第二十一章 一元二次方程
21．1 一元二次方程
1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题．
2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及有关概念．
3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念．
重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索．
难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．
一、自学指导．(10分钟)
问题1：
如图，有一块矩形铁皮，长100 c ( http: / / www.21cnjy.com )m，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
分析：设切去的正方形的边长为x cm ( http: / / www.21cnjy.com )，则盒底的长为__(100－2x)cm__，宽为__(50－2x)cm__．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__，化简整理，得__x2－75x＋350＝0__．①
问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
分析：全部比赛的场数为__4×7＝28__．
设应邀请x个队参赛，每个队要与其他__ ( http: / / www.21cnjy.com )(x－1)__个队各赛1场，所以全部比赛共__场．列方程__＝28__，化简整理，得__x2－x－56＝0__．②
探究：
(1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1个__．
(2)它们最高次数分别是几次？__2次__．
归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__的方程．
1．一元二次方程的定义
等号两边都是__整式__ ，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
这种形式叫做一元二次方程的一 ( http: / / www.21cnjy.com )般形式．其中__ax2__是二次项，__a__是二次项系数，__bx__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项．
点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)
1．判断下列方程，哪些是一元二次方程？
(1)x3－2x2＋5＝0； (2)x2＝1；
(3)5x2－2x－＝x2－2x＋；
(4)2(x＋1)2＝3(x＋1)；
(5)x2－2x＝x2＋1; (6)ax2＋bx＋c＝0.
解：(2)(3)(4)．
点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程．
2．将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10.移项，合并同类项，得3x2－8x－10＝0.其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10.
点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)
1．求证：关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，无论m取何值，该方程都是一元二次方程．
证明：m2－8m＋17＝(m－4)2＋1，
∵(m－4)2≥0，
∴(m－4)2＋1>0，即(m－4)2＋1≠0.
∴无论m取何值，该方程都是一元二次方程．
点拨精讲：要证明无论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2－8m＋17≠0即可．
2．下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的根？
－4，－ 3，－2，－1，0，1，2，3，4.
解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的两根．
点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)
1．判断下列方程是否为一元二次方程．
(1)1－x2＝0; (2)2(x2－1)＝3y；
(3)2x2－3x－1＝0; (4)－＝0；
(5)(x＋3)2＝(x－3)2; (6)9x2＝5－4x.
解：(1)是；(2)不是；(3)是；
(4)不是；(5)不是；(6)是．
2．若x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，求a的值．
解：∵x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，
∴4a＋8－5＝0，
解得a＝－.
3．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.
解：(1)4x2＝25，4x2－25＝0；(2)x(x－2)＝100，x2－2x－100＝0.
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，特别强调a≠0.
3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．21.1一元二次方程
【学习目标】
1.一元二次方程的定义、各项系数的辨别，根的作用．根的作用的理解．
2.通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念
【重点、难点】
重点：一元二次方程的概念和它的一般形式。
难点：对一元二次方程的一般形式的正确理解及其各项系数的确定
【学习过程】
一、知识回顾
1．什么是整式方程？
2.什么是—元一次方程？
3.指出下列方程哪些是一元一次方程？
(1) 3x十2＝5x—3
(2) x2＝4
(3) (x十3)(3x 4)＝(x十2)2；
(4) (x—1)(x—2)＝x2十8；
二、探究新知
（一）建立方程
问题（1） 如图，有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c㎡，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为________________,宽为_____________.
得方程
_____________________________
整理得
_____________________________ ①
问题（2） 要组织一次排球邀请赛，参赛 ( http: / / www.21cnjy.com )的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
分析：全部比赛的场数为___________
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他_________个队各赛1场，所以全部比赛共_________________场。列方程
____________________________
化简整理得 ____________________________ ②
(二)获得定义
观察下列各式：
（1）. （2）. （3）. （4）.
问题一：题目中含有 个未知数？
问题二：按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是 次？
类比一元一次方程的定义，那么上面的方程叫做
一元二次方程的定义：方程的两边都是____ ( http: / / www.21cnjy.com )_____，只含有_______未知数（一元），并且未知数的最高次数是_____（二次）的方程叫一元二次方程.
