2023-2024学年初中数学人教版七年级下学期 第六章 实数 单元测试 B卷
一、选择题
1．（2024八上·盐田期末）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，请你估算的值（ ）
A．在0和1之间 B．在1和2之间 C．在2和3之间 D．在3和4之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵4<5<9，
∴.
∴.
故答案为：B.
【分析】根据被开方数的范围可以估计无理数的大概取值范围.
2．（2024八上·永定期末）a，b是两个连续整数，若，则是（ ）
A．12 B．13 C．20 D．21
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，，其中a、b为两个连续的整数，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】通过估算的取值范围，确定连续整数a，b的值，再代入计算即可．
3．（2019·南京）下列整数中，与 最接近的是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵9＜ 13 ＜16，
∴3＜ ＜4，
∴与 最接近的是4，
∴与10 最接近的是6.
故答案为：C.
【分析】的被开方数介于两个完全平方数9与16之间，根据被开方数越大，其算术平方根也就越大判断出3＜ ＜4，且与 最接近的是4，从而即可得出答案。
4．（2024七上·鄞州月考）我们知道实数和数轴上的点一 一对应，如图，正方形的边长为1，点是半圆与数轴的交点，则点对应的实数为（ ）
A． B． C．2.4 D．2.5
【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：如图，
四边形ABCD是正方形，，
，，
，
，
，
，
点对应的实数为.
故答案为：B.
【分析】利用正方形的性质得到BD的长度，由圆的性质可得，进而求得OP的长度，即可求得点对应的实数.
5．（2024八上·江口期末）若9的整数部分为a，小数部分为b，则2a+b等于（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
则，
∵9的整数部分为a，小数部分为b，
∴a=5，，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出，再求出a和b的值，最后代入计算求解即可。
6．设则实数m所在的范围是（ ）
A．m<-5 B．-5-3
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： ，
∵＜＜，
∴4＜＜5，
∴-5＜-＜-4，即-5＜m＜-4.
故答案为：B.
【分析】先将原式化简，再利用“夹逼法”求解即可.
7．在-2，0，，0，020020002…(每两个“2”之间依次多一个“0”)，π，，这六个数中，无理数的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：在-2，0，，0.020020002…(每两个“2”之间依次多一个“0”)，π，中，
0.020020002…(每两个“2”之间依次多一个“0”)，π是无理数.
故答案为：C.
【分析】无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数、圆周率π都是无理数；据此判断即可.
8．（2019七下·柳州期末）下列四个式子：
① ；② ＜8；③ ＜1；④ ＞0.5．
其中大小关系正确的式子的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： ① 、∵8<10，∴ ，符合题意；
② 、∵65>64，∴ ，不符合题意；
③④ 、∵2< <3，∴ ，③④符合题意；
故答案为：C
【分析】①② 根据根式的性质先确定被开方数的大小，再确定其根式的值大小；③④先确定的范围，再分步确定 的范围即可。
9．（2019七下·潜江月考）对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]=4，[ ]=1，[﹣2.5]=﹣3.现对82进行如下操作：82 [ ]=9 [ ]=3 [ ]=1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：121
∴对121只需进行3次操作后变为1.
故选C．
【分析】[x]表示不大于x的最大整数，依据题目中提供的操作进行计算即可．
10．（2020七上·镇海期中）数轴上A，B，C三点所代表的数分别是a、b、2，且 .下列四个选项中，有（ ）个能表示A，B，C三点在数轴上的位置关系.
