课件22张PPT。21.1 一元二次方程一、情境导入，初步认识 设计师在设计人体雕像时，一般都考虑到美学角度。比如下面我们看到的雷锋纪念馆前的雷锋雕像，就符合黄金分割比例：腰部以上与腰部以下的高度比等于腰部以下与全身的高度比。
2mxm(2-x)m二、思考探究，获取新知解：依题意得：x2=2（2-x），
即：x2+2x-4=0，
显然这个方程只含有一个未知数，
且x的最高次数为2. 它是关于x的方程吗？如果是，你能看出它和我们以往学过的方程有什么不同吗？
如图，有一块矩形铁皮，长100cm。宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？探 究 1 解：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为（100-2x）cm，宽为（50-2x）cm，
x100-2x50-2x 列方程：(100-2x)(50-2x)=3600，
整理为： 4x2-300x+1400=0，
化简得: x2-75x+350=0.
探 究 2 要组织一次排球邀请赛，参加的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 请问：
（1）这次排球赛共安排 场；
（2）若设应邀请x个队参赛，则每个队与其它 个队各比赛一场，这样应共有 场比赛；
（3）由此可列出的方程为 ，
化简得 。 28x-1x(x-1)x2-x-56=0 归 纳 总 结1.一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程称为一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0）, 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项， b是一次项系数；c是常数项.
想 一 想1.二次项的系数a为什么不能为0？
2.在指出二次项系数、一次项系数和
常数项时，a、b、c都一定是正数吗？
谈谈你的看法。
从探究2中我们可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，因此可列表如下： 可以发现，当x=8时，x2-x-56=0，所以x=8是方程x2-x-56=0的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.-56-54-26-140-36-44-50探 究 3思 考1.一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？ 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根. 由于x=-7时，x2-x-56=49-（-7）-56=0，故x=-7也是方程x2-x-56的一个根。事实上，一元二次方程如果有实数根，则必然有两个实数根，通常记为x1=a，x2=b.2.方程x2-x-56=0有一个根为x=8，它还有其它的根吗？
三、典例精析，掌握新知 例1 已知关于x的方程（m+2）x|m|+3x+m=0是一元二次方程，求此一元二次方程.解：由题意有|m|=2且m+2≠0,
∴m=2,
因此原一元二次方程为4x2+3x+2=0. 例2 将方程3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中二次项系数、一次项系数及常数项.解：去括号，得3x2-3x=5x+10，移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为：
3x2-8x-10=0
其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.四、运用新知，深化理解1.下列各式中，是一元二次方程的是（ ）
A.3x2+ =0
B.ax2+bx+c=0
C.（x-3）（x-2）=x2
D.（3x-1）（3x+1）=3 D2.关于ｘ的方程（k-1）x|k|+1-2x=3是一元二次方程，则ｋ= ．
3.已知方程5x2+mx-6=0的一个根为4，则ｍ的值为 ．-14.根据下列问题，列出关于x的问题，并将其化成一元二次方程的一般形式，指出其二次项系数、一次项系数及常数项：
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x； 4x2-25=0，其中二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为-25. （2）一个长方形的长比宽多2，面积是100， 求长方形的长x；
x2-2x-100=0，其中二次项系数为1，一次项系数为-2，常数项为-100.（3）把长为1的长条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的平方，求较短一段的长x。
x2-3x+1=0，其中二次项系数为1，一次项系数为-3，常数项为1.五、师生互动，课堂小结（1）一元二次方程的定义是什么？你知道它的一般式、二次项系数、一次项系数和常数项分别是什么了吗？
（2）一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）中的括号是否可有可无？为什么？
（3）通过这节课的学习你还有哪些收获？课 后 作 业1.布置作业:从教材“习题21.1”中选取.
