【多媒体导学案】人教版数学九年级上册第22章第2课时二次函数y=ax的图象和性质（教师版）

二次函数y=ax的图象和性质（教师版）
一、学习目标 会用描点法画出二次函数y=ax2的图象；根据对特殊函数图象的观察，归纳得出二次函数y=ax2的性质；进一步理解二次函数和抛物线的有关知识，并能解决一些简单的应用问题；领悟数形结合的数学思想方法，培养观察能力、分析能力和归纳能力．
二、知识回顾 1．画函数图象的一般步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线．2．什么是一次函数？怎么画一次函数y=-x+2的图象？形如y=kx+b（k≠0）的函数叫做一次函数.（1）列表：（2）描点；（3）连线．3．什么叫二次函数？一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b ( http: / / www.21cnjy.com )，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．想一想：怎么画二次函数的图象？二次函数有哪些性质？
三、新知讲解 二次函数y=ax 的图象和性质：二次函数y=ax 的图象是一条关于y轴对称的抛物线．其图象与性质如下图所示：a的符号a>0a<0图象 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )开口方向开口向上开口向下a 的绝对值越大，开口越小顶点坐标（0,0）顶点是最低点顶点是最高点对称轴y轴增减性x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大最值x =0时，y有最小值0x =0时，y有最大值0
四、典例探究 扫一扫，有惊喜哦！1．考查抛物线y=ax 开口方向、对称轴和顶点坐标【例1】不画图象，说出抛物线y=﹣x2的对称轴、顶点坐标、开口方向及最高（低）点坐标．总结：无论a取何值，y=ax 的对称轴都是y轴，顶点是坐标原点．抛物线的顶点位置决定了抛物线的最高点或最低点. a>0，顶点是最低点；a<0，顶点是最高点. 二次函数中，二次项系数a决定了抛物线的开口方向. a>0，抛物线开口向上； a<0，抛物线开口向下.练1．（2013秋 甘州区校级月考）在同一坐标系中，作函数y=3x2，y=﹣3x2，y=x2的图象，它们的共同特点是（　　）A．都是关于x轴对称，抛物线开口向上B．都是关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点C．都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点D．都是关于y轴对称，抛物线开口向下2．考查抛物线y=ax 开口大小【例2】（2012 平阴县校级模拟）对于y=ax2（a≠0）的图象下列叙述正确的是（　　）A．a的值越大，开口越大 B．a的值越小，开口越小C．a的绝对值越小，开口越大 D．a的绝对值越小，开口越小总结：几个不同的二次函数，比较其图象开口大 ( http: / / www.21cnjy.com )小，只需比较各自二次项系数的绝对值即可. 即：a的绝对值越小，开口越大；a的绝对值越大，开口越小．练2．（2014秋 民勤县校级期中）抛物线y=x2，y=﹣3x2，y=x2的图象开口最大的是（　　）A．y=x2 B．y=﹣3x2 C．y=x2 D．无法确定3．考查二次函数y=ax 的增减性【例3】已知函数y=ax2（a≠0）与直线y=2x-3交于A（1，b），求：（1）a和b的值；（2）当x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而增大．总结：抛物线的增减性与a的符号及对称轴有关.（1）当a>0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，当x=0时函数y的值最小；（2）当a<0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，当x=0时函数y的值最大．练3．已知函数y=ax2的图象过点（1，﹣）．（1）简述函数的性质；（2）在图象上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＞x2＞0，比较y1，y2的大小．
五、课后小测 一、选择题1．（2014秋 番禺区校级月考）函数y=﹣2x2图象是（　　）A．直线 B．双曲线 C．抛物线 D．不能确定2．（2014 黄浦区一模）抛物线y=ax2（a＜0）的图象一定经过（　　）A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限3．（2013秋 赵县期末）在同一坐标系中，抛物线y=4x2，y=x2，y=﹣x2的共同特点是（　　）A．关于y轴对称，开口向上B．关于y轴对称，y随x的增大而增大C．关于y轴对称，y随x的增大而减小D．关于y轴对称，顶点是原点4．（2003 甘肃）已知h关于t的函数关系式为h=gt2，（g为正常数，t为时间），则函数图象为（　　）A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )5．（2015 黄陂区校级模拟）二次函数y=x2的图象的开口方向是（　　）A．