①②③④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：①由数轴可知，a＜b＜2，
∴a-2＜0，2-b＞0，a-b＜0，
∴|a-2|-|2-b|=-（a-2）-（2-b）=-a+2-2+b=b-a，
|a-b|=-（a-b）=b-a，
∴|a-2|-|2-b|=|a-b|，
故①可以表示A、B、C三点在数轴上的位置关系；
②由数轴可知：2＜b＜a，
∴a-2＞0，2-b＜0，a-b＞0，
∴|a-2|-|2-b|=a-2+2-b=a-b，
|a-b|=a-b，
∴|a-2|-|2-b|=|a-b|，
故②可以表示A、B、C三点在数轴上的位置关系；
③a＜2＜b，
∴a-2＜0，2-b＜0，a-b＜0，
∴|a-2|-|2-b|=-（a-2）+（2-b）=-a+2+2-b=4-b-a，
|a-b|=-（a-b）=b-a，
∴|a-2|-|2-b|≠|a-b|，
故③不可以表示A、B、C三点在数轴上的位置关系；
④2＜a＜b，
∴a-2＞0，2-b＜0，a-b＜0，
∴|a-2|-|2-b|=a-2+（2-b）=a-2+2-b=a-b，
|a-b|=-（a-b）=b-a，
∴|a-2|-|2-b|≠|a-b|，
故④可以表示A、B、C三点在数轴上的位置关系；
故答案为：B.
【分析】根据数轴上各数的位置得出各数的大小关系，从而得出绝对值里面代数式的符号，去绝对值，化简即可得出答案.
二、填空题
11．（2020七上·道外期末）比较大小：4 （填“＞”“＜”或“＝”）．
【答案】
【知识点】无理数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵ ，16＜20，∴ ．
故答案为：＜．
【分析】先求出 ，再比较根号内的数即可求解．
12．（2023·成都模拟）定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为 .
【答案】35
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴的最大整数为35.
故答案为：35.
【分析】根据新定义可得 ， 然后利用平方运算进行计算即可解决问题.
13．（2024七上·杭州月考）与最接近的整数是 ．
【答案】6
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵ 25＜34＜36，
∴ 5＜＜6，
∵ 5.52=30.25，
∴ 5.5＜＜6，
∴ 与最接近的整数是6.
故答案为：6.
【分析】无理数的估值：用夹逼法可以确定一个无理数的整数部分.另外，用原数减去它的整数部分即可得到它的小数部分.
14．（2020七上·杭州月考）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础.小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
（1）操作一：折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与 表示的点重合；
（2）操作二：折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：
① 表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是 ；
（3）操作三：在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）. 若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是 .
【答案】（1）2
（2）；-5
（3）
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：操作一，
（1）∵表示的点1与-1表示的点重合，
∴折痕为原点O，
则-2表示的点与2表示的点重合，
操作二：
（2）∵折叠纸面，若使1表示的点与-3表示的点重合，
则折痕表示的点为-1，
①设 表示的点与数a表示的点重合，
则 -（-1）=-1-a，
a=-2- ；
②∵数轴上A、B两点之间距离为8，
∴数轴上A、B两点到折痕-1的距离为4，
∵A在B的左侧，
则A、B两点表示的数分别是-5和3；
操作三：
（3）设折痕处对应的点所表示的数是x，
如图1，当AB：BC：CD=1：1：2时，
设AB=a，BC=a，CD=2a，
a+a+2a=9，
a= ，
∴AB= ，BC= ，CD= ，
x=-1+ + = ，
如图2，当AB：BC：CD=1：2：1时，
设AB=a，BC=2a，CD=a，
a+a+2a=9，
a= ，
∴AB= ，BC= ，CD= ，
x=-1+ + = ，
如图3，当AB：BC：CD=2：1：1时，
设AB=2a，BC=a，CD=a，
a+a+2a=9，
a= ，
∴AB= ，BC=CD= ，
x=-1+ + = ，
综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是 或 或 .
【分析】（1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出-2与2重合；
（2）根据对称性找到折痕的点为-1，①设 表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；②因为AB=8，所以A到折痕的点距离为4，因为折痕对应的点为-1，由此得出A、B两点表示的数；
（3）分三种情况进行讨论：设折痕处对应的点所表示的数是x，如图1，当AB：BC：CD=1：1：2时，所以设AB=a，BC=a，CD=2a，得a+a+2a=9，a= ，得出AB、BC、CD的值，计算也x的值，同理可得出如图2、3对应的x的值.
