2023年山东省济南市中学九年级中考数学冲刺试卷（含解析）

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2023年山东省济南市中学九年级中考数学冲刺试卷及解答
选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．
1．的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：的相反数是，
故选：B．
2．如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
3． 国产C919飞机，最大航程达．数据5555000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
4,如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
5.实数，在数轴上的位置如图所示，则下列判断错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
6．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
7．若点，，都在反比例函数的图象上，
则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
8．如图，为的直径，C、D为上的点，，若，则（　 　）

A． B． C． D．
【答案】D
9．如图，在中，，，以点C为圆心，适当的长为半径作弧，
分别交AC，BC于点E，F；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D；
作射线CD．若点M为边BC上一动点，点N为射线CD上一动点，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】D
10 .新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），
若满足m≥0时，n′＝n﹣4；m＜0时，n′＝﹣n，
则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．
例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），
点P2（﹣2，3）的限变点是P2′（﹣2，﹣3）．
若点P（m，n）在二次函数y＝﹣x2+4x+2的图象上，
则当﹣1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（ ）
A．﹣2≤n′≤2 B．1≤n′≤3 C．1≤n′≤2 D．﹣2≤n′≤3
【答案】D．
填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．因式分解：
故答案为：（a+3）（a-3）．
12．一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，
摸到白球的概率为，则白球的个数为___________
【答案】 6．
13 .关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是 ．
【答案】-3
14． 如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，
则阴影部分的面积为 （结果保留）．

【答案】
15 .某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．
图中、分别表示去年、今年水费（元）与用水量（）之间的关系．
小雨家去年用水量为150，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多 元．
【答案】210．
16.已知：中，是中线，点在上，且，．则 = _____
【答案】
三、解答题：本题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：．
【答案】
【分析】根据化简绝对值，二次根式的性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行计算即可求解．
【详解】解：
18 .解不等式组：，把解集表示在数轴上，并写出它的所有的整数解．
【答案】1【分析】先求出不等式组的解集，再把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出整数解．
【详解】解：
解不等式①得x＞1，
解不等式②得x≤4，
∴不等式组的解集是1不等式组的解集在数轴上表示如图，
∴不等式组的整数解为：2,3,4．
19 . 已知：如图，在□ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．求证：BF∥DE．
【答案】证明见解析．
【分析】根据平行四边形的性质证得AB∥DC，AB=DC，推出∠DCA=∠BAC，根据SAS证明△ABF≌△CDE，推出∠AFB=∠CED，即可得到结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，
∴∠DCA=∠BAC，
∵AE＝CF．
∴AE+EF＝CF+EF，即AF=CE，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴∠AFB=∠CED，
∴BF∥DE．
20. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，
如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．
为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，
此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点时，
又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点
（点，，在同一水平线上）．
（参考数据：，，，，，）
(1)求屋顶到横梁的距离；
(2)求房屋的高．
【答案】(1)屋顶到横梁的距离为
(2)房屋的高为
【分析】（1）根据可得，再根据，即可求解；
（2）过点E作于点H，设，则，，再根据，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵该房屋的侧面示意图是一个轴对称图形，
∴，，
∴，
答：屋顶到横梁的距离为．
（2）过点E作于点H，
设，
∵，
∴在中，，
∵，
∴在中，，
∵，
∴，
∵，，
∴解得：，
∴，
答：房屋的高为．
某校在宣传“民族团结”活动中，采用四种宣传形式：
．器乐，．舞蹈，．朗诵，．唱歌．每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，
学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请结合图中所给信息，解答下列问题：
(1)本次调查的学生共有________人；扇形统计图中表示选项的扇形圆心角的度数是________，并补全条形统计图；
(2)该校共有名学生，请估计选择“唱歌”的学生有多少人？
(3)七年一班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率．
【答案】(1)1200，，图见解析
(2)估计选择“唱歌”的学生约有人
(3)
【分析】（1）用选择“器乐”的人数除以其人数占比即可求出本次参与调查的学生人数；用乘以选择“唱歌”的人数占比即可求出D选项对应的扇形圆心角度数；求出选择“舞蹈”的人数，进而补全统计图即可；
（2）用乘以样本中选择“唱歌”的人数占比即可得到答案；
（3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：本次调查的学生共有：（人），
∴扇形统计图中表示选项的扇形圆心角的度数是，
喜欢类项目的人数有：（人），
补全条形统计图如图所示：
（2）解：（人），
答：估计选择“唱歌”的学生约有人；
（3）解：画树形图如下：
共有12种等可能的情况，其中被选取的两人恰好是甲和乙的有2种情况，
∴被选取的两人恰好是甲和乙的概率是．
如图，在中，，O是上一点，
以为半径的与相切于点D，与相交于点E．
（1）求证：是的平分线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】（1）根据切线的性质得，再由，得，由平行线的性质得，又因为等腰三角形得，等量代换即可得证；
（2）在中，由勾股定理即可求半径．
【小问1详解】
证明：连接OD；
∵与BC相切于点D
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴是的平分线；
【小问2详解】
解：∵
∴在中；
∵，
，
设圆的半径为r，
∴
解得，
∴圆的半径为3
∴．
23.某网店11月当月售出了“冰墩墩”200个和“雪容融”100个，销售总额为32000元，
12月售出了“冰墩墩”300个和“雪容融”200个，销售总额为52000元．
(1)求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价；
(2)已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为102元/个和60元/个．由于这两款毛绒玩具持续热销，
于是该店再次购进这两款毛绒玩具共600个，其中“雪容融”的数量不超过“冰墩墩”数量的2倍，
若购进的这两款毛绒玩具全部售出，则“冰墩墩”购进多少个时该店当月销售利润最大，并求出最大利润．
【答案】(1)“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别为120元和80元；
(2)当“冰墩墩”购进200个时该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为11600元．
【分析】（1）根据题意，列二元一次方程组即可；
（2）根据题意，列一元一次不等式组，求出m的解集，表示出月销售利润w=-2m+12000，根据函数增减性即可求出最大利润．
【详解】（1）解：设“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别为x元，y元，
根据题意得，
解得，
答：“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别为120元和80元；
（2）解：设“冰墩墩”购进m个时该旗舰店当月销售利润最大，此时“雪容融”购进了（600-m）个，
根据题意，得600-m≤2m，
解不等式得m≥200，
设该旗舰店当月销售利润w=（120-102）m+（80-60）（600-m）=-2m+12000，
∵-2＜0，
∴w随着m的增大而减小，
∴当m=200时，w最大=-400+12000=11600，
答：当“冰墩墩”购进200个时该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为11600元
24 .定义：在平面直角坐标系中，过点P，Q分别作x轴，y轴的垂线所围成的矩形，
叫做P，Q的“关联矩形”，如图所示．
已知点A（﹣2，0）
①若点B的坐标为（3，2），则点A，B的“关联矩形”的周长为 　 　．
②若点C在直线y＝4上，且点A，C的“关联矩形”为正方形，求直线AC的解析式．
已知点M（1，﹣2），点N（4，3），若使函数的图象与点M、N的“关联矩形”有公共点，
求k的取值范围．
解：（1）①点A，B的“关联矩形”的长为3﹣（﹣2）＝5，宽为2﹣0＝2，
∴周长为（5+2）×2＝14．
②点A，C的“关联矩形”为正方形时点C有两个，C1（2，4），C2（﹣6，4），如图所示：
设直线AC1的解析式为y＝k1x+b1，则
，
∴，
∴直线AC1的解析式为y＝x+2；
设直线AC2的解析式为y＝k2x+b2，则
，
∴，
∴直线AC2的解析式为y＝﹣x﹣2；
∴直线AC的解析式为y＝x+2或y＝﹣x﹣2．
（2）如图所示：当k＞0时，若函数的图象过点N（4，3），则k＝12，所以0＜k≤12；
当k＜0时，若函数的图象过点（4，﹣2），则k＝﹣8，所以﹣8≤k＜0；
∴若使函数的图象与点M、N的“关联矩形”有公共点，k的取值范围为﹣8≤k＜0或0＜k≤12．
25.(1)如图1，△ABC和△CDE均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F．