向上 B．向下 C．向左 D．向右6．（2015 山西模拟）抛物线y=﹣x2不具有的性质是（　　）A．开口向上B．对称轴是y轴C．在对称轴的左侧，y随x的增大而增大D．最高点是原点7．（2014 毕节市）抛物线y=2x2，y=﹣2x2，共有的性质是（　　）A．开口向下 B．对称轴是y轴C．都有最高点 D．y随x的增大而增大8．（2014秋 汕头校级月考）对于抛物线y=ax2，下列说法中正确的是（　　）A．a越大，抛物线开口越大 B．a越小，抛物线开口越大C．|a|越大，抛物线开口越大 D．|a|越小，抛物线开口越大9．（2013秋 鼓楼区校级期中）二次函数y=2x2图象的顶点坐标是（　　）A．（0，0） B．（1，1） C．（1，0） D．（0，1）10．（2012秋 滕州市校级期末）下列说法错误的是（　　）A．二次函数y=3x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大B．二次函数y=﹣6x2中，当x=0时，y有最大值0C．抛物线y=ax2（a≠0）中，a越大图象开口越小，a越小图象开口越大D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2（a≠0）的顶点一定是坐标原点二、填空题11．如图所示，四个函数图象对应的解析式分 ( http: / / www.21cnjy.com )别是：①y=ax2，②y=bx2，③y=cx2，④y=dx2，则a，b，c，d的大小关系是　 　． ( http: / / www.21cnjy.com )12．（2015 闸北区一模）如果抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，那么m的取值范围是　 　．13．（2014 日照一模）抛物线开口向下，则a=　 　．14．（2014秋 北京校 ( http: / / www.21cnjy.com )级月考）抛物线的形状大小、开口方向都与y=﹣12x2相同且顶点为（1，﹣2），则该抛物线的解析式为　 　．三、解答题15．（2014春 台山市校级期末）通过列表描点连线的方法画函数y=﹣x2的图象．16．函数y=ax2（a≠0）的图象与直线y=2x﹣3交于点（1，b）．（1）求a和b的值．（2）求抛物线y=ax2的解析式，并求出顶点坐标和对称轴．（3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而增大？（4）求抛物线与直线y=﹣2的两个交点及顶点所构成的三角形的面积．17．已知二次函数y=ax2的图象经过点A（，﹣）、B（3，m）．（1）求a与m的值；（2）写出该图象上点B的对称点C的坐标；（3）当x取何值时，y随x的增大而减小；（4）当x取何值时，y有最大值（或最小值）．
典例探究答案：
【例1】
分析：形如y=ax2的抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为原点，开口方向由a的符号决定．
解答：解：抛物线y=﹣x2的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），开口方向下，最高点坐标（0，0）；
点评：本题考查了二次函数的性质，牢记形如y=ax2的抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为原点，开口方向由a的符号决定是解题的关键．
练1．
分析：本题的三个抛物线解析式都符合y=ax2形式，可以从顶点坐标和对称轴找相同点．
解答：解：因为y=ax2形式的二次函数对称轴都是y轴，且顶点都在原点，
所以它们的共同特点是：关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点．
故选：B．
点评：此题主要考查了二次函数图象，要掌握y=ax2形式的二次函数对称轴都是y轴，且顶点都在原点是解题关键．
【例2】
分析：抛物线的开口方向由a的符号确定，开口大小由|a|确定．
解答：解：因为|a|越大，抛物线的开口越小；
|a|越小，抛物线的开口越大．
故选C．
点评：抛物线的开口大小由|a|确定：|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．
练2．
分析：抛物线的开口大小由|a|确定，先求每一个二次函数的|a|，再比较大小．
解答：解：∵|﹣3|＞|1|＞||，
∴抛物线y=x2，的图象开口最大．故选A．
点评：应识记：抛物线的开口大小由|a|确定：|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．
【例3】
分析：（1）利用待定系数法把点A（1，b）代入y=2x-3得到b的值，然后把A点坐标代入y=ax2得a的值；
（2）利用a的值得出它的图象开口向下，对称轴为y轴，当x＜0时，y随x的增大而增大．
解答：解：（1）把点A（1，b）代入y=2x-3得：
b=2×1-3=-1，
把点A（1，-1）代入y=ax2得，
a=-1；
（2）∵a=-1，
∴二次函数y=ax2为y=-x2，
它的图象开口向下，对称轴为y轴，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大.
