22.2 二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次方程之间的关系
要点感知 抛物线y=ax2+bx+c ( http: / / www.21cnjy.com )在x轴上的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0之间的关系：(1)如果抛物线与x轴___交点，那么一元二次方程___实数根；(2)如果抛物线与x轴只有___个交点，此时的交点就是抛物线的顶点，那么一元二次方程有两个___的实数根；(3)如果抛物线与x轴有___个交点，那么一元二次方程有两个___的实数根，此时，抛物线与x轴两个交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程的两个实数根.
预习练习1-1 抛物线y=3x2+5x与两坐标轴交点的个数为___个.
1-2 下列哪一个函数，其图象与x轴有两个交点( )
A.y=(x-23)2+155 B.y=(x+23)2+155 C.y=-(x-23)2-155 D.y=-(x+23)2+155
知识点1 二次函数与一元二次方程
1.抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
2.(苏州中考)已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是( )
A.x1=1，x2=-1 B.x1=1，x2=2 C.x1=1，x2=0 D.x1=1，x2=3
3.(柳州中考)小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是( )
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A.无解 B.x=1 C.x=-4 D.x=-1或x=4
4.抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为___
知识点2 利用二次函数求一元二次方程的近似解
5.根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c为常数)一个解的范围是( )
A.3＜x＜3.23 B.3.23＜x＜3.24 C.3.24＜x＜3.25 D.3.25＜x＜3.26
6.用图象法求一元二次方程2x2-4x-1=0的近似解.
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解：
知识点3 二次函数与不等式
7.二次函数y=x2-x-2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是()
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A.x＜-1 B.x＞2 C.-1＜x＜2 D.x＜-1或x＞2
8.(黔东南中考)已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2-m+2 014的值为( )
A.2 012 B.2 013 C.2 014 D.2 015
9.(牡丹江中考)抛物线y=ax2+bx+c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是( )
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A.x＜2 B.x＞-3 C.-3＜x＜1 D.x＜-3或x＞1
10.(锦州中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c为常数)的图象如图所示，ax2+bx+c=m有实数根的条件是( )
A.m≤-2 B.m≥-2 C.m≥0 D. m＞4
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11.(济南中考)二次函数y=x2+b ( http: / / www.21cnjy.com )x的图象如图，对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx-t=0(t为实数)在-1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是( )
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A.t≥-1 B.-1≤t＜3 C.-1≤t＜8 D.3＜t＜8
12.(济宁中考)“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n(m
A.m13.抛物线y=2(x+3)(x-2)与x轴的交点坐标分别为___.
14.(南京中考)已知二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数).
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
挑战自我
15.(孝感中考)已知关于x的方程x2-(2k-3)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2.
(1)求k的取值范围；
(2)试说明x1<0，x2<0；
(3)若抛物线y=x2-( ( http: / / www.21cnjy.com )2k-3)x+k2+1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且OA+OB=2OA·OB-3，求k的值.
参考答案
要点感知 (1)无，没有；(2)一，相等；(3)两，不相等
预习练习1-1 2.
1-2 D
1.A 2.B 3.D 4.8. 5.C
6.
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设y=2x2-4x-1.
画出抛物线y=2x2-4x-1的图象，如图所示.
由图象知，当x≈2.2或x≈-0.2时，y=0.
即方程2x2-4x-1=0的近似解为x1≈2.2，x2≈-0.2.
7.C
8.D 9.C 10.B 11.C 12.A 13.(-3，0)，(2，0).
14.(1)∵(-2m)2-4(m2+3)=-12＜0，
∴方程x2-2mx+m2+3=0没有实数根.
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点.
(2)y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3，
把函数y=(x-m)2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=(x-m)2的图象，它的顶点坐标是(m，0)，
∴这个函数的图象与x轴只有一个公共点.
∴把该函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点.
挑战自我
15.(1)由题意可知：
Δ=［-(2k-3)］2-4(k2+1)>0，
即-12k+5>0，∴k<.
(2)∵k<，∴x1+x2=2k-3<0,
x1·x2=k2+1>0.
∴x1<0，x2<0.
(3)依题意，不妨设A(x1,0)， B(x2,0)，
∵x1<0，x2<0，
∴OA+OB=(-x1)·(-x2)=x1x2=k2+1.
∵OA+OB=2OA·OB-3，
∴- (2k-3)=2(k2+1)-3.
解得k1=1，k2=-2.
∵k<，∴k=-2.第2课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与字母系数的关系
抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象与字母系数a，b，c之间的关系：
(1)当a＞0时，开口__向上___，当a＜0时，开口__向下___；
(2)若对称轴在y轴的左边，则a，b__同号___，若对称轴在y轴的右边，则a，b__异号___；
(3)若抛物线与y轴的正半轴相交，则c__＞___0，若抛物线与y轴的负半轴相交，则c__＜___0，若抛物线经过原点，则c__＝___0；
(4)当x＝1时，y＝ax2＋b ( http: / / www.21cnjy.com )x＋c＝a＋b＋c；当x＝－1时，y＝ax2＋bx＋c＝a－b＋c；当x＝2时，y＝ax2＋bx＋c＝4a＋2b＋c；当x＝－2时，y＝ax2＋bx＋c＝4a－2b＋c；…；
(5)当对称轴x＝1时，x＝－＝1，所以－b＝2a，此时2a＋b＝0; 当对称轴x＝－1时，x＝－＝－1，所以b＝2a，此时2a－b＝0；
(6)b2－4ac＞0 二次函数与横轴有两个交点；b2－4ac＝0 二次函数与横轴有一个交点；b2－4ac＜0 二次函数与横轴无交点．
知识点1：二次函数图象与字母系数的关系
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列关系式错误的是( D )
A．a＞0 B．c＞0
C．b2－4ac＞0 D．a＋b＋c＞0
,第1题图) ,第2题图) ,第4题图)
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论正确的是( D )
A．a＜0 B．b2－4ac＜0
C．当－1＜x＜3时，y＞0 D．－＝1
3．(2014·白银)二次函数y＝x2＋bx＋c中，若b＋c＝0，则它的图象一定过点( D )
A．(1，－1) B．(－1，1)
C．(－1，－1) D．(1，1)
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c ( http: / / www.21cnjy.com )(a≠0)的图象如图所示，若M＝a＋b－c，N＝4a－2b＋c，P＝2a－b，则M，N，P中，值小于0的数有( A )
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
知识点2：函数图象的综合
5．若正比例函数y＝mx(m≠0)，y随x的增大而减小，则它和二次函数y＝mx2＋m的图象大致是( A )
6．二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，那么一次函数y＝ax＋b的图象大致是( C )
7．在同一坐标系内，一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋8x＋b的图象可能是( D )
8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( D )
A．ac＞0
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．b－2a＝0
