课件27张PPT。 22.2用函数观点看一元二次方程1、学习二次函数与一元二次方程的关系学习目标2、会用一元二次方程解决二次函数图象
与x轴的交点问题引言 在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题。
如：被抛射出去的物体沿抛物线轨道飞行；抛物线形拱桥的跨度、拱高的计算等．
利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。
本节课，我将和同学们共同研究解决这些问题的方法，探寻其中的奥秘。复习.1、一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由 确定。＞ 0= 0＜ 0有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根b2- 4ac活动12、在式子h=50-20t2中，如果h=15，那么
50-20t2= ，如果h=20，那50-20t2= ，
如果h=0，那50-20t2= 。如果要想求t的值，那么我
们可以求 的解。15200方程问题1:如图,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30度角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系:h= 20 t – 5 t2
考虑下列问题:
(1)球的飞行高度能否达到 15 m ? 若能,需要多少时间?
(2)球的飞行高度能否达到 20 m ? 若能,需要多少时间?
(3)球的飞行高度能否达到 20.5 m ? 若能,需要多少时间?
(4)球从 飞出到落地 要用多少时间 ?活动2h=00= 20 t – 5 t2
那么从上面，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它们的关系如何?一般地，当y取定值时，二次函数为一元二次方程。如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程。
自由讨论练习一：
如图设水管AB的高出地面2.5m，在B处有一自动旋转的喷水头，喷出的水呈抛物线状，可用二次函数y=-0.5x2+2x+2.5描述，在所有的直角坐标系中，求水流的落地点D到A的距离是多少？解：根据题意得 -0.5x2+2x+2.5 = 0，
解得x1=5，x2=-1(不合题意舍去)
答：水流的落地点D到A的距离是5m。分析：根据图象可知，水流的落地点D的纵坐标为0，横坐标即为落地点D到A的距离。
即：y=0 。1、二次函数y = x2+x-2 , y = x2 - 6x +9 , y = x2 – x+ 1的图象如图所示。问题2(1).每个图象与x轴有几个交点？
(2).一元二次方程? x2+x-2=0 , x2 - 6x +9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2 – x+ 1 =0有根吗?
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与
一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?答：2个，1个，0个边观察边思考b2 – 4ac ＞0b2 – 4ac =0
b2 – 4ac ＜0OXY2、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点,则b2-4ac的情况如何。二次函数与一元二次方程2、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
情况如何？（b2-4ac如何）
(1)有两个交点
(2)有一个交点
(3)没有交点二次函数与一元二次方程b2 – 4ac > 0b2 – 4ac= 0b2 – 4ac< 0思考：若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则b2-4ac .≥0练习:看谁算的又快又准。1.不与x轴相交的抛物线是( )
A y=2x2 – 3 B y= - 2 x2 + 3
C y= - x2 – 2x D y=-2(x+1)2 - 32.如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有＿ 个交点.3.已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上,则c=＿＿.D1 1164.抛物线y=x2-3x+2 与y轴交于点＿＿＿＿,与x轴交于点＿＿＿ ＿.(0,2)5.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=-1,由图象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3 ,x2=＿＿＿6.已知抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则 k的取值范围（ ）-3.3B练习CA6.某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,
下半部是矩形,制造窗框的材料长(图中所有黑线
的长度和)为10米.当x等于多少米时,窗户的透光
面积最大? 最大面积是多少?●请你把这节课你学到了东西告诉你的同
桌，然后告诉老师？二次函数与x轴的交点的横坐标是一元二次方程的解 讨
论这节课应有以下内容：走近中考1、二次函数y=x2+x-6的图象与x轴交点横坐标是（ ）A：2和-3 B：-2和3 C：2和3 D：-2和32、已知实数s、t，且满足s2+s-2006=0，t2+t-2006=0，那么二次函数y=x2+x-2006的图象大致是（ ）A B C DAB3、已知抛物线y=x2+mx-2m2(m≠0)
求证：该抛物线与x轴有两个不同的交点。证明：∵b2-4ac=m2-4×1×（-2m2)
=9m2∵ m≠0 ∴9m2>0 即b2-4ac>0 ∴抛物线与x轴有两个不同的交点你会利用二次函数的图象求一元二次方程2x2-4x+1=0的近似根吗？思考1.二次函数 的图象
如图4所示，则下列说法不正确的是（ ）A B C D 2.二次函数y = ax2 + bx + c的部分对应值如下表： 利用二次函数的图象可知，当函数值y＜0时，x的取值范围是（ ）．A．x＜0或x＞2 B．0＜x＜2 C．x＜－1或x＞3 D．－1＜x＜35.王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线 ，其中y（m）是球的飞行高度,x（m）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m．
（1）请写出抛物线的开口方向、
顶点坐标、对称轴．
（2）请求出球飞行
的最大水平距离．
（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式． 作业课本：p56-57页 复习巩固选做题：如图，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线
y＝－x2＋3.5运行，然后准确落人篮框内。已知篮框的
中心离地面的距离为3.05米。
(1)球在空中运行的最大高度为多少米?