①求证：AD＝BE；
②求∠AFB的度数．
(2)如图2，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，直线AD和直线BE交于点F．
①求证：AD＝BE；
②若AB＝BC＝3，DE＝EC＝．将△CDE绕着点C在平面内旋转，当点D落在线段BC上时，在图3中画出图形，并求BF的长度．
【答案】（1）①见详解，②60°；（2）①见详解，②．
【分析】（1）如图①先判断出，即可得出结论；
②求出，即可得出结论；
（2）①先判断出，得出，即可得出结论；
②如图，先求出，进而判断出，得出，进而判断出，即可得出结论．
【详解】解：（1）①和均为等边三角形，
，，．
．
．
，．
②如图1，设交于点．
，，
．
即．

（2）①∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，
，，，
，．
．
．
．
．
②当点落在线段上时，
如图，则，．
过点作于点，
则，
．
，．
．
．
又，
．
．
又，
．
．
．
．

26 .如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴相交于点．
(1)请直接写出点，，的坐标；
(2)点在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值．
(3)点是抛物线上的动点，作//交轴于点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，；
(2)，面积的最大值；
(3)存在，或或．
【分析】（1）令得到，求出x即可求得点A和点B的坐标，令，则即可求点C的坐标；
（2）过P作轴交BC于Q，先求出直线BC的解析式，根据三角形的面积，当平行于直线BC直线与抛物线只有一个交点时，点P到BC的距离最大，此时，的面积最大，利用三角形面积公式求解；
（3）根据点是抛物线上的动点，作//交轴于点得到，设，当点F在x轴下方时，当点F在x轴的上方时，结合点，利用平行四边形的性质来列出方程求解．
【详解】（1）解：令，
则，
解得，，
∴，，
令，则，
∴；
（2）解：过P作轴交BC于Q，如下图．
设直线BC为，将、代入得
，
解得，
∴直线BC为，
根据三角形的面积，当平行于直线BC直线与抛物线只有一个交点时，点P到BC的距离最大，此时，的面积最大，
∵，
∴ ，，
∴，
∵，
∴时，PQ最大为，
而，
∴的面积最大为；
（3）解：存在．
∵点是抛物线上的动点，作//交轴于点，如下图．
∴，设．
当点F在x轴下方时，
∵，
即，
∴，
解得（舍去），，
∴．
当点F在x轴的上方时，令，
则 ，
解得，，
∴或．
综上所述，满足条件的点F的坐标为或或．
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