九 年级 数学 导学案
班级： 学习小组： 学生姓名：
课题 二次函数与一元二次方程（1） 课型 新授 任课教师 周次
年级 九年级 班级 章节 22.2 课时 第 1 课时
学习目标 知识与技能 掌握二次函数与一元二次方程之间的联系，理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系；经历探究二次函数与一元二次方程之间的关系，学习归纳与总结在合作交流中体会知识间的相互联系，感悟数形结合的思想。
过程与方法
情感态度与价值观
学习重点 二次函数与一元二次方程之间的联系
学习难点 对数形结合的思想的感悟
学法指导 自主探究，合作交流
课前 导案自学 一、知识链接：1.直线与轴交于点 ，与轴交于点 。2.一元二次方程，当Δ 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ 时，方程有两个相等的实数根；当Δ 时，方程没有实数根；二、自主探究认真阅读教材43——46页，解答下列问题从43页“问题”的解答中，你能得出什么结论呢？（研读44页“从上面可以看出”一段）2.解下列方程（1） （2） （3）3.观察二次函数的图象，写出它们与轴的交点坐标：函数图 象交点与轴交点坐标是 与轴交点坐标是 与轴交点坐标是 4、对比第2题各方程的解，你发现什么？（课本44页的“思考”的解答会给你启示）
课中 班级展示 一、知识梳理：一般地,从二次函数的图象可知：1、如果抛物线与轴有公共点，公共点的横坐标为，那么，函数的值是0，因此就是方程的 一个根。2、二次函数的图象与x轴的位置关系：（一元二次方程的实数根记为）二次函数与一元二次方程相交与轴有 个交点 0，方程有 的实数根相切与轴有 个交点；这个交点是 点 0，方程有 实数根相离与轴有 个交点 0，方程 实数根.二、填空1、抛物线与轴交与点 ，与轴交于点 2、一元二次方程的两个根分别是，那么二次函数与轴交点坐标是 ；关于的一元二次方的两个根为，则抛物线与轴交点坐标是 。3. 已知抛物线的顶点在x轴上，则＝____________．4．已知抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是_________
质疑探究 提出自己的疑问，运用集体智慧，共同解决
测评反馈 主观题 1. 二次函数，当＝1时，＝______；当＝0时，＝______．2．抛物线与轴的交点坐标是 ，与轴的交点坐标是 ；3.二次函数，当＝________时，＝3．4.如图（1），一元二次方程的解为 。5.如图（2），一元二次方程的解为 。
能力提升 已知二次函数的图象与轴有两个交点.（1）求的取值范围. （2）当这两个交点横坐标的平方和等于7时，求的值.
课后 课后反思 经验和教训
图（2）
图（1）22．2 二次函数与一元二次方程(2)
1．会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解．
2．熟练掌握函数与方程的综合应用．
3．能利用函数知识解决一些简单的实际问题．
重点：根据函数图象观察方程的解和不等式的解集．
难点：观察抛物线与直线相交后的函数值、自变量的变化情况．
一、自学指导．(10分钟)
自学：自学课本P46.理解二次函数与一 ( http: / / www.21cnjy.com )元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点情况，会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解，完成填空．
总结归纳：抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点坐标实质上是抛物线与直线y＝0组成的方程组的解；抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴的交点坐标实质上是的解；抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线的交点坐标实质上是的解．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)
1．若二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围为( D )
A．k＜4 B．k≤4
C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3
2．已知二次函数y＝x2－2ax＋(b＋ ( http: / / www.21cnjy.com )c)2，其中a，b，c是△ABC的边长，则此二次函数图象与x轴的交点情况是( A )
A．无交点 B．有一个交点
C．有两个交点 D．交点个数无法确定
3．若二次函数y＝x2＋mx＋m－3的图象与x轴交于A，B两点，则A，B两点的距离的最小值是( C )
A．2 B．0
C．2 D．无法确定
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)
探究1 将抛物线y＝x2＋2x－4向右平移2个单位，又向上平移3个单位，最后绕顶点旋转180°.(1)求变换后新抛物线对应的函数解析式；(2)若这个新抛物线的顶点坐标恰为x的整式方程x2－(4m＋n)x＋3m2－2n＝0的两根，求m，n的值．
解：(1)y＝x2＋2x－4＝(x＋1)2－5，
由题意可得平移旋转后的抛物线解析式为y＝－(x－1)2－2＝－x2＋2x－3；
(2)该抛物线顶点坐标为(1，－2)，设方程两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝4m＋n＝－1，x1·x2＝3m2－2n＝－2，即
解得或
点拨精讲：熟练运用二次函数平移规律解决问题，二次函数与一元二次方程的转化，以及运用一元二次方程根与系数的关系也是解决问题的常用之法．
探究2 如图是抛物线y＝ax2＋b ( http: / / www.21cnjy.com )x＋c的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为(3，0)，则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是x＞3或x＜－1．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)
1．若二次函数y＝ax2－x＋c的图象在x轴的下方，则a，c满足关系为( A )
A．a＜0且4ac＞1 B．a＜0且4ac＜1
C．a＜0且4ac≥1 D．a＜0且4ac≤1
2．若二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图，关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解x1＝3，则另一个解x2＝－1．
点拨精讲：可根据抛物线的对称性求解．
3．二次函数y＝x2－8x＋15的图象与x轴交于A，B两点，点C在该函数的图象上运动，若S△ABC＝2，求点C的坐标．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)第2课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与字母系数的关系
1.熟练掌握函数与方程的综合应用.
