2023-2024学年初中数学人教版七年级下学期 第五章 相交线与平行线 单元测试 A卷
一、选择题
1．（2023七下·鄞州期中）2022年，中国举办了第二十四届冬季奥林匹克运动会，如图，通过平移左图吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在下面4个图形中，∠1与∠2属于同位角的是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．②③④
3．如图，下列条件中，能判定AB∥EF的是（ ）
①∠B+∠BFE=180°；
②∠1=∠2；
③∠3=∠4；
④∠B=∠5.
A．② B．①③ C．①③④ D．②③④
4．如图，直线DE∥FG，三角尺ABC的顶点B，C分别在DE，FG上.若∠BCF=25°，则∠ABE的度数为（ ）
A．25° B．55° C．65° D．75°
5．（2021七下·历下期中）如图，要把河中的水引到村庄A，小凡先作AB⊥CD，垂足为点B，然后沿AB开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短，其依据是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
6．根据投影屏上出示的填空题，判断下列说法正确的是 （ ）
已知：如图是△ABC.
试说明：∠BAC+∠B+∠C=180°.
解：过点A作DE∥ ◎ .
∴∠DAB=∠B，∠EAC= ＠ .
又∵∠DAB+∠BAC+∠EAC= ▲ .
∴ ※ +∠BAC+∠C=180°.
A．◎代表 AB B．@代表∠BAC
C．▲代表 90° D．※代表∠B
7．如图，已知AB∥EG，BC∥DE，CD∥EF，则x，y，z三者之间的关系是 （ ）
A．x+y+z=180° B．x-z=y C．y-x=z D．y -x=x-z
8．如图，直线m∥n，∠1=100°，∠2=30°，则∠3 的度数为 （ ）
A．70° B．110° C．130° D．150°
9．（2023七下·江汉期末）如图，若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023七下·渝中期末）如图，已知，，点P是射线上一动点（与点A不重合），、分别平分和，分别交射线于点C、D，下列结论：①；②；③当时，；④当点P运动时，的数量关系不变．其中正确结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．（2019七下·白城期中）将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为 .
12．在如图所示的方格纸中，AB∥ ，AB⊥ .
13．如图，已知AB∥CE，∠B=50°，CE平分∠ACD，则∠ACD的度数为 °.
14．如图是一块长方形的场地，长AB=a(m)，宽AD=b(m).已知从A，B两处入口的小路宽都为1m，两小路汇合处路宽为2m，其余部分种植草坪，则草坪的面积为 m .
15．如图，三角形ABC的边BC长为4cm.将三角形ABC平移2cm得到三角形A'B'C'，且BB'⊥BC，则阴影部分的面积为 cm .
三、解答题
16．如图，已知∠1=∠2，∠AED+∠BAE=180°，试问：∠F和∠G相等吗？请说明理由.
17．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点D，C分别落在D'，C的位置上，ED'的延长线与BC交于点G．若∠EFG= 63°，求∠1，∠2的度数．
18．如图，已知AB∥DE，∠1=18°，∠2=125°，求∠BCD的度数.
四、实践探究题
19．（2023七下·南山期中）探究：如图，，，若，求的度数．
请将下面的解答过程补充完整，并填空．
解：因为，
所以 ▲ （ ）.
因为，
所以 ▲ （ ）.
所以等量代换．
因为，
所以 ▲
应用：如图，，，若，求的度数．
20．已知：如图是一个跳棋棋盘，游戏规则是：一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角。跳动时，每-步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从起始角∠1跳到终点角∠3写出其中两种不同路径，
路径1：∠1∠9∠3．
路径2：∠1∠12∠6∠10∠3．
试一试：
（1）从起始角∠1跳到终点角∠8；
（2）从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点角∠8？
21．某学习小组发现一个结论：已知直线a∥b，若直线c∥a，则c∥b.他们发现这个结论应用很广，请你利用这个结论解决以下问题：
已知直线 AB∥CD，点E在AB，CD 之间，点 P，Q分别在直线AB，CD上，连结 PE，EQ.
（1）如图1，过点 E 作 EH∥AB，运用上述结论，探究∠PEQ，∠APE，∠CQE之间的数量关系，并说明理由.