一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0（a≠0）．
其中ax2是____________，_____是二次项系数；bx是__________, _____是一次项系数；_____是常数项
注意：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号
二次项系数是一个重要条件，不能漏掉
强调：一元二次方程的一般形式中“＝”的左边 ( http: / / www.21cnjy.com )最多三项、其中一次项、常数项可以不出现、但二次项必须存在、而且左边通常按x的降幂排列：特别注意的是“＝”的右边必须整理成0．
一元二次方程的根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根
三、新知应用
例1.将方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数、常数项．
巩固练习：
把下列方程先化成二元二次方程的一般形式,:说出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项
(1)6x -2＝3-7x；
(2)3x(x-1)＝2(x十2)—4；
(3)
四、课堂小结
1.通过本节课的学习，你有什么收获？
2.你还有什么疑问？
五、当堂清
1.一元二次方程的一般形式是_________，其中_____是二次项,____是一次项，_______是常数项.
2. 把一元二次方程化成二次项系数大于零的一般式是 ，其中二次项系数是 ，一次项的系数是 ，常数项是
3.一元二次方程的一个根是3，则 ；；
4.方程：① ② ③ ④中一元二次方程是 （ ）
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和③
5.方程mx2+5x+n=0一定是( ).
A.一元二次方程 B.一元一次方程
C.整式方程 D.关于x的一元二次方程
6.关于x的方程(m+1)x2+2mx－3＝0是一元二次方程，则m的取值范围是( )
A.任意实数 B. m≠－1 C. m＞1 D. m＞0
7.把下列方程化成一般形式，且指出其二次项，一次项和常数项
(1)2x(x-5)=3-x (2) (2x-1)(x+5)=6x
参考答案： 1. ax 2+ bx +c 2. ，； 3.
4. C 5.C 6. B
7. (1) 2X2-4X-3=0 二次项：2X2 一次项：-4x 常数项：-3
(2) 2x 2+3x-5=0 二次项：2X2 一次项：3x 常数项：-5
六、学习反思
x第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
1.了解一元二次方程的概念.应用一元二次方程概念解决一些简单题目.
2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)及其派生的有关概念.
自学指导 阅读教材第1至4页，并完成预习内容.
问题1 如图，有一块长方形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为100-2x，宽为50-2x.得方程(100-2x)·(50-2x)=3 600，
整理得4x2-300x+1 400=0.化简，得x2-75x+350=0.①
问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
分析：全部比赛的场数为28.
设应邀请x个队参赛，每个队要与其他(x-1)个队各赛1场，所以全部比赛共_____场.列方程_____=28. 化简整理得x2-x-56=0.②
知识探究
(1)方程①②中未知数的个数各是多少？1个
(2)它们最高次数分别是几次？2次
方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是二次的整式方程.
自学反馈
1.一元二次方程的概念.
2.一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0)
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.
二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号.二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉.
活动1小组讨论
例1将方程(8-2x)(5-2x)=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
解：2x2-13x+11=0；2，-13， 11.
将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整.
例2判断下列方程是否为一元二次方程：
(1)1-ｘ2=0 ； (2)2(x2-1)=3y ； (3)2ｘ2-3x-1=0；
(4)=0 ； (5)(x+3)2=(x-3)2； (6)9x2=5-4x.
解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是.
(1)一元二次方程为整式方程；(2)类似(5)这样的方程要化简后才能判断.
例3下面哪些数是方程x2-x-6=0的根？-2，3.
-4， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3， 4.
直接将x值代入方程，检验方程两边是否相等.
活动2 跟踪训练
1.下列各未知数的值是方程3x2+x-2=0的解的是( B )
A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2
2.已知方程3x2-9x+m=0的一个根是1，则m的值是6.
3.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
(1)5x2-1=4x ； (2)4x2=81；
(3)4x(x+2)=25 ； (4)(3x-2)(x+1)=8x-3.
解： (1)5x2-4x-1=0； 5， -4， -1；
(2)4x2-81=0； 4， 0， -81；
(3)4x2+8x-25=0； 4， 8， -25；
(4)3x2-7x+1=0； 3， -7， 1.
4.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；
(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.
解：(1)4x2=25；4x2-25=0； (2)x(x-2)=100；x2-2x-100=0；
(3)x=(1-x)2；x2-3x+1=0.
5.求证：关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程.
证明：∵二次项系数a=m2-8m+1 ( http: / / www.21cnjy.com )7=m2-8m+16+1=(m-4)2+1>0.∴二次项系数恒不等于零.∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程.
第5题可用配方法说明二次项系数不为零.
活动3课堂小结
1.一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)特别强调a≠0.
3.使一元二次方程成立的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
