21.2.3 因式分解法
1.会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程.
2.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.
自学指导 阅读教材第12至14页，完成预习内容.
将下列各题因式分解：
am+bm+cm= (a+b+c)m；a2-b2=(a+b)(a-b)；a2±2ab+b2=(a±b)2.
解下列方程：
(1)2x2+x=0(用配方法)；
(2)3x2+6x=0(用公式法).
知识探究
仔细观察上面两个方程特征，除配方法或公式法，你能找到其他的解法吗？
(1)对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法.
(2)如果a·b=0，那么a=0或 ( http: / / www.21cnjy.com )b=0，这是因式分解法的根据.如：如果(x+1)(x-1)=0，那么x+1=0或x-1=0，即x=-1或x=1.
自学反馈
1.说出下列方程的根：
(1)x(x-8)=0； (2)(3x+1)(2x-5)=0.
解：(1)x1=0，x2=8； (2) x1=-，x2=.
2.用因式分解法解下列方程：
(1)x2-4x=0； (2)4x2-49=0；
(3)5x2-20x+20=0.
解：(1)x1=0，x2=4； (2)x1=，x2=-； (3)x1=x2=2.
活动1 小组讨论
例1 用因式分解法解下列方程：
(1)5x2-4x=0； (2)3x(2x+1)=4x+2；
(3)(x+5)2=3x+15.
解：(1) x1=0，x2=； (2)x1=，x2=-；
(3)x1=-5，x2=-2.
解这里的(2)(3)题时，注意整体划归的思想.
例2 用因式分解法解下列方程：
(1) 4x2-144=0 ； (2)(2x-1)2=(3-x)2；
(3)5x2-2x-=x2-2x+； (4)3x2-12x=-12.
解：(1)x1=6，x2=-6； (2)x1=，x2=-2；
(3)x1=，x2=-； (4)x1=x2=2.
注意本例中的方程可以试用多种方法.
活动2 跟踪训练
1.用因式分解法解下列方程：
(1)x2+x=0； (2)x2-2x=0；
(3)3x2-6x=-3； (4)4x2-121=0；
(5)(x-4)2=(5-2x)2.
解：(1)x1=0，x2=-1； (2)x1=0，x2=2；
(3)x1=x2=1； (4)x1=，x2=-；
(5)x1=3，x2=1.
2.把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径.
解：设小圆形场地的半径为x m. 则可列方程2πx2=π(x+5)2.
解得x1=5+5，x2=5-5(舍去).
答：小圆形场地的半径为(5+5)m.
活动3 课堂小结
1.因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
(1)将方程右边化为0；
(2)将方程左边分解成两个一次因式的乘积；
(3)令每个因式分别为0，得两个一元一次方程；
(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
2.归纳解一元二次方程不同方法的优缺点.
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.21.2.6一元二次方程根与系数的关系
年级：九年级 科目：数学 课型：新授
主备： 审核：
备课时间： 上课时间：
学习目标：
1．理解并掌握根与系数关系：，；
2．会用根的判别式及根与系数关系解题.
重点、难点
重点：理解并掌握根的判别式及根与系数关系.