2.能利用函数知识解决一些简单的实际问题.
活动1 小组讨论
例1 将抛物线y=x2+2x-4向左平移2个单位，又向上平移3个单位，最后绕顶点旋转
180°.
①求变换后新抛物线对应的函数解析式；
②若这个新抛物线的顶点横纵坐标恰为x的整系数方程x2-(4m+n)x+3m2-2n=0的两根，求m、n的值.
解：①y=x2+2x-4=(x+1)2-5.由题意，可得平移旋转后抛物线的解析式为y=-x2-6x-11.
②该抛物线顶点坐标为(-3，-2).
设方程两根为x1,x2，则有x1+x2=4m+n=-5,x1·x2=3m2-2n=6.即解得或
熟练运用二次函数平移规律解决问题，二次函数与一元二次方程的转化，以及一元二次方程根与系数的关系也是解决问题的常用之法.
活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
1.二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1,当x=2时，对应的函数值y=-8.
x … -3 -2 0 1 3 5 …
y … 7 0 -8 -9 -5 7 …
2.若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图，则关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2=-1. ( http: / / www.21cnjy.com )
可根据抛物线的对称性.
3.函数y=(x-2)(3-x)取得最大值时，x=.
先化成顶点式，再确定其最大值.
4.二次函数y=x2-8x+15的图象与x轴交于A、B两点，点C在该函数图象上运动，若S△ABC=2，求点C的坐标.
解：C1(4+,2)或C2(4-，2).
活动1 小组讨论
例2 如图Rt△AOB的两直角边OA，OB的长分别是1和3，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°，至△DOC的位置. ( http: / / www.21cnjy.com )
①求过C、B、A三点的二次函数的解析式；
②若①中抛物线的顶点是M，判定△MDC的形状，并说明理由.
解:①由题可得A(1，0)、B(0，3)、C(-3，0).设抛物线解析式为y=a(x+3)(x-1)，将B(0，3)代入解得a=-1.∴y=-(x+3)(x-1).即y=-x2-2x+3；
②△MDC为等腰直角三角形.
理由：过点M作MN⊥y轴于点N,由①求得点M坐标为(-1,4)，∵OD=OA=1，∴MN=OD=1，ND=OC=3.∴Rt△MDN≌Rt△DCO.∴MD=CD，∠MDN=∠DCO ∵∠DCO+
∠CDO=90°，∴∠MDN+∠CDO=90°.即∠MDC=90°.∴△MDC是等腰直角三角形.
有旋转就要联想到全等形，就有相等的角和线段.
活动2 跟踪训练(小组内讨论解题思路)
如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，顶点为D. ( http: / / www.21cnjy.com )
(1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；
(2)连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m.
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形
②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式.
解：(1)A(-1，0)、B(3，0)、C(0，3)，对称轴为直线x=1;
(2)①PF=-m2+3m；当m=2时，四边形PEDF为平行四边形; ②S=-m2+m.
活动3 课堂小结
学生试述:这节课你学到了些什么？22.2 二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次方程之间的关系
1.理解二次函数与一元二次方程的关系.
2.会判断抛物线与x轴的交点个数.
3.掌握方程与函数间的转化.
4.会利用二次函数的图象求相应一元二次方程的近似解.
