2023-2024学年初中数学人教版七年级下学期 第五章 相交线与平行线 单元测试 B卷
一、选择题
1．（2024七上·吴兴期末）如图是小周同学在校运会上投掷实心球的场景，当投掷完毕时，测量员选取AB的长度作为小周的成绩，其依据是（ ）．
A．垂线段最短
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
2．（2023七上·从江期中）直线、线段、射线的位置如图所示，下图中能相交的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024八上·邵阳期末）在下列命题中，是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．若，则
C．两个锐角的和是钝角
D．有两个角相等的三角形是等腰三角形
4．（2024七上·衡山期末）如图，直线，的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若，，则的大小为（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
5．（2024七上·榆树期末）如图，下列条件中能判定是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，将网格中的三条线段沿网格线的方向(水平或竖直)平移后组成一个首尾依次相接的三角形，至少需要移动 （ ）
A．12格 B．11格 C．9 格 D．8格
7．下列图形中，周长最长的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2017-2018学年数学浙教版七年级下册1.5图形的平移 同步练习---基础篇）如图，A，B，C，D中的哪幅图案可以通过图案①平移得到（ ）
A． B． C． D．
9．过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图1，当光从空气进入水中时，会发生折射，满足入射角∠1 与折射角∠2 的度数比为4：3.如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气进入水中，两条入射光线与水面的夹角分别为α，β，水中两条折射光线的夹角为γ，则α，β，γ三者之间的数量关系为（ ）
A． B．
C．α+β=γ D．
二、填空题
11．（2022七下·惠州期中）“平行于同一条直线的两条直线平行”是 命题（填“真”或“假”）．
12．如图1，一块长为a(cm)，宽为b(cm)的长方形地板中间有一条裂缝.如图2，若把裂缝右边的一块向右平移x(cm)，则产生的裂缝的面积为 cm2.
13．如图，平面反光镜AC斜放在地面AB上，一束光线从地面上的P点射出，DE是反射光线.已知∠APD=120°，若要使反射光线DE∥AB，则∠CAB应调节为 °(提示：∠ADP=∠CDE，三角形的内角和等于180°).
14．（2023七上·温州期末）如图，直线AB，CD交于点O，∠AOC：∠COE=1：2．若∠BOD=28°，则∠COE等于 度．
15．如图，将长方形纸片 ABCD沿EF折叠后，点A，B分别落在A'，B'的位置，再沿AD边将∠A'折叠到∠H处，若∠1=52°，则∠AEF= ，∠FEH= .
三、作图题
16．（2019八下·城固期末）如图，已知直线l和l外一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P.（保留作图痕迹，不写作法）
17．如图，在∠AOB 内有一点 P.
（1）过点 P 作l1∥OA.
（2）过点 P 作l2∥OB.
（3）用量角器量一量 l1 与 l2 的夹角与∠O 有怎样的数量关系
四、解答题
18．（2024七上·吴兴期末）如图，已知直线AB与CD相交于点O，OD平分∠BOE，∠AOE＝126°．
（1）求∠AOC的度数.
（2）若直线OF⊥OE，求∠DOF的度数.
五、实践探究题
19．（2024七上·长春汽车经济技术开发期末）如图
（1）【感知】已知：如图①，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求证：AB∥CD．
将下列证明过程补充完整：
证明：∵CE平分∠ACD（已知），
∴∠2＝∠ ▲ （角平分线的定义），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠ ▲ （等量代换），
∴AB∥CD（ ）．
（2）【探究】已知：如图②，点E在AB上，且CE平分∠ACD，AB∥CD．求证：∠1＝∠2．
（3）【应用】如图③，BE平分∠DBC，点A是BD上一点，过点A作AE∥BC交BE于点E，∠ABC：∠BAE＝4：5，直接写出∠E的度数．
20．（2024七上·九台期末）【教材呈现】如图是华师版七年级上册数学教材第176页的部分内容．有了“两直线平行，同位角相等”，我们就能用推理的方法得出“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”．
如图①，已知平行线a、b被直线l所截，我们将∠1的对顶角记为∠3．
（1）下面是“两直线平行，内错角相等”的推理过程，在括号内填写理由．
∵a∥b（ ），
∴∠2＝∠3（ ）．
∵∠1＝∠3（ ），
∴∠1＝∠2（ ）．
（2）【拓展应用】如图②，AB∥CD，BC∥DE，若∠B＝47°，则∠D＝ °．
（3）如图③，已知AB∥CD，∠1＝∠2，试说明∠BEF＝∠EFC．
21．小明完成作业后在家复习，他看到七下课本第12页例4，感到这个结论十分有趣，便尝试探究起来.
