.21cnjy.com )
五、课后小测 一、选择题1．（2015 铜仁市）河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=﹣x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m2．（2014 河口区校级模拟）小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线y=﹣x2+3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m3．（2014秋 孝南区期中）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y=﹣x2+x+ ，由此可知铅球推出的距离是（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．10m B．3m C．4m D．2m或10m4．（2014秋 莱城区校级月考）拱桥呈抛物线型，其函数解析式为，当拱桥下水面宽为12m时，水面离拱桥顶端的高度h是（　　）A．3m B．m C．m D．9m5．（2012 株洲模拟）株洲五桥 ( http: / / www.21cnjy.com )主桥主孔为拱梁刚构组合体系如图1，小明在五桥观光，发现拱梁的路面部分有均匀排列着9根支柱，他回家上网查到了拱梁是抛物线，其跨度为20米，拱高（中柱）10米，于是他建立如图2的坐标系，将余下的8根支柱的高度都算出来了，你认为中柱右边第二根支柱的高度是（　　）米． ( http: / / www.21cnjy.com )A．7 B．7.6 C．8 D．8.46．（2012秋 渝中区校级月考） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB=20米，顶点M距水面6米（即MO=6米），小孔顶点N距水面4.5米（即NC=4.5米）．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，则此时大孔的水面宽度EF长为（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．米 B．米 C．12米 D．10米二、填空题7．（2015 滕州市模拟）滕州市政府大楼前 ( http: / / www.21cnjy.com )广场有一喷水池，喷出水的路径是一条抛物线，如果以水平地面为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空号总划出的曲线是抛物线y=﹣x2+6x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是　 　米． ( http: / / www.21cnjy.com )8．（2014 仙桃）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为 米． ( http: / / www.21cnjy.com )9．（2014 绍兴）如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是　 　． ( http: / / www.21cnjy.com )10．（2014秋 建湖 ( http: / / www.21cnjy.com )县期末）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线是抛物线y=﹣x2+4x（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是　 　米． ( http: / / www.21cnjy.com )三、解答题11．（2015 杭州模拟）如图，在水 ( http: / / www.21cnjy.com )平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B．有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB=4米，AC=3米，网球飞行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径CD为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）． ( http: / / www.21cnjy.com )（1）如图，建立直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）如果竖直摆放7个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？（3）当竖直摆放圆柱形桶至多多少个时，网球可以落入桶内？12．（2014 曲靖模拟）一个涵洞成 ( http: / / www.21cnjy.com )抛物线形，它的截面如图．现测得，当水面宽AB=1.6m时，涵洞顶点O与水面的距离为2.4m．ED离水面的高FC=1.5m，求涵洞ED宽是多少？是否会超过1m？（提示：设涵洞所成抛物线为y=ax2（a＜0）） ( http: / / www.21cnjy.com )13．（2014 仙居县模拟）如图，要建造一座抛物线型拱桥，其水面跨度为160m，桥面主跨度AB为120m，桥面离水面高度为16m．（1）求该抛物线型拱桥桥拱离桥面的最高高度；（2）如果要在桥面上每隔15m设置 ( http: / / www.21cnjy.com )一根钢索，垂直于桥面连接到桥拱上，请问，共需要钢索多少米？（不计穿过桥拱和桥面部分钢索长度，精确到1m）． ( http: / / www.21cnjy.com )14．（2014秋 龙口市期末）如图，排 ( http: / / www.21cnjy.com )球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x﹣6）2+2.6．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m．（1）求y与x的关系式；（不要求写出自变量x的取值范围）（2）球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由． ( http: / / www.21cnjy.com )15．（2013 鞍山二模）在一场足球比赛中，一球员从球门正前方10米处起脚射门，当球飞行的水平距离为6米时达到最高点，此时球高为3米．（1）如图建立直角坐标系，当球飞行的路线为一抛物线时，求此抛物线的解析式．（2）已知球门高为2.44米，问此球能否射中球门（不计其它情况）． ( http: / / www.21cnjy.com )
典例探究答案：
【例1】
分析：（1）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据写出函数解析式．
（2）先求x=3米时y的值，用拱桥最大高度减去｜y｜，然后与3.6相比较即可得出答案．
解答：解：（1）设抛物线解析式为y=ax2，
因为抛物线关于y轴对称，AB=20，所以点B的横坐标为10，
设点B（10，n），点D（5，n+3），
n=102 a=100a，n+3=52a=25a，
即，
解得，
∴.