D．x＝3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根
,第8题图),第9题图),第11题图)
9．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，其对称轴为x＝1.下列结论中错误的是( D )
A．abc＜0 B．2a＋b＝0
C．b2－4ac＞0 D．a－b＋c＞0
10．已知二次函数y＝kx2－7x－7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是( D )
A．k＞－ B．k＞－且k≠0
C．k≥－ D．k≥－且k≠0
11．(2014·天津) ( http: / / www.21cnjy.com )已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，且关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－m＝0没有实数根，有下列结论：①b2－4ac＞0；②abc＜0；③m＞2.其中正确结论的个数是( D )
A．0 B．1 C．2 D．3
12．如图，抛物线y＝ax2＋ ( http: / / www.21cnjy.com )bx＋c(a＞0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y轴的直线，若点P(4，0)在该抛物线上，则4a－2b＋c的值为__0___．
,第12题图) ,第13题图)
13．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象的顶点为点D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1，3，与y轴负半轴交于点C.在下面四个结论中：①2a－b＝0；②a＋b＋c＞0；③c＝－3a；④只有当a＝时，△ABD是等腰直角三角形．其中正确的结论是__③④___．(只填序号)
14．如图，抛物线y＝ax2＋ ( http: / / www.21cnjy.com )bx＋c与x轴交于A，D两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点B在第一象限，若点A的坐标为(1，0)．试分别判断a，b，c，b2－4ac，2a＋b，2a－b，a＋b＋c，a－b－c的符号．
解：a＜0，b＞0，c＞0，b2－ ( http: / / www.21cnjy.com )4ac＞0；由对称轴的位置可知：－＜1，可得－b＞2a，∴2a＋b＜0；2a－b＜0；a＋b＋c＝0，a－b－c＜0
15．已知关于x的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象经过点C(0，1)，且与x轴交于不同的两点A，B，点A的坐标是(1，0)．
(1)求c的值；
(2)求a的取值范围．
解：(1)c＝1 (2)由C(0，1)， ( http: / / www.21cnjy.com )A(1，0)得a＋b＋1＝0，故b＝－a－1，由b2－4ac＞0，可得(－a－1)2－4a＞0，即(a－1)2＞0，故a≠1，又a＞0，所以a的取值范围是a＞0且a≠1
16．如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，B(3，2)．
(1)求m的值和抛物线的解析式；
(2)求不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集；(直接写出答案)
(3)若M(a，y1)，N(a＋1，y2)两点都在抛物线y＝x2＋bx＋c上，试比较y1与y2的大小．
解：(1)∵直线y＝x＋m经过点A(1，0)，∴0＝1＋m，∴m＝－1.∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(1，0)，B(3，2)，∴解得∴抛物线的解析式为y＝x2－3x＋2
(2)x＞3或x＜1 (3)∵M ( http: / / www.21cnjy.com )(a，y1)，N(a＋1，y2)两点都在函数y＝x2－3x＋2的图象上，∴y1＝a2－3a＋2，y2＝(a＋1)2－3(a＋1)＋2＝a2－a.y2－y1＝(a2－a)－(a2－3a＋2)＝2a－2，∴当2a－2＜0，即a＜1时，y1＞y2；当2a－2＝0，即a＝1时，y1＝y2；当2a－2＞0，即a＞1时，y1＜y222.1.5 用函数观点看一元二次方程
学习要求
1．理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握抛物线与x轴的交点与一元二次方程两根之间的联系，灵活运用相关概念解题．
2．掌握并运用二次函数y＝a(x－x1)(x－x2)解题．
课堂学习检测
一、填空题
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有交点，则b2－4ac______0；
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0两根为x1，x2，则二次函数可表示为y＝_________
____________．
2．若二次函数y＝x2－3x＋m的图象与x轴只有一个交点，则m＝______．
3．若二次函数y＝mx2－(2m＋2)x－1＋m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是______．
4．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过P(1，0)点，则a＋b＋c＝______．
5．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c满足a－b＋c＝0，则这条抛物线必经过点______．
6．关于x的方程x2－x－n＝0没有实数根，则抛物线y＝x2－x－n的顶点在第______象限．
二、选择题
7．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．没有实根
B．只有一个实根
C．有两个实根，且一根为正，一根为负
D．有两个实根，且一根小于1，一根大于2
8．一次函数y＝2x＋1与二次函数y＝x2－4x＋3的图象交点( )
A．只有一个 B．恰好有两个
C．可以有一个，也可以有两个 D．无交点
9．函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根的情况是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个异号实数根
C．有两个相等的实数根
D．无实数根
10．二次函数y＝ax2＋bx＋c对于x的任何值都恒为负值的条件是( )
A．a＞0， ＞0 B．a＞0， ＜0
C．a＜0， ＞0 D．a＜0， ＜0
三、解答题
11．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点的横坐标是方程x2＋x－2＝0的两个根，且抛物线过点(2，8)，求二次函数的解析式．
12．对称轴平行于y轴的抛物线过A(2，8)，B(0，－4)，且在x轴上截得的线段长为3，求此函数的解析式．
综合、运用、诊断
一、填空题
13．已知直线y＝5x＋k与抛物线y＝x2＋3x＋5交点的横坐标为1，则k＝______，交点坐标为______．
14．当m＝______时，函数y＝2x2＋3mx＋2m的最小值为
二、选择题
15．直线y＝4x＋1与抛物线y＝x2＋2x＋k有唯一交点，则k是( )
A．0 B．1 C．2 D．－1
16．二次函数y＝ax2＋bx＋c，若ac＜0，则其图象与x轴( )
A．有两个交点 B．有一个交点
C．没有交点 D．可能有一个交点
17．y＝x2＋kx＋1与y＝x2－x－k的图象相交，若有一个交点在x轴上，则k值为( )
A．0 B．－1 C．2 D．
18．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c＋2＝0的根的情况是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．无实根
B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根
D．有两个同号不等实数根
19．已知二次函数的图象与y轴交点坐标为(0，a)，与x轴交点坐标为(b，0)和(－b，0)，若a＞0，则函数解析式为( )
A． B．
C． D．
20．若m，n(m＜n)是关于x的方程1－(x－a)(x－b)＝0的两个根，且a＜b，则a，b，m，n的大小关系是( )
A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b
C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b
三、解答题
21．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0，a，b，c是常数)中，自变量x与函数y的对应值如下表：
x －1 0 1 2 3
y －2 1 2 1 －2
(1)判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标；
(2)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c是常数)的两个根x1，x2的取值范围是下列选项中的哪一个______．
① ②
③ ④
22．m为何值时，抛物线y＝(m－1)x2＋2mx＋m－1与x轴没有交点
23．当m取何值时，抛物线y＝x2与直线y＝x＋m
(1)有公共点；(2)没有公共点．
拓展、探究、思考
24．已知抛物线y＝－x2－(m－4)x＋3(m－1)与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．
(1)求m的取值范围．
(2)若m＜0，直线y＝kx－1经过点A并与y轴交于点D，且，求抛物线的解析式．
测试5
1．≥0，y＝a(x－x1)(x－x2)． 2．
3．且m≠0． 4．0． 5．(－1，0)． 6．一．
7．D． 8．B． 9．C． 10．D．
11．y＝2x2＋2x－4．
12．或y＝2x2＋2x－4．
13．4，(1，9)． 14．
15．C． 16．A． 17．C． 18．D． 19．B． 20．A．
21．(1)开口向下，顶点(1，2)，(2)③． 22．
23．由x2－x－m＝0(1)当 ＝1＋4m≥0，即时两线有公共点．
(2)当 ＝1＋4m＜0，即时两线无公共点．
24．(1) ＝(m＋2)2＞0，∴m≠－2；
(2)m＝－1，∴y＝－x2＋5x－6．22.2 用函数观点看一元二次方程（1）
●基础巩固
1.如果抛物线y=－2x2+mx－3的顶点在x轴正半轴上，则m=______.