（1）【基础巩固】
与例4条件和结论互换，改成了：“如图1，AP 平分∠BAC，CP平分∠ACD，AB∥CD，则∠1+∠2=90°，”小明认为这个结论正确，你赞同他的想法吗 请说明理由.
（2）【尝试探究】
小明发现：若将其中一条角平分线改成AC的垂线，则“∠1+∠2=90°”这个结论不成立.请帮小明完成探究：
如图2，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP⊥AC，∠1是AP与AB的夹角，∠2 是CP与CD的夹角.
①若∠2=22°，求∠1的度数.
②试说明：2∠1-∠2=90°.
（3）【拓展提高】
如图3，若AB∥CD，AP⊥AC，CP平分∠ACD，请直接写出∠1与∠2的数量关系.
六、综合题
22．（2023七上·哈尔滨月考）已知：点E在线段间（如图1）．连接．．
（1）求证：．
（2）如图2，点F在点E右侧．连接．求证．
（3）如图3在（2）的条件下，线段，的延长线交于点H．交于点K．当平分，平分，，时，求的度数．
23．（2023七下·冷水滩期末）如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点E，点F，平分交于点M，且．
（1）判断直线与直线是否平行，并说明理由；
（2）如图2，点G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设．
①当点G在点F的右侧时，若，求的度数；
②当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：掷实心球，看的是谁抛的最远，测量的是点到直线的距离，所以测量垂线段长.
故答案为：A.
【分析】根据测量的是点到直线的距离，可得依据是垂线段最短.
2．【答案】B
【知识点】直线、射线、线段；平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：A：因为射线CD向CD方向延伸，所以不会相交，所以A不符合题意；
B：因为射线CD向CD方向延伸，且AB是直线，所以能相交，所以B符合题意；
C：因为射线AB向AB方向延伸，所以不会相交，所以C不符合题意；
D：因为CD是线段，不向两方延伸，所以不会相交，所以D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据射线，线段，直线的特征进行判断，即可得出答案。
3．【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A： 相等的角是对顶角不正确，所以A不是真命题；
B：若，c＞0时，则 ，c＜0时， ，所以B不是真命题；
C： 锐角20°和锐角30°，两角相加等于50°是锐角，所以C不是真命题；
D： 有两个角相等的三角形是等腰三角形 正确，所以D是真命题。
故答案为：D。
【分析】分别判断出各命题是否正确，从而得出真命题。
4．【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】根据题意可得：∠CAB=90°，
∵a//b，，，
∴∠ABC=180°-∠1-∠CAB-∠2=180°-15°-90°-25°=50°，
故答案为：A.
【分析】利用平行线的性质及，，列出算式求出∠ABC的度数即可.
5．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵无法判断，∴A不正确，不符合题意；
B、∵，∴AD//BC，无法判断出，∴B不正确，不符合题意；
C、∵，∴AD//BC，无法判断出，∴C不正确，不符合题意；
D、∵，∴，∴D正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用平行线的判定方法逐项分析判断即可.
6．【答案】C
【知识点】作图﹣平移
【解析】【解答】解：如图，
先将左边的线段向右平移3格；再将中间的线段向下平移2格；最后将右边的线段向左平移2格，再向上平移2格，即可得到一个三角形，这种平移方法平移的格数最少，
∴至少需要移动3+2+2+2=9格.
故答案为：C.
【分析】本题考查由图形平移产生的计算，要使平移的格数最少，可将它们朝同一目标共同移动，此时需要平移的格数最少.
7．【答案】A
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：A、周长大于12cm，
B、周长为，
C、周长为
D、周长为
故答案为：A.
【分析】通过平移可得，B、C、D选项中图形的周长都等于长是4厘米，宽是2厘米的长方形的周长，A选项中的图形的周长等于长是4厘米，宽是2厘米的长方形的周长加上中间两条竖直线段的长度，所以A选项中的图形的周长最长.
8．【答案】D
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：通过图案①平移得到必须与图案①完全相同，角度也必须相同
瘵察图形可知D可通过图案①平移得到，
故答案为：D
【分析】根据平移的性质，观察图形即可得出答案。
9．【答案】D
【知识点】作图-平行线
【解析】【解答】A、作了角的平分线与等腰三角形，则得到了一组内错角相等，可证两直线平行，故A不符合题意．
B、作了一个角等于已知角，则得到了一组同位角相等，可证两直线平行，故B不符合题意．
C、作了垂线，通过垂直于同一条直线的两条直线平行可判定，故C不符合题意．
D、只作了两条线段相等，无法证出两直线平行，故D符合题意．
故选：D．
【分析】通过分析作图的步骤，根据平行线的判定方法来判断是否平行即可.
