21.1 一元二次方程
1. 下列方程是一元二次方程的是 （ ）
A. B.
C. D.
2. 一元二次方程的一般形式是 （ ）
A. ax2＋bx＋c＝0 B. ax2＋bx＋c(a≠0)
C. ax2＋bx＋c＝0(a≠0) D. ax2＋bx＋c＝0(b≠0)
3. 若px2－3x＋p2－p＝0是关于x的一元二次方程，则 （ ）
A. p＝1 B. p＞0 C. p≠0 D. p为任意实数
4. 关于x的一元二次方程（3－x）（3＋x）－2a（x＋1）＝5a的一次项系数为 （ ）
A. 8a B. －8a C. 2a D. 7a－9
5. 若（m2－4）x2＋3x－5＝0是关于x的一元二次方程，则 （ ）
A. m≠2 B. m≠－2 C. m≠－2，或m≠2 D. m≠－2，且m≠2
6. 把方程x(x＋1)＝2化为一般形式为 ，二次项系数是 .
7. 已知0是关于x的方程（m＋3）x2－x＋9－m2＝0的根，则m＝ .
8. 某小区有一块等腰直角三角形状的草坪 ( http: / / www.21cnjy.com )，它的面积为8m2，求草坪的周长是多少. 设直角边长为x m，根据题意得方程 . （不解）
9. 若关于x的方程kx2＋3x＋1＝0是一元二次方程，则k .
10. 当m 时，方程（m－1） ( http: / / www.21cnjy.com )x2－(2m－1)x＋m＝0是关于x的一元一次方程；当m 时，上述方程才是关于x的一元二次方程.
11.已知x＝1是一元二次方程ax2＋bx－40＝0的一个根，且a≠b，求的值.
12. 如图所示，有一个面积为120m2的 ( http: / / www.21cnjy.com )长方形鸡场，鸡场一边靠墙（墙长18m），另三边用竹篱笆围成，若所围篱笆的总长为32m，求鸡场的长和宽各为多少米. （只列方程）
( http: / / www.21cnjy.com )
13. 如果x2＋3x＋2与a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c是同一个二次三项式的两种不同形式，你能求出a，b，c的值吗？
参考答案
1. A[提示：抓住一元二次方程的三个特征：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数是2. ]
2. C
3. C[提示：二次项系数不为0. ]
4. C[提示：首先把方程整理为一般形式为x2＋2ax＋7a－9＝0，其中一次项系数为2a. 故选C. ]
5. D[提示：二次项系数m2－4≠0. ]
6. x2＋x－2＝0 1[提示：∵x(x＋1)＝2，∴x2＋x－2＝0. ]
7. ±3[提示：此题分两种两种考虑. 当m＋3＝0时，方程化为一元一次方程；当m＋3≠0时，方程化为一元二次方程. ]
8. [提示：S等腰直角三角形＝两腰乘积. ]
9. ≠0[提示：一元二次方程成立的条件为二次项系数不为0. ]
10. ＝1 ≠1[提示：考查一元一次方程、一元二次方程成立的条件. ]
11. 提示：本题综合考查一元二次方程解的概念和分式的化简及整体代入思想. 解：把x＝1代入一元二次方程ax2＋bx－40＝0，得a＋b－40＝0，∴
12. 解：设平行于墙的边长为x m，则垂直于墙的边长为m，由题意得x·＝120，即x2－32x＋240＝0.
13. 解：能，根据题意得x2＋3x＋2＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c，即x2＋3x＋2＝ax2＋(2a＋b)x＋(a＋b＋c)，解得第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
要点感知1 只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的整式方程，叫一元二次方程.
预习练习1-1 下列方程中：①x2+y-6=0；②x2+=2；③x2-x-2=0；④x2-2+5x3-6x=0.其中是一元二次方程的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
要点感知2 关于x的一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中 是二次项， 是二次项系数； 是一次项， 是一次项系数； 是常数项.
预习练习2-1 一元二次方程2x2- ( http: / / www.21cnjy.com )5x=3的一般形式是 ，其中二次项是 ，一次项的系数是 ，常数项是 .
要点感知3 使一元二次方程两边 的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的 .
预习练习3-1 下列数值是方程x2-x-2=0的根的是 .