阅读教材第43至46页，自学“问题”、“思考”与“例题”，理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点情况，会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解.
自学反馈 学生独立完成后集体订正
①抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x，那么当x=x0时，函数的值是0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根.
②二次函数的图象与x轴的位置关系有三种:当b2-4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，抛物线与x轴有0个交点.
③观察图中的抛物线与x轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？
方程x2+x-2=0的根是x1=-2,x2=1； ( http: / / www.21cnjy.com )
方程x2-6x+9=0的根是x1=x2=3；
方程x2-x+1=0的根是无实数根.
④如图所示，你能直观看出哪些方程的根？ ( http: / / www.21cnjy.com )
解:-x2+2x+3=0的根为x1=-1,x2=3；-x2+2x+3=4的根为x1=x2=1；-x2+2x+3=3的根为x1=0,x2=2
此题充分体现二次函数与一元二次方程之间的关系，即函数y=-x2+2x+3中，y为某一确定值m(如4、3、0)时，相应x值是方程-x2+2x+3=m(m=4、3、0)的根.
⑤已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c-3=0的根是x1=x2=1. ( http: / / www.21cnjy.com )
此题解法较多，但是根据图象来解是最简单的方法.
活动1 小组讨论
例1 已知二次函数y=2x2-(4k+1)x+2k2-1的图象与x轴交于两点.求k的取值范围.
解:根据题意知b2-4ac>0，即(4k+1)2-4×2×(2k2-1) >0,解得k>-.
根据交点的个数来确定b2-4ac的正、负是解题关键，要熟悉它们之间的对应关系.
活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
1.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-1，0)、(3，0)，求抛物线的对称轴.
解：直线x=1
可根据二次函数的对称性来求.
2.画出函数y=x2-2x-3的图象，根据图象回答:
①方程x2-2x-3=0的解是什么？
②x取什么值时，函数值大于0;x取什么值时，函数值小于0？
解：①x1=-1,x2=3；②当x<-1或x>3时，函数值大于0；当-1x2-2x-3=0的解，即求二次函数y=x2-2x-3中函数值y=0时自变量x的值.
3.已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A(x1，0)、B(x2,0)(x1①求A、B两点的坐标；
②求抛物线的关系式及点C的坐标；
③在抛物线上是否存在点P，使△ABP的面积等于四边形ACMB面积的2倍？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
解：①A(-1，0)、B(3,0)；②y=x2-2x-3,C(0，-3)；③存在，P1(1+,9),P2(1-,9).
此题的切入点为根据一元二次方程根与系数的关系求出m的值，求出A、B的坐标后代入二次函数的解析式，再根据顶点坐标公式得到关于a、b、c的关系式，即得到一个三元方程组，解之即可求出待定系数.第③题可设出点P的坐标，从而得到△ABP面积的代数式，然后建立方程模型.
活动3 课堂小结
本节课所学知识:
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与二次方程之间的关系，当y为某一确定值m时，相应的自变量x的值就是方程ax2+bx+c=m的根.
2.若抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点为 (x0,0)，则x0是方程ax2+bx+c=0的根.
3.有下列对应关系:
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的位置关系 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况 b2-4ac的值
有两个公共点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0
只有一个公共点 有两个相等的实数根 b2-4ac=0
无公共点 无实数根 b2-4ac<022.2 用函数观点看一元二次方程
【学习目标】
1. 能根据图象判断二次函数的符号；
2.能根据图象判断一些特殊方程或不等式是否成立。
【学习过程】
一、知识链接：
( http: / / www.21cnjy.com )二、自主学习：
1.抛物线和抛物线与轴的交点坐标分别是
和 。
抛物线与轴的交点坐标分别是 .
2.
抛物线
开口向上，所以可以判断 。
对称轴是直线= ，由图象可知对称轴在轴的右侧，则>0，即 >0，已知 0，所以可以判定 0.
因为抛物线与轴交于正半轴，所以 0.
抛物线与轴有两个交点，所以 0；
三、知识梳理：
⑴的符号由 决定：
①开口向 0；②开口向 0.
⑵的符号由 决定：
① 在轴的左侧 ；
② 在轴的右侧 ；
③ 是轴 0.
⑶的符号由 决定：
①点（0， ）在轴正半轴 0；
②点（0，）在原点 0；
③点（0，）在轴负半轴 0.