三、计算题
15．（2021·新疆）计算： .
【答案】解：原式=1+3-3+(-1)
=0
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】利用零指数幂的性质、绝对值的性质、立方根、乘方先计算，再进行加减计算即可.
16．（2021八上·农安期末）计算：．
【答案】解：
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先利用绝对值的性质、二次根式的性质和有理数的乘方化简，再计算即可。
17．求下列各数的立方根：
（1）27.
（2）-27.
（3）.
（4）-0.064.
（5）0.
【答案】（1）解：∵33=27，
∴27的立方根是3，即=3．
（2）解：∵(-3)3=-27，
∴-27的立方根是-3，即=-3．
（3）解：∵()3=
∴的立方根是，即=
（4）解：∵(-0.4)3=-0.064，
∴-0.064的立方根是-0.4，即=-0.4．
（5）解：∵03=0，
∴0的立方根是0，即=0．
【知识点】立方根及开立方
【解析】【分析】根据立方根的定义即可求得.
四、解答题
18．（2020七下·崇川期末）已知：x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根．
【答案】解：∵ x﹣2的平方根是±2，
∴x﹣2=4，
∴x=6，
∵2x+y+7的立方根是3
∴2x+y+7=27
把x的值代入解得：
y=8，
∴x2+y2的算术平方根为10．
【知识点】立方根及开立方
【解析】【分析】根据平方根、立方根的定义和已知条件可知x﹣2=4，2x+y+7=27，列方程解出x、y，最后代入代数式求解即可．
19．阅读第(1)题的解法，再解答第(2)题．
已知a，b是有理数，并且满足等式，求a，b的值．
解：因为
即5-a× =(2b-a)+ ×
所以2b-a=5，-a=
解得a=，b=
设x，y是有理数，并且满足x2+y×+2y=-4×+17，求×+y的值．
【答案】解；因为x2+y×+2y=4×+17，
所以(x2 +2y)+y×=17-4×，
所以x2+2y=17，y=-4，
解得x=5，y=-4或x=-5，y=-4．
所以x+y=1或x+y=- 9．
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】将原等式变形为(x2 +2y)+y×=17-4×，根据等式两边的有理数相等，二次根式部分相等可得x2+2y=17，y=-4，解之即可.
20．（2020七下·景县期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 -1来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理，因为 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分。
又例如：
∵ < < ，即2< <3，
∴ 的整数部分为2，小数部分为( -2)．
请解答：
（1） 的整数部分是 ，小数部分是 。
（2）如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求a+b- 的值；
（3）已知：10+ =x+y，其中x是整数，且0【答案】（1）4； ﹣4
（2）解：∵2＜ ＜3， ∴a= ﹣2，
∵3＜ ＜4，
∴b=3，
∴a+b﹣ = ﹣2+3﹣ =1；
（3）解：∵1＜3＜4， ∴1＜ ＜2，
∴11＜10+ ＜12，
∵10+ =x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，
∴x=11，y=10+ ﹣11= ﹣1，
∴x﹣y=11﹣（ ﹣1）=12﹣ ，
∴x﹣y的相反数是﹣12+ ；
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】（1）根据题意，得出整数部分和小数部分。
（2）根据已知条件，可利用范围，得出结果。
（3）根据已知，进行运算，得出相反数。
五、实践探究题
21．（2023七上·余姚期中）教材上有这样一个合作学习活动：如图1，依次连结2×2方格四条边的中点A，B，C，D，得到一个阴影正方形．设每一小方格的边长为1，得到阴影正方形面积为2．
（1）【基础尝试】
发现图1这个阴影正方形的边长就是小方格的对角线长，则小方格对角线长是 ，由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法；
（2）【画图探究】
如图2，以1个单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于M，N两点，则点M表示的数为 ；
（3）【问题解决】
如图3，3×3网格是由9个边长为1的小方格组成．
①画出面积是5的正方形，使它的顶点在网络的格点上；
②请借鉴（2）中的方法在数轴上找到表示实数的准确位置．(保留作图痕迹并标出必要线段长)
【答案】（1）
（2）
（3）解：①∵正方形的面积为5
∴其边长为，
∴所求正方形如下图：
② 如图点C就是的位置．
理由如下：∵小长方形对角线为：
以数字-1所在的点为圆心，长方形的对角线为半径画弧，与数轴交于C，
∴点C表示的数就是.