①-1； ②0； ③1； ④2.
3-2 已知1是关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+1=0的一个根，则m的值是( )
A.1 B.-1 C.0 D.无法确定
知识点1 一元二次方程的定义及一般形式
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A.ax2+bx+c=0 B.2x2-3x=2(x2-2)
C.x3-2x+7=0 D.(x-2)2-4=0
2.关于x的方程ax2-3x+3=0是一元二次方程，则a的取值范围是( )
A.a＞0 B.a≠0 C.a=1 D.a≥0
3.一个关于x的一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为-5，则这个一元二次方程是 .
4.将一元二次方程2y2-3=y化为一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项.
知识点2 一元二次方程的根
下表是某同学求代数式x2-x的值的情况，根据表格可知方程x2-x=2的根是( )
x -2 -1 0 1 2 3 ...
X2-x 6 2 0 0 2 6 ...
A.x=-1 B.x=0 C.x=2 D.x=-1和x=2
6.下列是方程3x2+x-2=0的解的是( )
A.x=-1 B.x=1 C.x=-2 D.x=2
7.关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.-1或1
知识点3用一元二次方程刻画实际问题中的数量关系
8.兰州市某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x米，则可列方程为( )
A.x(x-10)=200 B.2x+2(x-10)=200
C.2x+2(x+10)=200 D.x (x+10)=200
9.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式.
(1)正方体的表面积为36，求正方体的边长x；
(2)x支球队参加篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，一共进行了30场比赛，求参赛的篮球队支数x.
10.下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )
A.x2+=0 B.ax2+bx+c=0
C.(x-1)(x+2)=1 D.x(x-1)=x2+2x
11.(甘孜中考)一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2，则p的值为( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
12.(牡丹江中考)若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0(a≠0)的解是x=1，则2 013-a-b的值是( )
A.2 018 B.2 008 C.2 014 D.2 012
13.(菏泽中考)已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根-b，则a-b的值为( )
A.1 B.-1 C.0 D.-2
14.(白银中考)若一元二次方程(a+1)x2-ax+a2-1=0的一个根为0，则a= .
15.若关于x的一元二次方程(a-2)x2-(a2-4)x+8=0不含一次项，则a= .
16.小明用30厘米的铁丝围成一斜边长等于13厘米的直角三角形，设该直角三角形的一直角边长x厘米，则另一直 角边长 厘米.列方程得 .
17.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为1和2，则b= ，c= .
18.将下列原方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数以及常数项.
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19.根据下面的问题列出关于x的方程，并将方程化成一般形式：
在圣诞节到来之际，九(四)班所有的同学准备送贺卡相互祝贺，所有同学送完后共送了1 980张，求九(四)班有多 少名同学？
20.已知关于x的方程(m+3)(m-3)x2+(m+3)x+2=0.
(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程
(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？
挑战自我
21.下面是一道作业题，请仔细阅读甲、乙两个同学的答案，判断一下谁的答案正确，若不正确，请给出正确的解答过程.
题目：若x2a+b-2xa-b+3=0是关于x的一元二次方程，则a，b的值各是多少？
学生甲：根据题意，可得,解得
学生乙：根据题意，可得或或或
解得或或或 ( http: / / www.21cnjy.com )
参考答案
要点感知1 一 2
预习练习1-1 A
要点感知2 ax2 a bx b c
预习练习2-1 2x2-5x-3=0 2x2 -5 -3
要点感知3 相等
预习练习3-1 ①④
3-2 B
1.D 2.B 3.2x2+3x-5=0.
4.2y2-3=y，一般形式是2y2-y-3=0，其中二次项系数是2，一次项系数是-，常数项是-3.
5.D 6.A 7.A 8.D
9. (1)6x2=36.一般形式为：6x2-36=0；
(2)x(x-1)=30.一般形式为：x2-x-30=0或x2-x-60=0.
10.C 11.C 12.A 13.A 14.1 15.-2 16.(17-x) x2+(17-x)2=132 17.-3 2
18.
原方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
3x2-2=x 3x2-x-2=0 3 -1 -2
2y2=8 2y2-8=0 2 0 -8
2y(4y+3)=13 8y2+6y-13=0 8 6 -13
(3x-1)(x+2)=1 3x2+5x-3=0 3 5 -3
19.设九(四)班有x名同学，根据题意得：x(x-1)=1 980.
