【多媒体导学案】人教版数学九年级上册第22章第3课时二次函数y=ax2+k的图象和性质（教师版）

一、学习目标 1．描点法画二次函数y=ax +k的图象；2．探索二次函数y=ax +k图象的性质；3．探索二次函数y=ax 和y=ax +k图象之间的联系．
二、知识回顾 二次函数y=ax2的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )
三、新知讲解 二次函数y=ax2+k的图象和性质 ( http: / / www.21cnjy.com )
四、典例探究 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) 扫一扫，有惊喜哦！1．判断抛物线y=ax +k开口方向、对称轴、顶点坐标和最值【例1】二次函数y=ax2+k的对称轴是_______，顶点坐标是__________．总结：一般地,抛物线y=ax2+k有如下特点:(1)当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下;(2)对称轴是y轴;(3)顶点是(0,k)．练1抛物线y=﹣2x2+3，对称轴是________，开口向_______．2．抛物线y=ax 和y=ax +k之间的平移规律【例2】（2015 杭州模拟）二次函数y=﹣3x2+1的图象是将（）A．抛物线y=﹣3x2向左平移3个单位得到B．抛物线y=﹣3x2向左平移1个单位得到C．抛物线y=3x2向上平移1个单位得到D．抛物线y=﹣3x2向上平移1个单位得到总结：抛物线y=ax2+k可以由抛物线y ( http: / / www.21cnjy.com )=ax2向上或向下平移|k|得到.当k>0时,抛物线y=ax2向上平移|k|个单位得到抛物线y=ax2+k；当k<0时， 抛物线y=ax2向下平移|k|个单位得到抛物线y=ax2+k ．练2在平面直角坐标系中，将抛物线y=2x2向下平移2个单位，那么所得抛物线的表达式为（）A．y=2x2﹣2 B．y=2x2+2 C．y=2（x﹣2）2 D．y=2（x+2）23．根据y=ax +k图象上两点的坐标求a，k【例3】二次函数y=ax2+k图象与坐标轴交于点（0，2）和（1，0），求该函数的关系式．总结：已知二次函数y=ax2+k图象上两点 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标即可求得其解析式.步骤是：把两点坐标代入y=ax2+k，得到关于a、k的方程组，然后解方程组求得a,k，最后把a,k的值代回原解析式即可．练3已知抛物线y=ax2+k经过点（1，-1），且顶点坐标是（0，-2）求a，k的值．
五、课后小测 一、选择题1．（2015 金山区一模）抛物线y=2x2+1的顶点坐标是（ ）A．（2，1） B．（0，1） C．（1，0） D．（1，2）2．（2015 邛崃市模拟）将y=x2向上平移2个单位后所得的抛物线的解析式为（ ）A．y=x2+2 B．y=x2﹣2 C．y=（x+2）2 D．y=（x﹣2）23．（2014 余姚市模拟）将抛物线y=x2平移得到抛物线y=x2+3，则下列平移过程正确的是（ ）A．向上平移3个单位 B．向下平移3个单位C．向左平移3个单位 D．向右平移3个单位4．（2014 河池）已知点（x1，y1），（x2，y2）均在抛物线y=x2﹣1上，下列说法中正确的是（ ）A．若y1=y2，则x1=x2 B．若x1=﹣x2，则y1=﹣y2C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2 D．若x1＜x2＜0，则y1＞y25．（2014秋 崂山区校级期末）二次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )y=﹣2x2+1的图象上有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当0＜x1＜x2时，则y1，y2的大小关系是（ ）A．y1＞y2 B．y1＜y2＜0 C．y1＞y2＞0 D．y1＜y26．（2015 山西模拟）已知二次函数y1=﹣3x2，，，它们的图象开口由小到大的顺序是（ ）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3＜y1二、填空题7．（2009 普陀区一模）二次函数y=2x2+3图象的顶点坐标是__________．8．（2015 松江区二模）将抛物线y=2x2﹣1向上平移4个单位后，所得抛物线的解析式是_______．9．（2014 杭州模拟） ( http: / / www.21cnjy.com )已知抛物线y=ax2+c（a＞0）过A（﹣3，y1）、B（﹣7，y2）、C（4，y3）三点，把y1、y2、y3从小到大的顺序排列为_________________．10．（2015 成都校级模拟）若抛物 ( http: / / www.21cnjy.com )线y=ax2+c与y=2x2的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是（0，﹣2），则该抛物线的函数表达式是______________．三、解答题11．在同一直角坐标系中画出二次函数y=x2+1与二次函数y=﹣x2﹣1的图形．（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．
典例探究答案：
【例1】【解析】利用公式法即可求出二次函数y=ax2+k的对称轴和顶点坐标．
解：∵y=ax2+k，
∴对称轴x=﹣=0，顶点横纵坐标分别是：x=0，y=k，
故答案为：x=0，（0，k）．
点评：本题考查了二次函数的性质，牢记其顶点坐标公式是解决二次函数的有关知识的基础．
练1．【解析】由于a=﹣2＜0，图象开口向下；由于b=0，对称轴x=﹣=0．
解：因为a=﹣2＜0，所以开口向下；
根据对称轴公式x=﹣，可得对称轴x=0．
点评：主要考查了二次函数的性质和求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．
【例2】【解析】根据平移规律判断各选项即可．
解：二次函数y=﹣3x2+1的图象是将抛物线y=﹣3x2向上平移1个单位得到的．
故选D．
点评：主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．
练2．【解析】由于原抛物线的顶点坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标为（0，0），则将抛物线y=2x2向下平移2个单位所得抛物线的顶点坐标为（0，﹣2），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．
解：抛物线y=2x2向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为y=2x2﹣2．
故选A．
点评：本题考查了二次函数与几何变换 ( http: / / www.21cnjy.com )：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
【例3】【解析】把点（0，2）和（1，0）直接代入y=ax2+k得到关于a、k的方程组，然后解方程组即可．
解：根据题意得，解得，
所以二次函数解析式为y=﹣2x2+2．