（2）如图2，类比(1)中的方法，运用上述结论，探究∠PEQ，∠APE，∠CQE 之间的数量关系，并说明理由.
（3）如图3，PF 平分∠BPE，QF 平分∠EQD，当∠PEQ=140°时，请直接写出∠PFQ的度数.
五、综合题
22．（2019七下·萝北期末）已知，如图，点F在AB上，点E在CD上，AE、DF分别交BC与H，G，∠A=∠D，∠FGB+∠EHG=180°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若AE⊥BC，直接写出图中所有与∠C互余的角，不需要证明．
23．（2023七下·遵义月考）如图，点O是直线AB上一点，射线OC、OD、OE在直线AB的同一侧，且OC平分∠AOE，OD⊥OC．
（1）如果∠COE=40°，求∠AOD的度数．
（2）如果∠AOE+30°=∠BOE，求∠BOD的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】利用平移设计图案
【解析】【解答】解：能通过平移吉祥物“冰墩墩”得到的图形是B中的图形.
故答案为：B.
【分析】根据平移不会改变图形的方向、形状和大小，只会改变图形的位置，即可一一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：图①中的∠1与∠2是同位角，图②中的∠1与∠2不是同位角，图①中的∠1与∠2是同位角，图①中的∠1与∠2不是同位角，
∴ 在下面4个图形中，∠1与∠2属于同位角的是①③.
故答案为：C.
【分析】两条直线被第三条直线所截，形成的在被截直线的同侧，且在截线同旁的两个角叫做同位角，据此这个判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵ ∠B+∠BFE=180°，∴EF∥AB（同旁内角互补，两直线平行），故①符合题意；
②∵∠1=∠2，∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行），故②不符合题意；
③∵∠3=∠4，∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行），故③符合题意；
④∵∠B=∠5，∴AB∥EF（同位角相等，两直线平行），故④符合题意，
综上能判定出AB∥EF的是①③④.
故答案为：C.
【分析】由同旁内角互补，两直线平行可判断①；由内错角相等，两直线平行可判断②③；由同位角相等，两直线平行可判断④.
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：
故答案为：C．
【分析】根据两直线平行内错角相等解得∠EBC=25°，再根据角的和差解答即可．
5．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：先过点A作AB⊥CD，垂足为点B，
然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，
这样设计的依据是垂线段最短；
故答案为：C．
【分析】根据垂线段最短的性质求解即可。
6．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴ ◎代表 BC，故选项A错误；
B、∵DE∥BC，∴，∴ @代表∠C，故选项B错误；
C、∵，∴ ▲代表 180° ，故选项C错误；
D、∵，∴，∴ ※代表∠B，故选项D正确.
故答案为：D.
【分析】 过点A作DE∥DE，根据平行线的性质两直线平行内错角相等，可得∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，进而结合平角定义及等量代还可得出∠B+∠C+∠BAC=180°，从而逐个判断得出结论.
7．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，延长AB交DE于H，
∵BC//DE，
∴∠ABC=∠AHE=x，
∵CD//EF，AB//EG，
∴∠D=∠DEF=z，∠AHE=∠DEG=z+y，
∴∠ABC=∠DEG，即x=z+y，
∴x-z=y.
故答案为：B．
【分析】延长AB交DE于H，依据两直线平行，同位角相等得∠ABC=∠AHE=x，由两直线平行，内错角相等得∠D=∠DEF=z，∠AHE=∠DEG=z+y，即可得到∠ABC=∠DEG，即x=z+y，进而得到x-z=y．
8．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：作l∥m，如图，
∵ l∥m，m∥n，
∴ l∥n，∠4=∠1，
∴ ∠3=∠4+∠2，
∴ ∠3=∠1+∠2=130°.
故答案为：C.
【分析】作l∥m，由平行于同一直线的两条直线互相平行得l∥n，根据二直线平行，同位角相等可得∠3=∠4+∠2，∠4=∠1，即可求得.
9．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，
∵∠BED=∠BEF+∠DEF，且∠BED=90°，
∴90°=∠B+∠D，
而∠B=42°，
∴∠D=90°-42°=48°.
故答案为：B.
【分析】过点E作EF∥AB，由平行线的传递性可得AB∥CD∥EF，然后根据平行线的性质和角的构成可求解.
