人教版初中数学八年级下学期 第十六章 二次根式 单元测试 A卷
一、选择题
1．下列计算正确的是（ ）
A．=±4 B．±=3 C．=-3 D．()2=3
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、 =4，故选项A错误；
B、±=±3，故选项B错误；
C、=3，故选项C错误；
D、()2=3，故选项D正确 .
故答案为：D.
【分析】根据算术平方根求解可判断A选项；根据平方根求解可判断B选项；根据可判断C选项；根据可判断D选项.
2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，故选项A正确；
B、，故不是最简二次根式，故选项B错误；
C、，故不是最简二次根式，故选项C错误；
D、，故不是最简二次根式，故选项D错误．
故答案为：A．
【分析】本题考查了最简二次根式的知识．最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐个判断得出答案.
3．代数式中x的取值范围是（ ）
A．x≥-4 B．x>2 C．x≥-4且x≠2 D．x>-4且x≠2
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：要使 有意义，
只需x+4≥0且 x-2≠0，
解得 x≥-4且x≠2 .
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数及分式的分母不能为零，列出不等式（组）求解.
4．已知x，y为实数， 且 则的值为 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵y＝＋＋，
∴6x-1≥0，1-6x≥0，
解得：x=，
则y=，
故．
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数可得6x-1≥0，1-6x≥0，求解得出x的值，再代入可求出y的值，进而求出x、y的比值得出答案．
5．下列二次根式中，字母a的取值范围是全体实数的为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：A、要有意义，则需满足，故选项A错误；
B、要有意义，则需满足，故选项B错误；
C、要有意义，则需满足，故选项C错误；
D、∵，∴中字母a的取值范围为全体实数，故选项D正确.
故答案为：D．
【分析】本题主要考查二次根式与分式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件为：被开方数大于等于0，据此可判断A和B的取值范围：和， a的取值范围不是全体实数； 再结合分式有意义的条件可得C的取值范围：， a的取值范围不是全体实数；通过排除法此题选择D选项．
6．下列计算正确的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，故此选项错误，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误，不符合题意；
C、，故此选项正确，符合题意；
D、，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】所谓最简二次根式，就是将二次根式化为最简二次根式后，被开方数完全相同的二次根式；二次根式的加减法就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，合并的时候，只把二次根式的系数相加减，根号部分不变，但不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断A、B选项；二次根式的乘法，把系数与被开方数分别相乘，据此可判断C选项；二次根式的除法，把系数的商作为商的系数，把被开方数的商作为商的被开方数，据此可判断D选项.
7．（2021八下·太湖期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：因为，，，，
所以与是同类二次根式，
故答案为：B．
【分析】利用同类二次根式的定义求解即可。
8．（2023八下·宁海期中）下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：.，故此选项不符合题意；
B.，故此选项不符合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据算术平方根的概念可判断A；根据二次根式的性质=|x|可判断B、D；根据立方根的概念可判断C.
9．若 的整数部分为a，小数部分为b，则代数式 的值为 （ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
∵的整数部分为a，小数部分为b ，
∴，，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据估算无理数大小可得，进而根据不等式性质可得，则可求得a、b的值，最后根据平方差公式及二次根式的混合运算法则可求得代数式的值．
10．下列式子：①()2=19；②()2=-19；③()2=a-b；④a=-( )2(a≤0)．其中一定正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ①()2=19，故正确；
②()2中根号内是负数，无意义，故错误；
③()2=a-b 成立的前提是a-b≥0，故错误；
④因为 a≤0 ，所以-( )2 =-（-a)=a，故正确，
综上所述，正确的有①④，共2个.
故答案为：B.
【分析】利用()2=a（a≥0）求解.
二、填空题
11．（2019八下·丰润期中）计算： × ＝ .
【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】 = .
故答案为 .
【分析】直接利用二次根式乘法运算法则化简得出答案．
12．若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 .
【答案】x≥-3且x≠2
【知识点】零指数幂；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x+3≥0，且x-2≠0，
解得：x≥-3且x≠2．
故答案为：x≥-3且x≠2．
【分析】此题主要考查了二次根式和零次幂，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数；a0=1（a≠0）；根据二次根式有意义的条件可得x+3≥0，根据零次幂底数不为零可得x-2≠0，求解即可．
13．已知 为实数， 且满足 2 ， 则 的值是 .
【答案】4
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵a-8≥0，8-a≥0，
∴ a-8=0，
∴ a=8，
∴ 0=b-2，
∴ b=2，
∴ ===4.
故答案为：4.