⑷的符号由 决定：
①抛物线与轴有 交点 0 方程有 实数根；
②抛物线与轴有 交点 0 方程有 实数根；
③抛物线与轴有 交点 0 方程 实数根；
④特别的，当抛物线与x轴只有一个交点时，这个交点就是抛物线的 点.
四、典型例题：
抛物线如图所示：看图填空：
（1）_____0；（2） 0；（3） 0;
（4） 0 ;(5)______0；
（6）；（7）；
（8）；（9）
( http: / / www.21cnjy.com ) （5）不等式的解集为_____ ___；
2.根据图象填空：（1）_____0；（2） 0；（3） 0;
（4） 0 ;(5)_ _____0；
（6）；（7）；22．2 二次函数与一元二次方程(1)
INCLUDEPICTURE "../../../../My%20Documents/模板处理工具最新版v%201.02/学习目标.TIF" \* MERGEFORMAT
1．理解二次函数与一元二次方程的关系．
2．会判断抛物线与x轴的交点个数．
3．掌握方程与函数间的转化．
INCLUDEPICTURE "../../../../My%20Documents/模板处理工具最新版v%201.02/重点难点.TIF" \* MERGEFORMAT
重点：理解二次函数与一元二次方程的关系；会判断抛物线与x轴的交点个数．
难点：掌握方程与函数间的转化．
INCLUDEPICTURE "../../../../My%20Documents/模板处理工具最新版v%201.02/预习导学.TIF" \* MERGEFORMAT
一、自学指导．(10分钟)
自学：自学课本P43～4 ( http: / / www.21cnjy.com )5.自学“思考”与“例题”，理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点情况，会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解，完成填空．
总结归纳：抛物线y＝ax2＋bx＋c与 ( http: / / www.21cnjy.com )x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．
二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：当b2－4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；当b2－4ac<0时，抛物线与x轴有0个交点．这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的三种情况：有两个不等的实数根，有两个相等实数根，没有实数根．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)
1．观察图中的抛物线与x轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？
方程x2＋x－2＝0的根是：x1＝－2，x2＝1；
方程x2－6x＋9＝0的根是：x1＝x2＝3；
方程x2－x＋1＝0的根是：无实根．
2．如图所示，你能直观看出哪些方程的根？
点拨精讲：此题充分利用二次函数与一元二次方程之间的关系，即函数y＝－x2＋2x＋3中，y为某一确定值m(如4，3，0)时，相应x值是方程－x2＋2x＋3＝m(m＝4，3，0)的根．
eq \o(\s\up7(,第2题图) ,第3题图)
3．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根是x1＝x2＝1．
INCLUDEPICTURE "../../../../My%20Documents/模板处理工具最新版v%201.02/合作探究.TIF" \* MERGEFORMAT
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(6分钟)
探究 已知二次函数y＝2x2－(4k＋1)x＋2k2－1的图象与x轴交于两点．求k的取值范围．
解：根据题意知b2－4ac>0，
即[－(4k＋1)]2－4×2×(2k2－1)>0，
解得k>－.
点拨精讲：根据交点的个数来确定判别式的范围是解题关键，要熟悉它们之间的对应关系．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(12分钟)
1．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点是(－2，0)，(4，0)，抛物线的对称轴是x＝1．
点拨精讲：根据对称性来求．
2．画出函数y＝x2－2x＋3的图象，利用图象回答：
(1)方程x2－2x＋3＝0的解是什么？
(2)x取什么值时，函数值大于0
(3)x取什么值时，函数值小于0
点拨精讲：x2－2x＋3＝0的解，即求二次函数y＝x2－2x＋3中函数值y＝0时自变量x的值．
3．用函数的图象求下列方程的解．
(1)x2－3x＋1＝0； (2)x2－6x－9＝0；
(3)x2＋x－2＝0; (4)2－x－x2＝0.
点拨精讲：(3分钟)：本节课所学知识：1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程之间的关系，当y为某一确定值m时，相应的自变量x的值就是方程ax2＋bx＋c＝m的根．
2．若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点为(x0，0)，则x0是方程ax2＋bx＋c＝0的根．
3．有下列对应关系：
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的位置关系 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况 b2－4ac的值
有两个公共点 有两个不相等的实数根 b2－4ac>0
只有一个公共点 有两个相等的实数根 b2－4ac＝0
无公共点 无实数根 b2－4ac<0
INCLUDEPICTURE "../../../../My%20Documents/模板处理工具最新版v%201.02/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