2.二次函数y=－2x2+x－，当x=______时，y有最______值，为______.它的图象与x轴______交点(填“有”或“没有”).
3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示.
①这个二次函数的表达式是y=______；②当x=______时，y=3；③根据图象回答：当x______时，y>0.
图1 图2
4.某一元二次方程的两个 ( http: / / www.21cnjy.com )根分别为x1=－2，x2=5，请写出一个经过点(－2，0)，(5，0)两点二次函数的表达式：______.(写出一个符合要求的即可)
5.不论自变量x取什么实数，二次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )y=2x2－6x+m的函数值总是正值，你认为m的取值范围是______，此时关于一元二次方程2x2－6x+m=0的解的情况是______(填“有解”或“无解”).
6.某一抛物线开口向下，且与x轴无交点 ( http: / / www.21cnjy.com )，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为______(只写一个)，此类函数都有______值(填“最大”“最小”).
7.如图2，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA为1 m，球路的最高点B(8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m).
8.若抛物线y=x2－(2k+1)x+k2+2，与x轴有两个交点，则整数k的最小值是______.
9.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图1所示，由抛物线的特征你能得到含有a、b、c三个字母的等式或不等式为______(写出一个即可).
10.等腰梯形的周长为60 cm，底角为60°，当梯形腰x=______时，梯形面积最大，等于______.
11.找出能反映下列各情景中两个变量间关系的图象，并将代号填在相应的横线上.
(1)一辆匀速行驶的汽车，其速度与时间的关系.对应的图象是______.
(2)正方形的面积与边长之间的关系.对应的图象是______.
(3)用一定长度的铁丝围成一个长方形，长方形的面积与其中一边的长之间的关系.对应的图象是______.
(4)在220 V电压下，电流强度与电阻之间的关系.对应的图象是______.
12.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个.若这种商品的
零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价______元，最大利润为______元.
13.关于二次函数y=ax2+bx+c的图象有下列命题，其中是假命题的个数是（ ）
①当c=0时，函数的图象经过原点; ②当b=0时，函数的图象关于y轴对称;
③函数的图象最高点的纵坐标是;
④当c>0且函数的图象开口向下时，方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
14.已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c－8=0的根的情况是
A.有两个不相等的正实数根 ; B.有两个异号实数根;
C.有两个相等的实数根 ; D.没有实数根.
15.抛物线y=kx2－7x－7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是( )
A.k>－; B.k≥－且k≠0; C.k≥－; D.k>－且k≠0
16.如图6所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=x m，长方形的面积为y m2，要使长方形的面积最大，其边长x应为( )
A. m B.6 m C.15 m D. m
图4 图5 图6
17.二次函数y=x2－4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，△ABC的面积为( )
A.1 B.3 C.4 D.6
18.无论m为任何实数，二次函数y=x2+(2－m)x+m的图象总过的点是( )
A.(－1，0); B.(1，0) C.(－1，3) ; D.(1，3)
19.为了备战2008奥运会，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处的挑射，正好从2.4米高(球门横梁底侧高)入网.若足球运行的路线是抛物线y=ax2+bx+c(如图5所示)，则下列结论正确的是( )
①a<－ ②－0 ④0A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
20.把一个小球以20 m/s的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系h=20t－5t2.当h=20 m时，小球的运动时间为（ ）
A.20 s B.2 s C.(2+2) s D.(2－2) s
21.如果抛物线y=－x2+2(m－1) ( http: / / www.21cnjy.com )x+m+1与x轴交于A、B两点，且A点在x轴正半轴上，B点在x轴的负半轴上，则m的取值范围应是( )
A.m>1 B.m>－1 C.m<－1 D.m<1
22.如图7，一次函数y=－2x+3的图象与x、y轴分别相交于A、C两点，二次函数y=x2+bx+c的图象过点c且与一次函数在第二象限交于另一点B，若AC∶CB=1∶2，那么，这个二次函数的顶点坐标为( )
A.(－，) B.(－，) C.(，) D.(，－)
23.某乡镇企业现在年产值是15万元， ( http: / / www.21cnjy.com )如果每增加100元投资，一年增加250元产值，那么总产值y(万元)与新增加的投资额x(万元)之间函数关系为( )
A.y=25x+15 B.y=2.5x+1.5 C.y=2.5x+15 D. y=25x+1.5
24.如图8，铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=－x2+x+，则该运动员此次掷铅球的成绩是( )
A.6 m B.12 m C.8 m D.10 m
图7 图8 图9
25.某幢建筑物，从10 m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图9，如果抛物线的最高点M离墙1 m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是( )
A.2 m B.3 m C.4 m D.5 m
26.求下列二次函数的图像与x轴的交点坐标,并作草图验证.
(1)y=x2+x+1; (2)y=4x2-8x+4; (3)y=-3x2-6x-3; (4)y=-3x2-x+4
27.一元二次方程x2+7x+9=1的根与二次函数y=x2+7x+9的图像有什么关系 试把方程的根在图像上表示出来.
28.利用二次函数的图像求下列一元二次方程的根.
(1)4x2-8x+1=0; (2)x2-2x-5=0;
(3)2x2-6x+3=0; (3)x2-x-1=0.
29.已知二次函数y=-x2+4x-3,其图像与y轴交于点B,与x轴交于A, C 两点. 求△ABC的周长和面积.
●能力提升
30.某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足关系：m=140－2x.
(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式;
(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
31.已知二次函数y=(m2－2)x2－4mx+n的图象的对称轴是x=2，且最高点在直线y=x+1上，求这个二次函数的表达式.
32.如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x m.
(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？
(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？
33.当运动中的汽车撞到物体时，汽车所受到的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量.某型汽车的撞击影响可以用公式I=2v2来表示，其中v(千米/分)表示汽车的速度;
(1)列表表示I与v的关系.
(2)当汽车的速度扩大为原来的2倍时，撞击影响扩大为原来的多少倍？
34.如图7，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.
(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式;
(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少.
35.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年 ( http: / / www.21cnjy.com )初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数的图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系).
(1)根据图象你可获得哪些关于该公司的具体信息？(至少写出三条)
(2)还能提出其他相关的问题吗？若不能，说明理由；若能，进行解答，并与同伴交流.
36.把一个数m分解为两数之和，何时它们的乘积最大？你能得出一个一般性的结论吗？
●综合探究
37.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天.如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去.假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元.
(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系式;
(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式.
(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q－收购总额)？
38.图中a是棱长为a的小正方 ( http: / / www.21cnjy.com )体，图b、图c由这样的小正方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第一层，第二层……，第n层，第n层的小正方形的个数记为S，解答下列问题：
(1)按照要求填表：
n 1 2 3 4 …
S 1 3 6 …
(2)写出当n=10时，S=______;
(3)根据上表中的数据，把S作为纵坐标，n作为横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的各点;
(4)请你猜一猜上述各点会在某一个函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该函数的表达式；若不在，说明理由.