10．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：作三条平行线，如图，
根据题意得，∠1=(90°-α），∠3=(90°-β），
由平行的性质得，∠2=∠1，∠4=∠3，
∴ γ=∠2+∠4=∠1+∠3=(90°-α)+(90°-β），
∴(α+β）=135°-γ.
故答案为：B.
【分析】作三条平行线，根据题意中的光的折射原理可得，∠1=(90°-α），∠3=(90°-β），再根据平行线的性质得∠2=∠1，∠4=∠3，即可求得.
11．【答案】真
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：根据平行公理可知“平行于同一直线的两直线互相平行”是真命题．故答案为：真．
【分析】根据真命题的定义求解即可。
12．【答案】bx
【知识点】平移的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：如图，
产生的裂缝的面积=S长方形ABCD-ab=（a+x）b-ab=bx（cm2）．
故答案为：bx．
【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等；利用新长方形的面积减去原矩形的面积得到产生的裂缝的面积．
13．【答案】30
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：要使DE∥AB，则∠APD=∠PDE，
∵∠APD=120°，
∴∠PDE=120°，
∵ ∠ADP=∠CDE， ∠ADP+∠PDE+∠CDE=180°，
∴ ∠ADP=∠CDE=30°，
∴∠CAB=180°-∠APD-∠ADP=30°.
故答案为：30.
【分析】根据内错角相等，二直线平行，可得∠PDE=120°，由光的反射原理及平角的定义可得 ∠ADP=∠CDE=30°，最后根据三角形的内角和定理，由∠CAB=180°-∠APD-∠ADP可算出答案.
14．【答案】56
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠BOD=∠AOC=28°， ∠AOC：∠COE=1：2
∴∠COE=2∠AOC=2×28°=56°.
故答案为：56
【分析】利用对顶角相等可求出∠AOC的度数，再根据 ∠AOC：∠COE=1：2 ，可得到∠COE=2∠AOC，代入计算求出∠COE的度数.
15．【答案】116°；12°
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】由折叠可知∠BFE=∠EFB’，∠AEF=∠A'EF，∠GEH=∠A'EG
∵∠1=52°，
∴∠BFB'=180°-∠1=128°，
∴∠BFE=∠EFB’=64°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF+∠BFE=180°，∠DEF=∠BFE=64°，
∴∠AEF=∠A'EF=116°，
∴A'EG=∠A'EF-∠DEF=116°-64°=52°，
∴∠GEH=∠A'EG=52°，
∴∠FEH=∠DEF-∠GEH=64°-52°=12°.
故答案为：116°；12°.
【分析】根据折叠性质可得∠BFE=∠EFB’，∠AEF=∠A'EF，∠GEH=∠A'EG，由邻补角互补求出∠BFB'，进而得到∠BFE=∠EFB’=64°，再根据两直线平行，同旁内角互补，内错角相等得到∠AEF+∠BFE=180°，∠DEF=∠BFE=64°，求得∠AEF，等量代换得到∠GEH=∠A'EG=52°，即可求解∠FEH.
16．【答案】解：如图，直线GH即为所求.
【知识点】尺规作图-垂线
【解析】【分析】以P为圆心，以任意长为半径画弧，交直线l于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于 MN长为半径画弧，两弧相交于点G、H，连接GH，直线GH即为所求.
17．【答案】（1）解：如图，l1就是所求作的与OA平行得直线；
（2）解：如图，l2就是所求作的与OB平行得直线；
（3）解：l1与l2相交的角有四个：∠1，∠2，∠3，∠4；
∠1=∠4=∠O，∠2+∠O=180°，∠3+∠O=180°，
所以l1与l2相交的角与∠O相等或互补．
【知识点】余角、补角及其性质；作图-平行线
【解析】【分析】本题考查基本作图及平行线的性质．
（1）利用平移的方法作出平行线即可；
（2）利用平移的方法作出平行线即可；
（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的度数，即可得出l1与l2的夹角与∠O的关系.
18．【答案】（1）解：∵∠AOE=126°，
∴∠BOE=180°－∠AOE=180°－126°=54°.
∵OD平分∠BOE，
∴ .
∴∠AOC=∠BOD=27°.