点评：此题主要考查了二次函数的增减性以及点的坐标性质和方程组的解法，根据题意得出a的值是解决问题的关键．
练3．
分析：（1）把点（1，﹣）代入函数y=ax2的解析式求得a的值，即可判定函数的性质．
（2）二次函数y=ax2对称轴为y轴； ( http: / / www.21cnjy.com )当x1＞x2＞0，时，在对称轴的同侧，根据二次函数图象的性质，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，故y1＜y2．
解答：解：（1）∵函数y=ax2的图象过点（1，﹣）．
∴a=﹣，
∴开口向下，对称轴为y轴，在y轴的右侧y随x的增大而减小，在y轴的左侧y随x的增大而增大．
（2）∵该抛物线上两点（x1，y1）、（x2，y2）的且x1＞x2＞0，
∵x＞0时，y随x的增大而减小，
∵x1＞x2＞0，
∴y1＜y2．
点评：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，本题的关键是掌握二次函数的图象性质．
课后小测答案：
一、选择题
1．解：函数y=﹣2x2图象是抛物线．
故选C．
2．解：∵a＜0，
∴抛物线y=ax2的图象经过坐标原点，且开口方向向下，
∴一定经过第三、四象限．
故选B．
3．解：因为抛物线y=4x2，y=x2，y=﹣x2都符合抛物线的最简形式y=ax2，其对称轴是y轴，顶点是原点．
故选D．
4．解：函数关系式h=gt2，（g为正常数，t为时间）是一个二次函数，图象应是抛物线；
又因为t的值只能为正，图象只是抛物线在第一象限的部分．
故选A．
5．解：∵二次函数y=x2的二次项系数a=1＞0，
∴抛物线开口向上．
故选A．
6．解：因为a＜0，所以开口向下，顶点坐标（0，0），对称轴是y轴，有最高点是原点．
故选：A
7．解：（1）y=2x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点；
（2）y=﹣2x2开口向下，对称轴为y轴，有最高点，顶点为原点；
（3）y=x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点．
故选：B．
8．解：根据二次函数的性质可得当|a|越大，开口越小，
故选D．
9．解：∵次函数y=2x2中，b=0，c=0，
∴此函数的顶点是原点．
故选A．
10．解：A、二次函数y=3x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大，说法正确，不符合题意；
B、二次函数y=﹣6x2中，当x=0时，y有最大值0，说法正确，不符合题意；
C、抛物线y=ax2（a≠0）中，|a|越大图象开口越小，|a|越小图象开口越大，说法错误，符合题意；
D、不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2（a≠0）的顶点一定是坐标原点，说法正确，不符合题意．
故选C．
二、填空题
11．解：因为直线x=1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，c），（1，d），
所以，a＞b＞c＞d．
故答案为：a＞b＞c＞d．
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12．解：因为抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，
所以m﹣1＞0，即m＞1，故m的取值范围是m＞1．
13．解：依题意，得a2﹣a=2，
解得：a=﹣1或2，
∵抛物线开口向下，
∴二次项系数a＜0，
即a=﹣1．
故本题答案为：﹣1．
14．解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣h）2+k，且该抛物线的形状与开口方向和抛物线y=﹣12x2相同，
∴a=﹣12，
∴y=﹣12（x﹣h）2+k，
∴y=﹣12（x﹣1）2﹣2，
故答案为：y=﹣12（x﹣1）2﹣2．
三、解答题
15．解：列表得：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … ﹣9 ﹣4 ﹣1 0 ﹣1 ﹣4 ﹣9 …
描点，连线．
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16．解：（1）把点（1，b）代入y=2x﹣3得2﹣3=b，解得b=﹣1，
所以交点坐标为（1，﹣1），
把（1，﹣1）代入y=ax2得﹣1=a，即a=﹣1；
（2）当a=﹣1时，二次函数解析式为y=﹣x2，
所以抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）；
（3）二次函数y=﹣x2，当x＜0时，y随x的增大而增大；
（4）如图，解方程组 或，
所以A点坐标为（﹣，﹣2），B点坐标为（，﹣2），
所以S△OAB=×2×2=2．
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17．解：（1）把点A（，﹣）坐标代入函数解析式得，a=﹣，解得a=﹣，
把点B（3，m）代入函数解析式得，m=﹣×9=﹣；
（2）点C（﹣3，﹣）；
（3）x＞0时，y随x的增大而减小；
（4）当x=0时，y有最大值为0．
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