2023-2024学年初中数学人教版八年级下学期 第十六章 二次根式 单元测试 B卷
一、选择题
1．（2021八上·巴中期末）下列说法正确的是（ ）
A．1的平方根是1
B．（﹣4）2的算术平方根是4
C． ＝±3
D． 是最简二次根式
2．（2021·梧州）下列计算正确的是（ ）
A． 3 B． C． D．（ ）2＝2
3．（2024八上·南山期末）下列四个命题中，真命题是（ ）
A．若有意义，则
B．两个无理数的和还是无理数
C．体积为8的正方体，边长是无理数
D．两直线被第三条直线所截，内错角相等
4．（【全效核心素养评估卷】浙教版数学八下第1章）把根号外的因式化到根号内的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．（【全效核心素养评估卷】浙教版数学八下第1章）计算的结果是（ ）
A．7 B． C． D．
6．（【全效核心素养评估卷】浙教版数学八下第1章）若则（ ）
A． B．2 C．±2 D．±
7．若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（ ）
A． B．
C． D．或
8．（新人教版数学八年级下册16.1二次根式同步练习）若 ，则 的值为： （ ）
A．0 B．1 C．-1 D．2
9．（新人教版数学八年级下册16.2二次根式的乘除 同步训练）等式 成立的条件是( ).
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1
10．对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n=，计算（3※2）×（8※12）的结果为（ ）
A．2﹣4 B．2 C．2 D．20
二、填空题
11．（2024八上·雨花期末）二次根式是一个整数，那么正整数a的最小值是 ．
12．（2021·佳木斯模拟）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 ．
13．（2024八上·华容期末）若，则 ．
14．（2018八上·汪清期末）若实数x，y，m满足等式 ，则m+4的算术平方根为 ．
15．（新人教版数学八年级下册16.2二次根式的乘除 同步训练）若 成立，则x满足
三、计算题
16．（2024八下·宝安开学考）计算：
（1）；
（2）．
17．（2024八上·深圳期末）计算：
（1）；
（2）.
四、解答题
18．若a，b为实数，且b= ，=a+3，求ab+c的值
19．（2024八上·永定期末）已知．
（1）求和的值；
（2）求的值；
（3）若的小数部分是，的整数部分是，求的值．
20．（2024八上·邵阳期末）阅读下列解题过程
例：若代数式的值是2，求a的取值范围
解：原式，
当时，原式，解得（舍去）；
当时，原式，符合条件；
当时，原式，解得（舍去）．
的取值范围是．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
（1）当时，化简： ．
（2）若，求a的取值范围．
五、综合题
21．（2023八下·南昌期中）某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为，
（1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
22．（2023八下·忻州期中）（1）计算：；
（2）下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务：
解： ……第1步 ………第2步 …………………………第3步 ．………………………………第4步
任务：
①上述解答过程中，第1步依据的乘法公式为 （用字母表示）；
②上述解答过程，从第 步开始出错，具体的错误是 ；
③计算的正确结果为 ．
23．（2023八下·梁平期中）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为整数），则有．
，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得： ， ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + =（ + ；
（3）若，且a、m、n均为正整数，求a的值？
（4）化简：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平方根；算术平方根；最简二次根式
【解析】【解答】解：解：A、1的平方根是
，此项说法错误；
B、
的算术平方根是4，此项说法正确；
C、
，此项错误；
D、
，所以
不是最简二次根式，此项说法错误.
故答案为：B.
【分析】根据平方根的概念可判断A；根据算术平方根的概念可判断B、C；根据最简二次根式的概念可判断D.
2．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解： ，选项A错误；
与 不是同类二次根式，不能合并，选项B错误；
，选项C错误；
（ ）2＝2，选项D正确；
故答案为：D
【分析】利用二次根式的性质，可对A，C，D作出判断；同类二次根式才能合并，可对B作出判断.
3．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；无理数的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A．若有意义，则，正确，是真命题；
B．两个无理数的和不一定是无理数，如与，故原说法错误，是假命题；
C．体积为8的正方体，边长是2，故原说法错误，是假命题；
D．两条平行线直线被第三条直线所截，内错角相等，故原说法错误，是假命题.
故答案为：A．
【分析】根据二次根式有意义的条件、无理数的定义、平行线的性质，逐项判断即可．
4．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】由被开方数是非负数，得﹣a≥0．==.