【知识点】算术平方根；无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：（1）∵面积为2的正方形的边长就是小方格的对角线长，
∴小方格对角线长为大正方形的面积的算术平方根，即
故答案为：；
（2）∵图2中小正方形的对角线长为，
∴原点与点M之间的距离为：
∴点M表示的数为：
故答案为：；
【分析】（1）根据"小方格的对角线长为大正方形的面积的算术平方根"，据此即可求解；
（2）根据图2中小正方形的对角线长为，得到原点与点M之间的距离，进而可求出点M所表示的数；
（3）①根据正方形的面积为5，得到其边长为，据此即可画出正方形；
②以数字-1所在的点为圆心，长方形的对角线为半径画弧，与数轴交于C，在数轴上表示出的点即可.
22．（2023七上·浙江期中）中国古代的数理天文学通常都是以分数的形式选择历法中用到的天文学常数.由于这些天文学常数基本上都是无理数，因此，历法家们设计了一些算法用来挑选合适的有理数去逼近这些常数，这样的方法在数学上被称作“实数的有理逼近”.我国南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”便是利用分数的加成性质而设计的一种实数的有理逼近算法，其步骤大体如下：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有＜x＜，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值.例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为；由于≈3.1404＜π，再由，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数.
（1）现已知，
使用一次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为 ；
使用二次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为 ；
使用三次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为 ；
（2）的整数部分为x，小数部分为y，求x+2y的值.
【答案】（1）；；
（2）x=2，y=-2，∴x+2y=-2
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1） 已知 ，
∴使用一次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为：
∵
∴使用二次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为：
∵
∴使用三次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为：
故答案为：.
（2）∵
∴在2和3之间，
∴
∴
【分析】（1）根据调日法的定义进行计算即可；
（2）根据算术平方根的定义估算出的大小，确定x和y的值，最后带入到代数式中即可求解.
23．（2023七下·官渡期末）无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来．
材料一：估算法确定无理数的小数部分
∵ ， 即
∴ 的整数部分为2，
∴ 的小数部分为 ；
材料二：面积法求一个无理数的近似值，
已知面积为5的正方形的边长是 ，
∵ ，
∴设 （x为 的小数部分，0＜x＜1）．
画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，S正方形＝x2+2 x+2 x+4，
∵S正方形＝5，
∴x2+2 x+2 x+4＝5
略去x2，得方程4 x+4＝5，解得：x＝0.25，即 ，
解决问题：
（1）结合你所学的知识，探究 的近似值（结果精确到0.01）；
（2）请总结估算 （n为开方开不尽的数）的一般方法．
【答案】（1）解：我们知道面积是10的正方形的边长是 ，易知 ＞3，因此可设 ＝3+x，可画出如图示意图．
由图中面积计算，S正方形＝x2+2×3x+9，
∵S正方形＝10，
∴x2+6x+9＝10．
∵x是 的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略x2，
∴得方程6x+9＝10，解得x＝0.17，
即 ≈3.17
（2）解：估算 （n为开方开不尽的数）的一般方法：求得 的整数部分a，即可得到 ≈a+ ．
【知识点】无理数的估值
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 S正方形＝x2+2×3x+9，再求出6x+9＝10， 最后求解即可；
（2）根据题意先求出 的整数部分a，再求出 ≈a+ 即可作答。
1 / 12023-2024学年初中数学人教版七年级下学期 第六章 实数 单元测试 B卷
一、选择题
1．（2024八上·盐田期末）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，请你估算的值（ ）
A．在0和1之间 B．在1和2之间 C．在2和3之间 D．在3和4之间
2．（2024八上·永定期末）a，b是两个连续整数，若，则是（ ）
A．12 B．13 C．20 D．21
3．（2019·南京）下列整数中，与 最接近的是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2024七上·鄞州月考）我们知道实数和数轴上的点一 一对应，如图，正方形的边长为1，点是半圆与数轴的交点，则点对应的实数为（ ）
A． B． C．2.4 D．2.5
5．（2024八上·江口期末）若9的整数部分为a，小数部分为b，则2a+b等于（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