将方程化成一般形式为：x2-x-1 980=0.
20. (1)由题意得(m+3)(m-3)=0且m+3≠0，所以m-3=0，即m=3.
(2)由题意得(m+3)(m-3)≠0，即m≠±3.
21.学生甲、乙的解答过程均不完整，完整的解答过程如下：
根据题意，可得或或或或
解得或或或或 ( http: / / www.21cnjy.com )《一元二次方程》同步试题
首都师范大学附中 周素裹
一、选择题
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）．
A． B． C． D．
考查目的：考查一元二次方程的定义．
答案：D．
解析：一元二次方程是整式方程，含有最高次数项的次数为2，只有一个未知数，A是分式方程，B有两个未知数，C最高次数项为3次，故答案应选择D．
2．已知关于x的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
考查目的：考查一元二次方程一般式中的条件．
答案：B．
解析：方程已经化为了一般形式，当二次项系数为时，方程为一元二次方程，本题答案为B．
3．将方程化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项系数可以是( )
A． 3，2，－1 B． 3，－2，－1 C． 3，－2，1 D． －3，－2，1
考查目的：考查一元二次方程一般式．
答案：C．
解析：根据移项法则，方程可整理为．答案应选择C．
二、填空题
4．把一元二次方程化成一般形式，它的二次项系数是_________；
一次项系数是________，常数项是_________．
考查目的：一元二次方程的一般形式．
答案：1，－1，－10．
解析：去括号得，移项得，所以二次项系数是1，一次项系数是－1，常数项是－10．
5．已知关于的方程方程 当m满足__________时，它是一元一次方程；当满足___________时，它是一元二次方程．
考查目的：考查一元二次方程的概念．
答案：.
解析：当即时，方程是一元一次方程；当即时，方程是一元二次方程．
6．是方程的一个根，那么=_________．
考查目的：方程的根的意义．
答案：-5．
解析：是方程的一个根，根据根的定义可知，可使等式成立，将代入方程，可得，则．
三、解答题
7．根据题意，列出方程：
有一面积为60m2的长方形，将它的一边剪去5m，另一边剪去2m，恰好变成正方形，试求正方形的边长．
考查目的：根据实际问题建立数学模型，抽象出一元二次方程．
答案：设正方形的边长为m，则.
解析：设正方形的边长为m，是解本题的关键，它使得题中蕴含的三个未知数:正方形的边长、长方形的长和宽，得以用同一个未知数表达，这样利用面积为60 m2找到等量关系．
8．关于的一元二次方程的一个根是，求的值．
考查目的：根的意义，一元二次方程的条件．
答案：∵方程的一个根是
∴，
∴，
∴．
当时方程二次项系数，方程不是关于的一元二次方程∴，
当时方程二次项系数，方程是关于的一元二次方程∴．
解析：本题有两个条件:关于的一元二次方程，一个根是，转化成数学符号语言可以得到，所以．
《一元二次方程》基础练习
积累●整合
1、下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c=0 B．m2x+5m+6=0
C．x3－x－1=0 D．（k2+3）x2+2x－=0
2、一元二次方程x2－2（3x－2）+（x+1）=0的一般形式是（ ）
A．x2－5x+5=0 B．x2+5x－5=0
C．x2+5x+5=0 D．x2+5=0
3、方程3x2－x+=0的二次项系数与一次项系数及常数项之积为（ ）
A．3 B．－
C． D．－9
4、下列方程中，不含一次项的是（ ）
A．（2x－1）（1+2x）=0 B．3x2=4x
C．2x2=7－6x D．x（1－x）=0
5、若x=1是方程x2+nx+m=0的根，则m+n的值是（ ）
A．1 B．－1
C．2 D．－2
6、下列说法正确的是（ ）
A．方程ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程
B．方程3x2=4的常数项是4
C．若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根
D．当一次项系数为0时，一元二次方程总有非零解
