【多媒体导学案】人教版数学九年级上册第22章第7课时二次函数的图象与各项系数之间的关系（教师版）

一、学习目标 通过观察二次函数的图象的形成过程，导出二次函数的图象与系数的关系；能根据字母间的关系判断二次函数的性质；理解和探索相关二次函数的图象之间的关系．
二、知识回顾 1．抛物线y=ax2+bx+c的开口方向与什么有关 与二次项系数a.2．抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标是（0，c）．3．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是．
三、新知讲解 1．二次函数图象与的关系二次项系数，决定了抛物线开口的大小和方向：a的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．（1）当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；（2）的值越大，开口越小，反之，的值越小，开口越大．2．a，b决定抛物线对称轴的位置抛物线y=ax2+bx +c的对称轴是直线．当b=0时，对称轴为y轴；当(即a，b异号）时，对称轴在y轴右侧；当(即，同号)时，对称轴在y轴左侧．3．决定抛物线与y轴交点的位置当c=0时，抛物线经过原点；当c>0时，抛物线与y轴交于正半轴；当c<0时，抛物线与y轴交于负半轴．4．b2-4ac决定抛物线与x轴交点的个数当b2-4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．5．a+b+c的符号因为x=1时，y=ax2+bx+c=a+b+c，所以a+b+c的符号由x=1时对应的y值决定．如：（1）当x=1时，若y>0，则a+b+c>0；（2）当x=1时，若y=0，则a+b+c=0；（3）当x=1时，若y<0，则a+b+c<0．6．a-b+c的符号因为x=-1时，y=ax2+bx+c=a-b+c，所以a-b+c的符号由x=-1时对应的y值决定．如：（1）当x=-1时，若y>0，则a-b+c>0；（2）当x=-1时，若y=0，则a-b+c=0；（3）当x=-1时，若y<0，则a-b+c<0．
四、典例探究 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) 扫一扫，有惊喜哦！1．根据二次函数各项系数的符号判断二次函数图象【例1】（2013秋 临沂期末）如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（　　）A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )总结：此类题一般采取排除法解决.二次函数中的系数a，b，c的符号决定了二次函数图象的大概位置，其中：由a的符号可以确定二次函数图象的开口方向；由a，b的符号可以确定抛物线对称轴的位置；由c的符号可以确定抛物线与y轴交点的位置.练1．（2011 招远市模拟）已知二次函数y=ax2+bx+a2﹣1的图象如下图，若b＜0，则符合条件的图象为（　　）A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )2．根据一次函数图象推断二次函数图象【例2】（2011秋 安庆期中）已知直线y=ax+b如图所示，则二次函数y=ax2+bx+3的图象可能是（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com )C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )总结：已知一次函数图象判断二次函数图象的方法：先根据一次函数图象的位置，判断a，b的符号；再结合二次函数各项系数来判断二次函数图象的位置；一般采用排除法.练2．（2013 上城区二模）已知函数y=（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如下图所示，则函数y=nx+m的图象可能正确的是（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )3．根据二次函数的图象判断式子符号【例3】（2014秋 广河县校级期中）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，请结合图象，判断下列各式的符号．①abc；②b2﹣4ac；③a+b+c；④a﹣b+c． ( http: / / www.21cnjy.com )总结：已知抛物线y=ax2+bx+c的图象，可以得到以下信息（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定；（2）c的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定；（3）b的符号：由a及对称轴的位置确定；（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定；（5）a+b+c的符号：由x=1时抛物线上的点的位置确定；（6）a-b+c的符号：由x=-1时抛物线上的点的位置确定；（7）2a±b的符号：由对称轴的位置及直线x=1 或x=-1的位置共同确定．练3．（2014 资阳一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，对称轴x=1，给出四个结论：①abc＞0；②2a+b=0；③b2＞4ac；④a﹣b+c＜0．其中正确结论个数是（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．0 B．1 C．2 D．3