难点：会用根的判别式及根与系数关系解题；
【课前预习】阅读教材, 完成课前预习
1、知识准备
( 1 ) 一元二次方程的一般式：
（2）一元二次方程的解法：
（3）一元二次方程的求根公式：
2、探究1：完成下列表格
方 程
2 5
x2+3x-10=0 -3
问题：你发现什么规律？
①用语言叙述你发现的规律；
②x2+px+q=0的两根,用式子表示你发现的规律。
探究2：完成下列表格
方 程
2x2-3x-2=0 2 -1
3x2-4x+1=0 1
问题：上面发现的结论在这里成立吗？
请完善规律；
①用语言叙述发现的规律；
② ax2+bx+c=0的两根,用式子表示你发现的规律。
3、利用求根公式推到根与系数的关系（韦达定理）
ax2+bx+c=0的两根= , =
= =
= =
= =
= =
练习1：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根和与两根积：
（1） （2） （3）
【课堂活动】
活动1：预习反馈
活动2：典型例题
例1：不解方程，求下列方程的两根和与两根积：
（1）x2-6x-15=0 （2）3x2+7x-9=0 （3）5x-1=4x2
例2：已知方程的一个根是 -3 ，求另一根及K的值。
例3:已知α,β是方程x2-3x-5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值
例4:已知关于x的方程3x2-5x-2=0,且关于y的方程的两根
是x方程的两根的平方,则关于y的方程是__________
活动3：随堂训练
（1）x2-3x=15 （2）5x2-1=4x2+x
（3）x2-3x+2=10 （4）4x2-144=0
（5）3x（x-1）=2（x-1） （6）（2x-1）2=（3-x）2
活动4：课堂小结
一元二次方程的根与系数的关系：
【课后巩固】
一、填空
1． 若方程(a≠0)的两根为，则= ，= __
2 ．方程 则= ，= __
3 ．若方程的一个根2，则它的另一个根为____ p=____
4 ．已知方程的一个根1，则它的另一根是____ m= ____
5 ．若0和-3是方程的两根，则p+q= ____
6 ．在解方程x2+px+q=0时，甲同学看错了p，解得方程根为x=1与x=-3；乙同学看错了q，解得方程的根为x=4与x=-2，你认为方程中的p=——，q=——。
二、选择
1 ．两根均为负数的一元二次方程是 （）
A BC D
2．若方程的两根中只有一个为0，那么 （ ）
A p=q=0 B P=0,q≠0 C p≠0,q=0 D p≠0, q≠0）
三、不解方程，求下列方程的两根和与两根积：
（1）x2-5x-10=0 （2）2x2+7x+1=0
（3）3x2-1=2x+5 （5）x（x-1）=3x+7
（5）x2-3x+1=0 (6)3x2- 2x=221.2.5 解一元二次方程
年级：九年级 科目：数学 课型：新授
主备： 审核：
备课时间： 上课时间：
学习目标：
1、理解并掌握用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元一次方程的方法
2、选择合适的方法解一元二次方程
重点、难点
重点：用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元一次方程
难点：选择合适的方法解一元二次方程
【课前预习】
一、梳理知识
1、解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次
2、一元二次方程主要有四种解法，它们的理论根据和适用范围如下表：
方法名称 理论根据 适用方程的形式
直接开平方法 平方根的定义 或
配方法 完全平方公式 所有的一元二次方程
公式法 配方法 所有的一元二次方程
因式分解法 两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0 一边是0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积的一元二次方程
3、一般考虑选择方法的顺序是：
直接开平方法、分解因式法、配方法或公式法
二、用适当的方法解下列方程：
1. 2.
3、X（x-2）+X-2=0 4.
5、5x2-2X- =x2-2X+ 6.
【课堂活动】
活动1：预习反馈
活动2：典型例题
1．用直接开方法解方程：
⑴ ⑵
⑶ ⑷
2．用因式分解法解方程：
⑴ ⑵
⑶ ⑷
3．用配方法解方程：
⑴ ⑵
⑶ ⑷
4．用公式法解方程：
⑴ ⑵
⑶ ⑷
⑸ ⑹
活动3：课堂小结
解一元一次方程的方法：
【课后巩固】
1．用直接开方法解方程：
⑴ ⑵
⑶ ⑷
2．用因式分解法解方程：
⑴ ⑵
⑶ ⑷
3．用配方法解方程：
⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸ ⑹
4．用公式法解方程：
⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸ ⑹21.2.2 公式法
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念.
2.会熟练应用公式法解一元二次方程.
自学指导 阅读教材第9至12页的部分，完成以下问题.
1.用配方法解下列方程：
(1)6x2-7x+1=0； (2)4x2-3x=52.
2.如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？
问题：已知ax2+bx+c=0(a≠0)试推导它的两个根x1=，x2=.
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去.
知识探究
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根，当b2-4ac＜0，方程没有实数根.
(2)x=叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.
(4)由求根公式可知，一元二次方程可能有两个不等的实数根，也可能有两个相等的实数根或没有实数根.
(5)一般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示它，即Δ=b=-4ac.
自学反馈
用公式法解下列方程：
(1)2x2-4x-1=0； (2)5x+2=3x2；
(3)(x-2)(3x-5)=0； (4)4x2-3x+1=0.