（2）解：∵OF⊥OE，
∴∠EOF=90°.
如图，当OE和OF在直线AB同侧时：
由（1）得∠DOE=∠BOD=27°
∴∠DOF=∠EOF+∠DOE=90°+27°=117°.
如图，当OE和OF在直线AB两侧时：
∠DOF=∠EOF－∠DOE=90°－27°=63°.
综上所述，∠DOF的度数为117°或者63°.
【知识点】角的运算；垂线的概念；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平角求得∠BOE度数，再根据OD平分∠BOE得到∠BOD度数，最后根据对顶角相等求得∠AOC；
（2）题目没有给OF的位置，所以有两种情况都要考虑到.每种情况可以利用角的加减运算得到.
19．【答案】（1）解：∵CE平分∠ACD（已知），
∴∠2＝∠DCE（角平分线的定义），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠DCE（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
（2）证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠2＝∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠DCE，
∴∠1＝∠2
（3）解：∠E＝40°
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）平分，
，
，
，，
：：，
，
，
．
【分析】(1)根据角平分线的定义得，结合∠1=∠2可得∠1=∠DCE，根据平行线的判定即可得出结论；
(2)由角平分线的定义得，由平行线的性质得∠1=∠DCE，即可得出结论；
(3)根据角平分线的定义得，根据平行线的性质得，，再求出，则，即可求解．
20．【答案】（1）解：∵a∥b（ 已知），
∴∠2＝∠3（ 两直线平行，同位角相等）．
∵∠1＝∠3（ 对顶角相等），
∴∠1＝∠2（ 等量代换）．
（2）47
（3）证明：延长BE交DC的延长线于点G，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠G，
∵∠1＝∠2，
∴∠G＝∠2，
∴BG∥CF，
∴∠BEF＝∠EFC．
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图②
AB∥CD
BC∥DE
故填：47
【分析】（1）根据平行线的性质两直线平行同位角相等 ，和对顶角相等的定理，等量代换即可证明结论；（2）根据平行线的性质两直线平行內错角相等的定理，等量代换即可得到∠D的度数；（3）从问题入手，要证明两个內错角相等，需要先证明两直线平行，结合已知条件，延长BE交DC的延长线，由平行线的性质等量代换得到两直线的同位角相等，故可证明这两直线平行，可证∠BEF＝∠EFC。
21．【答案】（1）赞同.
理由如下：
∵
∴
∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，
∴
∴
（2）解：①∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵AP平分∠BAC，
∴
②∵
∴
∵AP平分∠BAC，
∴
∴
∵
∴
∴
（3）∠1与∠2的数量关系为：.
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）理由：∵
∴
∵CP平分∠ACD，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
【分析】（1）根据平行线的性质得到然后根据角平分线的定义得到进而即可求解；
（2）①根据题意易求出∠ACD的度数，然后根据平行线的性质得到即可求出∠BAC的度数，最后根据角平分线的定义即可求出∠1的度数；
②根据平行线的性质得到然后根据角平分线的定义得到即再根据垂直的定义得到进而即可求解；
（3）根据平行线的性质得到然后根据角平分线的定义得到再根据垂直的定义得到即可求解.
22．【答案】（1）证明：如图，过点E作EF∥AB，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
（2）证明：如图，过点F作，
∵，
∴，
∴，
∴，
即.
（3）解：设，
∵平分，平分，
∴，
∴，
故，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）过点E作EF∥AB，根据两直线平行，内错角相等可得∠ABE=∠BEF，结合题意可得∠DEF=∠CDE，根据内错角相等，两直线平行即可证明；
（2）过点F作FG∥AB，结合（1）中结论可得AB∥CD∥FG，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠ABF+∠BFG=180°，∠CDG+∠DFGE=180°，即可证明；
（3）设∠EDF=α ，∠EBF=β ，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠EDC=α ，∠EBA=β ，推得∠HDK=180°-2α ，∠BED=α +β ，结合题意和（2）中结论可得，求解即可得出α +β =135°，根据题意，的人可求出α 的值，即可求解.
23．【答案】（1）解：结论：．
理由：如图1中，
∵平分交于点M，
∴，
∵．
∴，
∴．
（2）解：①如图2中，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
∵，
∴；
②猜想：或
理由：（1）当点G在F的右侧时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，∴，
∴．
（2）当点G在F的左侧时，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
综上所述，或．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得，再结合，可得，即可证出；
（2）①先利用角的运算求出，再利用角平分线的定义可得，再求出，利用角的运算求出，再利用平行线的性质可得；
②分类讨论：（1）当点G在F的右侧时，（2）当点G在F的左侧时，再分别画出图象并利用角的运算求解即可.