故答案为：B．
【分析】二次根式的性质与化简.根据被开方数是非负数可得：，可得a的取值范围，根据二次根式的性质可得：=，根据二次根式的运算法则可求出答案．
5．【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】
故答案为：D
【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，二次根式的运算法则．先用平方差公式计算，再利用完全平方公式将展开，进而原式，括号展开，再对化简可得：，通过化简可求出答案．
6．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】已知则
所以
所以
又因为所以
所以
故
因此
故答案为：A.
【分析】本题考查二次根式的化简，完全平方公式的应用.已知对式子两边同时进行平方可得：化简可得：.再应用完全平方展开可得：，将代入上式可得：，开方可得：，最后根据讨论的符号可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】二次根式的加减法；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：若是腰长时，等腰三角形的边长分别为、、；
∵，不能构成三角形；
∴等腰三角形的边长分别为、、；
∴这个三角形的周长=++=
故答案为：A.
【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，判断三角形的三边长；根据三角形的周长公式和二次根式的加法计算即可.
8．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】由，得x-1=0，x+y=0，解得x=1，y=-1，所以 = + =1-1=0，故选A．
【分析】由二次根式的非负性，判断如果两个二次根式的和为零，则此两个二次根式都为0，从而得到x、y的值，进行正确的计算．
9．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的乘除法
【解析】解答：由二次根式的概念可知，被开方数非负，于是 ，解得 x≥1 .
故答案为：A
分析：根据题意列出关于x的不等式组，并正确求解即可求出正确答案
10．【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】∵3＞2，∴3※2=﹣，∵8＜12，∴8※12=+=2×（+），∴（3※2）×（8※12）=（﹣）×2×（+）=2．故选B．
【分析】根据题目所给的运算法则进行求解．
11．【答案】2
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解： ∵二次根式是一个整数，
∴a的最小正整数值为2.
故答案为：2。
【分析】根据完全平方数的特点进行计算即可。
12．【答案】x≥2
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得，x﹣2≥0且x≠0，
解得x≥2且x≠0，
所以，自变量x的取值范围是x≥2．
故答案为x≥2．
【分析】先求出x≥2且x≠0，再求解即可。
13．【答案】20
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由题意得m+n-2=0，m-4=0
解得m=4，n=-2
∴m +n =16+4=20
故答案为：20
【分析】根据绝对值和算术平方根的的非负性可得m+n-2=0，m-4=0，分别解出m、n的值，直接代入m +n 计算即可.
14．【答案】3
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】∵ 、 有意义，
∴x+y=2①，
∴
∴3x+5y 3 m=0②且2x+3y m=0③，
把①代入②得，2y+3 m=0④，
把①代入③得，y+4 m=0⑤，
④-⑤得y＝1，
所以m＝5.
所以
故答案为：3.
【分析】若使根号有意义，根号下≥0，可求出x、y的关系，因为算术平方根与平方都为非负数，所以两者都为零相加才会等于零，以此求出m的值，以此求出m+4的算术平方根。
15．【答案】2≦x<3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】由题意，3－x>0，x-2≧0，所以2≦x<3
【分析】应用二次根式有意义的条件列出两个不等式，并正确求解是解题的常规思路
16．【答案】（1）解：；
（2）解：．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先将分子的两个二次根式分别化为最简二次根式，进而根据多项式除以单项式的方法及二次根式的除法法则计算可得答案；
（2）先根据二次根式的乘法法则计算分子，再根据二次根式的除法法则计算可得答案.
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：解法一：
解：原式
解法二：
解：原式
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）二次根式进行加减运算时，需要先化成最简二次根式，再合并同类二次根式；
（2）二次根据进行加乘混合运算时可以利用乘法分配律计算，也可以先将每个二次根式化成最简二次根式，再进行运算.
18．【答案】解：由题意得
解得a=1．
∴b=，4．
∴c=±4，
当c=4时，原式=，
当c=-4时原式=
综上所述，ab+c的值为或.
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】先根据二次根式的被开方数不能为负数及分式的分母不能为零列出不等式组，可求出a的值，进而代入求得b，c的值，再将a、b、c得值代入待求式子，根据有理数的加减乘除混合运算的运算顺序计算即可求值.
