【多媒体导学案】人教版数学九年级上册第22章第1课时二次函数的定义（教师版）

二次函数的定义
一、学习目标 1．掌握二次函数的定义；2．根据实际问题列出二次函数的关系式，并求出函数的自变量的取值范围.
二、知识回顾 1．一元二次方程的一般形式是什么？　　　　2．一次函数、正比例函数的定义是什么？　　一般地，如果有y=kx+b(k,b为常数，且k≠0)，那么y叫做x的一次函数.　　　　y=kx（k≠0)中，y叫做x的正比例函数，可见，正比例函数是一次函数的特殊形式，即b=0的一次函数.　　
三、新知讲解 1．二次函数的定义一般地，形如的函数，叫做二次函数.这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b，c可以为0.二次函数中，x是自变量，x的取值范围是全体实数..2．二次函数的结构特征①等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2；②a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.3．二次函数的一般形式，它有几种特殊形式：①当b=0,c≠0时，y=ax2+c；②当b≠0，c=0时，y=ax2+bx；③当b=0,c=0时，y=ax2.注意：根据解析式判定二次函数时，首先要把解析式化为一般形式.
四、典例探究 扫一扫，有惊喜哦！1．二次函数的识别【例1】（2014春 未央区校级期末）已知下列函数：（1）y=3﹣2x2；（2）y=；（3）y=3x（2x﹣1）；（4）y=﹣2x2；（5）y=x2﹣（3+x）2；（6）y=mx2+nx+p（其中m、n、p为常数）．其中一定是二次函数的有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个总结：二次函数需具备的三个条件：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0.练1下列各式：①y=x+2；②；③；④；⑤；⑥；⑦y=（2x+1）（x﹣2）﹣2x2；其中y是x的二次函数的有__________（只填序号）.2．根据实际问题列出函数关系式并求出函数自变量的取值范围【例2】用一根长为800cm的木条做一个长方形窗框，若宽为x cm，写出它的面积y与x之间的函数关系式，并判断y是x的二次函数吗？总结：用二次函数描述实际问题中变量之间的关系，首先要审题，找出其中的已知量和未知量，并弄清它们之间的关系，根据相等关系列出二次函数关系式.一般要将列出的二次函数关系式化为一般形式.注意自变量的取值范围.练2设圆柱的高为6cm，底面半径为rcm，底面周长为Ccm，圆柱的体积为Vcm3．（1）分别写出C关于r、V关于r、V关于C的函数关系式；（2）这三个函数中，哪些是二次函数？3．根据二次函数的定义求参数或参数取值范围【例3】已知函数，当m=________时，它是二次函数．总结：此类题目要根据二次函数的概念建立方程模型求解，注意不要忽略二次函数中二次项系数不等于零这一隐含条件.练3当m时，关于x的函数y=（m2﹣1）x2+（m﹣1）x+3是二次函数．
五、课后小测 一、选择题1．（2015 闸北区一模）在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）A．y=x2 B．y= C．y=kx2 D．y=k2x2．（2014秋 石城县校级月考）下列函数中是二次函数的有（ ）①y=x+；②y=3（x﹣1）2+2；③y=（x+3）2﹣2x2；④y=+x．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．（2015 巴中模拟）下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）A． y= B．y=2x+1 C．y=x2+x﹣2 D．y2=x2+3x4．（2015春 西安校级月考）当m不为何值时，函数y=（m﹣2）x2+4x﹣5（m是常数）是二次函数（ ）A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3二、填空题5．函数y=（x2﹣1）的自变量x的取值范围是____________．6．说出下列二次函数的二次项系数a，一次项系数b和常数项C．（1）在y=5x2+2x中，a=_____，b=______，c=______．（2）在y=2（x﹣3）2+4中，a=________，b=_______，c=_______．7．圆的面积S与其周长C之间的函数关系式是___________，自变量的范围是___________．8．如图所示，长方体的底面是边长为xcm ( http: / / www.21cnjy.com )的正方形，高为6cm，请你用含x的代数式表示这个长方体的侧面展开图的面积S=__________，长方体的体积为V=__________，各边长的和L=__________，在上面的三个函数中，_________________________是关于x的二次函数． ( http: / / www.21cnjy.com )三、解答题9．