五、课后小测 一、选择题1．（2015 毕节市）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关系式错误的是（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．a＜0 B．b＞0 C．b2﹣4ac＞0 D．a+b+c＜02．（2015 普陀区一模）如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0C．a＞0，b＜0，c＜0 D．a＞0，b＞0，c＜03．（2013秋 张家港市期末）已知二次函数y=ax2+bx+c，若a＜0，c＞0，那么它的图象大致是（　　）A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )4．（2014 台山市模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则一次函数y=ax+c的图象大致是（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )5．（2013 密云县二模）如图，二次函数y=ax2+bx+c中a＞0，b＞0，c＜0，则它的图象大致是（　　）A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com )C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )6．（2012 常德模拟）当a＞0，b＜0，函数y=ax2+bx与函数y=ax+b的图象是（　　）A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )7．（2012 鞍山三模）在同一直角坐标系内，二次函数y1=ax2+bx+c与y2=cx2+bx+a的图象大致为（　　）A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )8．（2012秋 萧山区校级月考）已知：a＞0，b＜0，c＜0，则二次函数y=a（x+b）2+c的图象可能是（　　）A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com )C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )9．（2011 枣阳市自主招生）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．b2﹣4ac＞0 B．a﹣b+c＜0 C．abc＜0 D．2a+b＞010．（2011 绵阳校级自主招生）已知 ( http: / / www.21cnjy.com )二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．③④ B．②③ C．①④ D．①②③11．（2009秋 河西区期末）已知二次函数y=ax2+bx+c的系数满足abc＜0，则它的图象可能是（　　）A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． 12．（2015春 鼓楼区校级月考）已知二 ( http: / / www.21cnjy.com )次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x=0.5，判断点（a+b+c，abc）在第（　　）象限． ( http: / / www.21cnjy.com )A．一 B．二 C．三 D．四二、解答题13．已知函数y=ax2+bx+c，若a＞0，b＜0，c＜0，问这个函数的图象与x轴交点情况．14．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论正确的有哪些？并说明理由． ( http: / / www.21cnjy.com )（1）3a+b＞0；（2）0＜b＜a+1；（3）b+2a＞0；（4）﹣＜a＜﹣．
典例探究答案：
【例1】
分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛 ( http: / / www.21cnjy.com )物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答：解：∵a＜0，
∴抛物线的开口方向向下，
故第三个选项错误；
∵c＜0，
∴抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，
故第一个选项错误；
∵a＜0，b＞0，对称轴为x=＞0，
∴对称轴在y轴右侧，
故第四个选项错误．
故选B．
点评：考查二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数符号的关系．
练1．
分析：由抛物线的开口向下可知a的符号，由对称轴为x=＜0可以推出b的取值范围，然后即可作出选择．
