2023-2024学年初中数学人教版八年级下学期 第十七章 勾股定理 单元测试 A卷
一、选择题
1．（2023八下·赣州期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八下·松原月考）如图，两个较大的正方形的面积分别为225和289，则字母所代表的正方形的面积为（ ）
A．64 B．16 C．8 D．4
3．（2019八下·腾冲期中）以下列长度的线段不能围成直角三角形的是（ ）
A．5，12， 13 B． C． ，3，4 D．2，3，4
4．（2023八下·巩义期末）如图，在数轴上，过表示数2的点A作数轴的垂线，以点A为圆心，1长为半径画弧，交垂线于点B，再以原点O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为（ ）
A．2.1 B．2.2 C． D．
5．（2023八下·巩义期末）小华用火柴棒摆直角三角形，已知他摆两条直角边分别用了6根和8根火柴棒，那么他摆完这个直角三角形共用火柴棒（ ）
A．10根 B．14根 C．24根 D．30根
6．（2023八下·东莞期中）如图，在中，，分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于、两点，连接直线，分别交、于点、，连接，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八下·广州期中）点到原点的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．（2019八下·师宗月考）如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面8m，树的顶端离树根6m，则这棵树在折断之前的高度是（ ）
A．18m B．10m C．14m D．24m
9．已知 的三边长分别为 ， 且 ， 则 是（ ）
A．以 为斜边的直角三角形 B．以 为斜边的直角三角形
C．以 为斜边的直角三角形 D．等边三角形
10．（2023八下·松原月考）如图，在中，已知．以为直角边，构造；再以为直角边，构造；…，按照这个规律，在中，点到的距离是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积等于 cm2．
12．（2023八下·大化期中）如图，圆柱的底面周长是，高是，一只蚂蚁在点想吃到点的食物，需要爬行的最短路径是 ．
13．（2023八下·庆云期末）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得，若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也向右滑，则梯子的长度为 .
14．（2023八下·台江期末）如图，平分，于点，点在射线上，且．若，，，则的长为 ．
15．（2023八下·良庆期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它巧妙利用面积关系证明了勾股定理，如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较短直角边长为a，较长直角边长为b，若大正方形的面积为17，每个直角三角形面积为4，那么为 ．
三、解答题
16．如图，在平面直角坐标系中，A(1，1)，B(3，1)，C(1，5)是三角形的三个顶点，求BC的长.
17．（2022八下·杭州月考）如图，在一次课外活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离，已知CD⊥BD，现测得AC= ，BC= ，CD= ，请计算A，B两个凉亭之间的距离.
18．如图， 扶梯 的坡比为 ， 滑梯 的坡比为 平行于地面， 于点 于点 . 若 ， 一男孩从扶梯走到滑梯的顶部， 然后从滑梯滑下， 他所经过的总路程是多少(结果保留根号)
四、实践探究题
19．（2023八下·西山期末）阅读：在平面直角坐标系中，已知两点的坐标，可构造直角三角形，运用勾股定理，求这两点间的距离；在平面直角坐标系中有两点，，求，两点间的距离过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，相交于点，连接，，在中，由勾股定理得：，若，，从而得到两点间的距离公式解决下列问题：
（1）若，，则两点间的距离 ；
（2）如图：点，点，则 ，若，则 ．
20．（2023八下·淮安期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．
（1）应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点．如图1，在数轴上找出表示2的点A，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使，以原点O为圆心，为半径作弧，则弧与数轴负半轴的交点C表示的数是 ；
（2）应用场景2——解决实际问题．如图2，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽6尺，求竹竿长．
21．（2023八下·灌南期末）先阅读材料，然后回答问题：
形如的化简，只要找到两个正数、，使，，
使得，，
那么则有，例如：化简，．
（1）请根据你从上述材料中得到的启发，化简： ； ；
（2）在中，，，其中边的垂直平分线分别交、于点、，当时，求的长．（结果要化为最简形式）
五、综合题
22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
（1）求作∠BAC的平分线，与BC交于点D（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若CD=4，AB=15，求△ABD的面积．
23．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒．求：
（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（2）当t=3秒时，P、Q两点之间的距离是多少？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、∵22+32≠42，∴不是勾股数，故不符合题意；
B、∵42+52≠62，∴不是勾股数，故不符合题意；
C、∵72+82≠92，∴不是勾股数，故不符合题意；
D、∵62+82≠102，∴是勾股数，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】勾股数满足的两个条件：①三个数都是正整数，②两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一判断即可.