参考答案
1.2 2. 大 － 没有
3.①x2－2x ②3或－1 ③<0或>2 4. y=x2－3x－10
5. m>? 无解 6.y=－x2+x－1 最大
7.y=－x2+2x+1 16.5
8. 2 9.b2－4ac>0(不唯一)
10 . 15 cm cm2
11.(1)A (2)D (3)C (4)B
12. 5 625
13.B 14.C 15.B 16.D 17.B 18.D 19.B
20.B 21.B 22.A 23.C 24.D
25.B〔提示：设水流的解析式为y=a(x－h)2+k,
∴A(0，10)，M(1，).
∴y=a(x－1)2+，10=a+.
∴a=－.
∴y=－(x－1)2+.
令y=0得x=－1或x=3得B(3，0),
即B点离墙的距离OB是3 m
26.(1)没有交点;(2)有一个交点(1,0);(3)有一个交点(-1,0);(4)有两个交点( 1,0),(,0),草图略.
27.该方程的根是该函数的图像与直线y=1的交点的横坐标.
28.(1)x1≈1.9, ( http: / / www.21cnjy.com )x2≈0.1;(2)x1≈3.4,x2≈-1.4;(3)x1≈2.7,x2≈0.6;(4)x1≈1.6,x2≈-0 .6
29.令x=0,得y=-3,故B点坐标为(0,-3).
解方程-x2+4x-3=0,得x1=1,x2=3.
故A、C两点的坐标为(1,0),(3,0).
所以AC=3-1=2,AB=,BC=, OB=│-3│=3.
C△ABC=AB+BC+AC=.
S△ABC=AC·OB=×2×3=3.
30．(1)y=－2x2+180x－2800.
(2)y=－2x2+180x－2800
=－2(x2－90x)－2800
=－2(x－45)2+1250.
当x=45时，y最大=1250.
∴每件商品售价定为45元最合适，此销售利润最大，为1250元.
31．∵二次函数的对称轴x=2，此图象顶点的横坐标为2，此点在直线y=x+1上.
∴y=×2+1=2.
∴y=(m2－2)x2－4mx+n的图象顶点坐标为(2，2).
∴－=2.∴－=2.
解得m=－1或m=2.
∵最高点在直线上，∴a<0,
∴m=－1.
∴y=－x2+4x+n顶点为(2，2).
∴2=－4+8+n.∴n=－2.
则y=－x2+4x+2.
32(1)依题意得
鸡场面积y=－
∵y=－x2+x=(x2－50x)
=－(x－25)2+,
∴当x=25时，y最大=,
即鸡场的长度为25 m时，其面积最大为m2.
(2)如中间有几道隔墙，则隔墙长为m.
∴y=·x=－x2+x
=－(x2－50x) =－(x－25)2+,
当x=25时，y最大=,
即鸡场的长度为25 m时，鸡场面积为 m2.
结论：无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，其长都是25 m.
33(1)如下表
v … －2 －1 － 0 1 2 3 …
I … 8 2 0 2 8 18 …
(2)I=2·(2v)2=4×2v2 .
当汽车的速度扩大为原来的2倍时，撞击影响扩大为原来的4倍.
34(1)设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c.
由图知图象过以下点：(0，3.5)，(1.5，3.05).
∴抛物线的表达式为y=－0.2x2+3.5.
(2)设球出手时，他跳离地面的高度为h m，则球出手时，球的高度为
h+1.8+0.25=(h+2.05) m,
∴h+2.05=－0.2×(－2.5)2+3.5,
∴h=0.2(m).
35 (1)信息：
①1、2月份亏损最多达2万元.
②前4月份亏盈吃平.
③前5月份盈利2.5万元.
④1~2月份呈亏损增加趋势.
⑤2月份以后开始回升.(盈利)
⑥4月份以后纯获利.
……
(2)问题：6月份利润总和是多少万元？由图可知，抛物线的表达式为
y=(x－2) 2－2,
当x=6时，y=6(万元)(问题不唯一).
36．设m=a+b y=a·b,
∴y=a(m－a)=－a2+ma=－(a－)2+,
当a=时，y最大值为.
结论：当两个数的和一定，这两个数为它们和的一半时，两个数的积最大.
37．(1)由题意知：p=30+x,
(2)由题意知
活蟹的销售额为(1000－10x)(30+x)元,
死蟹的销售额为200x元.
∴Q=(1000－10x)(30+x)+200x=－10x2+900x+30000.
(3)设总利润为
L=Q－30000－400x=－10x2+500x
=－10(x2－50x) =－10(x－25)2+6250.
当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元.
38．(1)10 (2)55 (3)(略).
(4)经猜想，所描各点均在某二次函数的图象上.
设函数的解析式为S=an2+bn+c.
由题意知
∴S=22．2 二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次方程之间的关系
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1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实 ( http: / / www.21cnjy.com )数根，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c，当__y＝0___时，自变量x的值，它是二次函数的图象与x轴交点的__横坐标___．
2．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x ( http: / / www.21cnjy.com )轴交点个数与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式的关系：当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴__无___交点；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有__一个___交点；当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有__两个___交点．
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知识点1：二次函数与一元二次方程
1．抛物线y＝－3x2－x＋2与坐标轴的交点个数是( A )
A．3 B．2
C．1 D．0
2．如图，已知抛物线与x轴的一个交点A(2，0)，对称轴是x＝－1，则该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是( C )
A．(－2，0) B．(－3，0)
C．(－4，0) D．(－5，0)
3．抛物线y＝x2＋6x＋m与x轴只有一个公共点，则m的值为__9___．
4．绿茵场上，足球运动员将球踢出，球 ( http: / / www.21cnjy.com )的飞行高度h(米)与前行距离s(米)之间的关系为h＝s－s2，那么当足球落地时距离原来的位置有__50___米．
知识点2：利用二次函数求一元二次方程的近似解
5．根据下列表格的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)一个解的范围是( C )
x 2.23 2.24 2.25 2.26
ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09
A.2＜x＜2.23 B．2.23＜x＜2.24
C．2.24＜x＜2.25 D．2.25＜x＜2.26
6．用图象法求一元二次方程2x2－4x－1＝0的近似解．
解：设y＝2x2－4x－1，画出图象( ( http: / / www.21cnjy.com )略)．由图象知，当x≈2.2或x≈－0.2时，y＝0，即方程2x2－4x－1＝0的近似解为x1≈2.2，x2≈－0.2
知识点3：二次函数与不等式
7．二次函数y＝x2－x－2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是( C )
A．x＜－1 B．x＞2
C．－1＜x＜2 D．x＜－1或x＞2
,第7题图) ,第8题图)
8．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是( D )
A．－1＜x＜5 B．x＞5
C．x＜－1且x＞5 D．x＜－1或x＞5
9．(2014·南京)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … －1 0 1 2 3 …
y … 10 5 2 1 2 …
则当y＜5时，x的取值范围是__0＜x＜4___．
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10．已知函数y＝x2＋2x－3，当x＝m时，y＜0，则m的值可能是( B )
A．－4 B．0 C．2 D．3