10．【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】
∵ AM∥BN
∴ ∠ACB=∠CBN，
故 ① 正确；
∵ AM∥BN，∠A=64°
∴ ∠A+∠ABN=180°
∴ ∠ABN=116°
又∵ BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN
∴ ∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠PBD
∴ ∠ABN=∠ABP+∠PBN=2（CBP+∠PBD）=2∠CBD
∴ ∠CBD=58°，
故 ② 正确；
由①知：∠ACB=∠CBN，∴∠CBN≠∠ABN，
故 ③ 错误；
∵ AM∥BN
∴ ∠ADB=∠DBN
又 ∵ BD平分∠PBN
∴ ∠DBN=∠PBD
∴ ∠ADB=∠PBD
∴ ∠APB=∠ADB+∠PBD=2∠ADB
即∠APB：∠ADB=2：1
故 ④ 正确；
综上，正确结论的是①②④，共3个
故C正确。
【分析】本题考查平行线的性质和角平分线的性质，也要熟练掌握三角形外角定理和内角和定理，方便计算。
11．【答案】如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】命题可以改写为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．
12．【答案】CD；AE
【知识点】垂线的概念；平行线的判定
【解析】【解答】解：由图可得：AB∥CD，∠BAE=90°，
∴AB⊥AE.
故答案为：CD；AE.
【分析】由图形不难得出AB∥CD，∠BAE=90°，再根据垂直的定义可得结论.
13．【答案】100
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AB∥CE，∠B＝50°，
∴∠ECD=∠B=50°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD＝2∠ECD＝2×50°＝100°．
故答案为：100.
【分析】根据两直线平行，同位角相等，可得，角平分线的性质可得∠ACD＝2∠ECD，代入数据可求出答案．
14．【答案】(ab-a-2b+2)
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：由图片可看出，种植草坪的面积正好可以拼成一个长方形，且这个长方形的长为(a-2)m，这个长方形的宽为(b-10)m，
∴草坪的面积为：(a-2)(b-1)=(ab-a-2b+2)m2.
故答案为：(ab-a-2b+2).
【分析】从图中可以看出，利用平移的方法，种植草坪的面积正好可以拼成一个长方形，然后根据题意求出长和宽，最后可求出面积.
15．【答案】8
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵三角形ABC平移2cm得到三角形A'B'C'，
∴
∴阴影部分面积为：S四边形BB'C'C=4×2=8.
故答案为：8.
【分析】根据平移的性质：平移不改变图形的大小，据此即可知阴影部分面积为长方形边形BCC'B'的面积，进而即可求解.
16．【答案】解：相等.理由如下：
∵∠AED+∠BAE=180°，∴AB ∥CD，∴∠1+∠4=∠2+∠3.
又∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，∴AG∥EF，∴∠F=∠G.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】 ∠AED和∠BAE 是同旁内角，由同旁内角互补，两直线平行得AB ∥CD，再由两直线平行，内错角相等得∠BAE=∠AEC，等量代换得∠3=∠4，根据内错角相等，两直线平行得AG∥EF，最后由两直线平行，内错角相等得∠F=∠G.
17．【答案】解：∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFG=63°，由折叠知∠D'EF=∠DEF=63°，
∴∠1=180°-∠D'EF-∠DEF=54°.∵AD∥BC，∴∠1+∠2=180°，∴∠2=180°-∠1=
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠DEF=∠EFG=63°，再根据折叠性质可得∠D'EF=∠DEF=63°，即可求得∠1=180°-∠D'EF-∠DEF=54°；两直线平行，同旁内角互补，可得∠1+∠2=180°，即可求出∠2.
18．【答案】解：过点C 作CF∥AB，如图所示：
∵AB∥DE，CF∥AB，∴CF∥DE，∴∠2+∠4=180°，
又∵∠2=125°，∴∠4=55°，
又∵CF∥AB，∴∠1=∠3，
又∵∠1 =18°，∴∠3=18°，
又∵∠BCD=∠3+∠4，∴∠BCD =73°.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】过点C作CF∥AB，由平行于同一条直线的两条直线互相平行得到AB∥DE，根据两直线平行，同旁内角互补得∠4=180°- ∠2=55° ；由两直线平行，内错角相等得∠3= ∠1=18° ，∠BCD=∠3+∠4即可求解.