解答：解：∵选项A，B对称轴为y轴，
∴对称轴为x==0，即b=0，故此选项错误；
C、∵抛物线开口向上，x=＞0
∴a、b异号，
即b＜0．故此选项正确；
D、∵抛物线开口向下，x=＞0
∴a、b异号，
即b＞0．故此选项错误；
故选：C．
点评：本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，根据对称轴符号以及a的符号得出是解题关键．
【例2】
分析：利用一次函数图象得出a，b的符号进而得出二次函数开口方向和对称轴位置，即可得出答案．
解答：解：已知直线y=ax+b如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com )
故a＜0，b＞0，
∵a，b异号，
∴二次函数对称轴在x轴正半轴，
且开口向下，
故选：B．
点评：此题主要考查了一次函数与二次函数图象与系数的关系，熟练利用一次函数性质得出a，b符号是解题关键．
练2．
分析：根据图象可得出方程= ( http: / / www.21cnjy.com )（x﹣m）（x﹣n）=0的两个实数根为m，n，且一正一负，又m＜n，则m＜0＜n．根据一次函数y=nx+m的图象的性质即可得出答案．
解答：解：如图，∵函数y=（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n），
∴抛物线与x轴的两个交点横坐标分别是m，n，且m＜0＜n．
∴y=nx+m的图象经过第一、三象限，且与y轴交于负半轴．
故选：D．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题以及一次函数的性质，是重点内容要熟练掌握．
【例3】
分析：①抛物线开口向下得到a＜0，对称轴在y轴的左侧，a与b同号，得到b＜0，抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到c＜0，于是abc＜0；
②抛物线与x轴没有交点，所以△=b2﹣4ac＜0；
③取x=1，观察图象得到图象在x轴下方，则x=1，y=a+b+c＜0；
④取x=﹣1，观察图象得到图象在x轴下方，则x=﹣1，y=a﹣b+c＜0．
解答：解：①抛物线开口向下，则a＜0，对称轴在y轴的左侧，则x=＜0，则b＜0，抛物线与y轴的交点在x轴的下方，则c＜0，abc＜0；
②抛物线与x轴没有交点，所以△=b2﹣4ac＜0；
③当自变量为1时，图象在x轴下方，则x=1时，y=a+b+c＜0；
④当自变量为﹣1时，图象在x轴下方，则x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0．
点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系，对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象：
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右（简称：左同右异）；
③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有 ( http: / / www.21cnjy.com )2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
练3．
分析：由抛物线的开口方向判断a与0 ( http: / / www.21cnjy.com )的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答：解：①∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∵对称轴为x=＞0，
∴a、b异号，即b＜0，
∴abc＞0；
故本结论正确；
②∵对称轴为x==1，
∴2a=﹣b，
∴2a+b=0；
故本结论正确；
③从图象知，该函数与x轴有两个不同的交点，所以根的判别式△=b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；
故本结论正确；
④由图象知，x=﹣1时y＞0，所以a﹣b+c＞0，故本结论错误．
故选D．
点评：本题主要考查图象与二次函数系 ( http: / / www.21cnjy.com )数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用．
课后小测答案：
一、选择题
1．解：A、抛物线开口向下，则a＜0，所以A选项的关系式正确；
B、抛物线的对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＞0，所以B选项的关系式正确；
C、抛物线与x轴有2个交点，则△=b2﹣4ac＞0，所以D选项的关系式正确；
D、当x=1时，y＞0，则a+b+c＞0，所以D选项的关系式错误．
故选D．
2．解：∵图象开口方向向上，
∴a＞0；
∵图象的对称轴在x轴的正半轴上，
∴＞0，
∵a＞0，
∴b＜0；
∵图象与Y轴交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0；
∴a＞0，b＜0，c＜0．
故选：C．
3．解：a＜0，图象开口向下，故A、B错误；