6．设则实数m所在的范围是（ ）
A．m<-5 B．-5-3
7．在-2，0，，0，020020002…(每两个“2”之间依次多一个“0”)，π，，这六个数中，无理数的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（2019七下·柳州期末）下列四个式子：
① ；② ＜8；③ ＜1；④ ＞0.5．
其中大小关系正确的式子的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2019七下·潜江月考）对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]=4，[ ]=1，[﹣2.5]=﹣3.现对82进行如下操作：82 [ ]=9 [ ]=3 [ ]=1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2020七上·镇海期中）数轴上A，B，C三点所代表的数分别是a、b、2，且 .下列四个选项中，有（ ）个能表示A，B，C三点在数轴上的位置关系.
①②③④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2020七上·道外期末）比较大小：4 （填“＞”“＜”或“＝”）．
12．（2023·成都模拟）定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为 .
13．（2024七上·杭州月考）与最接近的整数是 ．
14．（2020七上·杭州月考）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础.小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
（1）操作一：折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与 表示的点重合；
（2）操作二：折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：
① 表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是 ；
（3）操作三：在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）. 若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是 .
三、计算题
15．（2021·新疆）计算： .
16．（2021八上·农安期末）计算：．
17．求下列各数的立方根：
（1）27.
（2）-27.
（3）.
（4）-0.064.
（5）0.
四、解答题
18．（2020七下·崇川期末）已知：x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根．
19．阅读第(1)题的解法，再解答第(2)题．
已知a，b是有理数，并且满足等式，求a，b的值．
解：因为
即5-a× =(2b-a)+ ×
所以2b-a=5，-a=
解得a=，b=
设x，y是有理数，并且满足x2+y×+2y=-4×+17，求×+y的值．
20．（2020七下·景县期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 -1来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理，因为 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分。
又例如：
∵ < < ，即2< <3，
∴ 的整数部分为2，小数部分为( -2)．
请解答：
（1） 的整数部分是 ，小数部分是 。
（2）如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求a+b- 的值；
（3）已知：10+ =x+y，其中x是整数，且0五、实践探究题
21．（2023七上·余姚期中）教材上有这样一个合作学习活动：如图1，依次连结2×2方格四条边的中点A，B，C，D，得到一个阴影正方形．设每一小方格的边长为1，得到阴影正方形面积为2．
（1）【基础尝试】
发现图1这个阴影正方形的边长就是小方格的对角线长，则小方格对角线长是 ，由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法；
（2）【画图探究】
如图2，以1个单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于M，N两点，则点M表示的数为 ；
（3）【问题解决】
如图3，3×3网格是由9个边长为1的小方格组成．
①画出面积是5的正方形，使它的顶点在网络的格点上；
②请借鉴（2）中的方法在数轴上找到表示实数的准确位置．(保留作图痕迹并标出必要线段长)
22．（2023七上·浙江期中）中国古代的数理天文学通常都是以分数的形式选择历法中用到的天文学常数.由于这些天文学常数基本上都是无理数，因此，历法家们设计了一些算法用来挑选合适的有理数去逼近这些常数，这样的方法在数学上被称作“实数的有理逼近”.我国南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”便是利用分数的加成性质而设计的一种实数的有理逼近算法，其步骤大体如下：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有＜x＜，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值.例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为；由于≈3.1404＜π，再由，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数.