19．【答案】解：探究：如图，
因为，
所以两直线平行，内错角相等，
因为，
所以两直线平行，同位角相等，
所以等量代换，
因为，
所以．
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】根据平行线的性质：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；进行分析即可得出答案.
20．【答案】（1）解：路径：；
（2）解： 从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能跳到终点角∠8 ，其路径为：.
【知识点】同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【分析】（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线(截线)的两旁，则这样一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，据此逐个判断可找出从起始角∠1跳到终点角∠8的路径；
（2）根据同位角、内错角、同旁内角定义定义逐个判断可找出从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，跳到终点角∠8的路径.
21．【答案】（1）解：∠PEQ=∠APE+∠CQE，理由如下：
∵AB∥CD，EH//AB，
∴AB∥EH//CD，
∴∠APE=∠PEH，∠CQE=∠QEH，
∵∠PEQ=∠PEH+∠QEH，
∴∠PEQ=∠APE+∠CQE；
（2）解：∠APE+∠CQE+∠PEQ=360°，理由如下：
过点E作EG//AB，
∵AB∥CD，EG//AB，
∴AB∥EG//CD，
∴∠APE+∠PEG=180°，
∠CQE+∠QEG=180°，
∴∠APE+∠PEG+∠CQE+∠QEG=360°，
即∠APE+∠CQE+∠PEQ=360°；
（3）∠PFQ=110°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）根据（1）（2）可得，
，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
根据题意可得，
∴，
∴．
【分析】（1）∠PEQ=∠APE+∠CQE，理由如下：根据二直线平行，内错角相等可知：∠APE=∠PEH，∠CQE=∠QEH，再结合∠PEQ=∠PEH+∠QEH，证明即可；
（2）∠APE+∠CQE+∠PEQ=360°，理由如下：过点E作EG//AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得平行线的性质可得AB∥EG//CD，由二直线平行，同旁内角互补得∠APE+∠PEG=180°，∠CQE+∠QEG=180°，将两式相加即可得出结论；
（3）根据（1）（2）的结果证明即可；
22．【答案】（1）证明：∵∠FGB+∠EHG=180°，
∴∠HGD+∠EHG=180°，
∴AE∥DF，
∴∠A+∠AFD=180°，
又∵∠A=∠D，
∴∠D+∠AFD=180°，
∴AB∥CD．
（2）与∠C互余的角有∠AEC、∠A、∠D、∠BFG．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）∵AE⊥BC，
∴∠CHE=90°，
∴∠C+∠AEC=90°，即∠C与∠AEC互余，
∵AE∥DF，
∴∠AEC=∠D，∠A=∠BFG，
∵AB∥CD，
∴∠AEC=∠A，
综上，与∠C互余的角有∠AEC、∠A、∠D、∠BFG．
【分析】（1）由∠FGB+∠EHG=180°易得AE∥DF，从而有∠A+∠AFD=180°，又因∠A=∠D，所以∠D+∠AFD=180°，则AB∥CD． （2）利用平行线性质，进行角度替换可得到与∠C互余的角有∠AEC、∠A、∠D、∠BFG．
23．【答案】（1）解：∵OC平分∠AOE，
∴∠COE=∠AOC=40°，
∵OD⊥OC，
∴∠COD=90°．
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=130°；
（2）解：∵∠AOE+30°=∠BOE，∠AOE+∠BOE=180°，
∴∠AOE=75°，∠BOE=105° ，
∵OC平分∠AOE，
∴∠AOC=∠AOE= 37.5°，
∵∠COD=90°，
∴∠BOD=90°-37.5°= 52.5°．
【知识点】角的运算；垂线的概念；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义求出∠AOC的度数，再利用垂直的定义求出∠COD的度数；然后根据∠AOD=∠AOC+∠COD，代入计算求出∠AOD的度数.
（2）利用邻补角的定义和已知条件，可求出∠AOE，∠BOE的度数，利用角平分线的定义求出∠AOC的度数；然后根据∠BOD=90°-∠AOC，代入计算求出∠BOD的度数.