11．根据下列表格中的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的个数是( C )
x 5.17 5.18 5.19 5.20
ax2＋bx＋c 0.02 －0.01 0.02 0.04
A.0 B．1 C．2 D．1或2
12．抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图，则关于x的方程ax2＋bx＋c－2＝0的情况是( C )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个异号的实数根
C．有两个相等的实数根
D．没有实数根
13．抛物线y＝2(x＋3)(x－2)与x轴的交点坐标分别为__(2，0)，(－3，0)___．
14．(1)用配方法把二次函数y＝x2－4x＋3化成y＝(x－h)2＋k的形式；
(2)在直角坐标系中画出y＝x2－4x＋3的图象；
(3)若A(x1，y1)，B ( http: / / www.21cnjy.com )(x2，y2)是函数y＝x2－4x＋3图象上的两点，且x1＜x2＜1，请比较y1，y2的大小关系；(直接写结果)
(4)把方程x2－4x＋3＝2的根在函数y＝x2－4x＋3的图象上表示出来．
解：(1)y＝(x－2)2－1 (2)图象略 (3)y1＞y2
(4)该方程的根是二次函数图象在y＝2时对应点的横坐标
15．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；
(2)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
(3)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
解：(1)x1＝1，x2＝3
(2)x＞2
(3)k＜2
16．已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3(m是常数)．
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
解：(1)∵a＝1＞0，∴该函数的图象开口向上，又∵y＝x2－2mx＋m2＋3＝(x－m)2＋3≥3，∴该函数的图象在x轴的上方，∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点 (2)沿y轴向下平移3个单位长度
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17．已知抛物线y＝ax2 ( http: / / www.21cnjy.com )＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)(x1＜x2)两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2＋4x－5＝0的两根．
(1)若抛物线的顶点为D，求S△ABC∶S△ACD的值；
(2)若∠ADC＝90°，求二次函数的解析式．
解：(1)解方程x2＋4x－5＝0，得x＝ ( http: / / www.21cnjy.com )－5或x＝1，由于x1＜x2，则有x1＝－5，x2＝1，∴A(－5，0)，B(1，0)．抛物线的解析式为y＝a(x＋5)(x－1)(a＞0)，则D(－2，－9a)，∴C(0，－5a)．依题意画出图形(如图)，则OA＝5，OB＝1，AB＝6，OC＝5a，过点D作DE⊥y轴于点E，则DE＝2，OE＝9a，CE＝OE－OC＝4a.S△ACD＝S梯形ADEO－S△CDE－S△AOC＝×(2＋5)·9a－×2×4a－×5×5a＝15a，而S△ABC＝×6×5a＝15a，∴S△ABC∶S△ACD＝15a∶15a＝1∶1 (2)在Rt△DCE中，CD2＝DE2＋CE2＝4＋16a2，在Rt△AOC中，AC2＝OA2＋OC2＝25＋25a2，设对称轴x＝－2与x轴交于点F，则AF＝3，在Rt△ADF中，AD2＝AF2＋DF2＝9＋81a2.∵∠ADC＝90°，∴△ACD为直角三角形，∴AD2＋CD2＝AC2，即(9＋81a2)＋(4＋16a2)＝25＋25a2，化简得a2＝，∵a＞0，∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2＋x－22.2用函数观点看一元二次方程（2）
●基础探究
1.已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图所示,请根据图象回答下列问题:
(1) a=_______,c=______.
(2)函数图象的对称轴是_________,顶点坐标P__________.
(3)该函数有最______值,当x=______时,y最值=________.
(4)当x_____时,y随x的增大而减小.
当x_____时,y随x的增大而增大.
(5)抛物线与x轴交点坐标A_______,B________;
与y轴交点C 的坐标为_______;
=_________,=________.
(6)当y>0时,x的取值范围是_________;当y<0时,x的取值范围是_________.
(7)方程ax2-5x+c=0中△的符号为________.方程ax2-5x+c=0的两根分别为_____,____.
(8)当x=6时,y______0;当x=-2时,y______0.
2.已知下表:
x 0 1 2
ax2 1
ax2+bx+c 3 3
(1)求a、b、c的值，并在表内空格处填入正确的数；
(2)请你根据上面的结果判断:
①是否存在实数x,使二次三项式ax2+bx+c的值为0 若存在,求出这个实数值;若不存在,请说明理由.
②画出函数y=ax2+bx+c的图象示意图,由图象确定,当x取什么实数时,ax2+ bx+c>0
3.请画出适当的函数图象,求方程x2=x+3的解.
4.若二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴相交于A(-5,0),B(-1,0).
(1)求这个二次函数的关系式;
(2)如果要通过适当的平移,使得这个函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的图象与x轴只有一个交点,那么应该怎样平移 向右还是向左 或者是向上还是向下 应该平移向个单位
5.已知某型汽车在干燥的路面上, 汽车停止行驶所需的刹车距离与刹车时的车速之间有下表所示的对应关系.
速度V(km/h) 48 64 80 96 112 …
刹车距离s(m) 22.5 36 52.5 72 94.5 …
(1)请你以汽车刹车时的车速V为自变量,刹车距离s为函数, 在图所示的坐标系中描点连线,画出函数的图象;
(2)观察所画的函数的图象,你发现了什么
(3)若把这个函数的图象看成是一条抛物线,请根据表中所给的数据,选择三对,求出它的函数关系式;
(4)用你留下的两对数据,验证一个你所得到的结论是否正确.
( http: / / www.21cnjy.com )
●能力提升
6.如图所示,矩形ABCD的边AB=3,AD=2,将此矩形置入直角坐标系中,使AB在x 轴上,点C 在直线y=x-2上.
(1)求矩形各顶点坐标;
(2)若直线y=x-2与y轴交于点E,抛物线过E、A、B三点,求抛物线的关系式;
(3)判断上述抛物线的顶点是否落在矩形ABCD内部,并说明理由.
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7.已知一条抛物线经过A(0,3),B(4,6)两点,对称轴是x=.
(1)求这条抛物线的关系式.
(2)证明:这条抛物线与x轴的两个交点中,必存在点C,使得对x轴上任意点D都有AC+BC≤AD+BD.
8.如图所示,一位篮球运动员在离篮圈水平距离为4m处跳起投篮,球沿一条抛物线运行,当球运行的水平距离为2.5m时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮框内.已知篮圈中心离地面距离为3.05m.
(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线所对应的函数关系式;
(2)若该运动员身高1.8m,这次跳投时,球在他头顶上方0.25m处出手.问:球出手时,他跳离地面多高
9.某工厂生产A产品x吨所需费用为P元,而卖出x吨这种产品的售价为每吨Q元, 已知P=x2+5x+1000,Q=-+45.
(1)该厂生产并售出x吨,写出这种产品所获利润W(元)关于x(吨)的函数关系式;
(2)当生产多少吨这种产品,并全部售出时,获利最多 这时获利多少元 这时每吨的价格又是多少元
10.已知抛物线y=2x2-kx-1与x轴两交点的横坐标,一个大于2,另一个小于2,试求k的取值范围.
11.如图,在Rt△ABC中, ( http: / / www.21cnjy.com )∠ACB=90°,BC>AC,以斜边AB 所在直线为x轴,以斜边AB上的高所在直线为y轴,建立直角坐标系,若OA2+OB2= 17, 且线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0的两个根.