点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式 ( http: / / www.21cnjy.com )：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
练3．【解析】根据顶点坐标确定出k值，再将另一点坐标代入解析式求得a的值．
解：∵抛物线y=ax2+k的顶点坐标为（0，-2），∴k=﹣2，抛物线解析式为y=ax2-2．
把（1，-1）代入抛物线y=ax2-2中，得
a-2=-1，解得a=1．
综上，得a=1，k=-2
点评：本题考查了点与函数的关系，解题的关键是代入求值．
课后小测答案：
一、选择题
1．【解析】根据二次函数的顶点式可求得其顶点坐标．
解：
∵y=2x2+1=2（x﹣0）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（0，1），
故选B．
点评：本题主要考查抛物线的顶点坐标，掌握顶点式方程y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）是解题的关键．
2．【解析】先得到抛物线y ( http: / / www.21cnjy.com )=x2的顶点坐标为（0，0），由于点（0，0）向上平移2个单位得到的点的坐标为（0，2），则利用顶点式可得到平移后的抛物线的解析式为y=x2+2．
解：抛物线y=x2的顶点 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标为（0，0），把点（0，0）向上平移2个单位得到的点的坐标为（0，2），所以平移后的抛物线的解析式为y=x2+2．
故选：A．
点评：本题考查了二次函数图象与几何变换 ( http: / / www.21cnjy.com )：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
3．【解析】根据“上加下减”的原则直接进行解答即可．
解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=x2向上平移得到抛物线y=x2+3．
故选：A．
点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．
4．【解析】由于抛物线y=x2﹣1的图 ( http: / / www.21cnjy.com )象关于y轴对称，开口向上，分别判断如下：若y1=y2，则x1=﹣x2；若x1=﹣x2，则y1=y2；若0＜x1＜x2，则在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，则y1＜y2；若x1＜x2＜0，则y1＞y2．
解：A、若y1=y2，则x1=﹣x2；
B、若x1=﹣x2，则y1=y2；
C、若0＜x1＜x2，则在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，则y1＜y2；
D、正确．
故选D．
( http: / / www.21cnjy.com )
点评：本题的关键是（1）找到二次函数的对称轴；（2）掌握二次函数图象的性质．
5．【解析】根据二次函数图象上点的 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标特征得到y1=﹣2x12+1，y2=﹣2x22+1，然后根据0＜x1＜x2即可得到y1，y2的大小关系．
解：∵二次函数y=﹣2x2+1的图象上有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），
∴y1=﹣2x12+1，y2=﹣2x22+1，
∵0＜x1＜x2，
∴y1＞y2．
故选A．
点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．注意代数式的大小比较．
6．【解析】抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值大小确定，绝对值越大，开口越小．
解：∵|﹣3|＞||＞|﹣|，二次项系数的绝对值越大，抛物线开口越小，
∴y1＜y3＜y2，故选C．
点评：考查二次项系数的绝对值越大，函数值随x值的增大变化越大，抛物线开口越小．
二、填空题
7．【解析】已知二次函数y=2x2+3为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标．
解：∵y=2x2+3=2（x﹣0）2+3，
∴顶点坐标为（0，3）．
点评：对照顶点式的形式变形，可求顶点坐标．
8．【解析】直接利用二次函数图象平移规律得出即可．
解：∵将抛物线y=2x2﹣1向上平移4个单位，
∴平移后解析式为：y=2x2+3．
故答案为：y=2x2+3．
点评：此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
9．【解析】先求出抛物线的对称轴为y轴和开口方向，再根据二次函数的对称性解答．
解：抛物线y=ax2+c的对称轴为y轴，
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵点A、B、C到对称轴的距离分别为3、7、4，
∴y1、y2、y3从小到大的顺序排列为y1＜y3＜y2．
故答案为：y1＜y3＜y2．
点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性和增减性以及开口方向，利用性质求解更加简便．
10．【解析】根据两抛物线形状相同，开口方向相反，求出a的值，再将顶点坐标代入求出c的值，即可确定出解析式．
解：根据题意得：y=﹣2x2+c，
把（0，﹣2）代入得：c=﹣2，
则该抛物线解析式为y=﹣2x2﹣2．
故答案为：y=﹣2x2﹣2．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
三、解答题
11．【解析】根据二次函数图象，可得二次函数的性质．
解：如图：
( http: / / www.21cnjy.com )，
（1）y=x2+1与y=﹣x2﹣1的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y轴，
y=x2+1与y=﹣x2﹣1的不同点是：y=x2+1开口向上，顶点坐标是（0，1），y=﹣x2﹣1开口向下，顶点坐标是（0，﹣1）；
（2）性质的相同点：开口程度相同，不同点：y=x2+1 当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；
y=﹣x2﹣1当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．
点评：本题考查了二次函数的图象，利用了二 ( http: / / www.21cnjy.com )次函数图象与性质，a＞0图象开口向上，对称轴左侧，y随x的增大而减小，对称轴右侧，y随x的增大而增大；a＜0图象开口向下，对称轴左侧，y随x的增大而增大，对称轴右侧，y随x的增大而减小．
附件1：律师事务所反盗版维权声明
( http: / / www.21cnjy.com )
附件2：独家资源交换签约学校名录（放大查看）
学校名录参见：http://21世纪教育网/wxt/list. aspx ClassID=3060