1 / 12023-2024学年初中数学人教版七年级下学期 第五章 相交线与平行线 单元测试 A卷
一、选择题
1．（2023七下·鄞州期中）2022年，中国举办了第二十四届冬季奥林匹克运动会，如图，通过平移左图吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】利用平移设计图案
【解析】【解答】解：能通过平移吉祥物“冰墩墩”得到的图形是B中的图形.
故答案为：B.
【分析】根据平移不会改变图形的方向、形状和大小，只会改变图形的位置，即可一一判断得出答案.
2．如图，在下面4个图形中，∠1与∠2属于同位角的是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．②③④
【答案】C
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：图①中的∠1与∠2是同位角，图②中的∠1与∠2不是同位角，图①中的∠1与∠2是同位角，图①中的∠1与∠2不是同位角，
∴ 在下面4个图形中，∠1与∠2属于同位角的是①③.
故答案为：C.
【分析】两条直线被第三条直线所截，形成的在被截直线的同侧，且在截线同旁的两个角叫做同位角，据此这个判断得出答案.
3．如图，下列条件中，能判定AB∥EF的是（ ）
①∠B+∠BFE=180°；
②∠1=∠2；
③∠3=∠4；
④∠B=∠5.
A．② B．①③ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵ ∠B+∠BFE=180°，∴EF∥AB（同旁内角互补，两直线平行），故①符合题意；
②∵∠1=∠2，∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行），故②不符合题意；
③∵∠3=∠4，∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行），故③符合题意；
④∵∠B=∠5，∴AB∥EF（同位角相等，两直线平行），故④符合题意，
综上能判定出AB∥EF的是①③④.
故答案为：C.
【分析】由同旁内角互补，两直线平行可判断①；由内错角相等，两直线平行可判断②③；由同位角相等，两直线平行可判断④.
4．如图，直线DE∥FG，三角尺ABC的顶点B，C分别在DE，FG上.若∠BCF=25°，则∠ABE的度数为（ ）
A．25° B．55° C．65° D．75°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：
故答案为：C．
【分析】根据两直线平行内错角相等解得∠EBC=25°，再根据角的和差解答即可．
5．（2021七下·历下期中）如图，要把河中的水引到村庄A，小凡先作AB⊥CD，垂足为点B，然后沿AB开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短，其依据是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：先过点A作AB⊥CD，垂足为点B，
然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，
这样设计的依据是垂线段最短；
故答案为：C．
【分析】根据垂线段最短的性质求解即可。
6．根据投影屏上出示的填空题，判断下列说法正确的是 （ ）
已知：如图是△ABC.
试说明：∠BAC+∠B+∠C=180°.
解：过点A作DE∥ ◎ .
∴∠DAB=∠B，∠EAC= ＠ .
又∵∠DAB+∠BAC+∠EAC= ▲ .
∴ ※ +∠BAC+∠C=180°.
A．◎代表 AB B．@代表∠BAC
C．▲代表 90° D．※代表∠B
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴ ◎代表 BC，故选项A错误；
B、∵DE∥BC，∴，∴ @代表∠C，故选项B错误；
C、∵，∴ ▲代表 180° ，故选项C错误；
D、∵，∴，∴ ※代表∠B，故选项D正确.
故答案为：D.
【分析】 过点A作DE∥DE，根据平行线的性质两直线平行内错角相等，可得∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，进而结合平角定义及等量代还可得出∠B+∠C+∠BAC=180°，从而逐个判断得出结论.
7．如图，已知AB∥EG，BC∥DE，CD∥EF，则x，y，z三者之间的关系是 （ ）
A．x+y+z=180° B．x-z=y C．y-x=z D．y -x=x-z
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，延长AB交DE于H，
∵BC//DE，
∴∠ABC=∠AHE=x，
∵CD//EF，AB//EG，
∴∠D=∠DEF=z，∠AHE=∠DEG=z+y，
∴∠ABC=∠DEG，即x=z+y，
∴x-z=y.