【分析】根据二次根式的被开方数的非负性可得a，代入已知方程可得b，将a、b的值代入待求式子即可求得.
14．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|- = ．
【答案】2
【知识点】整式的加减运算；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：根据实数a，b在数轴上的位置可知：-1
所以a+1>0，b-1>0，a-b<0，
所以 |a+1|-
=a+1-(b-1)-(a-b)
=2
故答案为：2.
【分析】先根据实数a，b在数轴上的位置得出a，b的取值范围，再确定a+1，b-1，a-b的符号，然后根据二次根式的性质及绝对值的性质化简，最后合并同类项即可.
15．将一组数按下面的方式进行排列：
若2的位置记为(1，4)，2的位置记为(2，3)，则这组数中最大的数的位置记为 .
【答案】(6，5)
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】由题意可得，每五个数一行，，
，，
故第六行第五个数，位置记为；
故答案是．
【分析】本题考查二次根式的应用．观察题目数的排列可得每行五个数，可得：，再根据根号里面的数都是3的倍数，可知：，，从而可以得到所在的位置；
三、计算题
16．计算：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：.
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）首先化简二次根式，进而合并同类二次根式即可；
（2）先直接利用平方差公式展开括号，再根据二次根式性质化简，最后计算有理数的减法即可；
（3）先根据完全平方及乘法分配律展开，再化简二次根式，进而合并同类项即可.
17．化简：
（1）
（2）
【答案】（1）解：∵
又∵，
∴
∴
（2）解：由题可知：，
解得：，
故
∴
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）首先根据x的范围确定x-1与x-4的符号，然后利用二次根式的性质，以及绝对值的性质即可化简；
（2）根据二次根式的被开方数不能为负数可得，解得：，进而确定x-3的符号，然后利用二次根式的性质，以及绝对值的性质即可化简．
18．
（1）已知x=2+，y=2-，求的值；
（2）已知a=，b=，求a2-3ab+b2的值
【答案】（1）解：∵x=2+，y=2-，
∴x+y=4，x-y=2 ，xy=(2+)(2-)=22-()2=4-3=1，
∴
（2）解：∵a=，b=
∴a=，b=
∴ a2- 3ab+b2=(a-b)2-ab=(+1-+1)2-(+1)( -1)=4-1=3.
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的加减法法则及乘法法则分别求得x+y与x-y，xy，再将通分计算异分母分式减法后将分式的分子分解因式，最后整体代入计算即可；
（2）先根据分母有理数将已知中的a，b化简，再将待求式子利用配方变形为(a-b)2-ab，最后代入求值.
四、解答题
19．在解决数学问题时，有时信息不太明显，需要结合图形特殊式子成立的条件、实际问题等发现，我们把这样的条件称为隐含条件，所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
例如：化简( )2-|1-x|．
解：由1-3x≥0，得x≤，∴1-x>0，∴原式=(1-3x)-(1-x)=1-3x- 1+x=-2x．
按照上面的解法，试化简：．
【答案】解：由2-x≥0，
解得x≤2，
∴x-3<0，
∴原式=-(x-3)-(2-x)= -x+3-2+x=1.
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】先由二次根式的被开方数不能为负数列出不等式，解决x的范围，再确定x-3的符号，然后化去二次根式，利用整式加减的法则计算.
20．某居民小区有一块形状为长方形的绿地ABCD，长方形绿地的长BC为 m，宽AB为 m，现要在长方形绿地中修建一个长方形 花坛(即图中阴影部分)，长方形花坛的长为( +1)m，宽为( -1)m．
（1）长方形ABCD的周长是多少？
（2）除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？(结果化为最简二次根式)
【答案】（1）解：长方形ABCD的周长=m，
即长方形ABCD的周长是m.
（2）解：购买地砖需要花费5×= 元，
即购买地砖需要花费元.
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】（1）根据长方形的周长公式列出式子，化简即可；
（2）将造价乘以面积，再化简.
