21．3 实际问题与一元二次方程(1)
1．会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解．
2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．
3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．
重点：列一元二次方程解决实际问题．
难点：找出实际问题中的等量关系．
一、自学指导．(12分钟)
问题1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
分析：
①设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人，第一轮后共有__(x＋1)__人患了流感；
②第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了__x__人，第二轮后共有__(x＋1)(x＋1)__人患了流感．
则列方程：
__(x＋1)2＝121__，
解得__x＝10或x＝－12(舍)__，
即平均一个人传染了__10__个人．
再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？
问题2：一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数．
分析：设原来的两位数的个位数字为__x__，则十位数字为__(6－x)__，则原两位数为__10(6－x)＋x，新两位数为__10x＋(6－x)__．依题意可列方程：[10(6－x)＋x][10x＋(6－x)]＝1008__，
解得 x1＝__2__，x2＝__4__，∴原来的两位数为24或42.
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)
某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为( )
A．x(x＋1)＝2550
B．x(x－1)＝2550
C．2x(x＋1)＝2550
D．x(x－1)＝2550×2
分析：由题意，每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片，则每人送出(x－1)张相片，全班共送出x(x－1)张相片，可列方程为x(x－1)＝2550. 故选B.
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)
1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？
解：设每个支干长出x个小分支，则有1＋x＋x2＝91，
即x2＋x－90＝0，
解得x1＝9，x2＝－10(舍去)，
故每个支干长出9个小分支．
点拨精讲：本例与传染问题的区别．
2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，设个位数字为x，则列方程为：__x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)＋x－4__．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(7分钟)
1．两个正数的差是2，它们的平方和是52，则这两个数是( C )
A．2和4 B．6和8 C．4和6 D．8和10
2．教材P21第2题、第3题
学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)
1．列一元二次方程解应用题的一般步骤：
(1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量；
(2)“设”：即设__未知数__，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；
(3)“列”：即根据题中__等量__关系列方程；
(4)“解”：即求出所列方程的__根__；
(5)“检验”：即验证根是否符合题意；
(6)“答”：即回答题目中要解决的问题．
2. 对于数字问题应注意数字的位置．21．3 实际问题与一元二次方程(2)
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1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解．
2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．
3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．
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重点：如何解决增长率与降低率问题．
难点：理解增长率与降低率问题的公式a(1±x ( http: / / www.21cnjy.com ))n＝b，其中a是原有量，x为增长(或降低)率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的量．
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一、自学指导．(10分钟)
自学：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(精确到0.01)
绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为(5000－3000)÷2＝1000(元)，乙种药品成本的年平均下降额为(6000－3600)÷2＝1200(元)，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．
相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢？也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢？下面我们通过计算来说明这个问题．
分析：
①设甲种药品成本的年平均下 ( http: / / www.21cnjy.com )降率为x，则一年后甲种药品成本为__5000(1－x)__元，两年后甲种药品成本为__5000(1－x)2__元．
依题意，得__5000(1－x)2＝3000__．
解得__x1≈0.23，x2≈1.77__．
根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__．
②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则，
列方程：__6000(1－y)2＝3600__．
解得__y1≈0.23，y2≈1.77(舍)__．
答：两种药品成本的年平均下降率__相同__．
点拨精讲：经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)
某商店10月份的营业额为5000元，12月份上升到7200元，平均每月增长百分率是多少？
【分析】如果设平均每月增长的百分率为x，则
11月份的营业额为__5000(1＋x)__元，
12月份的营业额为__5000(1＋x)(1＋x)__元，即__5000(1＋x)2__元．
由此就可列方程：__5000(1＋x)2＝7200__．
点拨精讲：此例是增长率问题，如题目无特别说明，一般都指平均增长率，增长率是增长数与基准数的比．
增长率＝增长数∶基准数
设基准数为a，增长率为x，
则一月(或一年)后产量为a(1＋x)；
二月(或二年)后产量为a(1＋x)2；
n月(或n年)后产量为a(1＋x)n；
如果已知n月(n年)后产量为M，则有下面等式：M＝a(1＋x)n.
解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程．
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一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)
某人将2000元人民币按 ( http: / / www.21cnjy.com )一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．(利息税20%)
分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000＋2000x·80%；第二次存，本金就变为1000＋2000x·80%，其他依此类推．
解：设这种存款方式的年利率为x，
则1000＋2000x·80%＋(1000＋2000x·80%)x·80%＝1320，
整理，得1280x2＋800x＋1600x＝320，即8x2＋15x－2＝0，
解得x1＝－2(不符，舍去)，x2＝0.125＝12.5%.