故答案为：B．
【分析】延长AB交DE于H，依据两直线平行，同位角相等得∠ABC=∠AHE=x，由两直线平行，内错角相等得∠D=∠DEF=z，∠AHE=∠DEG=z+y，即可得到∠ABC=∠DEG，即x=z+y，进而得到x-z=y．
8．如图，直线m∥n，∠1=100°，∠2=30°，则∠3 的度数为 （ ）
A．70° B．110° C．130° D．150°
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：作l∥m，如图，
∵ l∥m，m∥n，
∴ l∥n，∠4=∠1，
∴ ∠3=∠4+∠2，
∴ ∠3=∠1+∠2=130°.
故答案为：C.
【分析】作l∥m，由平行于同一直线的两条直线互相平行得l∥n，根据二直线平行，同位角相等可得∠3=∠4+∠2，∠4=∠1，即可求得.
9．（2023七下·江汉期末）如图，若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，
∵∠BED=∠BEF+∠DEF，且∠BED=90°，
∴90°=∠B+∠D，
而∠B=42°，
∴∠D=90°-42°=48°.
故答案为：B.
【分析】过点E作EF∥AB，由平行线的传递性可得AB∥CD∥EF，然后根据平行线的性质和角的构成可求解.
10．（2023七下·渝中期末）如图，已知，，点P是射线上一动点（与点A不重合），、分别平分和，分别交射线于点C、D，下列结论：①；②；③当时，；④当点P运动时，的数量关系不变．其中正确结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】
∵ AM∥BN
∴ ∠ACB=∠CBN，
故 ① 正确；
∵ AM∥BN，∠A=64°
∴ ∠A+∠ABN=180°
∴ ∠ABN=116°
又∵ BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN
∴ ∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠PBD
∴ ∠ABN=∠ABP+∠PBN=2（CBP+∠PBD）=2∠CBD
∴ ∠CBD=58°，
故 ② 正确；
由①知：∠ACB=∠CBN，∴∠CBN≠∠ABN，
故 ③ 错误；
∵ AM∥BN
∴ ∠ADB=∠DBN
又 ∵ BD平分∠PBN
∴ ∠DBN=∠PBD
∴ ∠ADB=∠PBD
∴ ∠APB=∠ADB+∠PBD=2∠ADB
即∠APB：∠ADB=2：1
故 ④ 正确；
综上，正确结论的是①②④，共3个
故C正确。
【分析】本题考查平行线的性质和角平分线的性质，也要熟练掌握三角形外角定理和内角和定理，方便计算。
二、填空题
11．（2019七下·白城期中）将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为 .
【答案】如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】命题可以改写为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．
12．在如图所示的方格纸中，AB∥ ，AB⊥ .
【答案】CD；AE
【知识点】垂线的概念；平行线的判定
【解析】【解答】解：由图可得：AB∥CD，∠BAE=90°，
∴AB⊥AE.
故答案为：CD；AE.
【分析】由图形不难得出AB∥CD，∠BAE=90°，再根据垂直的定义可得结论.
13．如图，已知AB∥CE，∠B=50°，CE平分∠ACD，则∠ACD的度数为 °.
【答案】100
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AB∥CE，∠B＝50°，
∴∠ECD=∠B=50°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD＝2∠ECD＝2×50°＝100°．
故答案为：100.
【分析】根据两直线平行，同位角相等，可得，角平分线的性质可得∠ACD＝2∠ECD，代入数据可求出答案．
14．如图是一块长方形的场地，长AB=a(m)，宽AD=b(m).已知从A，B两处入口的小路宽都为1m，两小路汇合处路宽为2m，其余部分种植草坪，则草坪的面积为 m .
【答案】(ab-a-2b+2)
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：由图片可看出，种植草坪的面积正好可以拼成一个长方形，且这个长方形的长为(a-2)m，这个长方形的宽为(b-10)m，
∴草坪的面积为：(a-2)(b-1)=(ab-a-2b+2)m2.
故答案为：(ab-a-2b+2).
【分析】从图中可以看出，利用平移的方法，种植草坪的面积正好可以拼成一个长方形，然后根据题意求出长和宽，最后可求出面积.
15．如图，三角形ABC的边BC长为4cm.将三角形ABC平移2cm得到三角形A'B'C'，且BB'⊥BC，则阴影部分的面积为 cm .
【答案】8
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵三角形ABC平移2cm得到三角形A'B'C'，
∴
∴阴影部分面积为：S四边形BB'C'C=4×2=8.