解：(1)x1=1+，x2=1-； (2)x1=2，x2=-；
(3)x1=2，x2=； (4)无解.
例1 在什么情况下，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？
解：Δ=b2-4ac，Δ>0时，有两个不相等的实数根；
Δ=0时，有两个相等实数根；Δ<0时，没有实数根.
例2 写出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0)的求根公式：x=________.
例3 方程x2-4x+4=0的根的情况是( B )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.有一个实数根 D.没有实数根
活动2 跟踪训练
1.利用判别式判定下列方程的根的情况：
(1)2x2-3x-=0； (2)16x2-24x+9=0；
(3)x2-4x+9=0； (4)3x2+10x=2x2+8x.
解：(1)有两个不相等的实数根； (2)有两个相等的实数根；
(3)无实数根； (4)有两个不相等的实数根.
2.用公式法解下列方程:
(1)x2+x-12=0； (2)x2-x-=0；
(3)x2+4x+8=2x+11； (4)x(x-4)=2-8x；
(5)x2+2x=0； (6)x2+2x+10=0.
解：(1)x1=3，x2=-4； (2)x1=，x2=；
(3)x1=1，x2=-3； (4)x1=-2+，x2=-2-；
(5)x1=0，x2=-2； (6)无解.
用公式法解一元二次方程时，一定要先写对a，b，c值，再判断Δ的正负.
活动3 课堂小结
1.求根公式的概念及其推导过程.
2.公式法的概念.
3.应用公式法解一元二次方程.
4.一元二次方程根的情况.
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.第2课时 21.2.1配方法（1）
学习目标
◇知道直接开平方法求一元二次方程的解的依据是数的开平方；
◇熟练并准确运用直接开平方法求解形如x2=p或(mx+n)2=p（p≥0）的一元二次方程；
◇体会化归、转化、换元、分类讨论等数学思想及运用类比学习的方法.
要点归纳
★解一元二次方程的基本思路是将次.将一元二次方程转化成两个一元一次方程.
★如果方程能化成x2=p或(mx+n)2=p（p≥0）的形式，那么可以利用平方根的意义直接开平方得或.
学情诊断
一、选择题:本大题共5小题，每小题6分，共30分。
1．（2010云南楚雄）一元二次方程x2－4＝0的解是（ ）
A．x1＝2，x2＝－2 B．x＝－2 C．x＝2 D． x1＝2，x2＝0
2．（2010 贵州贵阳）方程x+1＝2的解是（ ）．
A.x1＝1 B.x1＝1，x1＝-1 C.x1＝-2 D.x1＝2，x2＝－2
3.下列方程中，不能利用平方根的意义进行求解的是（ ）.
A． B．
C． D．
4．（2013·鞍山）已知b＜0，关于x的一元二次方程（x－1）2＝b的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．有两个实数根
5．（2011台湾全区）关于方程式的两根，下列判断何者正确？
A．一根小于1，另一根大于3 B．一根小于－2，另一根大于2
C．两根都小于0 D．两根都大于2
二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分。
6.一元二次方程可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是，则另一个一次方程是 ．
7．（2010四川眉山）一元二次方程的解为___________________．
8．（2010辽宁本溪）一元二次方程的解是 .
9．（2010 福建德化）已知关于的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程： ．
10．（2010台湾改编） 若a为方程式(x)2=100的一根，b为方程式(y4)2=17的一根，且a、b都是正数，则ab= .
三、解答题：本大题共3小题，共40分。
11.（13分）解方程：
（1） （2） （3） （4）
12. （13分）自由下落物体的高度（单位：m）与下落时间（单位：s）的关系是.有一个物体从40 m高的建筑物上自由落下，到达地面需要多长时间？
13. （14分）一个长方体蓄水池，池深2m，底面是边长为5m的正方形，现在要使这个蓄水池的蓄水量扩大为原来的4倍，如果池深不变，那么底面的边长应增加多少？
挑战自我
14. （20分）如图1，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=12cm，点P从点A出发沿AC边向点C移动. 同时点Q从点B出发沿BC边向点C移动，速度都是2cm/s. 出发多长时间时ΔPQC的面积等于△ABC面积的？
第2课时 参考答案
1.A.解析：将原方程变形得x2＝4，根据平方根的意义可得x=±2，故选A.