1 / 12023-2024学年初中数学人教版七年级下学期 第五章 相交线与平行线 单元测试 B卷
一、选择题
1．（2024七上·吴兴期末）如图是小周同学在校运会上投掷实心球的场景，当投掷完毕时，测量员选取AB的长度作为小周的成绩，其依据是（ ）．
A．垂线段最短
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：掷实心球，看的是谁抛的最远，测量的是点到直线的距离，所以测量垂线段长.
故答案为：A.
【分析】根据测量的是点到直线的距离，可得依据是垂线段最短.
2．（2023七上·从江期中）直线、线段、射线的位置如图所示，下图中能相交的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】直线、射线、线段；平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：A：因为射线CD向CD方向延伸，所以不会相交，所以A不符合题意；
B：因为射线CD向CD方向延伸，且AB是直线，所以能相交，所以B符合题意；
C：因为射线AB向AB方向延伸，所以不会相交，所以C不符合题意；
D：因为CD是线段，不向两方延伸，所以不会相交，所以D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据射线，线段，直线的特征进行判断，即可得出答案。
3．（2024八上·邵阳期末）在下列命题中，是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．若，则
C．两个锐角的和是钝角
D．有两个角相等的三角形是等腰三角形
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A： 相等的角是对顶角不正确，所以A不是真命题；
B：若，c＞0时，则 ，c＜0时， ，所以B不是真命题；
C： 锐角20°和锐角30°，两角相加等于50°是锐角，所以C不是真命题；
D： 有两个角相等的三角形是等腰三角形 正确，所以D是真命题。
故答案为：D。
【分析】分别判断出各命题是否正确，从而得出真命题。
4．（2024七上·衡山期末）如图，直线，的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若，，则的大小为（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】根据题意可得：∠CAB=90°，
∵a//b，，，
∴∠ABC=180°-∠1-∠CAB-∠2=180°-15°-90°-25°=50°，
故答案为：A.
【分析】利用平行线的性质及，，列出算式求出∠ABC的度数即可.
5．（2024七上·榆树期末）如图，下列条件中能判定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵无法判断，∴A不正确，不符合题意；
B、∵，∴AD//BC，无法判断出，∴B不正确，不符合题意；
C、∵，∴AD//BC，无法判断出，∴C不正确，不符合题意；
D、∵，∴，∴D正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用平行线的判定方法逐项分析判断即可.
6．如图，将网格中的三条线段沿网格线的方向(水平或竖直)平移后组成一个首尾依次相接的三角形，至少需要移动 （ ）
A．12格 B．11格 C．9 格 D．8格
【答案】C
【知识点】作图﹣平移
【解析】【解答】解：如图，
先将左边的线段向右平移3格；再将中间的线段向下平移2格；最后将右边的线段向左平移2格，再向上平移2格，即可得到一个三角形，这种平移方法平移的格数最少，
∴至少需要移动3+2+2+2=9格.
故答案为：C.
【分析】本题考查由图形平移产生的计算，要使平移的格数最少，可将它们朝同一目标共同移动，此时需要平移的格数最少.
7．下列图形中，周长最长的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：A、周长大于12cm，
B、周长为，
C、周长为
D、周长为
故答案为：A.
【分析】通过平移可得，B、C、D选项中图形的周长都等于长是4厘米，宽是2厘米的长方形的周长，A选项中的图形的周长等于长是4厘米，宽是2厘米的长方形的周长加上中间两条竖直线段的长度，所以A选项中的图形的周长最长.
8．（2017-2018学年数学浙教版七年级下册1.5图形的平移 同步练习---基础篇）如图，A，B，C，D中的哪幅图案可以通过图案①平移得到（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：通过图案①平移得到必须与图案①完全相同，角度也必须相同
瘵察图形可知D可通过图案①平移得到，
故答案为：D
【分析】根据平移的性质，观察图形即可得出答案。
9．过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】作图-平行线
【解析】【解答】A、作了角的平分线与等腰三角形，则得到了一组内错角相等，可证两直线平行，故A不符合题意．
B、作了一个角等于已知角，则得到了一组同位角相等，可证两直线平行，故B不符合题意．
C、作了垂线，通过垂直于同一条直线的两条直线平行可判定，故C不符合题意．
D、只作了两条线段相等，无法证出两直线平行，故D符合题意．
故选：D．
【分析】通过分析作图的步骤，根据平行线的判定方法来判断是否平行即可.
