【多媒体导学案】人教版数学九年级上册第22章第5课时二次函数y=ax-h2+k的图象和性质（教师版）

二次函数y=ax-h2+k的图象和性质
一、学习目标 1．探索二次函数y=a（x-h） +k图象的性质；2．探索二次函数y=a（x-h） +k和y=ax 图象之间的联系．
二、知识回顾 1．抛物线y=ax2+k，当a>0是，开口 向上 ，当a<0时，开口 向下 ，对称轴是 x轴 ，顶点是 （0，k） .2. 函数y=ax2+k，当k>0时，图 ( http: / / www.21cnjy.com )象可由y=ax2的图象向 上 平移 k 个单位得到；当k<0时，图象可由y=ax2向 下 平移 ｜k｜ 的单位得到.3. 抛物线y=a（x-h）2，当a>0是 ( http: / / www.21cnjy.com )，开口 向上 ，当a<0时，开口向 下 ，对称轴是直线 x=h ，顶点是 （h，0） .4. 函数y=a（x-h）2，当k>0时， ( http: / / www.21cnjy.com )图象可由y=ax2的图象向 上 平移 k 个单位得到；当k<0时，图象可由y=ax2向 下 平移 ｜k｜ 的单位得到.5. 说出下面二次函数的平移方式．（1） k＞0， 上移；k＜0 ，下移. （2） h＞0 ，右移；h＜0 ，左移.
三、新知讲解 1．二次函数y=a(x-h)2+k的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )2．各种形式的二次函数的关系 ( http: / / www.21cnjy.com )
四、典例探究 扫一扫，有惊喜哦！1．二次函数y=a(x-h) +k开口方向、对称轴、顶点坐标和最值【例1】（2015 长沙模拟）二次函数y=﹣（x﹣3）2+5的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（ ）A．向下、直线x=3、（3，5） B．向上、直线x=﹣3、（﹣3，5）C．向上、直线x=3、（3，5） D．向下、直线x=﹣3、（﹣3，﹣5）总结：二次函数y=a(x-h) +k的开口方向由a决定，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．具体性质如下： ( http: / / www.21cnjy.com )练1（2015 成都模拟） ( http: / / www.21cnjy.com )已知二次函数y=（x﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．考查二次函数y=a(x-h) +k的几何变换【例2】（2015 闸北区一模）将抛物线y=﹣（x﹣3）2+5向下平移6个单位，所得到的抛物线的顶点坐标为____________．总结：抛物线平移的规律：左加右减，上加下减．（1）上下平移：把抛物线y=a(x-h ( http: / / www.21cnjy.com )) +k向上平移m(m＞0)个单位长度，其顶点坐标变成（h,k+m），从而得到新的抛物线y=a(x-h) +k+m；同理，把抛物线y=a(x-h) +k向下平移m(m＞0)个单位长度，其顶点坐标变成（h,k-m），从而得到新的抛物线y=a(x-h) +k-m . 即：上下平移，只需要在k后加上或减去m即可，简称“上加下减”．（2）左右平移：把抛物线y=a(x ( http: / / www.21cnjy.com )-h) +k向左平移n(n＞0)个单位长度，其顶点坐标变成（h-n,k），从而得到新的抛物线y=a(x-h+n) +k；同理，把抛物线y=a(x-h) +k向右平移n(n＞0)个单位长度，其顶点坐标变成（h+n,k），从而得到新的抛物线y=a(x-h-n) +k . 即：左右平移，只需要在x后加上或减去n即可，简称“左加右减”．练2 已知抛物线y=a（x﹣h）2+k向左平移3个单位，再向下平移1个单位后，得到抛物线y=2（x+3）2﹣2，求a、h、k的值；练3 （2012 天津模拟） ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )把抛物线y=-（x-1）2-1向______平移______个单位，再向______平移_____个单位得到抛物线y=-（x+2）2-3．
五、课后小测 一、选择题 1．（2015 新疆）抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2）2．（2015 台州）设二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是（ ）A．（1，0） B．（3，0） C．（﹣3，0） D．（0，﹣4）3．（2015 东营区校级模拟）对于抛物线y=﹣（x+1）2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．44．（2015 慈溪市一模）关于二次函数y=﹣（x+1）2+2的图象，下列判断正确的是（ ）A．图象开口向上 B．图象的对称轴是直线x=1C．图象有最低点 D．图象的顶点坐标为（﹣1，2）5．（2015 河北区一模）当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）A．﹣或 B．﹣或2C．﹣或﹣或2 D．﹣或﹣或或26．（2013秋 天津期末）已知二次函数y=2（x﹣1）2﹣3，则下列说法正确的是（ ）A．