（2012春 古浪县校级月考）分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）d=n2﹣n，（2）y=1﹣x2．10．已知y与x2成正比例，且当x=3时，y=﹣18，写出y与x之间的函数解析式，它是二次函数吗？11．根据下面的条件列出函数解析式，并判断列出的函数是否为二次函数：（1）如果两个数中，一个比另一个大5，那么，这两个数的乘积p是较大的数m的函数；（2）一个半径为10cm的圆上，挖掉4个大小相同的正方形孔，剩余的面积S（cm2）是方孔边长x（cm）的函数；（3）有一块长为60m、宽为40m的矩形绿 ( http: / / www.21cnjy.com )地，计划在它的四周相同的宽度内种植阔叶草，中间种郁金香，那么郁金香的种植面积S（cm2）是草坪宽度a（m）的函数．12．已知函数y=（m2﹣m）x2+mx+（m+1），m是常数．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，求m的值．
典例探究答案：
【例1】【解析】根据二次函数的定义求解．
解：（1）y=3﹣2x2；（3）y=3x（2x﹣1）=6x2﹣3x；（4）y=﹣2x2符合二次函数的定义，属于二次函数；
（2）y=的右边不是整式，所以不是二次函数；
（3）y=x2﹣（3+x）2=﹣6x﹣9，属于一次函数；
（4）y=mx2+nx+p（其中m、n、p为常数），当m=0时，该函数不是二次函数．
综上所述，其中一定是二次函数的有3个．
故选：B．
点评：本题考查二次函数的定义．一般地，形如 ( http: / / www.21cnjy.com )y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
练1．【解析】根据二次函数的定义与一般形式即可求解．
解：y是x的二次函数的有②，⑤，⑥．
故答案是：②，⑤，⑥．
点评：本题考查了二次函数的定义，一般形式是y=ax2+bx+c（a≠0，且a，b，c是常数，x是未知数）．
【例2】【解析】根据矩形的周长表示出长，根据面积=长×宽即可得出y与x之间的函数关系式．
解：设宽为xcm，
∵矩形的周长为800cm，
∴矩形的长为cm，
∴y=x×=﹣x2+400x（0＜x＜400）．
y是x的二次函数．
点评：本题考查了根据实际问题抽象出二次函数模型及二次函数的定义，属于基础题，表示出矩形的长是解答本题的关键．
练2．【解析】（1）根据圆的周长公式和圆柱的体积公式来列函数关系式；
（2）根据二次函数的定义进行解答．
解：（1）∵圆柱的底面半径为rcm，底面周长为Ccm，
∴C=2πr（cm）；
又∵圆柱的高为6cm，底面半径为rcm，圆柱的体积为Vcm3，
∴V=πr2×6=6πr2（cm3）．
∵设圆柱的高为6cm，底面周长为Ccm，圆柱的体积为Vcm3，
∴V=π×（）2×6=（cm3）．
综上所述，C关于r、V关于r、V关于C的函数关系式分别是：C=2πr、V=6πr2、V=．
（2）根据二次函数的定义知，V关于r的关系式V=6πr2是二次函数．
点评：本题考查了二次函数的定义．解题的关键是熟悉圆的面积公式、周长公式以及圆柱的体积公式．
【例3】【解析】根据二次函数的定义列出关于m的方程，求出m的值即可．
解：∵y=（m﹣1）xm2+1+3x是二次函数，
∴m2+1=2，且m﹣1≠0
∴m=﹣1或m=1（舍去）．
故答案为：﹣1．
点评：此题考查了二次函数的定义，关键是根据定义列出方程，在解题时要注意m﹣1≠0．
练3．【解析】根据二次函数的定义，使二次项的系数不为0，列式求值即可求得m满足的条件．
解：∵y是x的二次函数，
∴m2﹣1≠0，
∴m≠±1，
故满足的条件是m≠±1．
故答案为：≠±1．
点评：本题考查二次函数的定 ( http: / / www.21cnjy.com )义，解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义条件：二次函数y=ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．
课后小测答案：
一.选择题
1．【解析】根据二次函数的定义形如y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数．
解：A、是二次函数，故A符合题意；
B、是分式方程，故B错误；
C、k=0时，不是函数，故C错误；
D、k=0是常数函数，故D错误；
故选：A．
点评：本题考查二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数．
2．【解析】一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数．根据定义的一般形式进行判断即可．
解：①y=x+、④y=+x的右边不是整式，故①④错误；