10．如图1，当光从空气进入水中时，会发生折射，满足入射角∠1 与折射角∠2 的度数比为4：3.如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气进入水中，两条入射光线与水面的夹角分别为α，β，水中两条折射光线的夹角为γ，则α，β，γ三者之间的数量关系为（ ）
A． B．
C．α+β=γ D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：作三条平行线，如图，
根据题意得，∠1=(90°-α），∠3=(90°-β），
由平行的性质得，∠2=∠1，∠4=∠3，
∴ γ=∠2+∠4=∠1+∠3=(90°-α)+(90°-β），
∴(α+β）=135°-γ.
故答案为：B.
【分析】作三条平行线，根据题意中的光的折射原理可得，∠1=(90°-α），∠3=(90°-β），再根据平行线的性质得∠2=∠1，∠4=∠3，即可求得.
二、填空题
11．（2022七下·惠州期中）“平行于同一条直线的两条直线平行”是 命题（填“真”或“假”）．
【答案】真
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：根据平行公理可知“平行于同一直线的两直线互相平行”是真命题．故答案为：真．
【分析】根据真命题的定义求解即可。
12．如图1，一块长为a(cm)，宽为b(cm)的长方形地板中间有一条裂缝.如图2，若把裂缝右边的一块向右平移x(cm)，则产生的裂缝的面积为 cm2.
【答案】bx
【知识点】平移的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：如图，
产生的裂缝的面积=S长方形ABCD-ab=（a+x）b-ab=bx（cm2）．
故答案为：bx．
【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等；利用新长方形的面积减去原矩形的面积得到产生的裂缝的面积．
13．如图，平面反光镜AC斜放在地面AB上，一束光线从地面上的P点射出，DE是反射光线.已知∠APD=120°，若要使反射光线DE∥AB，则∠CAB应调节为 °(提示：∠ADP=∠CDE，三角形的内角和等于180°).
【答案】30
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：要使DE∥AB，则∠APD=∠PDE，
∵∠APD=120°，
∴∠PDE=120°，
∵ ∠ADP=∠CDE， ∠ADP+∠PDE+∠CDE=180°，
∴ ∠ADP=∠CDE=30°，
∴∠CAB=180°-∠APD-∠ADP=30°.
故答案为：30.
【分析】根据内错角相等，二直线平行，可得∠PDE=120°，由光的反射原理及平角的定义可得 ∠ADP=∠CDE=30°，最后根据三角形的内角和定理，由∠CAB=180°-∠APD-∠ADP可算出答案.
14．（2023七上·温州期末）如图，直线AB，CD交于点O，∠AOC：∠COE=1：2．若∠BOD=28°，则∠COE等于 度．
【答案】56
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠BOD=∠AOC=28°， ∠AOC：∠COE=1：2
∴∠COE=2∠AOC=2×28°=56°.
故答案为：56
【分析】利用对顶角相等可求出∠AOC的度数，再根据 ∠AOC：∠COE=1：2 ，可得到∠COE=2∠AOC，代入计算求出∠COE的度数.
15．如图，将长方形纸片 ABCD沿EF折叠后，点A，B分别落在A'，B'的位置，再沿AD边将∠A'折叠到∠H处，若∠1=52°，则∠AEF= ，∠FEH= .
【答案】116°；12°
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】由折叠可知∠BFE=∠EFB’，∠AEF=∠A'EF，∠GEH=∠A'EG
∵∠1=52°，
∴∠BFB'=180°-∠1=128°，
∴∠BFE=∠EFB’=64°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF+∠BFE=180°，∠DEF=∠BFE=64°，
∴∠AEF=∠A'EF=116°，
∴A'EG=∠A'EF-∠DEF=116°-64°=52°，
∴∠GEH=∠A'EG=52°，
∴∠FEH=∠DEF-∠GEH=64°-52°=12°.
故答案为：116°；12°.
【分析】根据折叠性质可得∠BFE=∠EFB’，∠AEF=∠A'EF，∠GEH=∠A'EG，由邻补角互补求出∠BFB'，进而得到∠BFE=∠EFB’=64°，再根据两直线平行，同旁内角互补，内错角相等得到∠AEF+∠BFE=180°，∠DEF=∠BFE=64°，求得∠AEF，等量代换得到∠GEH=∠A'EG=52°，即可求解∠FEH.
三、作图题
16．（2019八下·城固期末）如图，已知直线l和l外一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P.（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图，直线GH即为所求.