答：所求的年利率是12.5%.
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(6分钟)
青山村种的水稻2011年平均每公顷产7200 kg，2013年平均每公顷产8460 kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率．
解：设年平均增长率为x，
则有7200(1＋x)2＝8460，
解得x1＝0.08，x2＝－2.08(舍)．
即年平均增长率为8%.
答：水稻每公顷产量的年平均增长率为8%.
点拨精讲：传播或传染以及增长率问题的方程适合用直接开平方法来解．
INCLUDEPICTURE "../../../../My%20Documents/模板处理工具最新版v%201.02/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT 学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)
1. 列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实际意义．
2. 若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基数是a，增长(或降低)n次后的量是b，则有：a(1±x)n＝b(常见n＝2)．21．3 实际问题与一元二次方程(3)
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1. 能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
2. 列一元二次方程解有关特殊图形问题的应用题．
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重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．
难点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．
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一、自学指导．(10分钟)
问题：如图，要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的阴影边衬所占面积
是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？(精确到0.1 cm)
分析：封面的长宽之比是27∶21＝__ ( http: / / www.21cnjy.com )9∶7，中央的长方形的长宽之比也应是__9∶7__，若设中央的长方形的长和宽分别是__9a_cm__和__7a_cm__，由此得上下边衬与左右边衬的宽度之比是__(27－9a)∶(21－7a)＝9∶7__．
探究：怎样设未知数可以更简单的解决上面的问题？请试一试．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)
在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画(如图 ( http: / / www.21cnjy.com )①)的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图(如图②)．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽．
解：设金色纸边的宽为x分米，根据题意，得(2x＋6)(2x＋8)＝80.
解得x1＝1，x2＝－8(不合题意，舍去)．
答：金色纸边的宽为1分米．
点拨精讲：本题和上题一样，利用矩形的面积公式做为相等关系列方程．
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一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)
如图，某小区规划在一个长为4 ( http: / / www.21cnjy.com )0 m、宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽度的马路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若使每一块草坪的面积都是144 m2，求马路的宽．
解：假设三条马路修在如图所示位置．
设马路宽为x，则有
(40－2x)(26－x)＝144×6，
化简，得x2－46x＋88＝0，
解得x1＝2，x2＝44，
由题意：40－2x＞0，26－x＞0, 则x＜20.
故x2＝44不合题意，应舍去，∴x＝2.
答：马路的宽为2 m.
点拨精讲：这类修路问题，通常采用平移方法，使剩余部分为一完整矩形．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)
1．如图，要设计一幅宽20 cm、长30 cm的图案，其中有两横两竖的彩条(图中阴影部分)，横、竖彩条的宽度比为3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度．(精确到0.1 cm)
解：设横彩条的宽度为3x cm，则竖彩条的宽度为2x cm.
根据题意，得(30－4x)(20－6x)＝(1－)×20×30.
解得x1≈0.6，x2≈10.2(不合题意，舍去)．
故3x＝1.8，2x＝1.2.
答：横彩条宽为1.8 cm，竖彩条宽为1.2 cm.
2．用一根长40 cm的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为75 cm2.
(1)求此长方形的宽是多少？
(2)能围成一个面积为101 cm2的长方形吗？若能，说明围法．
(3)若设围成一个长方形的面积为S(cm2)，长方形的宽为x(cm)，求S与x的函数关系式，并求出当x为何值时，S的值最大？最大面积为多少？
解： (1)设此长方形的宽为x cm，则长为(20－x) cm.
根据题意，得x(20－x)＝75，
解得x1＝5，x2＝15(舍去)．
答：此长方形的宽是5 cm.
(2)不能．由x(20－x)＝101，即x2－20x＋101＝0，知Δ＝202－4×101＝－4＜0，方程无解，故不能围成一个面积为101 cm2的长方形．
(3)S＝x(20－x)＝－x2＋20x.
由S＝－x2＋20x＝－(x－10)2＋100知，当x＝10时，S的值最大，最大面积为100 cm2.
点拨精讲：注意一元二次方程根的判别式和配方法在第(2)(3)问中的应用．
INCLUDEPICTURE "../../../../My%20Documents/模板处理工具最新版v%201.02/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
用一元二次方程解决特殊图形问题时，通常要先画出图形，利用图形的面积找相等关系列方程．