2.完成练习部分.课件17张PPT。21.1 一元二次方程知识回顾5x-15=0这是一个什么样的方程？ 只含有一个未知数（元），并且未知数的
次数是1的整式方程叫一元一次方程问题1 要设计一座高2m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少米?ACB分析:即设雕像下部高xm,于是得方程x2-x 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去多大的正方形?100㎝50㎝x3600分析:设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为 ,宽为 .(100-2x)cm(50-2x)cm根据方盒的底面积为3600cm2,得即问题2 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?分析:全部比赛共4×7=28场设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 个队各赛1场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
是同一场比赛,所以全部比赛共 场.即(x-1)问题3 这三个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？特点:①都是整式方程;②只含一个未知数;③未知数的最高次数是2.归纳定义 等号的两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程一元二次方程的定义一元二次方程要素①方程两边都是整式②只含有一个未知数③未知数的最高次数是2次一元二次方程的一般形式 一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化为, ax2+bx+c=0的形式,我们把ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？当a=0时bx+c=0当a≠0，b=0时ax2+c=0当a≠0，c=0时ax2+bx=0当a≠0，b=0,c=0时ax2=0只要满足a≠0，a,b,c可以为任意实数一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0中ax2说明：要找到一元二次方程的系数和常数项，必须
先将方程化为一般形式。
bxc二次项
一次项常数项二次项系数
一次项系数ab ?[例1]判断下列方程是否为一元二次方程？
（1）
（2）
（3）
（4） 例题讲解同步练习1下列方程那些是一元二次方程？
5x-2=x+1 2. 7x2+6=2x(3x+1)
3. 4. 6x2=x
5 . 2x2=5y 6. -x2=0同步练习2一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？ax=b (a≠0）ax2+bx+c=0 (a≠0）整式方程，只含有一个未知数未知数最高次数是1未知数最高次数是2例题讲解例题讲解[例2] 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数： 二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的 3 2- 8 -10=0解二次项系数是3、一次项系数是-8和常数项是-10
同步练习3 练习： 将下列方程化为一般形式， 并分别指出它们的二次项系数、 一次项系数和常数项： 2）（x-2）(x+3)=8
3）1）同步练习4方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？ 解：当a≠2时是一元二次方程；当a＝2，b≠0时是一元一次方程； 在今天这节课上，你有什么样的收获呢？有什么感想？1. 一元二次方程的定义2.一元二次方程的一般形式
ax2+bx+c=0（ a,b,c为常数，a≠0 ）3.一元二次方程中的为二次项ax2，a为二次项系数；
一次项为bx，一次项系数为b；常数项为c。作 业这节课就到这里，下课！课件12张PPT。第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程一、复习1.什么叫方程？我们学过那些方程？
2.什么叫一元一次方程？
3.什么叫分式方程？
问题(1) 要设计一座高2m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少米?ACB 雕像上部的高度AC,下部的高度BC
应有如下关系:分析:即设雕像下部高xm,于是得方程整理得x2-x问题情景(1)问题(2) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去多大的正方形?100㎝50㎝x3600分析:设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为 ,宽为 .(100-2x)cm(50-2x)cm根据方盒的底面积为3600cm2,得即问题情境（2）问题(3) 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?分析:全部比赛共4×7=28场设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 个队各赛1场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是
同一场比赛,所以全部比赛共 场.即(x-1)问题情境（3） 这三个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？特点:①都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数）;②只含一个未知数;③未知数的最高次数是2.一元二次方程的概念 像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程（必须满足三个特征）探究新知 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都可以化为 的形式,我们把
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？想一想 a x 2 + b x + c = 0(a ≠ 0)二次项系数一次项系数常数项一元二次方程的一般形式例题讲解例 将方程
化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项： 二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的 例题讲解解：去括号，得
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10练习.将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项： ( 2 )（x-2）(x+3)=8 ( 3 ) 2x(x-1)=3(x-5)-4 （1）(x+3)(3x-4)=(x+2)21.一元二次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 的形式,我们把
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。课件20张PPT。一元二次方程首都师范大学附中 周素裹
尝试挑战 要设计一座2m高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的比，等于下部与全身的高度比，雕像的下部应设计为多高？尝试挑战 设雕像的下部高x米，则上部高（2-x）米．
整理得：
这个方程属于我们过去学过的某一种方程吗？温故知新 我们都学过哪些方程，你能分别举例说明吗？
我们如何定义方程的“元”和“次”？
温故知新下列方程分别是什么方程？ 一元一次方程二元一次方程分式方程二元二次方程运算类型增加次增加元温故知新方程的分类: 整式方程一元一次方程方程一元方程分式方程其它方程二元方程三元方程其它？集思广益方程 属于什么方程？ 其他实际问题中是否也能列出这一类方程呢？
你能再举出一个例子吗？集思广益
如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？问题1集思广益
问题1x
设剪去正方形边长为xcm，据题意得：
整理得：
集思广益
问题2
要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，你说组织者应该邀请多少个队参赛？
全部比赛共有______场．
若设应邀请x 个队参赛，则每个队要与其他____个队各赛一场，比赛共有_______ 场，
由此，我们可以列出方程______________，化简得________________．
28x-1x(x-1) /2x(x-1) /2=28x2-x=56 为什么要除以２呢？x2-x=56这三个方程有什么共同点？ 等号两边都是整式，方程只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2次．分析概括x2-x=56 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．定义新知 请你说出一个一元二次方程，和一个不是一元二次方程的方程．答案：（2）（5）（6） 我们把一元二次方程按未知数的降幂排列有： ．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项．定义新知 化为一般形式才能识别相应的项，准确化简要注意什么呢？巩固练习教科书第4页练习1，2．一元二次方程反思收获１．本节课你学到了什么知识？你怎么看待这个新知识？
２．新知识与之前所学什么知识有联系，区别又在哪？
３．在学习过程中，有哪些典型的错误值得我们反思？ 布置作业教科书 习题21.1
巩固复习第1，2，3题．