y有最小值0，有最大值﹣3 B．y有最小值﹣3，无最大值C．y有最小值﹣1，有最大值﹣3 D．y有最小值﹣3，有最大值07．（2013秋 文登市期末）已知二次函数y=a（x﹣1）2+b（a≠0）有最大值1，则a，b的大小关系是（ ）A．a＜b B．a＞b C．a=b D．不能确定二、填空题8．（2014 江西模拟）将二次函 ( http: / / www.21cnjy.com )数y=﹣2（x﹣1）2+3的图象关于原点作对称变换，则对称后得到的二次函数的解析式为________________．9.（2014 宜阳县校级模拟）将二次函数y ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣2（x﹣1）2﹣1的图象先向右平移1个单位，再沿x轴翻折到第一象限，然后向右平移1个单位，再沿y轴翻折到第二象限......以此类推，如果把向右平移1个单位再沿坐标轴翻折一次记作1次变换，那么二次函数y=﹣2（x﹣1）2﹣1的图象经过2013次变换后，得到的图象的函数解析式为__________．三、解答题 10．（2013秋 北京校级期中）画出函数的示意图，观察图象回答下列问题（1）求顶点坐标与对称轴；（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？（3）当x取何值时，函数有最大值或最小值，其值是多少？ ( http: / / www.21cnjy.com )11．（2012秋 大丰市 ( http: / / www.21cnjy.com )校级月考）把抛物线y=a（x﹣4）2向左平移6个单位后得到抛物线y=﹣3（x﹣h）2的图象．若抛物线y=a（x﹣4）2的顶点A，且与y轴交于点B，抛物线y=﹣3（x﹣h）2的顶点是M，求①a，h的值；②S△MAB的值．12．（2009秋 重庆校级月考）已知二次函数y=﹣（x﹣2）2+4．（1）填写表格，并在所给直角坐标系中描点，画出该函数图象．x……y=﹣（x﹣2）2+4（2）填空①该函数图象与x轴的交点坐标是；②当时，y随x的增大而减小；③当时，y＜0；④若将抛物线y=﹣（x﹣2）2+4向左平移 个单位，再向平移个单位后可得抛物线y=﹣x2． ( http: / / www.21cnjy.com )
典例探究答案：
【例1】【解析】已知抛物线解析式为顶点式，可根据顶点式求抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．
解：由y=﹣（x﹣3）2+5可知，二次项系数为﹣＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=3，
顶点坐标为（3，5）．
故选A．
点评：本题考查了二次函数解析式的顶点式与其性质的联系，根据二次项系数的符号确定开口方向，根据顶点式确定顶点坐标及对称轴．
练1．【解析】二次函数的 ( http: / / www.21cnjy.com )一般形式中的顶点式是：y=a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k），在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大．
解：①∵a=1＞0，∴二次函数y=（x﹣3）2+1图象的开口向上，故本小题说法错误；
②图象的对称轴为直线x=3，故本小题说法正确；
③其图象顶点坐标为（3，1），故本小题说法错误；
④当x＜3时，y随x的增大而减小，故本小题说法正确；
综上所述，说法正确的有②④共2个．
故选：B．
点评：本题考查了二次函数的性质，主要考 ( http: / / www.21cnjy.com )查了函数图象的开口方向，对称轴解析式，顶点坐标，以及函数的增减性，都是基本性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【例2】【解析】根据二次函数的性质得抛 ( http: / / www.21cnjy.com )物线y=﹣（x﹣3）2+5的顶点坐标为（3，5），然后根据点平移的规律，点（3，5）经过平移后得到对应点的坐标为（3，﹣1），从而得到新抛物线的顶点坐标．
解：抛物线y=﹣（x﹣3）2+5的 ( http: / / www.21cnjy.com )顶点坐标为（3，5），点（3，5）向下平移6个单位得到对应点的坐标为（3，﹣1），所以新抛物线的顶点坐标为（3，﹣1）．
故答案为（3，﹣1）．
点评：本题考查了二次函数图象与几何变换： ( http: / / www.21cnjy.com )由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
练2．【解析】反向平移，即把抛物线y ( http: / / www.21cnjy.com )=2（x+3）2﹣2向右平移3个单位，再向上平移1个单位后得到抛物线y=a（x﹣h）2+k，然后把抛物线平移的问题转化为顶点平移的问题加以解决；
解：抛物线y=2（x+3）2﹣2的顶点 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标为（﹣3，﹣2），把点（﹣3，﹣2）向右平移3个单位，再向上平移1个单位后所得对应点的坐标为（0，﹣1），
所以原抛物线的解析式为y=2x2﹣1，
所以a=2，b=0，k=﹣1；
点评：本题考查了二次函数图象与几何变换．
练3 【解析】把抛物线的平移问题转化为顶点的平移问题.
