江苏省无锡市江阴市临港科创实验学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）(含解析)

2023-2024学年江苏省江阴市临港科创实验学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．2x+y＝3 B．2x3﹣x＝1 C．y+＝5 D．3x﹣x2＝6
2．（3分）一元二次方程x2+4x﹣2＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
3．（3分）一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（　　）
A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（ x﹣2）2＝5
4．（3分）某县2014年的GDP是250亿元，要使2016年的GDP达到360亿元，求这两年该县GDP年平均增长率．设年平均增长率为x（　　）
A．250（1+2x）2＝360 B．250（1+2x）＝360
C．250（1+x）（1+2x）＝360 D．250（1+x）2＝360
5．（3分）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（　　）
A．3，4，6，7 B．5，6，7，8
C．2，4，6，8 D．8，10，12，15
6．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，（　　）
A．
B．
C．
D．＝
7．（3分）如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，不能使△ADE∽△ACB的是（　　）
A．∠1＝∠C B．∠2＝∠B C． D．
8．（3分）下列语句中不正确的有（　　）
①长度相等的弧是等弧
②垂直于弦的直径平分弦
③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴
④平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧
⑤半圆是圆中最长的弧
⑥不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
9．（3分）在Rt△ABC中，∠B为直角，∠A的平分线为AD交BC于点D，且BD：DE：EC＝1：2：3，则sin∠BAC＝（　　）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，F是BC边上一点，以AF为斜边作等腰直角三角形AEF．有下列四个结论：①∠CAF＝∠DAE；②FC＝；③当∠AEC＝135°时，E为△AEC的外心，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等．其中正确的结论为（　　）
A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题（本大题共8小题，每空3分，满分24分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题
11．（3分）cos60°＝　 　．
12．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝3　 　．
13．（3分）请构造一个一元二次方程，使它的一个根为2，另一根比1小，则你构造的一元二次方程是　 　 　．
14．（3分）顶角为120°的等腰三角形腰长为4cm，则它的外接圆的直径　 　cm．
15．（3分）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯长一尺，现有圆形木材，埋在墙壁里，用锯子将它锯下来，深度CD为1寸（10寸），问圆材直径几寸？则该问题中圆的直径为 　 　寸．
16．（3分）已知s满足2s2﹣3s﹣1＝0，t满足2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，则s+t＝　 　．
17．（3分）在半径为2的⊙O中，弦AB的长度2，点C为⊙O上异于A、B两点的一个动点　 　°．
18．（3分）如图，半圆中AC为直径，AC＝20，D在半圆上，，则CD＝　 　．
三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过
19．（8分）解方程：
（1）（x﹣2）2＝4；
（2）x2﹣4x﹣1＝0．
20．（8分）计算：
（1）2cos30° sin60°﹣tan45° sin30°；
（2）．
21．（10分）求值：
（1）已知，求的值；
（2）已知，a+b+c＝22，求3a﹣b+2c的值．
22．（10分）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，且x1＝3x2，求m的值．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）（6，2）．
（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 　 　；
（2）这个圆的半径为 　 　；