2．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】由题意可得两个正方形的边长分别为和，根据勾股定理求出字母A所代表的正方形的边长为8，正方形A的面积=8×8=64。
故答案为：A.
【分析】现根据正方形的面积求出边长，然后根据之间三角形的勾股定理求出正方形A的边长，根据正方形面积公式进行计算即可得出答案。
3．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、52+122=169=132，故能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、 ，故能构成直角三角形，故B不符合题意；
C、 ，故能构成直角三角形，故C不符合题意；
D、∵22+32=13≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项符合要求；
【分析】勾股定理的逆定理：在三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，如果a2+b2=c2，那么：∠C= 90° 。然后计算两较短边的平方和，和最长边的平方，根据勾股定理的逆定理即可判断。
4．【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：，
∴点C所表示的实数为，
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得OB的值，即得到OC的值，根据实数与数轴的关系即可得出答案．
5．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵两直角边分别用了6根、8根长度相同的火柴棒，
∴由勾股定理，得到斜边需用：（根），
∴他摆完这个直角三角形共用火柴棒是：6+8+10=24．
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方；即可求得斜边需要的火柴棒的数量，再由三角形的周长公式来求摆完这个直角三角形共用火柴棒的数量．
6．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可知，MN是BC的垂直平分线，所以MC=BM=3，BN=CN，∠B=∠BCN
∵是直角三角形，BC=6，AB=10
∴AC==8
∵∠B+∠A=∠BCN+∠ACN=90°，∠B=∠BCN
∴∠A=∠ACN
∴CN=AN=BN
∴点N为AB的中点
∴BN=CN=5
∴MN==4
∴S △CMN=.
故答案为：B.
【分析】根据线段的垂直平分线得性质，可得MC=BM，BN=CN，∠B=∠BCN；根据勾股定理，可得AC得值；根据直角三角线得中线性质，可得∠B=∠BCN；最后根据勾股定理和三角形面积公式，可得 的面积.
7．【答案】D
【知识点】点的坐标；勾股定理
【解析】【解答】解： 点到原点的距离为 .
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理直接计算即可.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵BC=8m，AC=6m，∠C=90 ，
∴AB= m，
∴树高10+8=18m.
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理可求出AB的长，AB+BC即为树在折断之前的高度.
9．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
，
∴a-6=0，b-8=0，c-10=0，
∴ a=6，b=8，c=10，
∵ 62+82=102，即a2+b2=c2，
∴ △ABC是以c为斜边的直角三角形.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式，绝对值和平方的非负性，由几个非负数的和为零，则每一个数都等于零可得a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理，即可求得.
10．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的应用
【解析】【解答】根据题意已知在中，∠A=90°，AO=2，AB=1，OB为直角边，所以可得OB=，同理，OC=，OD=，同理在Rt△OHI中OI=，H到OI的距离为L，，代入得，所以HL=
故答案为：B.
【分析】根据题意可以用勾股定理求出OB=，OC=，OD=，同理可以求出OI=，然后根据三角形的面积公式即可求出答案。
11．【答案】24
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=14cm，c=10cm，
∴由勾股定理得：a2+b2=c2，即（a+b）2﹣2ab=c2=100，
∴196﹣2ab=100，即ab=48，
则Rt△ABC的面积为ab=24（cm2）．
故答案为：24cm2．
【分析】利用勾股定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b与c的值代入求出ab的值，即可确定出直角三角形的面积．
12．【答案】13
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：将圆柱的侧面展开如图所示，连接AB，则AB的长即为蚂蚁所爬行的最短路径，
∴AC=×24=12cm，BC=5cm，
∴AB==13cm，
故答案为：13.