解：因为抛物线y=-（x-1） ( http: / / www.21cnjy.com )2-1的顶点坐标是（1，-1），抛物线y=-（x+2）2-3的顶点坐标是（-2，-3）.因为（1，-1）向左平移3个单位，向下平移2个单位到（-2，-3），所以抛物线y=-（x-1）2-1向左平移3个大内，向下平移2个单位得到抛物线y=-（x+2）2-3.
故填：左，3，下，2
点评：本题考查了二次函数图象与几何变换.
课后小测答案：
一、选择题
1．【解析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．
解：∵顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），
∴抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）．
故选：D．
点评：主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键．
2．【解析】根据二次函数的解析式可得出直线l的方程为x=3，点M在直线l上则点M的横坐标一定为3，从而选出答案．
解：∵二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线x=3，
∴直线l上所有点的横坐标都是3，
∵点M在直线l上，
∴点M的横坐标为3，
故选：B．
点评：本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是掌握二次函数y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴是x=h．
3．【解析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
解：①∵a=﹣＜0，
∴抛物线的开口向下，正确；
②对称轴为直线x=﹣1，故本小题错误；
③顶点坐标为（﹣1，3），正确；
④∵x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∴x＞1时，y随x的增大而减小一定正确；
综上所述，结论正确的个数是①③④共3个．
故选：C．
点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性．
4．【解析】二次函数的一般形式中的顶点 ( http: / / www.21cnjy.com )式是：y=a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）．
解：∵﹣1＜0，
∴函数的开口向下，图象有最高点，
∵这个函数的顶点是（﹣1，2），
∴对称轴是x=﹣1，
故选：D．
点评：本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标是解题的关键．
5．【解析】分类讨论：m＞﹣2，﹣2≤m≤1，m＞1，根据函数的增减性，可得答案．
解：当m＜﹣2，x=﹣2时，y最大=﹣（﹣2﹣m）2+m2+1=4，解得m=﹣（舍），
当﹣2≤m≤1，x=m时，y最大=m2+1=4，解得m=﹣；
当m＞1，x=1时，y最大=﹣（1﹣m）2+m2+1=4，
解得m=2，
综上所述：m的值为﹣或2，
故选：B．
点评：本题考查了二次函数的最值，函数的顶点坐标是最大值，利用函数的增减性得出函数的最值，分类讨论是解题关键．
6．【解析】根据二次函数y=2（x﹣1）2﹣3的解析式，得出a的值和顶点的纵坐标，即可得出函数的最值．
解：∵二次函数y=2（x﹣1）2﹣3中，a=2＞0，
∴y有最小值﹣3，无最大值；
故选：B．
点评：此题主要考查了二次函数的最值，关键是根据二次函数的解析式求出a的符号和最值．
7．【解析】根据二次函数的性质得到a＜0，b=1，然后对各选项进行判断．
解：∵二次函数y=a（x﹣1）2+b（a≠0）有最大值1，
∴a＜0，b=1．
故选A．
点评：本题考查了二次函数的最值：确定一个二 ( http: / / www.21cnjy.com )次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值
二、填空题
8．【解析】根据关于原点对称点的特点，可得答案．
解；y=﹣2（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），故变换后的抛物线为y=2（x+1）2﹣3，
故答案为：y=2（x+1）2﹣3．
点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，抛物线关于原点对称变换后只是开口方向改变，顶点关于原点对称，而开口大小并没有改变．