7、关于x的一元二次方程（a－1）x2+x+a2－1=0的一个根是0，则a的值是（ ）
A．1 B．－1
C．1或－1 D．
8、若ax2－5x+3=0是一元二次方程，则不等式3a+6＞0的解集为（ ）
A．a＞－2 B．a＜－2
C．a＞－ D．a＞－2且a≠0
拓展●应用
9、若一元二次方程2x2+（k+8）x－（2k－3）=0的二次项系数、一次项系数、常数项之和为5，则k=
10、若方程（m－1）x|m|+1－2x=3是关于x的一元二次方程，则m=
11、写出一个一元二次方程，使方程有一个根为0，并且二次项系数为1，
12、已知x=－2是方程x2－mx+2=0的根，则－=
13、关于x的方程（k2－4）x2+（k－2）x+3k－1=0，当k= 时为一元一次方程；当k 时为一元二次方程。
14、根据题意，列出方程：
（1）一个两位数，两个数字的和为6，这两个数字的积等于这个两位数的，设这个两位数的个位数为x，可列出关于x的方程为
（2）有一个面积为20cm2的三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形，它的一条边比这条边上的高长3cm，设这条边的长度为x，可列出关于x的方程为
探索●创新
15、学完一元二次方程后，在一次数学课上，同学们说出了一个方程的特点：
（1）它的一般形式为ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）
（2）它的二次项系数为5
（3）常数项是二次项系数的倒数的相反数
你能写出一个符合条件的方程吗？
16、已知关于x的方程（m－n）x2+mx+n=0，你认为：
（1）当m和n满足什么关系时，该方程是一元二次方程？
（2）当m和n满足什么关系时，该方程是一元一次方程？
参考答案
1、答案：D 解析：A要想成为一元二次方程，需加条件a≠0，B需加条件m≠0，C是一元三次方程，D中不论k为何值，k2+3永远为正，所以D是一元二次方程，故选D
2、答案：A 解析：去括号，合并同类项即可得到答案A
3、答案：D 解析：二次项系数为3，一次项系数为－，常数项为，3×（－）×=－9
4、答案：A 解析：（2x－1）（1+2x）=4x2－1，故选A
5、答案：B 解析：将x=1代入x2+nx+m=0，得到1+n+m=0，即m+n=－1，故选B
6、答案：C 解析：A中需加上a≠0才是一元二次方程，B中的常数项为－4，D中的一元二次方程解可能为0，例如：x2=0，故选C
7、答案：B 解析：将x=0代入方程得到a2－1=0，即a=±1，因为原方程为一元二次方程，即a－1≠0，所以a≠1，所以a=－1，故选B
8、答案：D 解析：因为ax2－5x+3=0是一元二次方程，所以a≠0，3a+6＞0，即a＞－2，所以a＞－2且a≠0。故选D
9、答案：8
解析：2+（k+8）+（－2k+3）=5，所以k=8
10、答案：－1
解析：|m|+1=2，所以m=±1，因为m－1≠0，即m≠1，所以m=－1
11、答案：x2－x=0（答案不唯一）
解析：发挥聪明才智，大胆想象
12、答案：－2
解析：将x=－2代入方程，m=－3，－=－=1－m－3+m=－2
13、答案：－2，≠±2
解析：方程为一元一次方程，k2－4=0，即k=±2，且k－2≠0，即k≠2，所以k=－2
方程为一元二次方程，k2－4≠0，即k≠±2
14、答案：（1）x（6－x）=［10（6－x）+x］
（2）x（x－3）=20
解析：（1）个位数为x，那么十位数为6－x，根据题意得x（6－x）=［10（6－x）+x］
（2）这条边长度为x，那么这条边上的高为x－3，根据三角形的面积公式得x（x－3）=20
15、答案：这个方程是5x2－2x－=0（答案不唯一）
解析：由（1）知这是一元二次方程，由（2）（3）可确定a、c，而b的值不唯一确定，可为任意数，熟悉一元二次方程的定义及特征是解答本题的关键。
16、答案：（1）当m≠n时，方程是一元二次方程
（2）当m=n且m≠0时，方程是一元一次方程
解析：本题主要考查一元二次方程及一元一次 ( http: / / www.21cnjy.com )方程的定义，一元二次方程中ax2中的a不可能为0，即m－n≠0；而一元一次方程中ax中的a不可能为0，即m≠0。对于一元二次方程ax2+bx+c=0一定要注意“a≠0”，当二次项系数为0，而一次项系数不为0时为一元一次方程。