【分析】将圆柱的侧面展开如图所示，连接AB，则AB的长即为蚂蚁所爬行的最短路径，利用勾股定理求出AB的长即可.
13．【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解： 设梯子的长度为x，
根据勾股定理得，
，
，
解得：.
故答案为：5.
【分析】根据勾股表示出，在直角三角形COD中根据勾股定理求出AB即可.
14．【答案】6
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过点P作PD⊥AN于点D，
∵AP平分∠MAN，PD⊥AN，PB⊥AM，
∴PB=PD=3，∠ABP=∠ADP=90°，
在Rt△PCD中，∵PD=3，PC=5，
∴CD=，
∴AD=AC+CD=2+4=6；
在Rt△ABP与Rt△ADP中，
∵AP=AP，PB=PD，
∴Rt△ABP≌Rt△ADP（HL），
∴AB=AD=6.
故答案为：6.
【分析】由角平分线上的点到角两边的距离相等得PB=PD=3，∠ABP=∠ADP=90°，在Rt△PCD中，利用勾股定理算出CD的长，进而根据线段的和差算出AD的长，然后利用HL判断出Rt△ABP≌Rt△ADP，根据全等三角形的对应边相等可得AB=AD=6.
15．【答案】1
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：∵大正方形的面积为17，每个直角三角形面积为4，
∴，
∴（a-b）2=a2-2ab+b2=17-2×8=1.
故答案为：1.
【分析】根据直角三角形的面积为4建立方程ab=4，根据勾股定理及正方形面积等于边长平方可得方程a2+b2=17，再根据完全平方公式得出（a-b）2=a2-2ab+b2，代入进行计算，即可得出答案.
16．【答案】解：∵A（1，1），B（3，1），C（1，5），
∴AC=5-1=4，AB=3-1=2，
在Rt△ABC中，
.
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理的应用
【解析】【分析】根据点A、B、C的坐标求出AB、AC的长度，再利用直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方列式计算即可求解.
17．【答案】解：在Rt△CDA中，∵AC＝ ，CD= ，
∴AD2＝AC2 CD2，AD= ．
在Rt△CDB中，∵CD= ，BC= ，
∴BD2＝BC2 CD2，BD=
∴AB＝BD-AD=
答：A，B两个凉亭之间的距离为 ．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】在Rt△CDA和Rt△CDB中利用勾股定理分别求出AD、BD长，再由AB＝BD-AD，代入数据计算即可得出两个凉亭之间的距离．
18．【答案】解：∵扶梯AB的坡比（BE与AE长度之比）为4：3，AE=30dm，
∴BE=40dm，
∴，，
∵CD的坡比（CF与DF长度之比）为1：2，
∴FD=2CF=2×40=80（dm），
∴，
∴他所经过的总路程是：.
【知识点】二次根式的应用；勾股定理的应用
【解析】【分析】首先在直角三角形ABE中求得AB和BE，然后就可以知道CF的长，在直角三角形CFD中求得CD的长，则他所经过的总路程就是AB+BC+CD.
19．【答案】（1）
（2）；
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理
【解析】【解答】解：，，
，
故答案为：．
（2）∵点，点，
；
过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点，如图所示：
点，点，
，，，，，，
，
，
．
故答案为：；．
【分析】（1）根据阅读材料中的两点间距离公式，代入P、Q的坐标，求出PQ的值即可：
( 2 )根据阅读材料中的两点间距离公式，代入D、E的坐标，求出DE的值即可；先求出△ODE的面积，根据等积法求出OH的值即可.