9. 【解析】先分别求出二次 ( http: / / www.21cnjy.com )函数y=﹣2（x﹣1）2﹣1变换4次以后的函数解析式，发现规律：4次变换刚好又回到了原来的位置，那么变换2013次就相当于变换1次，即与变换1次的函数解析式相同．
解：把y=﹣2（x﹣1）2﹣1的图象先 ( http: / / www.21cnjy.com )向右平移一个单位，得y=﹣2（x﹣2）2﹣1，再沿x轴翻折到第一象限得﹣y=﹣2（x﹣2）2﹣1，即y=2（x﹣2）2+1，即1次变换后的解析式为y=2（x﹣2）2+1；
把y=2（x﹣2）2+1的图象先向右平 ( http: / / www.21cnjy.com )移一个单位，得y=2（x﹣3）2+1，再沿y轴翻折到第二象限得y=2（﹣x﹣3）2+1，即y=2（x+3）2+1，即2次变换后的解析式为y=2（x+3）2+1；
把y=2（x+3）2+1的图象先向右平移 ( http: / / www.21cnjy.com )一个单位，得y=2（x+2）2+1，再沿x轴翻折到第一象限得﹣y=2（x+2）2+1，即y=﹣2（x+2）2﹣1，即3次变换后的解析式为y=﹣2（x+2）2﹣1；
把y=﹣2（x+2）2﹣1的图象先向右平移一 ( http: / / www.21cnjy.com )个单位，得y=﹣2（x+1）2﹣1，再沿y轴翻折到第二象限得y=﹣2（﹣x+1）2﹣1，即y=﹣2（x﹣1）2﹣1，即4次变换后的解析式为y=﹣2（x﹣1）2﹣1；
所以变换4次刚好又回到了原来的位置，
∵2013÷4=503…1，
∴变换2013次实际就相当变换一次，为y=2（x﹣2）2+1．
故答案为y=2（x﹣2）2+1．
点评：本题考查二次函数图象与几何变换 ( http: / / www.21cnjy.com )，难度适中．根据解析式平移的规律：左加右减，上加下减分别求出二次函数y=﹣2（x﹣1）2﹣1变换4次以后的函数解析式，进而发现规律是解题的关键．
三、解答题
10．【解析】（1）根据顶点式解析式写出顶点坐标和对称轴即可；
（2）根据二次函数的性质结合图形解答即可；
（3）根据二次函数的最值问题解答．
解：（1）顶点坐标为（1，2），
对称轴为直线x=1；
（2）x＜1时，y随x的增大而增大，
x＞1时，y随x的增大而减小；
（2）x=1时，二次函数有最大值为2．
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点评：本题考查了二次函数图象，二次函数的性质，以及二次函数的最值问题，熟记性质是解题的关键．
11．【解析】①根据平移变换不改变图形的形状求出a的值，再根据向左平移，横坐标减纵坐标不变，利用两个抛物线的顶点列式求解即可得到h的值；
②求出点A、B、M的坐标，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
解：①∵抛物线y=a（x﹣4）2向左平移6个单位后得到抛物线y=﹣3（x﹣h）2的图象，
∴a=﹣3，
4﹣6=h，
解得h=﹣2；
②∵抛物线y=a（x﹣4）2的顶点A，且与y轴交于点B，
∴点A（4，0），B（0，﹣48），
∵抛物线y=﹣3（x﹣h）2的顶点是M，
∴M（﹣2，0），
∴S△MAB=×|4﹣（﹣2）|×|﹣48|=144．
点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，主要利用了平移变换不改变图形的形状与大小以及平移规律“左加右减，上加下减”．
12．【解析】（1）抛物线的顶点坐标为 ( http: / / www.21cnjy.com )（2，4），自变量以2为中心，各取比2大的2个数，比2小的2个数，求得其函数值填表，进而描点，连线即可；
（2）①从图象上找到相应的与x轴的交点即可；
②看在对称轴的哪一侧，y随x的增大而减小即可；
③找到x轴下方的函数图象所对应的自变量的取值即可；
④看顶点（2，4）是怎么平移到（0，0）的即可．
解：（1）如图表
x … 0 1 2 3 4 …
y=﹣（x﹣2）2+4 … 0 3 4 3 0 …
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（2）①该函数图象与x轴的交点坐标是（4，0）（0，0）；
②当x＞2时，y随x的增大而减小；
③当x＜0或x＞4时，y＜0；
④若将抛物线y=﹣（x﹣2）2+4向左平移2个单位，再向下平移4个单位后可得抛物线y=﹣x2．
点评：y随x的增大或减小，应从对称轴的入 ( http: / / www.21cnjy.com )手分析；函数值小于0，应看x轴下方的函数图象所对应的自变量的取值；二次函数图象的平移与顶点的平移一致．