2.B.解析：将原方程变形得x＝1,根据平方根的意义可得x =±1，故选B.
3.D.解析：选项A是完全平方式，变形 ( http: / / www.21cnjy.com )可得（x-3）2=0；选项B符合使用开平方法求解的形式；选项C可变形为（2x）2=1；选项D变形为（x+1）2=-1，其中-1<0，不能使用直接开平方法求解，故选D.
4.C.解析：原方程符合使用直接开 ( http: / / www.21cnjy.com )平方法求解的形式，由于b＜0，无法直接开平方法.根据等号右边是负数，而等式左边是非负数，故该方程没有实数根，选C.
5.A.解析：原方程可变形为，直接开平方得，
估计这个无理数可得一根小于1，另一根大于3，故选A.
6.
7..解析：变形原方程得x2=3，直接开平方得.
8.x=±2.解析：原方程可变形为x2=4，直接开平方得x=±2.
9.答案不唯一，如.解析：抓住“一元”“二次”“方程”三个要点，根据一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0，任意选择a和b，如a=1，b=0，然后将根x=1代入方程x2+c=0求得c=-1，整理方程可得.
10.6. 解析：求得方程(x)2=100的解为x=±10，因为a是正数，所以a=+10；求得方程(y4)2=17的解为y=4±，因为b是正数，所以b=4+.所以ab=6.
11.（1）；（2）;（3）;（4）
12.解：由题意得，变形得，直接开平方得.
因为时间是正数，故到达地面需要s.
13.解：设底面的边长应增加xm，由题意 ( http: / / www.21cnjy.com )得2(5+x)2=4×5×5×2.整理得(5+x)2=100,直接开平方得5+x=±10，即x=-5±10.因为边长应为正数，故x=5.
答：底面的变成应增加5m.
14.解：设出发ts时，ΔPQC的面积等于△ABC面积的，由题意得
变形得，直接开平方得6-t=±2，即 t=8或t=4.
当t=8时，点P和点Q移动至超过点C，不符合要求，故t=4.
答：出发4s时，ΔPQC的面积等于△ABC面积的.
A
C
B
P
Q
图1第6课时 21.2.3因式分解法
学习目标
◇了解用因式分解法解方程的依据是“两个实数的积等于0的充要条件，即这两个实数中必有等于0的”。
◇会用因式分解法解某些一元二次方程，体会“降次”的基本思路和化归的思想。
◇能根据一元二次方程的特征，选用适当的方法求解
要点归纳
★因式分解法解一元二次方程的步骤：
（1）将方程化为一般形式；
（2）将方程的左边分解成两个一次式的乘积的形式；
（3）使这两个一次式分别等于0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，得到的解便是原一元二次方程的解.
★因式分解的方法包括：提公因式法和公式法
★配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出 ( http: / / www.21cnjy.com )求根公式，公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.
★配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程。
学情诊断
一、选择题:本大题共5小题，每小题6分，共30分。
1.（2013河南省）方程的解是（ ）
A． B. C. D.
2.方程(x+1)2=x+1的正确解法是（ ）
A.化为x+1=1 B. （x+1）（x+1-1）=0
C.化为x2+3x+2=0 D. 化为x+1=0
3. (2012四川南充，5，3分) 方程x(x-2)+x-2=0的解是（ ）
A．２ B．－２,１ C．－１ D．２，－１
4.（2013福建福州）下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A．x2＋3＝0 B．x2＋2x＝0
C．(x＋1)2＝0 D．(x＋3)(x－1)＝0
5. 如果n(n≠0)是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（ ）．
A．-2 B．-1 C．2 D．1
二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分。
6. x2-5x因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．
7.(x-1)(x-2)=0可化为两个一次方程为 和 ，原方程的解是
8.（2013陕西）一元二次方程的根是 ．
9.（2012山东滨州）方程的根是 ．
10. 若（x+y）（x+y-1）=0，则x+y= .