(1)求C点的坐标;
(2)以斜边AB为直径作圆与y轴交于另一点E,求过A、B、E 三点的抛物线的关系式,并画出此抛物线的草图.
(3)在抛物线上是否存在点P,使△ABP与△ABC全等 若存在,求出符合条件的P点的坐标;若不存在,说明理由.
●综合探究
12.已知抛物线L;y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0), 它的顶点P的坐标是,与y轴的交点是M(0,c)我们称以M为顶点,对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线,直线PM为L的伴随直线.
(1)请直接写出抛物线y=2x2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的关系式:
伴随抛物线的关系式_________________
伴随直线的关系式___________________
(2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x2-3和y=-x-3, 则这条抛物线的关系是___________:
(3)求抛物线L:y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0) 的伴随抛物线和伴随直线的关系式;
(4)若抛物线L与x轴交于A(x ( http: / / www.21cnjy.com )1,0),B(x2,0)两点x2>x1>0,它的伴随抛物线与x 轴交于C,D两点,且AB=CD,请求出a、b、c应满足的条件.
13已知抛物线y=mx2-(m+5)x+5.
(1)求证:它的图象与x轴必有交点,且过x轴上一定点;
(2)这条抛物线与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0),且0答案：
1.(1)a=1;c=4 (2)直线x=, (3)小; ;
(4) (5)(1,0);(4,0);(0,4); 6; ; (6)x<1或x>4;1(7)正号;x1=1;x2=4 (8)>;>
2.(1)由表知,当x=0时,ax2+bx+c=3;当x=1时,ax2=1;当x=2时,ax2+bx+c=3.
∴,∴,
∴a=1,b=-2,c=3,空格内分别应填入0,4,2.
(2)①在x2-2x+3=0中,∵△=(-2)2-4×1×3=-8<0,
∴不存在实数x能使ax2+bx+c=0.
②函数y=x2-2x+3的图象示意图如答图所示,
观察图象得出,无论x取什么实数总有ax2+bx+c>0.
3.:在同一坐标系中如答图所示,
画出函数y=x2的图象,画出函数y=x+3 的图象,
这两个图象的交点为A,B,交点A,B的横坐标和2
就是方程x2=x+3的解.
4.:(1)∵y=x2+bx+c,把A(-5,0),B(-1,0)代入上式,得
∴,,
∴y=.
(2)∵y==
∴顶点坐标为(-3,2),
∴欲使函数的图象与x轴只有一个交点,应向下平移2个单位.
5.:(1)函数的图象如答图所示.
(2)图象可看成是一条抛物线这个函数可看作二次函数.
(3)设所求函数关系式为:s=av2+bv+c,
把v=48,s=22.5;v=64,s=36;v=96,s=72分别代入s=av2+bv+c,
得, 解得.
∴
(4)当v=80时,
∵s=52.5, ∴
当v=112时,
∵s=94.5,∴
经检验,所得结论是正确的.
6.:(1)如答图所示.
∵y=x-2,AD=BC=2,设C点坐标为(m,2),
把C(m,2)代入y=x-2,
2=m-2.∴m=4.∴C(4,2),∴OB=4,AB=3.∴OA=4-3=1,
∴A(1,0),B(4,0),C(4,2),D(1,2).
(2)∵y=x-2,∴令x=0,得y=-2,∴E(0,-2).
设经过E(0,-2),A(1,0),B(4,0) 三点的抛物线关系式为y=ax2+bx+c,
∴, 解得
∴y=.
(3)抛物线顶点在矩形ABCD内部.
∵y=, ∴顶点为.
∵, ∴顶点 在矩形ABCD内部.
7.(1)解:设所求抛物线的关系式为y=ax2+bx+c,
∵A(0,3),B(4,6),对称轴是直线x=.
∴, 解得
∴y=.
(2)证明:令y=0,得=0, ∴
∵A(0,3),取A点关于x轴的对称点E,∴E (0,-3).
设直线BE的关系式为y=kx-3,把B(4,6)代入上式,得6=4k-3,
∴k=,∴y=x-3 .
由 x-3=0,得x= .
故C为,C点与抛物线在x轴上的一个交点重合,
在x轴上任取一点D,在△BED中,BE< BD+DE.
又∵BE=EC+BC,EC=AC,ED=AD,∴AC+BC若D与C重合,则AC+BC=AD+BD. ∴AC+BC≤AD+BD.
8:(1)图中各点字母表示如答图所示.
∵OA=2.5,AB=4,∴OB=4-2.5=1.5.
∴点D坐标为(1.5,3.05).
∵抛物线顶点坐标(0,3.5),
∴设所求抛物线的关系式为y=ax2+3.5,
把D(1.5, 3.05)代入上式,得3.05=a×1.52+3.5,
∴a=-0. 2,∴y=-0.2x2+3.5
(2)∵OA=2.5,∴设C点坐标为(2.5,m),
∴把C(2.5,m)代入y=-0.2x2+3.5,
得m=- 0.2×2.52+3.5=2.25.
∴该运动员跳离地面高度h=m-(1.8+0.25)=2.25-(1.8+0.25)=0.2 (m).
9:(1)∵P=x2+5x+1000,Q=-+45.
∴W=Qx-P=(-+45)-(x2+5x+1000)= .
(2)∵W==-(x-150)2+2000.
∵-<0,∴W有最大值.
当x=150吨时,利润最多,最大利润2000元.
当x=150吨,Q=-+45=40(元).
10:∵y=2x2-kx-1,∴△=(-k)2-4×2×(-1)=k2+8>0,
∴无论k为何实数, 抛物线y=2x2-kx-1与x轴恒有两个交点.
设y=2x2-kx-1与x轴两交点的横坐标分别为x1,x2,且规定x1<2,x2> 2,
∴x1-2<0,x2-2>0.
∴(x1-2)(x2-2)<0,∴x1x2-2(x1+x2)+4<0.
∵x1,x2亦是方程2x2-kx-1=0的两个根,
∴x1+x2=,x1·x2=-,
∴,∴k>.
∴k的取值范围为k>.
法二:∵抛物线y=2x2-kx-1与x轴两交点横坐标一个大于2,另一个小于2,
∴此函数的图象大致位置如答图所示.
由图象知:当x=2时,y<0.
即y=2×22-2k-1<0,∴k>.∴k的取值范围为k>.
11:(1)线段OA,OB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0 的两个根,
∴
又∵OA2+OB2=17,∴(OA+OB)2-2·OA·OB=17.③
把①,②代入③,得m2-4(m-3) =17,∴m2-4m-5=0.解之,得m=-1或m=5.
又知OA+OB=m>0,∴m=-1应舍去.
∴当m=5时,得方程:x2-5x+4=0,解之,得x=1或x=4.
∵BC>AC,∴OB>OA,∴OA=1,OB=4,
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CO⊥AB,
∴OC2=OA·OB=1×4=4.∴OC=2,∴C(0,2)
(2)∵OA=1,OB=4,C,E两点关于x轴对称,
∴A(-1,0),B(4,0),E(0,-2).