【知识点】尺规作图-垂线
【解析】【分析】以P为圆心，以任意长为半径画弧，交直线l于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于 MN长为半径画弧，两弧相交于点G、H，连接GH，直线GH即为所求.
17．如图，在∠AOB 内有一点 P.
（1）过点 P 作l1∥OA.
（2）过点 P 作l2∥OB.
（3）用量角器量一量 l1 与 l2 的夹角与∠O 有怎样的数量关系
【答案】（1）解：如图，l1就是所求作的与OA平行得直线；
（2）解：如图，l2就是所求作的与OB平行得直线；
（3）解：l1与l2相交的角有四个：∠1，∠2，∠3，∠4；
∠1=∠4=∠O，∠2+∠O=180°，∠3+∠O=180°，
所以l1与l2相交的角与∠O相等或互补．
【知识点】余角、补角及其性质；作图-平行线
【解析】【分析】本题考查基本作图及平行线的性质．
（1）利用平移的方法作出平行线即可；
（2）利用平移的方法作出平行线即可；
（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的度数，即可得出l1与l2的夹角与∠O的关系.
四、解答题
18．（2024七上·吴兴期末）如图，已知直线AB与CD相交于点O，OD平分∠BOE，∠AOE＝126°．
（1）求∠AOC的度数.
（2）若直线OF⊥OE，求∠DOF的度数.
【答案】（1）解：∵∠AOE=126°，
∴∠BOE=180°－∠AOE=180°－126°=54°.
∵OD平分∠BOE，
∴ .
∴∠AOC=∠BOD=27°.
（2）解：∵OF⊥OE，
∴∠EOF=90°.
如图，当OE和OF在直线AB同侧时：
由（1）得∠DOE=∠BOD=27°
∴∠DOF=∠EOF+∠DOE=90°+27°=117°.
如图，当OE和OF在直线AB两侧时：
∠DOF=∠EOF－∠DOE=90°－27°=63°.
综上所述，∠DOF的度数为117°或者63°.
【知识点】角的运算；垂线的概念；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平角求得∠BOE度数，再根据OD平分∠BOE得到∠BOD度数，最后根据对顶角相等求得∠AOC；
（2）题目没有给OF的位置，所以有两种情况都要考虑到.每种情况可以利用角的加减运算得到.
五、实践探究题
19．（2024七上·长春汽车经济技术开发期末）如图
（1）【感知】已知：如图①，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求证：AB∥CD．
将下列证明过程补充完整：
证明：∵CE平分∠ACD（已知），
∴∠2＝∠ ▲ （角平分线的定义），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠ ▲ （等量代换），
∴AB∥CD（ ）．
（2）【探究】已知：如图②，点E在AB上，且CE平分∠ACD，AB∥CD．求证：∠1＝∠2．
（3）【应用】如图③，BE平分∠DBC，点A是BD上一点，过点A作AE∥BC交BE于点E，∠ABC：∠BAE＝4：5，直接写出∠E的度数．
【答案】（1）解：∵CE平分∠ACD（已知），
∴∠2＝∠DCE（角平分线的定义），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠DCE（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
（2）证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠2＝∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠DCE，
∴∠1＝∠2
（3）解：∠E＝40°
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）平分，
，
，
，，
：：，
，
，
．
【分析】(1)根据角平分线的定义得，结合∠1=∠2可得∠1=∠DCE，根据平行线的判定即可得出结论；
(2)由角平分线的定义得，由平行线的性质得∠1=∠DCE，即可得出结论；
(3)根据角平分线的定义得，根据平行线的性质得，，再求出，则，即可求解．
20．（2024七上·九台期末）【教材呈现】如图是华师版七年级上册数学教材第176页的部分内容．有了“两直线平行，同位角相等”，我们就能用推理的方法得出“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”．
如图①，已知平行线a、b被直线l所截，我们将∠1的对顶角记为∠3．
（1）下面是“两直线平行，内错角相等”的推理过程，在括号内填写理由．
∵a∥b（ ），
∴∠2＝∠3（ ）．
∵∠1＝∠3（ ），
∴∠1＝∠2（ ）．
（2）【拓展应用】如图②，AB∥CD，BC∥DE，若∠B＝47°，则∠D＝ °．
（3）如图③，已知AB∥CD，∠1＝∠2，试说明∠BEF＝∠EFC．
【答案】（1）解：∵a∥b（ 已知），
∴∠2＝∠3（ 两直线平行，同位角相等）．
∵∠1＝∠3（ 对顶角相等），
∴∠1＝∠2（ 等量代换）．
（2）47
（3）证明：延长BE交DC的延长线于点G，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠G，
∵∠1＝∠2，
∴∠G＝∠2，
∴BG∥CF，
∴∠BEF＝∠EFC．
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图②
AB∥CD
BC∥DE
故填：47
【分析】（1）根据平行线的性质两直线平行同位角相等 ，和对顶角相等的定理，等量代换即可证明结论；（2）根据平行线的性质两直线平行內错角相等的定理，等量代换即可得到∠D的度数；（3）从问题入手，要证明两个內错角相等，需要先证明两直线平行，结合已知条件，延长BE交DC的延长线，由平行线的性质等量代换得到两直线的同位角相等，故可证明这两直线平行，可证∠BEF＝∠EFC。
21．小明完成作业后在家复习，他看到七下课本第12页例4，感到这个结论十分有趣，便尝试探究起来.