（1）现已知，
使用一次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为 ；
使用二次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为 ；
使用三次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为 ；
（2）的整数部分为x，小数部分为y，求x+2y的值.
23．（2023七下·官渡期末）无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来．
材料一：估算法确定无理数的小数部分
∵ ， 即
∴ 的整数部分为2，
∴ 的小数部分为 ；
材料二：面积法求一个无理数的近似值，
已知面积为5的正方形的边长是 ，
∵ ，
∴设 （x为 的小数部分，0＜x＜1）．
画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，S正方形＝x2+2 x+2 x+4，
∵S正方形＝5，
∴x2+2 x+2 x+4＝5
略去x2，得方程4 x+4＝5，解得：x＝0.25，即 ，
解决问题：
（1）结合你所学的知识，探究 的近似值（结果精确到0.01）；
（2）请总结估算 （n为开方开不尽的数）的一般方法．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵4<5<9，
∴.
∴.
故答案为：B.
【分析】根据被开方数的范围可以估计无理数的大概取值范围.
2．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，，其中a、b为两个连续的整数，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】通过估算的取值范围，确定连续整数a，b的值，再代入计算即可．
3．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵9＜ 13 ＜16，
∴3＜ ＜4，
∴与 最接近的是4，
∴与10 最接近的是6.
故答案为：C.
【分析】的被开方数介于两个完全平方数9与16之间，根据被开方数越大，其算术平方根也就越大判断出3＜ ＜4，且与 最接近的是4，从而即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：如图，
四边形ABCD是正方形，，
，，
，
，
，
，
点对应的实数为.
故答案为：B.
【分析】利用正方形的性质得到BD的长度，由圆的性质可得，进而求得OP的长度，即可求得点对应的实数.
5．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
则，
∵9的整数部分为a，小数部分为b，
∴a=5，，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出，再求出a和b的值，最后代入计算求解即可。
6．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： ，
∵＜＜，
∴4＜＜5，
∴-5＜-＜-4，即-5＜m＜-4.
故答案为：B.
【分析】先将原式化简，再利用“夹逼法”求解即可.
7．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：在-2，0，，0.020020002…(每两个“2”之间依次多一个“0”)，π，中，
0.020020002…(每两个“2”之间依次多一个“0”)，π是无理数.
故答案为：C.
【分析】无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数、圆周率π都是无理数；据此判断即可.
8．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： ① 、∵8<10，∴ ，符合题意；
② 、∵65>64，∴ ，不符合题意；
③④ 、∵2< <3，∴ ，③④符合题意；
故答案为：C
【分析】①② 根据根式的性质先确定被开方数的大小，再确定其根式的值大小；③④先确定的范围，再分步确定 的范围即可。
9．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：121
∴对121只需进行3次操作后变为1.
故选C．
【分析】[x]表示不大于x的最大整数，依据题目中提供的操作进行计算即可．
10．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：①由数轴可知，a＜b＜2，
∴a-2＜0，2-b＞0，a-b＜0，
∴|a-2|-|2-b|=-（a-2）-（2-b）=-a+2-2+b=b-a，
|a-b|=-（a-b）=b-a，
∴|a-2|-|2-b|=|a-b|，
故①可以表示A、B、C三点在数轴上的位置关系；
②由数轴可知：2＜b＜a，
∴a-2＞0，2-b＜0，a-b＞0，
∴|a-2|-|2-b|=a-2+2-b=a-b，
|a-b|=a-b，
∴|a-2|-|2-b|=|a-b|，
故②可以表示A、B、C三点在数轴上的位置关系；
③a＜2＜b，
∴a-2＜0，2-b＜0，a-b＜0，
∴|a-2|-|2-b|=-（a-2）+（2-b）=-a+2+2-b=4-b-a，
|a-b|=-（a-b）=b-a，
∴|a-2|-|2-b|≠|a-b|，
故③不可以表示A、B、C三点在数轴上的位置关系；
④2＜a＜b，
∴a-2＞0，2-b＜0，a-b＜0，
∴|a-2|-|2-b|=a-2+（2-b）=a-2+2-b=a-b，
|a-b|=-（a-b）=b-a，
∴|a-2|-|2-b|≠|a-b|，
故④可以表示A、B、C三点在数轴上的位置关系；
故答案为：B.