故答案为：8.
【分析】根据平移的性质：平移不改变图形的大小，据此即可知阴影部分面积为长方形边形BCC'B'的面积，进而即可求解.
三、解答题
16．如图，已知∠1=∠2，∠AED+∠BAE=180°，试问：∠F和∠G相等吗？请说明理由.
【答案】解：相等.理由如下：
∵∠AED+∠BAE=180°，∴AB ∥CD，∴∠1+∠4=∠2+∠3.
又∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，∴AG∥EF，∴∠F=∠G.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】 ∠AED和∠BAE 是同旁内角，由同旁内角互补，两直线平行得AB ∥CD，再由两直线平行，内错角相等得∠BAE=∠AEC，等量代换得∠3=∠4，根据内错角相等，两直线平行得AG∥EF，最后由两直线平行，内错角相等得∠F=∠G.
17．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点D，C分别落在D'，C的位置上，ED'的延长线与BC交于点G．若∠EFG= 63°，求∠1，∠2的度数．
【答案】解：∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFG=63°，由折叠知∠D'EF=∠DEF=63°，
∴∠1=180°-∠D'EF-∠DEF=54°.∵AD∥BC，∴∠1+∠2=180°，∴∠2=180°-∠1=
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠DEF=∠EFG=63°，再根据折叠性质可得∠D'EF=∠DEF=63°，即可求得∠1=180°-∠D'EF-∠DEF=54°；两直线平行，同旁内角互补，可得∠1+∠2=180°，即可求出∠2.
18．如图，已知AB∥DE，∠1=18°，∠2=125°，求∠BCD的度数.
【答案】解：过点C 作CF∥AB，如图所示：
∵AB∥DE，CF∥AB，∴CF∥DE，∴∠2+∠4=180°，
又∵∠2=125°，∴∠4=55°，
又∵CF∥AB，∴∠1=∠3，
又∵∠1 =18°，∴∠3=18°，
又∵∠BCD=∠3+∠4，∴∠BCD =73°.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】过点C作CF∥AB，由平行于同一条直线的两条直线互相平行得到AB∥DE，根据两直线平行，同旁内角互补得∠4=180°- ∠2=55° ；由两直线平行，内错角相等得∠3= ∠1=18° ，∠BCD=∠3+∠4即可求解.
四、实践探究题
19．（2023七下·南山期中）探究：如图，，，若，求的度数．
请将下面的解答过程补充完整，并填空．
解：因为，
所以 ▲ （ ）.
因为，
所以 ▲ （ ）.
所以等量代换．
因为，
所以 ▲
应用：如图，，，若，求的度数．
【答案】解：探究：如图，
因为，
所以两直线平行，内错角相等，
因为，
所以两直线平行，同位角相等，
所以等量代换，
因为，
所以．
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】根据平行线的性质：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；进行分析即可得出答案.
20．已知：如图是一个跳棋棋盘，游戏规则是：一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角。跳动时，每-步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从起始角∠1跳到终点角∠3写出其中两种不同路径，
路径1：∠1∠9∠3．
路径2：∠1∠12∠6∠10∠3．
试一试：
（1）从起始角∠1跳到终点角∠8；
（2）从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点角∠8？
【答案】（1）解：路径：；
（2）解： 从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能跳到终点角∠8 ，其路径为：.
【知识点】同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【分析】（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线(截线)的两旁，则这样一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，据此逐个判断可找出从起始角∠1跳到终点角∠8的路径；
（2）根据同位角、内错角、同旁内角定义定义逐个判断可找出从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，跳到终点角∠8的路径.
21．某学习小组发现一个结论：已知直线a∥b，若直线c∥a，则c∥b.他们发现这个结论应用很广，请你利用这个结论解决以下问题：
已知直线 AB∥CD，点E在AB，CD 之间，点 P，Q分别在直线AB，CD上，连结 PE，EQ.
（1）如图1，过点 E 作 EH∥AB，运用上述结论，探究∠PEQ，∠APE，∠CQE之间的数量关系，并说明理由.
（2）如图2，类比(1)中的方法，运用上述结论，探究∠PEQ，∠APE，∠CQE 之间的数量关系，并说明理由.