（3）直接判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．点D（5，﹣2）在⊙M 　 　（填内、外、上）；
（4）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，分别画出图1和图2中∠P的平分线．
24．（10分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．
（1）证明：△ABD∽△CBA；
（2）若，BC＝6，求BD的长．
25．（10分）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，且sin∠ABC＝，BO＝2OC．
（1）求⊙O的半径；
（2）求∠BAC的正切值．
26．（10分）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分），且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．
（1）AB＝　 　米（用含x的代数式表示）；
（2）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；
（3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能
27．（10分）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，识别的最远水平距离OB＝150cm．
（1）身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处
（2）身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．
（精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
28．（10分）如图，在矩形ABCD中，E为CD边上一点，使点C恰好落在AD边上点F处，作∠ABF的角平分线交EF的延长线于点M
（1）求证：MF＝NF；
（2）若AB＝6，BC＝10时，求MF的长；
（3）若时，求的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．2x+y＝3 B．2x3﹣x＝1 C．y+＝5 D．3x﹣x2＝6
【解答】解：A．该方程是二元一次方程；
B．该方程是一元三次方程；
C．该方程是二元一次方程分式方程；
D．该方程是一元二次方程．
故选：D．
2．（3分）一元二次方程x2+4x﹣2＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【解答】解：Δ＝42﹣8×1×（﹣2）＝24＞5，
∴有两个不相等的实数根，
故选：A．
3．（3分）一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（　　）
A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（ x﹣2）2＝5
【解答】解：x2﹣4x﹣3＝0，
x2﹣6x＝1，
x2﹣7x+4＝1+5，
（x﹣2）2＝6，
故选：D．
4．（3分）某县2014年的GDP是250亿元，要使2016年的GDP达到360亿元，求这两年该县GDP年平均增长率．设年平均增长率为x（　　）
A．250（1+2x）2＝360 B．250（1+2x）＝360
C．250（1+x）（1+2x）＝360 D．250（1+x）2＝360
【解答】解：2015年的GDP为250×（1+x），
2014年的GDP为250×（1+x）（8+x）＝250×（1+x）2，
即所列的方程为250（8+x）2＝360，
故选：D．
5．（3分）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（　　）
A．3，4，6，7 B．5，6，7，8
C．2，4，6，8 D．8，10，12，15
【解答】解：A、∵3×7≠6×6；
B、∵5×4≠6×7；
C、∵2×8≠4×3；
D、∵15×8＝10×12；
故选：D．
6．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，（　　）
A．
B．
C．
D．＝
【解答】解：∵DE∥B ，
∴△ADE∽△ABC，
∵相似比为，
∴，
故A、B错误；
∵相似三角形的周长之比等于相似比，
∴ 的周长5，
故C正确；
∵相似三角形的面积之比等于相似比的平方，
∴ ，
故D错误．
故选：C．
7．（3分）如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，不能使△ADE∽△ACB的是（　　）
A．∠1＝∠C B．∠2＝∠B C． D．
【解答】解：A、∵∠1＝∠C，
∴△ADE∽△ACB，
故A选项不符合题意；
B、∵∠2＝∠B，
∴△ADE∽△ACB，
故B选项不符合题意；
C、∵，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
故C选项不符合题意；
D、∵∠A＝∠A，，
∴不能判定△ADE∽△ACB，
故D选项符合题意；
故选：D．
8．（3分）下列语句中不正确的有（　　）
①长度相等的弧是等弧
②垂直于弦的直径平分弦
③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴
④平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧
⑤半圆是圆中最长的弧
⑥不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【解答】解：①能够互相重合的弧是等弧，故长度相等的弧是等弧不正确；
②垂直于弦的直径平分弦，本小题说法正确；
③圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；
④平分弦（不是直径）的直径也必平分弦所对的两条弧，故本小题说法不正确；
⑤半圆不是圆中最长的弧，故本小题说法不正确；
⑥不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，本小题说法正确；
故选：B．
9．（3分）在Rt△ABC中，∠B为直角，∠A的平分线为AD交BC于点D，且BD：DE：EC＝1：2：3，则sin∠BAC＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图：过点D作DF⊥AC，垂足为F，
∴∠DFC＝90°，
∴∠C+∠FDC＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠C+∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠FDC，
∵BD：DE：EC＝1：2：5，
∴设BD＝a，则DE＝2a，
∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，
∴BD＝DF＝a，
在Rt△DFC中，CD＝DE+CE＝5a，
∴CF＝＝＝2a，
∴sin∠FDC＝＝＝，
∴sin∠BAC＝sin∠FDC＝，
故选：A．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，F是BC边上一点，以AF为斜边作等腰直角三角形AEF．有下列四个结论：①∠CAF＝∠DAE；②FC＝；③当∠AEC＝135°时，E为△AEC的外心，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等．其中正确的结论为（　　）
A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴∠EAF＝∠DAC＝45°，
∴∠EAF﹣∠CAE＝∠DAC﹣∠CAE，
∴∠CAF＝∠DAE，故①正确；
∵△DEF，△ADC是等腰直角三角形，
∴AC＝AD，
∴＝＝，
∵∠CAF＝∠DAE，
∴△CAF∽△DAE，
∴＝＝，
∴FC＝DE；
依据外心的定义，三角形的外心就是三角形三边垂直平分线的交点，
故③错误；
如图，连接BD交AC于点O，
∵∠ADE＝∠CDE＝45°，
当点F与点B重合时，点E与点O重合，点E与点D重合，
∴点E的运动轨迹为线段OD，点F的运动轨迹是线段BC，
∵BC＝CD＝OD，
∴vF＝vE，
∴点F与点E的运动速度不相同，故④错误．
综上所述：正确的结论是①②，共2个．
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每空3分，满分24分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题
11．（3分）cos60°＝　　．
【解答】解：cos60°＝．
故答案为：．
12．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝3　　．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，得
AB为斜边．
由tanA＝＝3，得
BC＝3AC．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，得
AB＝＝AC．
cosB＝＝＝，
故答案为：．
13．（3分）请构造一个一元二次方程，使它的一个根为2，另一根比1小，则你构造的一元二次方程是　 　x（x﹣2）＝0（答案不唯一）　．
【解答】解：∵一元二次方程的一个根为2，另一根比1小，
∴当另一根为5时，该一元二次方程为x（x﹣2）＝0．
故答案为：x（x﹣8）＝0（答案不唯一）．
14．（3分）顶角为120°的等腰三角形腰长为4cm，则它的外接圆的直径　8　cm．
【解答】解：如图；△ABC中，AC＝BC＝4cm；
易知∠OCA＝∠ACB＝60°；
又∵OA＝OC，
∴△OAC是等边三角形；
∴OA＝OC＝AC＝4cm；
故等腰三角形的外接圆直径是8cm．
15．（3分）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯长一尺，现有圆形木材，埋在墙壁里，用锯子将它锯下来，深度CD为1寸（10寸），问圆材直径几寸？则该问题中圆的直径为 　26　寸．
【解答】解：设圆材的圆心为O，延长CD，连接OA
由题意知：CE过点O，且OC⊥AB，
则AD＝BD＝AB＝8，
设圆形木材半径为r寸，
则OD＝（r﹣1）寸，OA＝r寸，
∵OA2＝OD8+AD2，
∴r2＝（r﹣7）2+54，
解得：r＝13，
即⊙O的半径为13寸，
∴⊙O的直径为26寸，
故答案为：26．