设经过A,B,E三点的抛物线的关系式为
y=ax2+bx+c,则 ,解之,得
∴所求抛物线关系式为y=.
(3)存在.∵点E是抛物线与圆的交点.
∴Rt△ACB≌Rt△AEB,∴E(0,-2)符合条件.
∵圆心的坐标(,0 )在抛物线的对称轴上.
∴这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称.
∴点E关于抛物线对称轴的对称点E′也符合题意.
∴可求得E′(3,-2).
∴抛物线上存在点P符合题意,它们的坐标是(0,-2)和(3,-2)
12.(1)y=-2x2+1,y=-2x+1.
(2)y=x2-2x-3
(3)∵伴随抛物线的顶点是(0,c),
∴设它的解析式为y=m(x-0)2+c(m≠0).
∴设抛物线过P,
∴
解得m=-a,∴伴随抛物线关系式为y=-ax2+c.
设伴随直线关系式为y=kx+c(k≠0).
∵P在此直线上,∴, ∴k=.
∴伴随直线关系式为y=x+c
(4)∵抛物线L与x轴有两交点,∴△1=b2-4ac>0,∴b2<4ac.
∵x2>x1>0,∴x1+ x2= ->0,x1x2=>0,∴ab<0,ac>0.
对于伴随抛物线y=-ax2+c,有△2=02-(-4ac)=4ac>0.由-ax2+c=0,得x=.
∴,∴CD=2.
又AB=x2-x1=.
由AB=CD,得 =2, 整理得b2=8ac,综合b2>4ac,ab<0,ac>0,b2=8ac,得a,b,c满足的条件为b2=8ac且ab<0,(或b2=8ac且bc<0).
13.(1)证明:∵y=mx2-(m+5)x+5,∴△=[-(m+5)]2-4m×5=m2+10m+25-20m=(m- 5)2.
不论m取任何实数,(m-5)2≥0,即△≥0,故抛物线与x轴必有交点.
又∵x轴上点的纵坐标均为零,∴令y=0,代入y=mx2-(m+5)x+5,得
mx2-(m+5)x+ 5=0,(mx-5)(x-1)=0,
∴x=或x=1.故抛物线必过x轴上定点(1,0).
(2)解:如答图所示,∵L:y=x+k,把(1,0)代入上式,
得0=1+k,∴k=-1,∴y=x-1.
又∵抛物线与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0),且0∵x1x2>0,∴x1=1, x2=5,∴A(1,0),B(5,0),
把B(5,0)代入y=mx2-(m+5)x+5,得0=25m-(m+5)×5+5.
∴m=1,∴y=x2-6x+5.
∵M点既在直线L:y=x-1上,又在线段AB的垂直平分线上,
∴M点的横坐标x1+=1+.
把x=3代入y=x-1,得y=2.
∴圆心M(3,2),∴半径r=MA=MB= ,
∴MA2=MB2=8.
又AB2=42= 16,∴MA2+MB2=AB2,
∴△ABM为直角三角形,且∠AMB=90°,
∴S弓形ACB=S扇形AMB- S△ABM=.用函数的观点看一元二次方程
班级 姓名
◆基础扫描
1．二次函数与x轴的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2.已知：二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．当＜1时，随的增大而减小; B．若图象与轴有交点，则;
C．当时，不等式＞0的解是1＜＜3;
D．若将图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位后过点（1，－2），则.
3．二次函数的部分对应值如下表：
… …
… …
二次函数图象的对称轴为 ，对应的函数值 。
4.如图,抛物线的对称轴是，与轴交于A、B两点，
若B点的坐标是，则A点的坐标是 .
5.已知抛物线与轴交于A、B两点，则A、B两点间的距离为 。
◆能力拓展
6．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程的两个根．
（2）写出不等式的解集．
（3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围．
（4）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
7．如图二次函数的图象与轴相交于A、B两点，与y轴相交于C、D两点，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D.
(1)求D点的坐标;
(2)求一次函数的表达式;
(3)根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围.
◆创新学习
8．如图，抛物线的顶点坐标是，且经过点.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设该抛物线与轴相交于点，与轴相交于、两点（点在点的左边），
试求点、、的坐标；
(3)设点是轴上的任意一点，分别连结、．试判断：与 的大小关系，并说明理由.
参考答案
1．B 2．B 3． 4．(,0) 5． 6．（1），
（2） （3） （4）
7．(1)D(-2,3) (2) (3)或
8．（1）设抛物线的解析式为
∵抛物线经过，∴，解得：
∴（或）
（2）令得，∴
令得，解得、
∴、
（3）结论：
理由是：①当点重合时，有
②当，∵直线经过点、，
∴直线的解析式为
设直线与轴相交于点，令，得，∴，
则关于轴对称
∴，连结，则，
∴，
∵在中，有
∴
综上所得.
用函数观点看一元二次方程（B）
班级 姓名
一、选择题：
1、已知抛物线与轴两交点在轴同侧，它们的距离的平方等于，则的值为（ ）
A、－2 B、12 C、24 D、－2或24
2、已知二次函数（≠0）与一次函数（≠0）的图像交于点A（－2，4），B（8，2），如图所示，则能使成立的的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、或
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3、如图，抛物线与两坐标轴的交点分别是A、B、E，且△ABE是等腰直角三角形，AE＝BE，则下列关系：①；②；③；④其中正确的有（ ）
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
4、设函数的图像如图所示，它与轴交于A、B两点，线段OA与OB的比为1∶3，则的值为（ ）
A、或2 B、 C、1 D、2
二、填空题：
1、已知抛物线与轴交于两点A（，0），B（，0），且，则＝ 。
2、抛物线与轴的两交点坐标分别是A（，0），B（，0），且，则的值为 。
3、若抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，且∠ACB＝900，则＝ 。
4、已知二次函数与轴交点的横坐标为、，则对于下列结论：①当时，；②当时，；③方程＝0有两个不相等的实数根、；④，；⑤，其中所有正确的结论是 （只填写顺号）。
三、解答题：
1、已知二次函数（≠0）的图像过点E（2，3），对称轴为，它的图像与轴交于两点A（，0），B（，0），且，。
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在（1）中抛物线上是否存在点P，使△POA的面积等于△EOB的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
2、已知抛物线与轴交于点A（，0），B（， 0）两点，与轴交于点C，且，，若点A关于轴的对称点是点D。
（1）求过点C、B、D的抛物线解析式；
（2）若P是（1）中所求抛物线的顶点，H是这条抛物线上异于点C的另一点，且△HBD与△CBD的面积相等，求直线PH的解析式；
3、已知抛物线交轴于点A（，0），B（，0）两点，交轴于点C，且，。
（1）求抛物线的解析式；
（2）在轴的下方是否存在着抛物线上的点，使∠APB为锐角、钝角，若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由。
参考答案
一、选择题：CDBD二、填空题：1、2；2、；3、3；4、①③④
三、解答题：1、（1）；（2）存在，P（，－9）或（，－9）
2、（1）；（2） 3、（1）；
（2）当时∠APB为锐角，当或时∠APB为钝角。
C
x
y
A
B
D
E
O
P
．第2课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与字母系数的关系
要点感知 抛物线y=ax2+bx+c的图象与字母系数a，b，c之间的关系：
(1)当a>0时，开口____，当a<0时，开口____；
(2)若对称轴在y轴的左边，则a，b____，若对称轴在y轴的右边，则a，b____；
(3)若抛物线与y轴的正半轴相交，则c____0，若抛物线与y轴的负半轴相交，则c____0，若抛物线经过原点，则c____0;
(4)当x=1时，y=ax2+bx+c=a+b+c；当x=-1时，y=ax2+bx+c=a-b+c；当x=2时，y=ax2+bx+c=4a+2b+c；当x=-2时，y=ax2+bx+c=4a-2b+c；…;
(5)当对称轴x=1时，x=-=1，所以-b=2a，此时2a+b=0；当对称轴x=-1时，x=-=-1，所以b=2a，此时2a-b=0；判断2a+b大于或者等于0，看对称轴与1的大小关系；判断2a-b大于或者等于0，看对称轴与-1的大小关系;
(6)b2-4ac>0?二次函数与横轴有两个交点；b2-4ac=0?二次函数与横轴有一个交点；b2-4ac<0?二次函数与横轴无交点.