（1）【基础巩固】
与例4条件和结论互换，改成了：“如图1，AP 平分∠BAC，CP平分∠ACD，AB∥CD，则∠1+∠2=90°，”小明认为这个结论正确，你赞同他的想法吗 请说明理由.
（2）【尝试探究】
小明发现：若将其中一条角平分线改成AC的垂线，则“∠1+∠2=90°”这个结论不成立.请帮小明完成探究：
如图2，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP⊥AC，∠1是AP与AB的夹角，∠2 是CP与CD的夹角.
①若∠2=22°，求∠1的度数.
②试说明：2∠1-∠2=90°.
（3）【拓展提高】
如图3，若AB∥CD，AP⊥AC，CP平分∠ACD，请直接写出∠1与∠2的数量关系.
【答案】（1）赞同.
理由如下：
∵
∴
∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，
∴
∴
（2）解：①∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵AP平分∠BAC，
∴
②∵
∴
∵AP平分∠BAC，
∴
∴
∵
∴
∴
（3）∠1与∠2的数量关系为：.
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）理由：∵
∴
∵CP平分∠ACD，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
【分析】（1）根据平行线的性质得到然后根据角平分线的定义得到进而即可求解；
（2）①根据题意易求出∠ACD的度数，然后根据平行线的性质得到即可求出∠BAC的度数，最后根据角平分线的定义即可求出∠1的度数；
②根据平行线的性质得到然后根据角平分线的定义得到即再根据垂直的定义得到进而即可求解；
（3）根据平行线的性质得到然后根据角平分线的定义得到再根据垂直的定义得到即可求解.
六、综合题
22．（2023七上·哈尔滨月考）已知：点E在线段间（如图1）．连接．．
（1）求证：．
（2）如图2，点F在点E右侧．连接．求证．
（3）如图3在（2）的条件下，线段，的延长线交于点H．交于点K．当平分，平分，，时，求的度数．
【答案】（1）证明：如图，过点E作EF∥AB，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
（2）证明：如图，过点F作，
∵，
∴，
∴，
∴，
即.
（3）解：设，
∵平分，平分，
∴，
∴，
故，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）过点E作EF∥AB，根据两直线平行，内错角相等可得∠ABE=∠BEF，结合题意可得∠DEF=∠CDE，根据内错角相等，两直线平行即可证明；
（2）过点F作FG∥AB，结合（1）中结论可得AB∥CD∥FG，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠ABF+∠BFG=180°，∠CDG+∠DFGE=180°，即可证明；
（3）设∠EDF=α ，∠EBF=β ，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠EDC=α ，∠EBA=β ，推得∠HDK=180°-2α ，∠BED=α +β ，结合题意和（2）中结论可得，求解即可得出α +β =135°，根据题意，的人可求出α 的值，即可求解.
23．（2023七下·冷水滩期末）如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点E，点F，平分交于点M，且．
（1）判断直线与直线是否平行，并说明理由；
（2）如图2，点G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设．
①当点G在点F的右侧时，若，求的度数；
②当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【答案】（1）解：结论：．
理由：如图1中，
∵平分交于点M，
∴，
∵．
∴，
∴．
（2）解：①如图2中，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
∵，
∴；
②猜想：或
理由：（1）当点G在F的右侧时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，∴，
∴．
（2）当点G在F的左侧时，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
综上所述，或．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得，再结合，可得，即可证出；
（2）①先利用角的运算求出，再利用角平分线的定义可得，再求出，利用角的运算求出，再利用平行线的性质可得；
②分类讨论：（1）当点G在F的右侧时，（2）当点G在F的左侧时，再分别画出图象并利用角的运算求解即可.
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