五、实践探究题
21．先阅读，再解答问题．
恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．如：当x= +1时，求x3-x2-x+2的值，为解答这题，若直接把x=+1代人所求的式中进行计算，显然很麻烦．我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．
方法一：将条件变形．由x=+1，得x-1=．再把所求的代数式变形为关于(x-1)的表达式．
原式=[x2(x-1)-x(x-1)-3x]+2=[x(x-1)2-3x]+2=(3x-3x)+2=2．
方法二：先将条件化成合适的等式，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．由x-1=，可得x2-2x-2=0，即x2-2x=2，x2=2x+2．
原式=x(2x+2)-x2-x+2=x2+x-x2-x+2=2．
请参照以上解决问题的思路和方法，解决以下问题：
（1）已知a=-1，求a2+2a+2的值；
（2）已知x=2+，求x2-4x+200的值；
（3）已知x=2+，求的值．
【答案】（1）解：∵a= -1，∴a+1=，
∴a2+2a+2=(a+1)2+1=()2+1=11+1=12
（2）解：∵x=2+．∴x-2=，
∴x2-4+200=(x-2)2+196=()2+ 196=201
（3）解：由=2+得x-2= ，两边平方得x2-4x=-1，x2=4x-1．
原式=
=
=
=
=
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的化简求值；定义新运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】(1)根据题目中的例子，对所求式子变形即可解答本题；(2)根据题目中的例子，对所求式子变形即可解答本题.(3)根据题目中的例子，对所求式子变形即可解答本题.
22．观察下列各式并解答问题：
；
；
.
（1）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n(n为正整数)表示的等式： 。
（2）利用上述规律计算
（3）已知，求n的值.
【答案】（1）
（2）
（3）解：
又因为 ，
所以
解得：
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：．
（2）解：
故答案为：.
【分析】本题考查了二次根式的化简．
（1）根据等式的规律可推断第n个式子为：；
（2）根据前几个式子的规律可写成：，应用第（1）问的规律可得：．
（3）根据（1）先计算：可得：原式=，结果为：，又因为 ，
可得到方程，解方程即可求出结果．
六、综合题
23．（2023八下·北京市期中）某同学在解决问题：已知，求的值．
他是这样分析与求解的：
先将进行分母有理化，过程如下，
，
∴，
∴，，
∴，
∴．
请你根据上述分析过程，解决如下问题：
（1）若，请将进行分母有理化；
（2）在（1）的条件下，求的值；
（3）在（1）的条件下，求的值
【答案】（1）解：．
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∴．
（3）解：根据（2）可知，，
∴
．
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【分析】1）按照分母有理化的方法进行解答即可；
（2）根据可得，进而根据完全平方公式即可求解；
（3）根据（2）可知，，则，将代入即可求解．
1 / 1人教版初中数学八年级下学期 第十六章 二次根式 单元测试 A卷
一、选择题
1．下列计算正确的是（ ）
A．=±4 B．±=3 C．=-3 D．()2=3
2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是 （ ）
A． B． C． D．
3．代数式中x的取值范围是（ ）
A．x≥-4 B．x>2 C．x≥-4且x≠2 D．x>-4且x≠2
4．已知x，y为实数， 且 则的值为 （ ）
A． B． C． D．2
5．下列二次根式中，字母a的取值范围是全体实数的为 （ ）
A． B． C． D．
6．下列计算正确的是 （ ）
A． B． C． D．
7．（2021八下·太湖期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八下·宁海期中）下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．若 的整数部分为a，小数部分为b，则代数式 的值为 （ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
10．下列式子：①()2=19；②()2=-19；③()2=a-b；④a=-( )2(a≤0)．其中一定正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．（2019八下·丰润期中）计算： × ＝ .
12．若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 .
13．已知 为实数， 且满足 2 ， 则 的值是 .
14．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|- = ．
15．将一组数按下面的方式进行排列：
若2的位置记为(1，4)，2的位置记为(2，3)，则这组数中最大的数的位置记为 .
三、计算题
16．计算：
（1）
（2）
（3）
17．化简：
（1）
（2）
18．
（1）已知x=2+，y=2-，求的值；
（2）已知a=，b=，求a2-3ab+b2的值
四、解答题
19．在解决数学问题时，有时信息不太明显，需要结合图形特殊式子成立的条件、实际问题等发现，我们把这样的条件称为隐含条件，所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
例如：化简( )2-|1-x|．
解：由1-3x≥0，得x≤，∴1-x>0，∴原式=(1-3x)-(1-x)=1-3x- 1+x=-2x．
按照上面的解法，试化简：．
20．某居民小区有一块形状为长方形的绿地ABCD，长方形绿地的长BC为 m，宽AB为 m，现要在长方形绿地中修建一个长方形 花坛(即图中阴影部分)，长方形花坛的长为( +1)m，宽为( -1)m．
（1）长方形ABCD的周长是多少？
（2）除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？(结果化为最简二次根式)
五、实践探究题
21．先阅读，再解答问题．
恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．如：当x= +1时，求x3-x2-x+2的值，为解答这题，若直接把x=+1代人所求的式中进行计算，显然很麻烦．我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．
方法一：将条件变形．由x=+1，得x-1=．再把所求的代数式变形为关于(x-1)的表达式．
原式=[x2(x-1)-x(x-1)-3x]+2=[x(x-1)2-3x]+2=(3x-3x)+2=2．
方法二：先将条件化成合适的等式，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．由x-1=，可得x2-2x-2=0，即x2-2x=2，x2=2x+2．
原式=x(2x+2)-x2-x+2=x2+x-x2-x+2=2．
请参照以上解决问题的思路和方法，解决以下问题：
（1）已知a=-1，求a2+2a+2的值；
（2）已知x=2+，求x2-4x+200的值；
（3）已知x=2+，求的值．
22．观察下列各式并解答问题：
；
；
.
