【多媒体导学案】人教版数学九年级上册第22章第10课时二次函数与一元二次方程（2）（教师版）

二次函数与一元二次方程（2）（教师版）
一、学习目标 1．了解图像法确定一元二次方程近似解的方 ( http: / / www.21cnjy.com )法；2．了解图像法解一元二次不等式的方法；3．体验函数y=ax2与y=bx+c的交点的横坐标是方程ax2=bx+c的解的探索过程，掌握用函数y=ax2和y=bx+c图像交点的方法求方程ax2=bx+c的解．
二、知识回顾 二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程的关系二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的解．一元二次方程ax2+bx+c=0的根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式（b2-4ac）有两个相异的实数根b2-4ac＞0有两个相等的实数根b2-4ac=0没有实数根b2-4ac＜0
三、新知讲解 1．利用二次函数的图象求一元二次方程的近似 ( http: / / www.21cnjy.com )根利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤：（1）画出函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象；（2）确定抛物线与x轴的交点的个数，看交点在哪两个数之间；（3）列表，根据题目实际情况在两个数之间合 ( http: / / www.21cnjy.com )理等分，并用计算器估算每个等分点所对应的函数值y．当x由x1取到x2，对应的y值出现y1＞0，y2＜0（或 y1＜0，y2＞0）且符合题目近似值要求时，x1或x2可以看做方程的近似根．2．二次函数与一元二次不等式的关系设抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），则当a＞0时，不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜x1或x＞x2，不等式ax2+bx+c＜0的解集是x1＜x＜x2．
四.典例探究 扫一扫，有惊喜哦！1．图象法求一元二次方程的近似根【例1】利用二次函数图象求一元二次方程5x2+4x﹣2=0的近似根．总结：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤：（1）画出函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象；（2）确定抛物线与x轴的交点的个数，看交点在哪两个数之间；（3）列表，根据题目实际情 ( http: / / www.21cnjy.com )况在两个数之间合理等分，并用计算器估算每个等分点所对应的函数值y．当x由x1取到x2，对应的y值出现y1＞0，y2＜0（或 y1＜0，y2＞0）且符合题目近似值要求时，x1或x2可以看做方程的近似根．练1 利用函数y=x2﹣x﹣3的图象，借助计算器探索方程x2﹣x﹣3=0介于﹣3与﹣2之间的根（精确到0.1）2．图像法解一元二次不等式【例2】（2010 淮北模拟）阅读材料，解答问题．例：用图象法解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0解：设y=x2﹣2x﹣3，则y是x的二次函数．∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．又∵当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3．∴由此得抛物线y=x2﹣2x﹣3的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．∴x2﹣2x﹣3＞0的解集是：x＜﹣1或x＞3．（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0的解集是__________；（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2﹣1＞0． ( http: / / www.21cnjy.com )总结：设抛物线y=ax2+bx+c(a ( http: / / www.21cnjy.com )≠0)与x轴有两个交点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），则当a＞0时，不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜x1或x＞x2，不等式ax2+bx+c＜0的解集是x1＜x＜x2．练2 画出函数y=﹣2x2+8x﹣6的图象，根据图象回答：（1）方程﹣2x2+8x﹣6=0的解是什么？（2）当x取何值时，y＞0？（3）当x取何值时，y＜0？3．用一次函数和二次函数图像交点的方法求一元二次方程的解【例3】已知二次函数y=2x2﹣2和一次函数y=5x+1．（1）你能用图象法求出方程2x2﹣2=5x+1的解吗？试试看；（2）请通过解方程的方法验证（1）问的解．总结：画出一次函数和二次函数的图象，观察两图象交点坐标，即可求相应一元二次方程的解．反过来，令二次函数和一次函数的值相等，列出关于x的一元二次方程，该一元二次方程的解即为二次函数与一次函数交点的横坐标.练3 利用函数图象求出一元二次方程 ( http: / / www.21cnjy.com )x2+2=4x的近似根，或在同一平面直角坐标系中画出二次函数y=x2+2和一次函数y=4x的图象，根据两个图象交点的横坐标找出一元二次方程x2+2=4x的近似根，请试一试．