19．【答案】（1）解：，
，；
（2）解：由（1）得：，，
（3）解：，
，即，
，
，
的小数部分是，
，
，的整数部分是，
，
．
【知识点】无理数的估值；完全平方公式及运用；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）代入，根据二次根式的加减法和乘法法则计算即可 ；
（2）将原式变形为，代入数值，根据二次根式的混合运算法则进行计算即可；
（3）先估算出，从而确定，，再代入进行计算即可．
20．【答案】（1）2
（2）解：，
当时，原式，
，符合条件；
当时，原式，（舍去）；
当时，原式，
，符合条件，
∴a的取值范围是或．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴a-2≥0，a-4≤0，
∴= a-2+4-a=2.
故答案为：2.
【分析】（1）根据a的取值范围，可以得出a-2≥0，a-4≤0，从而化简二次根式，可得出答案；
（2）首先得出 ， 然后根据a的取值范围，分别进行化简，化简结果为10的符合条件，即可得出a的取值范围。
21．【答案】（1）解：长方形的周长，
答：长方形的周长是；
（2）解：购买地砖需要花费
（元）
答：购买地砖需要花费6600元．
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】（1）根据长方形周长计算公式直接列式计算，先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先分别列出求长方形绿地ABCD面积和花坛的面积，再列式求它们的面积差，最后再乘单价，正确计算即可求得购买地砖的花费。
22．【答案】（1）解：原式
；
（2）；三；；
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：（2）
，
故答案为：；三；；.
【分析】（1）利用二次根式的加减法则计算求解即可；
（2）利用完全平方公式计算求解即可。
23．【答案】（1）；
（2）4；2；1；1
（3）解：由（1）可知，，，
而、、均为正整数，
，或者，，
当，时，；
当，时，．
综上，或者．
（4）解：由题意得：
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）∵
∴
∴，，
故答案为：，．
（2）设m=1，n=1，由（1）可得，，
故答案为：4，2，1，1．
【分析】（1）根据例题，用完全平方公式展开，进而即可求解；
（2）设m=1，n=1代入（1）中探索的结论中即可求出a和b的值；
（3）根据题意可知b=2mn=4，进而得出mn=2，再结合m、n均为正整数即可求出m、n的值，然后根据a=m2+3n2分类讨论即可求出a的值；
（4）根据例题，将根号内化为完全平方式，进而即可求解 ．
1 / 12023-2024学年初中数学人教版八年级下学期 第十六章 二次根式 单元测试 B卷
一、选择题
1．（2021八上·巴中期末）下列说法正确的是（ ）
A．1的平方根是1
B．（﹣4）2的算术平方根是4
C． ＝±3
D． 是最简二次根式
【答案】B
【知识点】平方根；算术平方根；最简二次根式
【解析】【解答】解：解：A、1的平方根是
，此项说法错误；
B、
的算术平方根是4，此项说法正确；
C、
，此项错误；
D、
，所以
不是最简二次根式，此项说法错误.
故答案为：B.
【分析】根据平方根的概念可判断A；根据算术平方根的概念可判断B、C；根据最简二次根式的概念可判断D.
2．（2021·梧州）下列计算正确的是（ ）
A． 3 B． C． D．（ ）2＝2
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解： ，选项A错误；
与 不是同类二次根式，不能合并，选项B错误；
，选项C错误；
（ ）2＝2，选项D正确；
故答案为：D
【分析】利用二次根式的性质，可对A，C，D作出判断；同类二次根式才能合并，可对B作出判断.
3．（2024八上·南山期末）下列四个命题中，真命题是（ ）
A．若有意义，则
B．两个无理数的和还是无理数
C．体积为8的正方体，边长是无理数
D．两直线被第三条直线所截，内错角相等
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；无理数的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A．若有意义，则，正确，是真命题；
B．两个无理数的和不一定是无理数，如与，故原说法错误，是假命题；
C．体积为8的正方体，边长是2，故原说法错误，是假命题；
D．两条平行线直线被第三条直线所截，内错角相等，故原说法错误，是假命题.
故答案为：A．
【分析】根据二次根式有意义的条件、无理数的定义、平行线的性质，逐项判断即可．
4．（【全效核心素养评估卷】浙教版数学八下第1章）把根号外的因式化到根号内的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】由被开方数是非负数，得﹣a≥0．==.