（1）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n(n为正整数)表示的等式： 。
（2）利用上述规律计算
（3）已知，求n的值.
六、综合题
23．（2023八下·北京市期中）某同学在解决问题：已知，求的值．
他是这样分析与求解的：
先将进行分母有理化，过程如下，
，
∴，
∴，，
∴，
∴．
请你根据上述分析过程，解决如下问题：
（1）若，请将进行分母有理化；
（2）在（1）的条件下，求的值；
（3）在（1）的条件下，求的值
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、 =4，故选项A错误；
B、±=±3，故选项B错误；
C、=3，故选项C错误；
D、()2=3，故选项D正确 .
故答案为：D.
【分析】根据算术平方根求解可判断A选项；根据平方根求解可判断B选项；根据可判断C选项；根据可判断D选项.
2．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，故选项A正确；
B、，故不是最简二次根式，故选项B错误；
C、，故不是最简二次根式，故选项C错误；
D、，故不是最简二次根式，故选项D错误．
故答案为：A．
【分析】本题考查了最简二次根式的知识．最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐个判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：要使 有意义，
只需x+4≥0且 x-2≠0，
解得 x≥-4且x≠2 .
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数及分式的分母不能为零，列出不等式（组）求解.
4．【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵y＝＋＋，
∴6x-1≥0，1-6x≥0，
解得：x=，
则y=，
故．
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数可得6x-1≥0，1-6x≥0，求解得出x的值，再代入可求出y的值，进而求出x、y的比值得出答案．
5．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：A、要有意义，则需满足，故选项A错误；
B、要有意义，则需满足，故选项B错误；
C、要有意义，则需满足，故选项C错误；
D、∵，∴中字母a的取值范围为全体实数，故选项D正确.
故答案为：D．
【分析】本题主要考查二次根式与分式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件为：被开方数大于等于0，据此可判断A和B的取值范围：和， a的取值范围不是全体实数； 再结合分式有意义的条件可得C的取值范围：， a的取值范围不是全体实数；通过排除法此题选择D选项．
6．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，故此选项错误，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误，不符合题意；
C、，故此选项正确，符合题意；
D、，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】所谓最简二次根式，就是将二次根式化为最简二次根式后，被开方数完全相同的二次根式；二次根式的加减法就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，合并的时候，只把二次根式的系数相加减，根号部分不变，但不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断A、B选项；二次根式的乘法，把系数与被开方数分别相乘，据此可判断C选项；二次根式的除法，把系数的商作为商的系数，把被开方数的商作为商的被开方数，据此可判断D选项.
7．【答案】B
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：因为，，，，
所以与是同类二次根式，
故答案为：B．
【分析】利用同类二次根式的定义求解即可。
8．【答案】C
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：.，故此选项不符合题意；
B.，故此选项不符合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据算术平方根的概念可判断A；根据二次根式的性质=|x|可判断B、D；根据立方根的概念可判断C.
9．【答案】D
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
∵的整数部分为a，小数部分为b ，
∴，，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据估算无理数大小可得，进而根据不等式性质可得，则可求得a、b的值，最后根据平方差公式及二次根式的混合运算法则可求得代数式的值．
10．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ①()2=19，故正确；
②()2中根号内是负数，无意义，故错误；
③()2=a-b 成立的前提是a-b≥0，故错误；
④因为 a≤0 ，所以-( )2 =-（-a)=a，故正确，
综上所述，正确的有①④，共2个.
故答案为：B.
【分析】利用()2=a（a≥0）求解.
11．【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】 = .
故答案为 .