c＞0，图象与y轴的交点在x轴的上方，故C错误；故D正确；
故选：D．
4．解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，
∴a＞0，c＞0，
∴一次函数y=ax+c的图象经过第一、二、三象限．
故选A．
5．解：∵二次函数y=ax2+bx+c中a＞0，
∴该函数图象开口方向向上．
故D错误；
∵二次函数y=ax2+bx+c中a＞0，b＞0，
∴对称轴x=＜0．
故B错误；
∵二次函数y=ax2+bx+c中c＜0，
∴该函数图象与y轴交于负半轴，
故C错误．
故选A．
6．解：∵a＞0，∴y=ax2+bx图象开口向上，排除C、D；
∵a＞0，b＜0，∴函数y=ax+b图象经过第一、三、四象限，排除A，
故选B
7．解：A、∵当二次函数y1=ax2+bx+c的图象的开口方向是向下，
∴a＜0，
∴二次函数y2=cx2+bx+a与y轴交于负半轴；
故本选项错误；
B、∵当二次函数y1=ax2+bx+c的图象的开口方向是向下，
∴a＜0；
又对称轴x=＞0，
∴b＞0，
而该函数与y轴交于负半轴，
∴c=0；
∴二次函数y2=cx2+bx+a变为一次函数，故本选项错误；
C、∵当二次函数y1=ax2+bx+c的图象的开口方向是向上，
∴a＞0，
∴二次函数y2=cx2+bx+a与y轴交于正半轴；
故本选项错误；
D、∵当二次函数y1=ax2+bx+c的图象的开口方向是向上，
∴a＞0，此时c＜0，
∴二次函数y2=cx2+bx+a与y轴交于正半轴；
故本选项正确．
故选D．
8．解：∵当a＞0时，二次函数的图象的开口向上，
∴选项B和C错误；
∵c＜0，
∴二次函数的图象的顶点的纵坐标是负数，在x轴的下方，
∴选项A、D都符合，
∵b＜0，
∴二次函数的图象的顶点的横坐标是﹣b＞0，
即顶点在y轴的右边，
∴选项D错误；只有选项A正确；
故选A．
9．解：A、图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，故本选项正确；
B、当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，故本选项正确；
C、∵图象开口向上，∴a＞0，
∵与y轴交于负半轴，∴c＜0，
∵对称轴在y轴右侧，∴＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，故本选项错误；
D、∵对称轴在1的左边，∴＜1，又a＞0，∴2a+b＞0，故本选项正确．
故选C．
10．解：①当x=1时，y=a+b+c=0，故①错误；
②当x=﹣1时，图象与x轴交点负半轴明显大于﹣1，
∴y=a﹣b+c＜0，
故②正确；
③由抛物线的开口向下知a＜0，
∵对称轴为0＜x=＜1，
∴2a+b＜0，
故③正确；
④对称轴为x=＞0，a＜0
∴a、b异号，即b＞0，
由图知抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0
∴abc＜0，
故④错误；
∴正确结论的序号为②③．
故选：B．
11．解：当a＞0时，因为abc＜0，所以b、c异号，由D图可知c＜0，
故b＞0，∴＜0，即函数对称轴在y轴左侧，选项（D）不符合题意．
由B图可知c＞0，故b＜0，∴＞0，即函数对称轴在y轴右侧，选项（B）不符合题意．
显然a＜0时，开口向下，因为abc＜0，所以b、c同号，
对于A、由图象可知c＞0，则b＞0，对称轴＞0，即函数对称轴在y轴右侧，A不正确；
对于 C，c＞0，则b＞0，对称轴＞0，C选项正确．
故选C．
12． 解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＞0，所以A选项错误；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，
∴x=1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
∴点（a+b+c，abc）在第四象限．
故选D．
二、解答题
13．解：∵△=b2﹣4ac＞0，
∴这个函数图象与x轴有两个交点，
设这个函数图象与x轴两个交点的坐标为（x1，0）、（x2，0），
∵x1 x2=，a＞0，c＜0，
∴x1 x2＜0，
∴一个在x轴的正半轴，另一个在x轴的负半轴．
14．解：（1）当图象经过（﹣1，0），（4，0）时，抛物线对称轴为：直线x=，
∵图象经过﹣1与﹣2之间，
∴＜，
∴﹣b＞3a，
∴3a+b＜0，故此选项错误；
（2）当x=﹣1时，a﹣b+c＞0，
∵图象经过（0，1），
∴c=1，
∴a﹣b+1＞0，
∴a+1＞b，
∵对称轴在x轴正半轴，
∴a，b异号，
∵图象开口向下，
∴a＜0，
∴b＞0，
∴0＜b＜a+1，此选项正确；
（3）∵图象经过﹣1与﹣2之间，以及（4，0）点，
∴＞1，
∴﹣b＜2a，
∴2a+b＞0，故此选项正确；
（4）当图象过点（﹣1，0），（4，0）时，
设解析式为：y=ax2+bx+1，则，
解得：，
当图象过点（﹣2，0），（4，0）时，
设解析式为：y=ax2+bx+1，则，
解得：，
∴﹣＜a＜﹣，故此选项正确．
附件1：律师事务所反盗版维权声明
( http: / / www.21cnjy.com )
附件2：独家资源交换签约学校名录（放大查看）
学校名录参见：http://21世纪教育网/wxt/list. aspx ClassID=3060