五、课后小测 一、选择题1．根据抛物线y=x2+3x﹣1与x轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解（ ）A．x2﹣1=﹣3x B．x2+3x+1=0 C．3x2+x﹣1=0 D．x2﹣3x+1=02．（2014秋 安次区校级期中） ( http: / / www.21cnjy.com )已知：二次函数y=﹣x2﹣2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m=0的解为（ ） ( http: / / www.21cnjy.com )A．1 B．3 C．2 D．03．（2015 泸州）若二次函数y=ax2+ ( http: / / www.21cnjy.com )bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=﹣1，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是（ ）A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4≤x≤2 C．x≤﹣4或x≥2 D．﹣4＜x＜24．（2015 成都模拟）已知二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象如图所示，根据图中提供的信息，求使得y≤2成立的x的取值范围是（ ） ( http: / / www.21cnjy.com )A．x≤﹣1或x≥3 B．﹣2≤x≤2 C．x≥﹣2 D．﹣1≤x≤35．（2014 尤溪县质检）直线y1=x+1与抛物线y2=﹣x2+3的图象如图，当y1＞y2时，x的取值范围为（ ） ( http: / / www.21cnjy.com )A．x＜﹣2 B．x＞1 C．﹣2＜x＜1 D．x＜﹣2或x＞1二、填空题6．（2015 大连模拟） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），不等式x2+bx+c＞x+m 的解集为__________． ( http: / / www.21cnjy.com )7．（2010 奉化市模 ( http: / / www.21cnjy.com )拟）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是______________． ( http: / / www.21cnjy.com )8．（2014 锦州一模）已知二次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )y=（x﹣m）2+b的图象如图，则关于x的一元二次方程（x﹣m）2+b=0的解为___________． ( http: / / www.21cnjy.com )9．（2014 武汉模拟）直线y=mx ( http: / / www.21cnjy.com )+n和抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，那么不等式mx+n＜ax2+bx+c＜0的解集是_______________． ( http: / / www.21cnjy.com )三、解答题10．（2014 佛山）利用二次函数的图象估计一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的近似根（精确到0.1）．11．（2011 杭州模拟）小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”整理了以下几种方法，请你将有关内容补充完整：例题：求一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个解．（1）解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）．（2）解法二：利用二次函数图象与两坐标轴的交点求解．如图，把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是二次函数y=的图象与x轴交点的横坐标即x1，x2就是方程的解．（3）解法三：利用两个函数图象的交点求解①把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是二次函数y=的图象与一个一次函数y=的图象交点的横坐标②画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解． ( http: / / www.21cnjy.com )12．（2014 东西湖区校级模拟）如图，已知抛物线y1=﹣2x2+2与直线y2=2x+2交于A、B两点（1）求A、B两点的坐标．（2）若y1＞y2，请直接写出x的取值范围． ( http: / / www.21cnjy.com )
13．一元二次方程x2+7x+9=1的根与二次函数y=x2+7x+9的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来．
典例探究答案：
【例1】【解析】根据函数与方程的关系，可得函数图象与x轴的交点的横坐标就是相应的方程的解．
解：方程5x2+4x﹣2=0根是函数y=5x2+4x﹣2与x轴交点的横坐标．
作出二次函数y=5x2+4x﹣2的图象，如图所示，
由图象可知方程有两个根，一个在﹣2和﹣1之间，另一个在0和1之间．
先求﹣2和﹣1之间的根，
当x=﹣1.1时，y=﹣0.35；当x=﹣1.2时，y=0.4；
因此，x=﹣1.15是方程的一个近似根，
同理，x=0.35是方程的另一个近似根．
故一元二次方程5x2+4x﹣2=0的近似根为x=﹣1.15或0.35．
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点评：本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，二次函数图象与x轴交点的横坐标是相应的一元二次方程的解．
练1．【解析】根据函数与方程的关系，可得函数图象与x轴的交点的横坐标就是相应的方程的解．
解：方程x2﹣x﹣3=0的根是函数y=x2﹣x﹣3与x轴交点的横坐标．