【分析】直接利用二次根式乘法运算法则化简得出答案．
12．【答案】x≥-3且x≠2
【知识点】零指数幂；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x+3≥0，且x-2≠0，
解得：x≥-3且x≠2．
故答案为：x≥-3且x≠2．
【分析】此题主要考查了二次根式和零次幂，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数；a0=1（a≠0）；根据二次根式有意义的条件可得x+3≥0，根据零次幂底数不为零可得x-2≠0，求解即可．
13．【答案】4
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵a-8≥0，8-a≥0，
∴ a-8=0，
∴ a=8，
∴ 0=b-2，
∴ b=2，
∴ ===4.
故答案为：4.
【分析】根据二次根式的被开方数的非负性可得a，代入已知方程可得b，将a、b的值代入待求式子即可求得.
14．【答案】2
【知识点】整式的加减运算；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：根据实数a，b在数轴上的位置可知：-1所以a+1>0，b-1>0，a-b<0，
所以 |a+1|-
=a+1-(b-1)-(a-b)
=2
故答案为：2.
【分析】先根据实数a，b在数轴上的位置得出a，b的取值范围，再确定a+1，b-1，a-b的符号，然后根据二次根式的性质及绝对值的性质化简，最后合并同类项即可.
15．【答案】(6，5)
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】由题意可得，每五个数一行，，
，，
故第六行第五个数，位置记为；
故答案是．
【分析】本题考查二次根式的应用．观察题目数的排列可得每行五个数，可得：，再根据根号里面的数都是3的倍数，可知：，，从而可以得到所在的位置；
16．【答案】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：.
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）首先化简二次根式，进而合并同类二次根式即可；
（2）先直接利用平方差公式展开括号，再根据二次根式性质化简，最后计算有理数的减法即可；
（3）先根据完全平方及乘法分配律展开，再化简二次根式，进而合并同类项即可.
17．【答案】（1）解：∵
又∵，
∴
∴
（2）解：由题可知：，
解得：，
故
∴
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）首先根据x的范围确定x-1与x-4的符号，然后利用二次根式的性质，以及绝对值的性质即可化简；
（2）根据二次根式的被开方数不能为负数可得，解得：，进而确定x-3的符号，然后利用二次根式的性质，以及绝对值的性质即可化简．
18．【答案】（1）解：∵x=2+，y=2-，
∴x+y=4，x-y=2 ，xy=(2+)(2-)=22-()2=4-3=1，
∴
（2）解：∵a=，b=
∴a=，b=
∴ a2- 3ab+b2=(a-b)2-ab=(+1-+1)2-(+1)( -1)=4-1=3.
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的加减法法则及乘法法则分别求得x+y与x-y，xy，再将通分计算异分母分式减法后将分式的分子分解因式，最后整体代入计算即可；
（2）先根据分母有理数将已知中的a，b化简，再将待求式子利用配方变形为(a-b)2-ab，最后代入求值.
19．【答案】解：由2-x≥0，
解得x≤2，
∴x-3<0，
∴原式=-(x-3)-(2-x)= -x+3-2+x=1.
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】先由二次根式的被开方数不能为负数列出不等式，解决x的范围，再确定x-3的符号，然后化去二次根式，利用整式加减的法则计算.
20．【答案】（1）解：长方形ABCD的周长=m，
即长方形ABCD的周长是m.
（2）解：购买地砖需要花费5×= 元，
即购买地砖需要花费元.
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】（1）根据长方形的周长公式列出式子，化简即可；
（2）将造价乘以面积，再化简.
21．【答案】（1）解：∵a= -1，∴a+1=，
∴a2+2a+2=(a+1)2+1=()2+1=11+1=12
（2）解：∵x=2+．∴x-2=，
∴x2-4+200=(x-2)2+196=()2+ 196=201
（3）解：由=2+得x-2= ，两边平方得x2-4x=-1，x2=4x-1．
原式=
=
=
=
=
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的化简求值；定义新运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】(1)根据题目中的例子，对所求式子变形即可解答本题；(2)根据题目中的例子，对所求式子变形即可解答本题.(3)根据题目中的例子，对所求式子变形即可解答本题.
22．【答案】（1）
（2）
（3）解：
又因为 ，
所以
解得：
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：．
（2）解：
故答案为：.
【分析】本题考查了二次根式的化简．
（1）根据等式的规律可推断第n个式子为：；
（2）根据前几个式子的规律可写成：，应用第（1）问的规律可得：．
（3）根据（1）先计算：可得：原式=，结果为：，又因为 ，
可得到方程，解方程即可求出结果．
23．【答案】（1）解：．
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∴．
（3）解：根据（2）可知，，
∴
．
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【分析】1）按照分母有理化的方法进行解答即可；
（2）根据可得，进而根据完全平方公式即可求解；
（3）根据（2）可知，，则，将代入即可求解．
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