(2)如果该运动员跳投时，球出手离地面
的高度为2.25米，请问他距离篮框中
心的水平距离是多少?升华提高体会两种思想：数形结合思想弄清一种关系------函数与一元二次方程的关系分类讨论思想结束寄语时间是一个常数,但对勤奋者来说,是一个“变数”.
用“分”来计算时间的人比用“小时”来计算时间的人时间多59倍.课件14张PPT。二次函数与一元二次方程zxxkw学科网zxxkw一、问题：以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t－5t2．
考虑以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？
（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
二、观察图象：
（1）二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴有____个交点，则一元二次方程x2＋x－2＝0的根的判别式△______0；
（2）二次函数y＝x2－6x＋9的图像与x轴有______个交点，则一元二
次方程x2－6x＋9＝0的根
的判别式△_______0； （3）二次函数y＝x2－x＋1的图象与x轴有_____公共点，则一元二次方程x2－x＋1＝0的根的判别式△_______0．（1）当△＝b2－4ac＞0时 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点； （2）当△＝b2－4ac＝0时 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个交点；（3）当△＝b2－4ac＜0时 抛物线y＝ax2＋bx
＋c与x轴没有公共点． 归纳总结
二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系： 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式△＝b2－4ac．zxxkw例1．如右图，利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式
（1）方程ax2＋bx＋c＝0的根为________
（2）方程ax2＋bx＋c＝－3的根为_____；
（3）方程ax2＋bx＋c＝－4的根为_____；
（4）不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为___；
（5）不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为___；例2.如右图，填空：
（1）a_____0；
（2）b_____0；
（3）c______0；
（4）△＝b2－4ac_____0；
（5）a＋b＋c_____0；
（6）a－b＋c_____0；
（7）2a＋b_____0；
（8）当y＞0时，x的范围为___________；
（9）当y＜0时，x的范围为___________；zxxkw1．已知抛物线y＝x2－2kx＋9的顶点在x轴上，则k＝__．
2．已知抛物线y＝kx2＋2x－1与坐标轴有三个交点，则k的取值范围_________．
3.如图一元二次方程ax2＋bx＋c＝3的解为____（1）a_____0；
（2）b_____0；
（3）c______0；
（4）△＝b2－4ac_____0；
（5）a＋b＋c_____0；
（6）2a＋b_____0； zxxkw学科网试一试CA ?(4)已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示,则
一元二次方程ax+bx+c=0的解是 .
XY0522(5)若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴交点情况是( )
A 无交点 B 只有一个交点
C 有两个交点 D不能确定CX1=0，x2=5zxxkw(6)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿＿＿,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有＿＿＿＿个交点.(7)已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上,则c=＿＿＿＿.1116 (8)一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿.
（-2、0）（5/3、0）（9）根据下列表格的对应值:
判断方程ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是( )
A 3< X < 3.23 B 3.23 < X < 3.24
C 3.24 则m的取值范围是 。2、如果关于x的方程x2-2x+m=0有两个相等
的实数根，此时抛物线y=x2-2x+m与x轴有
个交点。3、抛物线y=x2-kx+k-2与x轴交点个数为（ ）
A、0个 B、1个 C、2个 D、无法确定亮出你的风采4、已知二次函数y=-x2+2x+k+2
与x轴的公共点有两个，
（1）求k的取值范围；
（2）当k=1时，求抛物线与
x轴的公共点A和B的坐标及顶点C的坐标；
（3）观察图象，当x取何值时，y=0,y>0,y<0?
（4）在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使S⊿ABP是S⊿ABC的一半，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由. ?亮出你的风采yx亮出你的风采 ?5、已知二次函数y=x2-mx-m2
（1）求证：对于任意实数m，该二次函数的图像与x轴总有公共点;
（2）该二次函数的图像与x轴有两个公共点A、B，且A点坐标为（1、0），求B点坐标。
zxxkw课件14张PPT。22.2 二次函数与一元二次方程第1课时 二次函数与一元二次方程之间的关系问题以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,
球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,球
的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t (单位:s)之间具有关系.考虑以下问题:
(1)球的飞行高度能否达到15m?如能,
需要多少飞行时间?
(2)球的飞行高度能否达到20m?如能,
需要多少飞行时间?