16．（3分）已知s满足2s2﹣3s﹣1＝0，t满足2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，则s+t＝　　．
【解答】解：∵实数s、t满足2s2﹣2s﹣1＝0，8t2﹣3t﹣4＝0，且s≠t，
∴实数s、t是关于x的方程2x4﹣3x﹣1＝3的两个不相等的实数根，
∴s+t＝．
故答案为：．
17．（3分）在半径为2的⊙O中，弦AB的长度2，点C为⊙O上异于A、B两点的一个动点　30或150　°．
【解答】解：如图：
由题意得：AB＝OA＝OB＝2，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
分两种情况：
当点C在优弧上时∠AOB＝30°；
当点C在劣弧上时，
∵四边形ACBC′是⊙O的内接四边形，
∴∠AC′B+∠ACB＝180°，
∴∠AC′B＝180°﹣∠ACB＝150°；
综上所述：∠BCA＝30°或150°，
故答案为：30或150．
18．（3分）如图，半圆中AC为直径，AC＝20，D在半圆上，，则CD＝　2或　．
【解答】解：由于D在半圆上，，
如图6，当点D是，连接OD交BC于点E，
在Rt△ABC中，AB＝16，
∴BC＝＝12，
∴CE＝BE＝BC＝6，
Rt△COE中，OC＝，EC＝6，
∴OE＝＝8，
在Rt△CDE中，CE＝5，
∴CD＝＝4；
如图2，当点D在，取的中点F、BF，过点BF分别作BM⊥CD，垂足分别为M、N，
∵＝＝，
∴∠FBC＝∠BCD，DB＝BF＝FC，
∴BF∥CD，
∴四边形CDBF是等腰梯形，
∴DM＝CN，MN＝BF＝2，
∵∠BAC＝∠FCN，∠ABC＝∠FNC＝90°，
∴△ABC∽△CNF，
∴＝，即＝，
解得CN＝，
∴CD＝5CN+MN＝，
综上所述CD＝2或CD＝．
故答案为：2或．
三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过
19．（8分）解方程：
（1）（x﹣2）2＝4；
（2）x2﹣4x﹣1＝0．
【解答】解：（1）（x﹣2）2＝2，
x﹣2＝±2，
∴x8＝4，x2＝2；
（2）x2﹣4x﹣8＝0，
x2﹣7x＝1，
x2﹣7x+4＝1+2，
（x﹣2）2＝3，
x﹣2＝，
∴，．
20．（8分）计算：
（1）2cos30° sin60°﹣tan45° sin30°；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝2××﹣3×
＝﹣
＝1；
（2）原式＝+
＝+
＝+|
＝（3+
＝2+7+1﹣
＝+4．
21．（10分）求值：
（1）已知，求的值；
（2）已知，a+b+c＝22，求3a﹣b+2c的值．
【解答】解：（1）设a＝4k，b＝3k，
则＝＝＝﹣；
（2）设＝＝＝k，
则a＝2k，b＝8k，
∵a+b+c＝22，
∴2k+4k+3k＝22，
解得：k＝2，
∴a＝4，b＝8，
∴3a﹣b+2c＝6×4﹣8+5×10＝24．
22．（10分）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，且x1＝3x2，求m的值．
【解答】（1）证明：根据题意得：
Δ＝（﹣2m）2﹣3（m2﹣4）
＝3m2﹣4m7+16
＝16＞0，
∴此方程有两个不等的实数根，
（2）解：方程的两个根分别为x1，x7，其中x1＞x2，若x4＝3x2，
由（1）知，Δ＝16，
∴x＝＝m±3，
∴x1＝m+2，x2＝m﹣2，
m+2＝8（m﹣2），
解得：m＝4，
即m的值为8．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）（6，2）．
（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 　（2，0）　；
（2）这个圆的半径为 　2　；
（3）直接判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．点D（5，﹣2）在⊙M 　内　（填内、外、上）；
（4）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，分别画出图1和图2中∠P的平分线．
【解答】解：（1）∵A（0，4），5），
∴AB的垂直平分线所在直线为x＝2，
∴圆心M在直线x＝2上，
设M（4，m），
∴MA＝MC，
∴4+（m﹣4）3＝16+（m﹣2）2，
解得m＝5，
∴M（2，0），
故答案为：（3，0）；
（2）∵M（2，4），
∴MA＝2，
故答案为：2；
（3）∵D（5，﹣4），0），
∴MD＝＜2，
∴点D（5，﹣2）在⊙M内，
故答案为：内；
（4）图8，连接AP，
∵AB＝AC，
∴＝，
∴∠APB＝∠ACP，
∴PA平分∠BPC；
图2，连接AO与弧，连接PD，
∵AB＝AC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴∠BPD＝∠CPD，
∴PD平分∠BPC．
24．（10分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．
（1）证明：△ABD∽△CBA；
（2）若，BC＝6，求BD的长．
【解答】（1）证明：∵AD是斜边BC上的高，
∴AD⊥BC于点D，
∴∠BDA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BDA＝∠BAC，
∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBA．
（2）解：∵△ABD∽△CBA，
∴＝，
∵AB＝2，BC＝5，
∴BD＝＝＝4，
∴BD的长是2．
25．（10分）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，且sin∠ABC＝，BO＝2OC．
（1）求⊙O的半径；
（2）求∠BAC的正切值．
【解答】解：（1）延长BC交⊙O于点D，连接AD，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
在Rt△ABD中，sin∠ABC＝＝，
∴设AD＝8a，则BD＝5a，
∵AB2＝BD2﹣AD2，
∴88＝25a2﹣16a2，
∴a＝（负值舍去），
∴BD＝．
∴⊙O的半径长是．
（2）过C作CH⊥AB于H，
∵BO＝2OC，
∴OC＝，
∴BC＝OB+OC＝10，
∵sin∠ABC＝＝，
∴CH＝8，
∴BH＝＝6，
∴AH＝AB﹣BH＝5﹣6＝2，
∴tan∠BAC＝＝＝4．
26．（10分）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分），且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．
（1）AB＝　（51﹣3x）　米（用含x的代数式表示）；
（2）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；
（3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能
【解答】解：（1）设栅栏BC长为x米，
∵栅栏的全长为49米，且中间共留两个1米的小门，
∴AB＝49+2﹣4x＝51﹣3x（米），
故答案为：（51﹣3x）；
（2）依题意，得：（51﹣8x）x＝210，
整理，得：x2﹣17x+70＝0，
解得：x8＝7，x2＝10．
当x＝4时，AB＝51﹣3x＝30＞25，舍去，
当x＝10时，AB＝51﹣3x＝21，
答：栅栏BC的长为10米；
（3）不可能，理由如下：
依题意，得：（51﹣7x）x＝240，
整理得：x2﹣17x+80＝0，
∵Δ＝（﹣17）2﹣4×1×80＝﹣31＜6，
∴方程没有实数根，
∴矩形围栏ABCD面积不可能达到240平方米．
27．（10分）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，识别的最远水平距离OB＝150cm．
（1）身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处
（2）身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．
（精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【解答】解：（1）过C作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，
在Rt△AEF中，tan∠EAF＝，
∴EF＝AF tan15°≈130×0.27＝35.1（cm），
∵AF＝AF，∠EAF＝∠DAF，
∴△ADF≌△AEF（ASA），
∴EF＝DF＝35.3cm，
∴CE＝160+35.1＝195.1（cm），
∴小杜最少需要下蹲208﹣195.8＝12.9厘米才能被识别；
（2）如图2，过B作OB的垂线分别交仰角．N．交水平线于P，
在Rt△APM中，tan∠MAP＝，
∴MP＝AP tan20°≈150×2.36＝54.0（cm），
∵AP＝AP，∠MAP＝∠NAP，
∴△AMP≌△ANP（ASA），
∴PN＝MP＝54.0cm，
∴BN＝160﹣54.8＝106.0（cm），
∴小若踮起脚尖后头顶的高度为120+3＝123（cm），
∴小若头顶超出点N的高度为：123﹣106.5＝17.0（cm）＞15cm，
∴踮起脚尖小若能被识别．
28．（10分）如图，在矩形ABCD中，E为CD边上一点，使点C恰好落在AD边上点F处，作∠ABF的角平分线交EF的延长线于点M
（1）求证：MF＝NF；
（2）若AB＝6，BC＝10时，求MF的长；
（3）若时，求的值．
【解答】（1）证明：∵BM平分∠ABF，
∴∠ABN＝∠FBM，
在矩形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，
由翻折可知∠C＝∠EFB＝90°，
∵点M在EF的延长线上，
∠MFB＝∠EFB＝90°，
∴∠A＝∠MFB＝90°，
∴∠BMF+∠FBM＝∠ANB+∠ABN，
∴∠BMF＝∠ANB，
又∠ANB＝∠FNM，
∴∠BMF＝∠FNM，
∴FN＝FM；
（2）解：∵BC＝10，
由翻折可知，
BF＝BC＝10，
在Rt△ABF中，AB＝6，
∴，
设MF＝FN＝x，
则AN＝8﹣x，
由（1）可知∠A＝∠MFB＝90°，∠ABN＝∠FBM，
∴△ABN∽△FBM，
∴，
∴，
解得：x＝5，
即MF＝8；
（3）解：如图，过点N作NH⊥BF，
设DF＝m，AN＝n，则，
∴，
∵BN平分∠ABF，
∴NA＝NH＝n，
∵∠HFN＝∠AFB，∠FHN＝∠FAB＝90°，
∴△FNH∽△FBA，
∴，
即，
故AB＝3n，，
又∵FB＝FH+BH＝FH+AB，即，
∴，
∴．