作出二次函数y=x2﹣x﹣3的图象，如图所示，
由图象可知方程有两个根，一个在﹣3与﹣2之间，另一个在2和3之间．
求﹣3与﹣2之间的根，
当x=﹣2.2时，y=﹣0.14；
当x=﹣2.3时，y=0.105；
因此，x=﹣2.3是方程介于﹣3与﹣2之间的一个近似根．
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点评：本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合的思想方法．
【例2】【解析】（1）由x2﹣2x ( http: / / www.21cnjy.com )﹣3=0得x1=﹣1，x2=3，抛物线y=x2﹣2x﹣3开口向上，y＞0时，图象在x轴的上方，此时x＜﹣1或x＞3；
（2）仿照（1）的方法，画出函数y=x2﹣1的图象，找出图象与x轴的交点坐标，根据图象的开口方向及函数值的符号，确定x的范围．
解：（1）x＜﹣1或x＞3；
（2）设y=x2﹣1，则y是x的二次函数，
∵a=1＞0，
∴抛物线开口向上．
又∵当y=0时，x2﹣1=0，
解得x1=﹣1，x2=1．
∴由此得抛物线y=x2﹣1的大致图象如图所示．
观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞1时，y＞0．
∴x2﹣1＞0的解集是：x＜﹣1或x＞1．
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点评：本题考查了学生的阅读理解能力，知识 ( http: / / www.21cnjy.com )的迁移能力及二次函数与不等式的关系，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围．
练2．【解析】利用描点连线的方法画出函数y=﹣2x2+8x﹣6的图象．再根据图象判断函数的增减性．
解：函数y=﹣2x2+8x﹣6的图象如图．由图象可知：
（1）方程﹣2x2+8x﹣6=0的解x1=1，x2=3．
（2）当1＜x＜3时，y＞0．
（3）当x＜1或x＞3时，y＜0．
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点评：本题重点考查了函数图象的画法及解读．
【例3】【解析】（1）根据函数图象的交点坐标是相应方程的解，可得答案；
（2）根据因式分解，可得方程的解．
解：（1）如图在平面直角坐标系内画出y=2x2﹣2和函数y=5x+1的图象，
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图象交点的横坐标是﹣，3
2x2﹣2=5x+1的解是x1=﹣，x2=3；
（2）化简得
2x2﹣5x﹣3=0，
因式分解，得（2x+1）（x﹣3）=0．
解得x1=﹣，x2=3．
点评：本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，图象交点的横坐标是方程的解．
练3．【解析】建立平面直角坐标系，根据网格结构作出函数y=x2+2和y=4x的图象，然后找出两函数图象的交点坐标，从而得解．
解：在同一平面直角坐标系中作出函数y=x2+2和y=4x的图象，如图所示：
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由图可知，交点坐标为（0.6，2.4），（3.4，13.6），
所以一元二次方程x2+2=4x的近似根为x1≈0.6，x2≈3.4．
点评：本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，主要是利用函数图象的交点坐标求方程的解，读懂题目信息是解题的关键．
课后小测答案：
一、选择题
1．【解析】根据抛物线y=x2+3x﹣1与x轴的交点的横坐标就是方程x2+3x﹣1=0的根来解决此题．
解：∵抛物线y=x2+3x﹣1与x轴的交点的横坐标就是方程x2+3x﹣1=0的根，
∴可以求出方程x2+3x﹣1=0的根，
方程x2﹣1=﹣3x与方程x2+3x﹣1=0等价，
∴可以求出方程x2﹣1=﹣3x的根．
故选A．
点评：据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根．
2．【解析】根据二次函数的图象得出抛物线与x轴的交点，进而可得出结论．
解：∵由图可知，抛物线的对称轴为x=﹣1，抛物线与x轴的一个交点为﹣3，
∴另一个交点=2×（﹣1）+3=1，
∴关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m=0的解为x1=﹣3，x2=1．
故选A．
点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点 ( http: / / www.21cnjy.com )问题，熟知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系是解答此题的关键．
3．【解析】由抛物线与x轴的交点及对称轴求出另一个交点坐标，根据抛物线开口向下，根据图象求出使函数值y＞0成立的x的取值范围即可．
解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=﹣1，
∴二次函数的图象与x轴另一个交点为（﹣4，0），
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
则使函数值y＞0成立的x的取值范围是﹣4＜x＜2．
故选D．
点评：此题考查了二次函数与不等式（组），求出抛物线与x轴另一个交点坐标是解本题的关键．
4．【解析】根据函数图象写出y=2对应的自变量x的值之间的取值即可．
解：由图可知，使得y≤2成立的x的取值范围是﹣1≤x≤3．
故选D．
点评：本题考查了二次函数与不等式，准确识图是解题的关键．
5．【解析】根据函数图象，写出直线在抛物线上方部分的x的取值范围即可．