（2）∵货轮经过拱桥时的横坐标为x=3，
∴当x=3时，
∵﹣（﹣4）＞3.6
∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．
点评：此题考查了坐标系的建立，以及抛物线的性质与求值．
练1．
分析：根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
解答：解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
( http: / / www.21cnjy.com )
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），
到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，
当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：
﹣1=﹣0.5x2+2，
解得：x=±，所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了2﹣4．
故选：C．
点评：此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
【例2】
分析：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣5）2+3，将点（0，）代入可得出a的值，继而得出抛物线解析式；
（2）令y=0，可得出ON的长度，由NC=ON﹣OC即可得出答案．
（3）先计算出刚好接到球时m的值，从而结合所给图形可得出运动员接球高度不够m的取值范围．
解答：解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣5）2+3，将点（0，）代入可得：=a（0﹣5）2+3，
解得：a=﹣，
故抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣5）2+3．
（2）当y=0时，﹣（x﹣5）2+3=0，
解得：x1=5﹣3（舍去），x2=5+3，
即ON=5+3，
∵OC=6，
∴CN=3﹣1米．
（3）若运动员乙原地起跳到最大高度时刚好接到球，
此时﹣（m﹣5）2+3=2.4，
解得：m1=2，m2=8，
∵运动员接球高度不够，
∴2＜m＜8，
∵OC=6，乙运动员接球时不能触网，
∴m的取值范围为：6＜m＜8．
点评：本题考查了二次函数的应用，涉及 ( http: / / www.21cnjy.com )了利用待定系数法求二次函数解析式的知识，解答本题的关键是建立直角坐标系，将实际问题转化为数学模型，难度一般．
练2．
分析：把y=3.05代入所给二次函数解析式，求得相应的x的值，加上2.5即为所求的数值．
解答：解：由题意得：3.05=x2+3.5，
x2=2.25，
∵篮圈中心在第一象限，
∴x=1.5，
∴他与篮底的距离约为1.5+2.5=4m，
故选B．
点评：考查二次函数的应用；建立数学模型，求得篮圈中心与原点的水平距离是解决本题的关键．
【例3】
分析：（1）以柱子OA所在的直线为y轴 ( http: / / www.21cnjy.com )，垂直于OA的直线为x建立平面直角坐标系，根据已知得出二次函数的顶点坐标，即可利用顶点式求出二次函数解析式，
（2）令y=0，则﹣（x﹣1）2+2.25=0，求出x的值即可得出答案，
（3）当水流喷出的抛物线形状与（1）相同，即a=﹣1，当x=3.5时，y=0，进而求出答案即可．
解答：解：（1）以柱子OA所在的直线为y轴，垂直于OA的直线为x建立平面直角坐标系，
( http: / / www.21cnjy.com )
因为顶点为（1，2.25），
设解析式为y=a（x﹣1）2+2.25，因为抛物线过点（0，1.25），
解得a=﹣1，
所以解析式为：y=﹣（x﹣1）2+2.25.
（2）由（1）可知：y=﹣（x﹣1）2+2.25，
令y=0，
则﹣（x﹣1）2+2.25=0，
解得x=2.5 或x=﹣0.5（舍去），
所以水池半径至少为2.5m；
（3）根据题意得出：
设y=﹣x2+bx+c，
把点（0，1.25），（3.5，0）代入关系式，得
，
解得：，
则y=﹣x2+x+=﹣（x﹣）2+，
故水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达．
点评：此题主要考查了二次函数的实际应用，根据实际问题运用二次函数最大值求二次函数解析式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
练3．
分析：（1）将函数的解析式转化为顶点式就可以求出结论；
（2）由抛物线的顶点式可以求出顶点B的坐标，就可以求出A的坐标，求出AB的值就是环形的直径．
解答：解：（1）∵y=﹣4x2+4x，
∴y=﹣4（x﹣）2+1，
∴顶点B的坐标为（，1），
∴喷泉水柱的最高点到接水盘水面的距离是1米；
（2）∵两段抛物线关于y轴对称，
∴A（﹣，1），
∴AB=1，
∴喷泉水柱的最高处形成一个环形的直径是1米．
点评：本题考查了抛物线的解析式的运用，二次函数的顶点式的运用，轴对称的性质的运用，解答时运用抛物线的性质求解是关键．
课后小测答案：
一、选择题
1．解：根据题意B的纵坐标为﹣4，
把y=﹣4代入y=﹣x2，
得x=±10，
∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），