三、解答题：本大题共3小题，共40分。
11.（13分）用因式分解法解下列方程．
（1）3y2-6y=0 （2）20y2-10=-5y2+6
12.（13分）一个数平方得2倍等于这个数的7倍，求这个数.
13.（14分）（2013山东临沂改编）对于实数a、b，定义运算“*”：a*b＝例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42－4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2－8x＋16＝x-4的两个根，求x1*x2的值.
挑战自我
14.（20分）我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．
（1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0
第6课时 参考答案
1.D.解析:由题可知或，解得.故选D.
2.B.解析：将原方程变形为(x+1)2-（x+1）=0，将方程左边提公因式得（x+1）（x+1-1）=0，故选B.
3.D.解析：将方程左边提公因式得(x-2)(x+1) =0，于是得x-2=0或x+1=0，解得x1=2或x2=-1，故选D.
4.C.解析：选项A，根据开平方的意义可知该方程无实数根；选项B，用因式分解法可得方程的两个不相等的实数根是0和-2；选项C，直接开平方得两个相等的实数根是-1；选项D，用因式分解的方法求得方程的两个不相等的实数根是-3和1.故选C.
5.D.解析：将n代入原方程得n2-mn+n=0，因式分解得n(n-m+1)=0，由于n≠0，因此n-m+1=0，解得m-n=1，故选D.
6.x(x-5)；(x-3)(2x-5).
7. x-1=0, x-2=0,1或2.
8.0或3.
9.0或3．
10.0或1.解析：令x+y=a，则原方程为a(a-1)=0，于是得a=0或a-1=0，解得a=0或a=1，即x+y=0或x+y=1.
11.（1）y1=0，y2=2;(2) y1=，y2=-.
12.解：设这个数位x，则由题意得２ｘ２＝７ｘ
解这个方程得x1=0或x2=.
答：这个数是0或.
13.解：用因式分解法求出方 ( http: / / www.21cnjy.com )程x2－8x＋16＝x-4的两个根是4或5，可能是x1=4，x2=5，也可能是x1=5，x2=4，根据所给定义运算可知有两种情况.
（1）当x1=4，x2=5时，x1*x2=4×5-5 =-5.
（2）当x1=5，x2=4时，x1*x2=5 -5×4=5.
14.解：（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1）
∴（x-4）（x+1）=0
∴x-4=0或x+1=0
∴x1=4，x2=-1
（2）∵x2-7x+6=（x-6）（x-1）
∴（x-6）（x-1）=0
∴x-6=0或x-1=0
∴x1=6，x2=1
（3）∵x2+4x-5=（x+5）（x-1）
∴（x+5）（x-1）=0
∴x+5=0或x-1=0
∴x1=-5，x2=12015全国中考数学分类汇编：特殊平行四边形及梯形 (1)【预习】第六课时 一元二次方程的根与系数的关系
复习：
解下列方程，并填写表
( http: / / www.21cnjy.com )
探索：
1、根与系数关系：
（1）关于x的方程x2+px+q=0(p、q为常数，p2-4q≥0)的两根x1，x2与系数p， q之间有什么关系？
x1+x2=-p， x1x2=q.
（2）形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程，如果b2-4ac≥0，两根为x1，x2，利用上面的结论猜想x1，x2与各项系数a、b、c之间有何关系？能证明你的猜想吗？
可以先将方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，再利用上面的结论来研究，即：对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)
∵
∴
∴，
对于这个结论我们又应该如何证明呢？
思考：
你认为什么是根与系数的关系？
根与系数的关系：对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果方程有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=-， x1x2=.
运用根与系数的关系要注意些什么？
注意：△≥0；公式中x1+x2=-的负号与b的符号的区别；
尝试练习：
1.若x1，x2是方程2x2+2x-5=0的两个根，试求下列各式的值：
(1) x1+x2； (2) x1x2； （3）.
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2.若x1，x2是方程5x-1=4x2的两个根，试求下列各式的值：
(1) x1+x2； (2) x1x2；
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( http: / / www.21cnjy.com )21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法
1.理解解一元二次方程的“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题.
2.提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程.
3.通过可直接化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤.
自学指导 阅读教材第5至9页的部分，完成以下问题.