(3) 球的飞行高度能否达到20.5m?为什么?
(4)球从飞出到落地要用多少时间?(1)球的飞行高度能否达到15m?如能,
需要多少飞行时间?解: (1)解方程当球飞行1s和3s时,它的高度为15m.为什么在两个时间
球的高度为15m呢?(2)球的飞行高度能否达到20m?如能,
需要多少飞行时间?解: (2)解方程当球飞行2s时,它的高度为20m.为什么只在一个时间
内球的高度为20m呢?(3) 球的飞行高度能否达到20.5m?为什么?解: (3)解方程解: (4)解方程(4)球从飞出到落地要用多少时间?当球飞行0s和4s时,它的高度为0m,
即0s时球从地面飞出, 4s时球落回地面.为什么在两个时间
球的高度为0m呢?已知二次函数，求自变量的值解一元二次方程的根二次函数与一元二次方程的关系（1） 下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗? 若有，求出交点坐标.
（1） y = 2x2＋x－3
（2） y = 4x2 －4x +1
（3） y = x2 – x+ 1令 y= 0，解一元二次方程的根（1） y = 2x2＋x－3解：当 y = 0 时，2x2＋x－3 = 0（2x＋3）（x－1） = 0x 1 = ，x 2 = 1 所以与 x 轴有交点，有两个交点。y =a（x－x1）（x－ x 1）二次函数的两点式 （2） y = 4x2 －4x +1解：当 y = 0 时，4x2 －4x +1 = 0（2x－1）2 = 0x 1 = x 2 = 所以与 x 轴有一个交点。（3） y = x2 – x+ 1解：当 y = 0 时，x2 – x+ 1 = 0 所以与 x 轴没有交点。因为（-1）2－4×1×1 = －3 < 0归纳:课件14张PPT。22．2 二次函数与一元二次方程第1课时 二次函数与一元二次方程之间的关系横坐标两个无y＝0一个1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c，当_________时，自变量x的值，它是二次函数的图象与x轴交点的__________．
2．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点个数与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式的关系：当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴_______交点；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有________交点；当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有_________交点．9C知识点1：二次函数与一元二次方程
1．抛物线y＝－3x2－x＋2与坐标轴的交点个数是( )
A．3 B．2
C．1 D．0
2．如图，已知抛物线与x轴的一个交点A(2，0)，对称轴是x＝－1，则该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是( )
A．(－2，0) B．(－3，0)
C．(－4，0) D．(－5，0)
3．抛物线y＝x2＋6x＋m与x轴只有一个公共点，则m的值为__ _____．A50 C 6．用图象法求一元二次方程2x2－4x－1＝0的近似解．
解：设y＝2x2－4x－1，画出图象(略)．由图象知，当x≈2.2或x≈－0.2时，y＝0，即方程2x2－4x－1＝0的近似解为x1≈2.2，x2≈－0.2
知识点3：二次函数与不等式
7．二次函数y＝x2－x－2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是( )
A．x＜－1 B．x＞2
C．－1＜x＜2 D．x＜－1或x＞2C8．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是( )
A．－1＜x＜5 B．x＞5
C．x＜－1且x＞5 D．x＜－1或x＞5
9．(2014·南京)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
则当y＜5时，x的取值范围是____________．D0＜x＜4B C 10．已知函数y＝x2＋2x－3，当x＝m时，y＜0，则m的值可能是( )
A．－4 B．0 C．2 D．3
11．根据下列表格中的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的个数是( )
A.0 B．1 C．2 D．1或2C 12．抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图，则关于x的方程ax2＋bx＋c－2＝0的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个异号的实数根
C．有两个相等的实数根
D．没有实数根
13．抛物线y＝2(x＋3)(x－2)与x轴的交点坐标分别为_____________________．(2，0)，(－3，0)14．(1)用配方法把二次函数y＝x2－4x＋3化成y＝(x－h)2＋k的形式；
(2)在直角坐标系中画出y＝x2－4x＋3的图象；
(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数y＝x2－4x＋3图象上的两点，且x1＜x2＜1，请比较y1，y2的大小关系；(直接写结果)
(4)把方程x2－4x＋3＝2的根在函数y＝x2－4x＋3的图象上表示出来．解：(1)y＝(x－2)2－1 (2)图象略 (3)y1＞y2(4)该方程的根是二次函数图象在y＝2时对应点的横坐标 15．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；
(2)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
(3)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．解：(1)x1＝1，x2＝3(2)x＞2(3)k＜2 16．已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3(m是常数)．
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？解：(1)∵a＝1＞0，∴该函数的图象开口向上，又∵y＝x2－2mx＋m2＋3＝(x－m)2＋3≥3，∴该函数的图象在x轴的上方，∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点 (2)沿y轴向下平移3个单位长度