（3）如图3，PF 平分∠BPE，QF 平分∠EQD，当∠PEQ=140°时，请直接写出∠PFQ的度数.
【答案】（1）解：∠PEQ=∠APE+∠CQE，理由如下：
∵AB∥CD，EH//AB，
∴AB∥EH//CD，
∴∠APE=∠PEH，∠CQE=∠QEH，
∵∠PEQ=∠PEH+∠QEH，
∴∠PEQ=∠APE+∠CQE；
（2）解：∠APE+∠CQE+∠PEQ=360°，理由如下：
过点E作EG//AB，
∵AB∥CD，EG//AB，
∴AB∥EG//CD，
∴∠APE+∠PEG=180°，
∠CQE+∠QEG=180°，
∴∠APE+∠PEG+∠CQE+∠QEG=360°，
即∠APE+∠CQE+∠PEQ=360°；
（3）∠PFQ=110°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）根据（1）（2）可得，
，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
根据题意可得，
∴，
∴．
【分析】（1）∠PEQ=∠APE+∠CQE，理由如下：根据二直线平行，内错角相等可知：∠APE=∠PEH，∠CQE=∠QEH，再结合∠PEQ=∠PEH+∠QEH，证明即可；
（2）∠APE+∠CQE+∠PEQ=360°，理由如下：过点E作EG//AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得平行线的性质可得AB∥EG//CD，由二直线平行，同旁内角互补得∠APE+∠PEG=180°，∠CQE+∠QEG=180°，将两式相加即可得出结论；
（3）根据（1）（2）的结果证明即可；
五、综合题
22．（2019七下·萝北期末）已知，如图，点F在AB上，点E在CD上，AE、DF分别交BC与H，G，∠A=∠D，∠FGB+∠EHG=180°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若AE⊥BC，直接写出图中所有与∠C互余的角，不需要证明．
【答案】（1）证明：∵∠FGB+∠EHG=180°，
∴∠HGD+∠EHG=180°，
∴AE∥DF，
∴∠A+∠AFD=180°，
又∵∠A=∠D，
∴∠D+∠AFD=180°，
∴AB∥CD．
（2）与∠C互余的角有∠AEC、∠A、∠D、∠BFG．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）∵AE⊥BC，
∴∠CHE=90°，
∴∠C+∠AEC=90°，即∠C与∠AEC互余，
∵AE∥DF，
∴∠AEC=∠D，∠A=∠BFG，
∵AB∥CD，
∴∠AEC=∠A，
综上，与∠C互余的角有∠AEC、∠A、∠D、∠BFG．
【分析】（1）由∠FGB+∠EHG=180°易得AE∥DF，从而有∠A+∠AFD=180°，又因∠A=∠D，所以∠D+∠AFD=180°，则AB∥CD． （2）利用平行线性质，进行角度替换可得到与∠C互余的角有∠AEC、∠A、∠D、∠BFG．
23．（2023七下·遵义月考）如图，点O是直线AB上一点，射线OC、OD、OE在直线AB的同一侧，且OC平分∠AOE，OD⊥OC．
（1）如果∠COE=40°，求∠AOD的度数．
（2）如果∠AOE+30°=∠BOE，求∠BOD的度数．
【答案】（1）解：∵OC平分∠AOE，
∴∠COE=∠AOC=40°，
∵OD⊥OC，
∴∠COD=90°．
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=130°；
（2）解：∵∠AOE+30°=∠BOE，∠AOE+∠BOE=180°，
∴∠AOE=75°，∠BOE=105° ，
∵OC平分∠AOE，
∴∠AOC=∠AOE= 37.5°，
∵∠COD=90°，
∴∠BOD=90°-37.5°= 52.5°．
【知识点】角的运算；垂线的概念；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义求出∠AOC的度数，再利用垂直的定义求出∠COD的度数；然后根据∠AOD=∠AOC+∠COD，代入计算求出∠AOD的度数.
（2）利用邻补角的定义和已知条件，可求出∠AOE，∠BOE的度数，利用角平分线的定义求出∠AOC的度数；然后根据∠BOD=90°-∠AOC，代入计算求出∠BOD的度数.
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