解：由图可知，x＜﹣2或x＞1时，y1＞y2．
故选D．
点评：本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
二、填空题
6．【解析】根据已知条件和图象找出直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c的交点，即可求出不等式x2+bx+c＞x+m 的解集．
解：∵直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），
∴根据图象可知，不等式x2+bx+c＞x+m 的解集为x＜1或x＞3；
故答案为：x＜1或x＞3．
点评：主要考查了二次函数与不等式组，解题的关键是根据图象找出直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c的交点，要具备读图的能力．
7．【解析】本题是一道估算题，先测估计出对称轴左侧图象与x轴交点的横坐标，再利用对称轴x=3，可以算出右侧交点横坐标．
解：依题意得二次函数y=ax2+bx+c的部分图象的对称轴为x=3，
而对称轴左侧图象与x轴交点与原点的距离，约为1.6，
∴x1=1.6；
又∵对称轴为x=3，
则=3，
∴x2=2×3﹣1.6=4.4．
点评：解答本题首先需要估计图象估计出一个解，再根据对称性计算出另一个解，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，必须估计尽量准确．
8．【解析】二次函数y=（x﹣m）2+ ( http: / / www.21cnjy.com )b的顶点坐标为（m，b），由图象得，m=2，b=﹣2，可得二次函数的解析式为y=（x﹣2）2﹣2．再解一元二次方程即可．
解：由图象得，m=2，b=﹣2，
所以二次函数的解析式为y=（x﹣2）2﹣2．
关于x的一元二次方程（x﹣2）2﹣2=0
（x﹣2）2=2
解得：，．
故答案为：，．
点评：本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，本题的关键是得出二次函数的解析式为y=（x﹣2）2﹣2．
9．【解析】从图上可知，mx+n＜ax2+bx+c，则有x＞1或x＜﹣；根据ax2+bx+c＜0，可知﹣1＜x＜2；综上，不等式mx+n＜ax2+bx+c＜0的解集是1＜x＜2．
解：因为mx+n＜ax2+bx+c＜0，由图可知，1＜x＜2．
点评：此题将图形与不等式相结合，考查了同学们对不等式组的解集的理解和读图能力，有一定的难度，读图时要仔细．
三、解答题
10．【解析】根据函数与方程的关系，可得函数图象与x轴的交点的横坐标就是相应的方程的解．
解：方程x2﹣2x﹣1=0根是函数y=x2﹣2x﹣1与x轴交点的横坐标．
作出二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象，如图所示，
由图象可知方程有两个根，一个在﹣1和0之间，另一个在2和3之间．
先求﹣1和0之间的根，
当x=﹣0.4时，y=﹣0.04；当x=﹣0.5时，y=0.25；
因此，x=﹣0.4（或x=﹣0.5）是方程的一个近似根，
同理，x=2.4（或x=2.5）是方程的另一个近似根．
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点评：本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合的思想方法．
11．【解析】（1）用配方法解答一元二次方程；
（2）二次函数方程为y=ax2 ( http: / / www.21cnjy.com )+bx+c与x轴交点的横坐标就是方程x2﹣x﹣1=0的解，所以，只要求出方程x2﹣x﹣1=0的根，就可以求出二次函数方程为y=ax2+bx+c与x轴交点；
（3）由（1）（2）解得x1、x2，再根据题意画出图象．
解：（1）由原方程，得：
，即；
解得x1= ，x2=．
（2）设二次函数方程为y=ax2+bx+c（a，b，c均为实数，且a≠0）．
由图象得知，该函数过点（0，﹣1），所以该点满足方程y=ax2+bx+c，
∴把（0，﹣1）代入方程y=ax2+bx+c，得c=﹣1，①
二次函数方程为y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是方程x2﹣x﹣1=0的解；
∴x1 x2==﹣1，即c=﹣a；②
x1+x2==1；③
由①②③，得：
；
∴二次函数方程为y=x2﹣x﹣1．
（3）
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点评：本题考查的是二次函数与一元二次方程，在解答过程中，注意二次函数与一元二次方程之间的联系，并从中择取有用信息解题．
12．【解析】（1）联立两函数解析式求解即可；
（2）根据函数图象写出抛物线直线上方部分的x的取值范围即可．
解：（1）联立，
解得： 或，
所以A、B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，2）；
（2）由图可知，﹣＜x＜0时，y1＞y2．
点评：本题考查二次函数与不等式，主要利用了联立两函数解析式求交点坐标的方法，利用函数图象求不等式的解集，利用数形结合的思想求解是更简便．
13．【解析】画出二次函数y=x2+7x+9的图象，则一元二次方程x2+7x+9=1的根为图象中y=1时x的值．
解：一元二次方程x2+7x+9=1的根是二次函数y=x2+7x+9图象中y=1时，所对应的x的值；
当y=1时，x2+7x+9=1，
∴作出二次函数y=x2+7x+9的图象如图，由图中可以看出，当y=1时，x≈﹣5.6或﹣1.4，
∴一元二次方程x2+7x+9=1的根为x1≈﹣5.6，x2≈﹣1.4．
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点评：考查二次函数图象与一元二次方程近似跟的关系；关键是得到一元二次方程的图象；难点是判断出一元二次方程的根在图象中的位置．