问题1 一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
解：略.
我们知道x2=25，根据平方根的意义，直接开平方得x=±5.
问题2 解下列方程：
(1)3x2-1=5； (2)4(x-1)2-9=0；
(3)4x2+16x+16=9.
解：(1)x=±； (2)x1=-，x2=； (3)x1=-，x2=-.
问题3填空：
(1)x2+6x+9=(x+3)2； (2)x2-x+___=(x-___)2；
(3)4x2+4x+1=(2x+1)2.
自学反馈
1.解下列方程：
(1)x2=8 ； (2)(2x-1)2=5 ； (3)x2+6x+9=2；
(4)4m2-9=0 ； (5)x2+4x+4=1； (6)3 (x-1)2-9=108.
2.用配方法解下列关于x的方程：
(1)2x2-4x-8=0 ； (2)x2-4x+2=0；
(3)x2-x-1=0； (4)2x2+2=5.
解：(1)x1=1+，x2=1-； (2)x1=2+，x2=2-；
(3)x1=+，x2=-； (4)x1=，x2=-.
解一元二次方程的实质是:把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为“降次转化思想”.
知识探究
1.如果方程能化成a(x+b)2=c的形式，那么可得x=____.
2.以上解法中，为什么在方程x2+6x=16两边加9？加其他数行吗？不行
3.什么叫配方法？能过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法
4.配方法的目的是什么？降次
5.配方法的关键是什么？配平
活动1 小组讨论
例1 用平方根的意义解下列方程：
(1)(3x+1)2=7； (2)y2+2y+1=24；
(3)9n2-24n+16=11.
解：(1)； (2)-1±2 ； (3).
运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根.
例2 用配方法解下列关于x的方程：
(1)x2-8x+1=0； (2)2x2+1=3x.
解：(1)x1=4+，x2=4-；(2)x1=1，x2=.
(1)用配方法解一元二次方程时，方程左边分别为二次项和一次项，常数项放右边，二次项系数不为1的，可以将方程各项除以二次项系数.
(2)配方时所加常数为一次项系数一半的平方.
(3)注意：配方时一定要在方程两边同加.
活动2 跟踪训练
1.若x2-4x+p=(x+q)2，那么p、q的值分别是(B)
A.p=4，q=2 B.p=4，q=-2 C.p=-4，q=2 D.p=-4，q=-2
2.填空：
(1)x2+10x+25=(x+5)2； (2)x2-12x+36=(x-6)2；
(3)x2+5x+____=(x+____)2； (4)x2-x+____=(x-____)2.
3.用直接开平方法解下列方程：
(1)3(x-1)2-6=0； (2)x2-4x+4=5； (3)9x2+6x+1=4； (4)36x2-1=0；
(5)4x2=81； (6)(x+5)2=25； (7)x2+2x+1=4.
解：(1)x1=1+，x2=1-； (2)x1=2+，x2=2-； (3)x1=-1，x2=；
(4)x1=，x2=-； (5)x1=，x2=-； (6)x1=0，x2=-10；
(7)x1=1，x2=-3.
4.用配方法解下列关于x的方程：
(1)x2-36x+70=0； (2)x2+2x-35=0； (3)2x2-4x-1=0； (4)x2-8x+7=0；
(5)x2+4x+1=0； (6)x2+6x+5=0； (7)2x2+6x-2=0； (8)9y2-18y-4=0；
(9)x2+3=2x.
解：(1)x1=18+，x2=18-； (2)x1=5，x2=-7； (3)x1=1+，x2=1-；
(4)x1=1，x2=7； (5)x1=-2+，x2=-2-； (6)x1=-1，x2=-5；
(7)x1=-+，x2=--；(8)y1=1+，y2=1-；(9)x1=x2=.
5.如果x2-4x+y2+6y++13=0，求(xy)z的值.
解：由已知方程得x2-4x+4+y2+6y+9+=0，即(x-2)2+(y+3)2+=0.∴x=2，y=-3，z=-2.
∴(xy)z=［2×(-3)］-2=.
类似第5题的，通常将等式一边变形为几个非负数的和，而另一边为零的形式.