∴AB=20m．
即水面宽度AB为20m．
故选C．
2．解：当y=3.05时，﹣x2+3.5=3.05，解得x1=﹣1.5（舍去），x2=1.5，
∴l=2.5+1.5=4m．
故选B．
3．解：由题意可得：y=0时，，
解得：x1=10，x2=﹣2，
故由此可知铅球推出的距离是：10m，
故选A．
4．解：由题意可得：x=6时，y=﹣×62=﹣9．
故水面离拱桥顶端的高度h是9m．
故选：D．
5．解：根据题目条件B的坐标是（10，﹣10），
设抛物线的解析式为y=ax2，
将B的坐标代入y=ax2，
得﹣10=100a
解得：a=﹣0.1．
所以抛物线的表达式y=﹣0.1x2．
可设中柱右边第二根支柱底端点的坐标为（4，y），于是
y=﹣0.1×42=﹣1.6，
∴中柱右边第二根支柱的高度是：10﹣1.6=8.4（米）．
故选：D．
6．解：由题意得，M点坐标为（0，6），A点坐标为（﹣10，0），B点坐标为（10，0），
设中间大抛物线的函数式为y=﹣ax2+bx+c，
代入三点的坐标得到，
解得．
∴函数式为y=．
∵NC=4.5米，
∴令y=4.5米，
代入解析式得x1=5，x2=﹣5，
∴可得EF=5﹣（﹣5）=10米．
故选择D．
二、填空题
7．解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+6x，
∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+6x的顶点坐标的纵坐标，
∴y=﹣x2+6x=﹣（x﹣3）2+9，
∴顶点坐标为：（3，9），
∴喷水的最大高度为9米，
故答案为：9．
8．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
( http: / / www.21cnjy.com )
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），
到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，
当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：
﹣1=﹣0.5x2+2，
解得：x=，
所以水面宽度增加到米，
故答案为：．
9．解：由题意可得出：y=a（x+6）2+4，
将（﹣12，0）代入得出，0=a（﹣12+6）2+4，
解得：a=﹣，
∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y=﹣（x+6）2+4．
( http: / / www.21cnjy.com )
故答案为：y=﹣（x+6）2+4．
10．
解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x，
∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，
∴y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，
∴顶点坐标为：（2，4），
∴喷水的最大高度为4米，
故答案为：4．
三、解答题
11．解：（1）M（0，5），B（2，0），C（1，0），D（，0），
设抛物线的解析式为y=ax2+k，
∵抛物线过点M和点B，
则k=5， ．
即抛物线解析式为；
（2）当x=1时，y=；当x=时，y=．
即P（1，），Q（，）
当竖直摆放7个圆柱形桶时，桶高=×7=2.1．
∵2.1＜且2.1＜，
∴网球不能落入桶内；
（3）设竖直摆放圆柱形桶m个时网球可以落入桶内，
由题意，得，≤0.3m≤，
解得：≤m≤；
∵m为整数，
∴m的值为8，9，10，11，12．
∴当竖直摆放圆柱形桶至多12个时，网球可以落入桶内．
12．解：∵抛物线y=ax2（a＜0），
点B在抛物线上，将B（0.8，﹣2.4），
它的坐标代入y=ax2（a＜0），
求得，
所求解析式为．
再由条件设D点坐标为（x，﹣0.9），
则有： ，
解得：，
故宽度为2= ，
∴x＜0.5，2x＜1，
所以涵洞ED不超过1m．
13．解：（1）以桥面所在的直线CD为x轴，以过桥拱的顶点的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
( http: / / www.21cnjy.com )
∴A（﹣60，0），B（60，0）．E（﹣80，﹣16）
设抛物线的解析式为y=ax2+c，由题意，得
，
解得：，
∴y=﹣x2+，
∴当x=0时，y=．
答：该抛物线型拱桥桥拱离桥面的最高高度为；
（2）由题意，得
当x=0时，y=，
当x=15时，y=，
当x=30时，y=，
当x=45时，y=9．
故钢索的总长度为：+2×+2×+2×9=108米．
答：共需要钢索108米．
14．解：（1）把点A（0，2）代入关系式得：2=a（﹣6）2+2.6，
解得：a=﹣，
则y与x的关系式为：y=﹣（x﹣6）2+2.6；
（2）∵当x=9时，y=﹣（9﹣6）2+2.6=2.45＞2.43，
∴球能越过球网；
∵当x=18时，y=﹣（18﹣6）2+2.6=0.2＞0，
∴球会出界．
15．解：（1）抛物线的顶点坐标是（4，3），
设抛物线的解析式是：y=a（x﹣4）2+3，
把（10，0）代入得36a+3=0，
解得a=，
则抛物线是y=（x﹣4）2+3；
（2）当x=0时，y=×16+3=3﹣=＜2.44米．
故能射中球门．