【分析】根据数轴上各数的位置得出各数的大小关系，从而得出绝对值里面代数式的符号，去绝对值，化简即可得出答案.
11．【答案】
【知识点】无理数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵ ，16＜20，∴ ．
故答案为：＜．
【分析】先求出 ，再比较根号内的数即可求解．
12．【答案】35
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴的最大整数为35.
故答案为：35.
【分析】根据新定义可得 ， 然后利用平方运算进行计算即可解决问题.
13．【答案】6
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵ 25＜34＜36，
∴ 5＜＜6，
∵ 5.52=30.25，
∴ 5.5＜＜6，
∴ 与最接近的整数是6.
故答案为：6.
【分析】无理数的估值：用夹逼法可以确定一个无理数的整数部分.另外，用原数减去它的整数部分即可得到它的小数部分.
14．【答案】（1）2
（2）；-5
（3）
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：操作一，
（1）∵表示的点1与-1表示的点重合，
∴折痕为原点O，
则-2表示的点与2表示的点重合，
操作二：
（2）∵折叠纸面，若使1表示的点与-3表示的点重合，
则折痕表示的点为-1，
①设 表示的点与数a表示的点重合，
则 -（-1）=-1-a，
a=-2- ；
②∵数轴上A、B两点之间距离为8，
∴数轴上A、B两点到折痕-1的距离为4，
∵A在B的左侧，
则A、B两点表示的数分别是-5和3；
操作三：
（3）设折痕处对应的点所表示的数是x，
如图1，当AB：BC：CD=1：1：2时，
设AB=a，BC=a，CD=2a，
a+a+2a=9，
a= ，
∴AB= ，BC= ，CD= ，
x=-1+ + = ，
如图2，当AB：BC：CD=1：2：1时，
设AB=a，BC=2a，CD=a，
a+a+2a=9，
a= ，
∴AB= ，BC= ，CD= ，
x=-1+ + = ，
如图3，当AB：BC：CD=2：1：1时，
设AB=2a，BC=a，CD=a，
a+a+2a=9，
a= ，
∴AB= ，BC=CD= ，
x=-1+ + = ，
综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是 或 或 .
【分析】（1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出-2与2重合；
（2）根据对称性找到折痕的点为-1，①设 表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；②因为AB=8，所以A到折痕的点距离为4，因为折痕对应的点为-1，由此得出A、B两点表示的数；
（3）分三种情况进行讨论：设折痕处对应的点所表示的数是x，如图1，当AB：BC：CD=1：1：2时，所以设AB=a，BC=a，CD=2a，得a+a+2a=9，a= ，得出AB、BC、CD的值，计算也x的值，同理可得出如图2、3对应的x的值.
15．【答案】解：原式=1+3-3+(-1)
=0
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】利用零指数幂的性质、绝对值的性质、立方根、乘方先计算，再进行加减计算即可.
16．【答案】解：
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先利用绝对值的性质、二次根式的性质和有理数的乘方化简，再计算即可。
17．【答案】（1）解：∵33=27，
∴27的立方根是3，即=3．
（2）解：∵(-3)3=-27，
∴-27的立方根是-3，即=-3．
（3）解：∵()3=
∴的立方根是，即=
（4）解：∵(-0.4)3=-0.064，
∴-0.064的立方根是-0.4，即=-0.4．
（5）解：∵03=0，
∴0的立方根是0，即=0．
【知识点】立方根及开立方
【解析】【分析】根据立方根的定义即可求得.