故答案为：B．
【分析】二次根式的性质与化简.根据被开方数是非负数可得：，可得a的取值范围，根据二次根式的性质可得：=，根据二次根式的运算法则可求出答案．
5．（【全效核心素养评估卷】浙教版数学八下第1章）计算的结果是（ ）
A．7 B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】
故答案为：D
【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，二次根式的运算法则．先用平方差公式计算，再利用完全平方公式将展开，进而原式，括号展开，再对化简可得：，通过化简可求出答案．
6．（【全效核心素养评估卷】浙教版数学八下第1章）若则（ ）
A． B．2 C．±2 D．±
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】已知则
所以
所以
又因为所以
所以
故
因此
故答案为：A.
【分析】本题考查二次根式的化简，完全平方公式的应用.已知对式子两边同时进行平方可得：化简可得：.再应用完全平方展开可得：，将代入上式可得：，开方可得：，最后根据讨论的符号可得出答案.
7．若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】A
【知识点】二次根式的加减法；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：若是腰长时，等腰三角形的边长分别为、、；
∵，不能构成三角形；
∴等腰三角形的边长分别为、、；
∴这个三角形的周长=++=
故答案为：A.
【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，判断三角形的三边长；根据三角形的周长公式和二次根式的加法计算即可.
8．（新人教版数学八年级下册16.1二次根式同步练习）若 ，则 的值为： （ ）
A．0 B．1 C．-1 D．2
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】由，得x-1=0，x+y=0，解得x=1，y=-1，所以 = + =1-1=0，故选A．
【分析】由二次根式的非负性，判断如果两个二次根式的和为零，则此两个二次根式都为0，从而得到x、y的值，进行正确的计算．
9．（新人教版数学八年级下册16.2二次根式的乘除 同步训练）等式 成立的条件是( ).
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的乘除法
【解析】解答：由二次根式的概念可知，被开方数非负，于是 ，解得 x≥1 .
故答案为：A
分析：根据题意列出关于x的不等式组，并正确求解即可求出正确答案
10．对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n=，计算（3※2）×（8※12）的结果为（ ）
A．2﹣4 B．2 C．2 D．20
【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】∵3＞2，∴3※2=﹣，∵8＜12，∴8※12=+=2×（+），∴（3※2）×（8※12）=（﹣）×2×（+）=2．故选B．
【分析】根据题目所给的运算法则进行求解．
二、填空题
11．（2024八上·雨花期末）二次根式是一个整数，那么正整数a的最小值是 ．
【答案】2
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解： ∵二次根式是一个整数，
∴a的最小正整数值为2.
故答案为：2。
【分析】根据完全平方数的特点进行计算即可。
12．（2021·佳木斯模拟）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≥2
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得，x﹣2≥0且x≠0，
解得x≥2且x≠0，
所以，自变量x的取值范围是x≥2．
故答案为x≥2．
【分析】先求出x≥2且x≠0，再求解即可。
13．（2024八上·华容期末）若，则 ．
【答案】20
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由题意得m+n-2=0，m-4=0
解得m=4，n=-2
∴m +n =16+4=20
故答案为：20
【分析】根据绝对值和算术平方根的的非负性可得m+n-2=0，m-4=0，分别解出m、n的值，直接代入m +n 计算即可.
14．（2018八上·汪清期末）若实数x，y，m满足等式 ，则m+4的算术平方根为 ．
【答案】3
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】∵ 、 有意义，
∴x+y=2①，
∴
∴3x+5y 3 m=0②且2x+3y m=0③，
把①代入②得，2y+3 m=0④，
把①代入③得，y+4 m=0⑤，
④-⑤得y＝1，
所以m＝5.
所以
故答案为：3.
【分析】若使根号有意义，根号下≥0，可求出x、y的关系，因为算术平方根与平方都为非负数，所以两者都为零相加才会等于零，以此求出m的值，以此求出m+4的算术平方根。
15．（新人教版数学八年级下册16.2二次根式的乘除 同步训练）若 成立，则x满足
【答案】2≦x<3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】由题意，3－x>0，x-2≧0，所以2≦x<3
【分析】应用二次根式有意义的条件列出两个不等式，并正确求解是解题的常规思路
三、计算题
16．（2024八下·宝安开学考）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：；
（2）解：．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先将分子的两个二次根式分别化为最简二次根式，进而根据多项式除以单项式的方法及二次根式的除法法则计算可得答案；
（2）先根据二次根式的乘法法则计算分子，再根据二次根式的除法法则计算可得答案.