②y=3（x﹣1）2+2，符合二次函数的定义，故②正确；
③y=（x+3）2﹣2x2=﹣x2+6x+9，符合二次函数的定义，故③正确；
故选：C．
点评：本题考查了二次函数的定义．判断函 ( http: / / www.21cnjy.com )数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
3．【解析】利用二次函数定义就可以解答．
解：A、y=，分母中含有自变量，不是二次函数，错误；
B、y=2x+1，是一次函数，错误；
C、y=x2+x﹣2，是二次函数，正确；
D、y2=x2+3x，不是函数关系式，错误．故选：C．
点评：本题考查二次函数的定义．
4．【解析】利用二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）．
解：根据二次函数的定义，得m﹣2≠0，即m≠2
∴当m≠2时，函数y=（m﹣2）x2+4x﹣5（m是常数）是二次函数．故选：B．
点评：本题考查二次函数的定义．
二.填空题
5．【解析】由于二次函数是一个整式函数，其自变量的取值范围是全体实数．
解：函数y=（x2﹣1）的自变量x的取值范围是全体实数．
点评：本题考查二次函数自变量的取值范围，比较简单．
6．【解析】（1）根据二次项系数、一次项系数、常数项的定义解答；
（2）先把二次函数化为一般形式，再解答．
解：（1）在y=5x2+2x中，a=5，b=2，c=0．
（2）函数y=2（x﹣3）2+4化为一般形式为：y=2x2﹣12x+22，故a=2，b=﹣12，c=22．
点评：本题考查的是二次函数的一般形式、各项系数与常数项．
7．【解析】根据圆的面积以及周长公式进而结合r得出即可．
解：∵设圆的面积为r，则S=πr2，C=2πr，
∴r=，r=，
∴=，
∴=，
∴S=，（C＞0）
点评：此题主要考查了二次函数的定义，正确得出r与S，C的关系是解题关键．
8．【解析】侧面展开图的面积应为边 ( http: / / www.21cnjy.com )长为xcm的正方形的周长乘6；长方体的体积应为边长为xcm的正方形的面积乘高；各边长的和应为边长为xcm的正方形的周长的2倍加上边长为6的4倍，找到x的次数为2的函数即为关于x的二次函数．
解：长方体的侧面展开图的面积S=4x×6=24x；
长方体的体积为V=x2×6=6x2；
各边长的和L=4x×2+6×4=8x+24；
其中，V=6x2是关于x的二次函数．
点评：找到所求量的等量关系是解决问题的关键，注意此几何体为底面积为正方形的长方体．
三.解答题
9．【解析】（1）根据二次函数的定义可得到二次项系数、一次项系数和常数项；
（2）根据二次函数的定义可得到二次项系数、一次项系数和常数项．
解：（1）二次项系数、一次项系数和常数项分别为、﹣、0；
（2）二次项系数、一次项系数和常数项分别为﹣1、0、1．
点评：本题考查了二次函数的定义：把 ( http: / / www.21cnjy.com )y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）称为y是x的二次函数，其中a为二次项系数、b为一次项系数、c为常数项．
10．【解析】由于y与x2成反比例，则有y=kx2（k≠0），然后把x=3，y=﹣18代入即可求出k．
解：∵y与x2成反比例，
∴y=kx2（k≠0），
把x=3时，y=﹣18代入得：﹣18=32 k，
∴k=﹣2，
∴y与x之间的函数解析式为 y=．
它不是y与x不是二次函数关系，即y=不是二次函数．
点评：本题考查了二次函数的定义，正比例函数的 ( http: / / www.21cnjy.com )定义．二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
11．【解析】根据二次函数的定义，根据每一题的数量关系列出函数关系式解答即可．
解：（1）这两个数的乘积p与较大的数m的函数关系为：p=m（m﹣5）=m2﹣5m，是二次函数；
（2）剩余的面积S（cm2）与方孔边长x（cm）的函数关系为：S=100π﹣4x2，是二次函数；
（3）郁金香的种植面积S（ ( http: / / www.21cnjy.com )cm2）与草坪宽度a（m）的函数关系为：S=（60﹣2a）（40﹣2a）=4a2﹣200a+2400，是二次函数．
点评：本题考查二次函数的定义，根据每一题的数量关系列出函数关系式是解题的关键．
12．【解析】（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得方程组，根据解方程组，可得答案；
（2）根据二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案．
解：依题意得
∴
∴m=1
（2）依题意得m2﹣m≠0∴m≠0且m≠1．
点评：本题考查了二次函数的定义，二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键．