预习练习 (滨州中考)如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x=1，点B坐标为(-1，0).则下面的四个结论：①2a+b=0；②4a-2b+c＜0；③ac＞0；④当y＜0时，x＜-1或x＞2.其中正确的个数是( )
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A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
知识点1 二次函数与字母系数的关系
1.(龙岩中考)若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列选项正确的是( )
A.a>0 B.c>0 C.ac>0 D. bc<0
2.(兰州中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，其对称轴为x=1，下列结论中错误的是( )
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A.abc＜0 B.2a+b=0 C.b2-4ac＞0 D.a-b+c＞0
3.(陕西中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
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A.c>-1 B.b>0 C.2a+b≠0 D.9a+c>3b
4.(达州中考)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1.①b2＞4ac；②4a-2b+c＜0；③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；④若(-2，y1)，(5，y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2.上述4个判断中，正确的是( )
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A.①② B.①④ C.①③④ D.②③④
知识点2 函数图象的综合
5.(泰安中考)在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是( )
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6.(遵义中考)已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是( )
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7.已知二次函数y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是( )
A.k>- B.k>-且k≠0 C.k≥- D.k≥-且k≠0
8.(黔东南中考)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列4个结论：①abc<0；②b0；④b2-4ac>0.其中正确的结论有( )
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A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
9.(齐齐哈尔中考)如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为直线x=，且经过点(2，0).下列说法：①abc<0；②a+b=0；③4a+2b+c<0；④若(-2，y1)，(，y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是( )
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A.①②④ B.③④ C.①③④ D.①②
10.(烟台中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(-1，0)，对称轴为直线x=2.下列结论：
①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞-1时，y的值随x值的增大而增大.
其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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11.(扬州中考)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y轴的直线，若点P(4，0)在该抛物线上，则4a-2b+c的值为____.
12.已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点C(0，1)，且与x轴交于不同的两点A,B，点A的坐标是(1，0).
(1)求c的值;
(2)求a的取值范围.
挑战自我
13.如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A(1,0)，B(3,2).
(1)求m的值和抛物线的解析式；
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(2)求不等式x2+bx+c>x+m的解集(直接写出答案)；
(3)若M(a,y1),N(a+1,y2)两点都在抛物线y=x2+bx+c上，试比较y1与y2的大小.
参考答案
要点感知 (1)向上，向下；
(2)同号，异号；
(3)>，<，=;
预习练习 B
1.C 2.D 3.D 4.B 5.C 6.D
7.D 8.B 9.A 10.B 11.0.
12.(1)c=1.
(2)由图象过C(0，1)，A(1，0)得a＋b＋1=0,∴b=-a-1.
由b2-4ac＞0，可得(-a-1)2-4a＞0,即(a-1)2＞0,故a≠1.又a＞0，
∴a的取值范围是a＞0且a≠1.
挑战自我
13.(1)∵直线y=x+m经过点A(1,0)，∴0=1+m.∴m=-1.
∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(1,0)，B(3,2)，∴0=1+b+c,
2=9+3b+c.解得b=-3,c=2.
∴抛物线的解析式为y=x2-3x+2.
(2)x>3或x<1.
(3)∵M(a,y1),N(a+1,y2)两点都在函数y=x2-3x+2的图象上，
∴y1=a2-3a+2,
y2=(a+1)2-3(a+1)+2=a2-a.
y2-y1=(a2-a)-(a2-3a+2)=2a-2.
∴当2a-2<0,即a<1时，y1>y2;
当2a-2=0,即a=1时，y1=y2;
当2a-2>0,即a>1时，y1一、选择题
1．抛物线与x轴的交点个数有( )．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
考查目的：考查对二次函数图象与x轴交点个数的理解．
答案：A．
解析：，二次函数图象与x轴无交点．故选A．
2．已知二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( )．
A． B． C． D．
考查目的：考查二次函数的图象与x轴有交点与对应一元二次方程根的判别式的关系．
答案：D．
解析：因为二次函数的图象与x轴有交点，对应一元二次方程的判别式非负，所以 ．故选D．
3．函数的图象如图所示，那么关于的一元二次方程的根的情况是（ ）．
A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
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考查目的：考查对一元二次方程根与对应二次函数图象与直线交点关系的理解．
答案：C．
解析：求的根，实际上是求与y=3两个图象交点的横坐标．由图象可得其交点唯一， 因而方程有两个相等的实数根．故选C．
二、填空题
4．已知二次函数的图象与x轴无交点，则k的取值范围是 ．
考查目的：考查对一元二次方程根的情况与抛物线与x轴交点的对应关系理解应用．
答案：．
解析：因为二次函数的图象与x轴无交点，对应一元二次方程的判别式小于零，所以 且解得，
5．已知二次函数的顶点坐标及部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程的两个根分别是和 ．
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考查目的：二次函数图象的对称性及与对应一元二次方程的根与图象与x轴交点的关系．
答案：-3．3．
解析：由对称性可得图象与x轴另一个交点坐标为(-3.3，0)．
6．根据下列表格的对应值，判断方程一个解x的范围是 ．
x 3． 31 3．32 3．33 3．34
-0．07 -0．03 0．02 0．06
考查目的：考查对一元二次方程根与对应二次函数图象与x轴交点关系的理解．
答案：3．32解析： 当，对应，当，对应，所以时，3．32三、解答题
7．利用二次函数图象求一元二次方程的近似根（精确到0．1）．
考查目的：一元二次方程根与对应二次函数与x 轴的交点．
答案：，．
解析：画函数的图象，读出其与x 轴的交点坐标分别约为(0．6，0)和(-1．6，0)．
图象如下图所示：
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8．已知函数二次函数．
求证：不论为何实数，此二次函数的图象与轴都有两个不同交点．
考查目的：二次函数的图象与轴的交点与对应一元二次方程根的判别式取值情况的对应关系．
答案： ，不论为何值时，都有，
此时二次函数图象与轴有两个不同交点．
解析：将对应一元二次方程的根的判别式，进行配方，由其配方式的形式可判断，故方程有两个不等的实数根，所以对应的二次函数与x轴有两个不同交点．