17．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)(x1＜x2)两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2＋4x－5＝0的两根．
(1)若抛物线的顶点为D，求S△ABC∶S△ACD的值；
(2)若∠ADC＝90°，求二次函数的解析式．课件13张PPT。22.2 二次函数与一元二次方程第2课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象
与字母系数的关系观察解:△＞0△=0
△＜0OXY二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点归纳:(1) 没有公共点 没有实数根(2)有一个公共点 有两个相等的实数根(3)有两个公共点 有两个不等的实数根例解: 方法:(1)先作出图象;
(2)写出交点的坐标;
(3)得出方程的解.1.不与x轴相交的抛物线是（ ）
A. y = 2x2 – 3 B. y=－2 x2 + 3
C. y= －x2 – 3x D. y=－2(x+1)2 －3 2.若抛物线 y = ax2+bx+c= 0，当 a>0，c<0时，图象与x轴交点情况是（ ）
A. 无交点 B. 只有一个交点
C. 有两个交点 D. 不能确定DC 3. 如果关于x的一元二次方程 x2－2x+m=0有两个相等的实数根，则m=＿＿＿，此时抛物线 y=x2－2x+m与x轴有＿＿个交点. 4.已知抛物线 y=x2 – 8x + c的顶点在 x轴上，则 c =＿＿.1116 5.若抛物线 y=x2 + bx+ c 的顶点在第一象限,则方程 x2 + bx+ c =0 的根的情况是＿＿＿＿＿.b2－4ac < 0 6.抛物线 y=2x2－3x－5 与y轴交于点＿＿＿＿，与x轴交于点 . 7.一元二次方程 3 x2+x－10=0的两个根是x1－2 ，x2=5/3，那么二次函数 y= 3 x2+x－10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿＿＿＿＿.(0，－5)(5/2，0) (－1，0)(-2，0) (5/3，0) 8.已知抛物线y = ax2+bx+c的图象如图,则关于x的方程ax2 + bx + c－3 = 0根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个异号的实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 没有实数根xA1.3. 9.根据下列表格的对应值:
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ）
A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24
C. 3.24 A．a＞0 B．c＞0
C．b2－4ac＞0 D．a＋b＋c＞0
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论正确的是( )
A．a＜0 B．b2－4ac＜0
C．当－1＜x＜3时，y＞0 第1题图 第2题图 DA 3．(2014·白银)二次函数y＝x2＋bx＋c中，若b＋c＝0，则它的图象一定过点( )
A．(1，－1) B．(－1，1)
C．(－1，－1) D．(1，1)
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若M＝a＋b－c，N＝4a－2b＋c，P＝2a－b，则M，N，P中，值小于0的数有( )
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个知识点2：函数图象的综合
5．若正比例函数y＝mx(m≠0)，y随x的增大而减小，则它和二次函数y＝mx2＋m的图象大致是( )A6．二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，那么一次函数y＝ax＋b的图象大致是( )C 7．在同一坐标系内，一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋8x＋b的图象可能是( )DDD8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A．ac＞0
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．b－2a＝0
D．x＝3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根
9．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，其对称轴为x＝1.下列结论中错误的是( )
A．abc＜0 B．2a＋b＝0 C．b2－4ac＞0 D．a－b＋c＞0第8题图 第9题图 D 0 D 第12题图 第11题图 ③④ 15．已知关于x的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象经过点C(0，1)，且与x轴交于不同的两点A，B，点A的坐标是(1，0)．
(1)求c的值；
(2)求a的取值范围．
解：(1)c＝1(2)由C(0，1)，A(1，0)得a＋b＋1＝0，故b＝－a－1，由b2－4ac＞0，可得(－a－1)2－4a＞0，即(a－1)2＞0，故a≠1，又a＞0，
所以a的取值范围是a＞0且a≠1 16．如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，B(3，2)．
(1)求m的值和抛物线的解析式；
(2)求不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集；(直接写出答案)
(3)若M(a，y1)，N(a＋1，y2)两点都在抛物线y＝x2＋bx＋c上，试比较y1与y2的大小．(2)x＞3或x＜1 (3)∵M(a，y1)，N(a＋1，y2)两点都在函数y＝x2－3x＋2的图象上，∴y1＝a2－3a＋2，y2＝(a＋1)2－3(a＋1)＋2＝a2－a.y2－y1＝(a2－a)－(a2－3a＋2)＝2a－2，∴当2a－2＜0，即a＜1时，y1＞y2；当2a－2＝0，即a＝1时，y1＝y2；当2a－2＞0，即a＞1时，y1＜y2