17．（2024八上·深圳期末）计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：原式
（2）解：解法一：
解：原式
解法二：
解：原式
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）二次根式进行加减运算时，需要先化成最简二次根式，再合并同类二次根式；
（2）二次根据进行加乘混合运算时可以利用乘法分配律计算，也可以先将每个二次根式化成最简二次根式，再进行运算.
四、解答题
18．若a，b为实数，且b= ，=a+3，求ab+c的值
【答案】解：由题意得
解得a=1．
∴b=，4．
∴c=±4，
当c=4时，原式=，
当c=-4时原式=
综上所述，ab+c的值为或.
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】先根据二次根式的被开方数不能为负数及分式的分母不能为零列出不等式组，可求出a的值，进而代入求得b，c的值，再将a、b、c得值代入待求式子，根据有理数的加减乘除混合运算的运算顺序计算即可求值.
19．（2024八上·永定期末）已知．
（1）求和的值；
（2）求的值；
（3）若的小数部分是，的整数部分是，求的值．
【答案】（1）解：，
，；
（2）解：由（1）得：，，
（3）解：，
，即，
，
，
的小数部分是，
，
，的整数部分是，
，
．
【知识点】无理数的估值；完全平方公式及运用；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）代入，根据二次根式的加减法和乘法法则计算即可 ；
（2）将原式变形为，代入数值，根据二次根式的混合运算法则进行计算即可；
（3）先估算出，从而确定，，再代入进行计算即可．
20．（2024八上·邵阳期末）阅读下列解题过程
例：若代数式的值是2，求a的取值范围
解：原式，
当时，原式，解得（舍去）；
当时，原式，符合条件；
当时，原式，解得（舍去）．
的取值范围是．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
（1）当时，化简： ．
（2）若，求a的取值范围．
【答案】（1）2
（2）解：，
当时，原式，
，符合条件；
当时，原式，（舍去）；
当时，原式，
，符合条件，
∴a的取值范围是或．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴a-2≥0，a-4≤0，
∴= a-2+4-a=2.
故答案为：2.
【分析】（1）根据a的取值范围，可以得出a-2≥0，a-4≤0，从而化简二次根式，可得出答案；
（2）首先得出 ， 然后根据a的取值范围，分别进行化简，化简结果为10的符合条件，即可得出a的取值范围。
五、综合题
21．（2023八下·南昌期中）某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为，
（1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【答案】（1）解：长方形的周长，
答：长方形的周长是；
（2）解：购买地砖需要花费
（元）
答：购买地砖需要花费6600元．
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】（1）根据长方形周长计算公式直接列式计算，先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先分别列出求长方形绿地ABCD面积和花坛的面积，再列式求它们的面积差，最后再乘单价，正确计算即可求得购买地砖的花费。
22．（2023八下·忻州期中）（1）计算：；
（2）下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务：
解： ……第1步 ………第2步 …………………………第3步 ．………………………………第4步
任务：
①上述解答过程中，第1步依据的乘法公式为 （用字母表示）；
②上述解答过程，从第 步开始出错，具体的错误是 ；
③计算的正确结果为 ．
【答案】（1）解：原式
；
（2）；三；；
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：（2）
，
故答案为：；三；；.
【分析】（1）利用二次根式的加减法则计算求解即可；
（2）利用完全平方公式计算求解即可。
23．（2023八下·梁平期中）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为整数），则有．
，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得： ， ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + =（ + ；
（3）若，且a、m、n均为正整数，求a的值？
（4）化简：．
【答案】（1）；
（2）4；2；1；1
（3）解：由（1）可知，，，
而、、均为正整数，
，或者，，
当，时，；
当，时，．
综上，或者．
（4）解：由题意得：
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）∵
∴
∴，，
故答案为：，．
（2）设m=1，n=1，由（1）可得，，
故答案为：4，2，1，1．
【分析】（1）根据例题，用完全平方公式展开，进而即可求解；
（2）设m=1，n=1代入（1）中探索的结论中即可求出a和b的值；
（3）根据题意可知b=2mn=4，进而得出mn=2，再结合m、n均为正整数即可求出m、n的值，然后根据a=m2+3n2分类讨论即可求出a的值；
（4）根据例题，将根号内化为完全平方式，进而即可求解 ．
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