活动3 课堂小结
1.应用直接开平方法解形如x2+2ax+a2=b(b≥0)，那么可得x+a=±达到降次转化的目的.
2.用配方法解一元二次方程的步骤.
3.用配方法解一元二次方程的注意事项.《公式法》学案
【学习目标】
1．会一元二次方程的求根公式的推导.
2．会用求根公式解一元二次方程.
【重点】一元二次方程的求根公式．
【难点】求根公式的条件：b-4ac0
【学习过程】
一、温故而知新
1、一元二次方程的一般形式是 ___________________.
2、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
3、用配方法解方程：x2―7x―18=0
二、探索新知
1、推导求根公式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
解：方程两边都作以a，得 ___________________.
移项，得： ________________________
配方，得：______________________
即：___________________
∵a≠0，所以4a2>0
当b2－4ac≥0时，得
_________________________________
∴x=_______________________
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
当b2－4ac＞0时，它的根是 x=_____________，一元二次方程有两个______的实数根_；
当b2－4ac=0时，它的根是 x=_____________，一元二次方程有两个______的实数根_；
当b2－4ac<0时，一元二次方程_______________
2、公式法：
利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
利用公式法求根的一般步骤：
（1）将方程化为_____________，确定_____________的值
（2）把a,b,c的值直接代入公式 ，求得方程的解x1, x2
3、例题讲析：
例1：利用求根公式解方程：x2―7x―18=0
解：这里a=1，b=―7，c=―18
∵b2－4ac=(―7)2―4×1×(―18)=121>0
∴x= 即：x1=9, x2 =―2
三、我的课堂我做主！利用求根公式解方程：
（1）6y2+13y+6=0 （2）2x2+7x=4
四、看我有多棒（1、2每题2分，3、4每题3分）
1.用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（ ）
（A）x1、2= （B）x1、2=
（C）x1、2= （D）x1、2=
2.方程x2+3x=14的解是（ ）
A.x= B.x= C.x= D.x=
3.利用求根公式解方程5x2+2x－1=0
4.你能找到适当的x的值使得多项式A=4x2+2x－1与B=3x2－2相等吗？
五、本节课收获：（1）求根公式：____________________ （b2－4ac≥0）
（2）利用求根公式解一元二次方程。宁县五中集体备课导学案
年 级 九年级 备课小组 初三数学备课小组 时 间 2012.96
中心发言人 史敏博 课 时 1 课型结构 新授课
授课标题 备课小组修改意见
导学目标 知识与能力 1.了解“配方法”解一元二次方程的步骤。 2.会用 “配方法”解数字系数的一元二次方程。 二次项系数为1的方程
过程与方法 培养学生的逻辑思维能力，体会转化的数学思想。
情感态度价值观 培养学生探索创新的科学精神，感受方程的魅力。
导学重点 总结用配方法解一元二次方程的步骤
导学难点 用配方法解数字系数的一元二次方程
导学过程 预习指导 用直接开平方法解下列方程 （1）2=4 (2) =6 (3) =02.说出完全平方公式，完全平方式的结构特点是什么？ ==
问题目标 1.会对二次项系数为1的二次方程配方2.能将一个二次三项式配成完全平方式3.会用配方法解一元二次方程
备课人： 备课组长： 包级（组）领导：
导学过程 自学达标 1.利用完全平方公式填空（1） （2）（3）2.解方程（参照前两个解）（1） （2） （3） 配方应在多考擦几个方程在出一个题目
质疑探究 配方法解方程式先将左面配成完全平方式（二次项系数为1时配方的方法是给两边同时加上一次项系数一半的平方。如果二次项系数不为1是先要化为1）在用直接开平方法解方程。 例题解析。 让学生自己总结配方的方法及配方法解方程的步骤
达标检测 用配方法解下列方程（1）（2）（3）（4）（5）（6） 设置应用题：有一根20M长的绳，怎样用它围成一个面积为24平方米的长方形
作业布置 必做题：课本42页第2、3题选做题：课本42页第9、11题
附件1：律师事务所反盗版维权声明
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附件2：独家资源交换签约学校名录（放大查看）
学校名录参见：http://21世纪教育网/wxt/list. aspx ClassID=3060