18．【答案】解：∵ x﹣2的平方根是±2，
∴x﹣2=4，
∴x=6，
∵2x+y+7的立方根是3
∴2x+y+7=27
把x的值代入解得：
y=8，
∴x2+y2的算术平方根为10．
【知识点】立方根及开立方
【解析】【分析】根据平方根、立方根的定义和已知条件可知x﹣2=4，2x+y+7=27，列方程解出x、y，最后代入代数式求解即可．
19．【答案】解；因为x2+y×+2y=4×+17，
所以(x2 +2y)+y×=17-4×，
所以x2+2y=17，y=-4，
解得x=5，y=-4或x=-5，y=-4．
所以x+y=1或x+y=- 9．
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】将原等式变形为(x2 +2y)+y×=17-4×，根据等式两边的有理数相等，二次根式部分相等可得x2+2y=17，y=-4，解之即可.
20．【答案】（1）4； ﹣4
（2）解：∵2＜ ＜3， ∴a= ﹣2，
∵3＜ ＜4，
∴b=3，
∴a+b﹣ = ﹣2+3﹣ =1；
（3）解：∵1＜3＜4， ∴1＜ ＜2，
∴11＜10+ ＜12，
∵10+ =x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，
∴x=11，y=10+ ﹣11= ﹣1，
∴x﹣y=11﹣（ ﹣1）=12﹣ ，
∴x﹣y的相反数是﹣12+ ；
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】（1）根据题意，得出整数部分和小数部分。
（2）根据已知条件，可利用范围，得出结果。
（3）根据已知，进行运算，得出相反数。
21．【答案】（1）
（2）
（3）解：①∵正方形的面积为5
∴其边长为，
∴所求正方形如下图：
② 如图点C就是的位置．
理由如下：∵小长方形对角线为：
以数字-1所在的点为圆心，长方形的对角线为半径画弧，与数轴交于C，
∴点C表示的数就是.
【知识点】算术平方根；无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：（1）∵面积为2的正方形的边长就是小方格的对角线长，
∴小方格对角线长为大正方形的面积的算术平方根，即
故答案为：；
（2）∵图2中小正方形的对角线长为，
∴原点与点M之间的距离为：
∴点M表示的数为：
故答案为：；
【分析】（1）根据"小方格的对角线长为大正方形的面积的算术平方根"，据此即可求解；
（2）根据图2中小正方形的对角线长为，得到原点与点M之间的距离，进而可求出点M所表示的数；
（3）①根据正方形的面积为5，得到其边长为，据此即可画出正方形；
②以数字-1所在的点为圆心，长方形的对角线为半径画弧，与数轴交于C，在数轴上表示出的点即可.
22．【答案】（1）；；
（2）x=2，y=-2，∴x+2y=-2
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1） 已知 ，
∴使用一次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为：
∵
∴使用二次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为：
∵
∴使用三次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为：
故答案为：.
（2）∵
∴在2和3之间，
∴
∴
【分析】（1）根据调日法的定义进行计算即可；
（2）根据算术平方根的定义估算出的大小，确定x和y的值，最后带入到代数式中即可求解.
23．【答案】（1）解：我们知道面积是10的正方形的边长是 ，易知 ＞3，因此可设 ＝3+x，可画出如图示意图．
由图中面积计算，S正方形＝x2+2×3x+9，
∵S正方形＝10，
∴x2+6x+9＝10．
∵x是 的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略x2，
∴得方程6x+9＝10，解得x＝0.17，
即 ≈3.17
（2）解：估算 （n为开方开不尽的数）的一般方法：求得 的整数部分a，即可得到 ≈a+ ．
【知识点】无理数的估值
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 S正方形＝x2+2×3x+9，再求出6x+9＝10， 最后求解即可；
（2）根据题意先求出 的整数部分a，再求出 ≈a+ 即可作答。
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