20．【答案】（1）
（2）解：竹竿长x尺，由题意，竹竿，门高尺，门宽尺，
在中，
∴，
∴，
解得，
答：竹竿长10尺．
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵l⊥AC，AB=1，OA=2，
∴BO==，
∴OC=OB=，
∴ 点C表示的数是 ；
故答案为：.
【分析】（1）由勾股定理求出BO的长，即得OC的长，从而得出点C表示的数；
（2）设竹竿，则门高尺，门宽尺，在中，利用勾股定理建立关于x方程并解之即可.
21．【答案】（1）；
（2）解：是边上的垂直平分线，
，
，
是的外角，
，
在中，，，
，
，
，
在中，
．
【知识点】二次根式的性质与化简；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）.
=.
=.
=.
.
=.
=.
=.
【分析】（1）按照例题的解题思路，进行计算即可解答.
（2）先根据线段垂直平分线的性质可得EA=EB，从而得到∠EAB=∠B=15°，进而利用三角形的外角的性质可得∠AEC=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理可得AE=2及CE的长，从而求出BC的长，最后由勾股定理进行计算即可得到答案.
22．【答案】（1）解：如图所示：
AD即为所求
（2）解：过点D作DE⊥AB于点E，如图2所示：
∵AD平分∠BAC，AC⊥CD
∴DE=DC=4，
∴△ABD的面积= AB DE= ×15×4=30．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）直接利用角平分线的作法得出答案；（2）过点D作DE⊥AB于点E，利用角平分线的性质结合三角形面积求法得出答案．
23．【答案】（1）解：由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=20﹣4t，
∴Rt△CPQ的面积为S= （20﹣2t）×2t=20t﹣4t2（cm2）
（2）解：当t=3秒时，CP=20﹣4t=8cm，CQ=2t=6cm，
在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PQ= =10cm
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】（1）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式S△CPQ= CP×CQ求解；（2）在Rt△CPQ中，由（1）可知CP、CQ的长，运用勾股定理可将PQ的长求出．
1 / 12023-2024学年初中数学人教版八年级下学期 第十七章 勾股定理 单元测试 A卷
一、选择题
1．（2023八下·赣州期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、∵22+32≠42，∴不是勾股数，故不符合题意；
B、∵42+52≠62，∴不是勾股数，故不符合题意；
C、∵72+82≠92，∴不是勾股数，故不符合题意；
D、∵62+82≠102，∴是勾股数，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】勾股数满足的两个条件：①三个数都是正整数，②两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一判断即可.
2．（2023八下·松原月考）如图，两个较大的正方形的面积分别为225和289，则字母所代表的正方形的面积为（ ）
A．64 B．16 C．8 D．4
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】由题意可得两个正方形的边长分别为和，根据勾股定理求出字母A所代表的正方形的边长为8，正方形A的面积=8×8=64。
故答案为：A.
【分析】现根据正方形的面积求出边长，然后根据之间三角形的勾股定理求出正方形A的边长，根据正方形面积公式进行计算即可得出答案。
3．（2019八下·腾冲期中）以下列长度的线段不能围成直角三角形的是（ ）
A．5，12， 13 B． C． ，3，4 D．2，3，4
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、52+122=169=132，故能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、 ，故能构成直角三角形，故B不符合题意；
C、 ，故能构成直角三角形，故C不符合题意；
D、∵22+32=13≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项符合要求；
【分析】勾股定理的逆定理：在三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，如果a2+b2=c2，那么：∠C= 90° 。然后计算两较短边的平方和，和最长边的平方，根据勾股定理的逆定理即可判断。
4．（2023八下·巩义期末）如图，在数轴上，过表示数2的点A作数轴的垂线，以点A为圆心，1长为半径画弧，交垂线于点B，再以原点O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为（ ）
A．2.1 B．2.2 C． D．
【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：，
∴点C所表示的实数为，
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得OB的值，即得到OC的值，根据实数与数轴的关系即可得出答案．
5．（2023八下·巩义期末）小华用火柴棒摆直角三角形，已知他摆两条直角边分别用了6根和8根火柴棒，那么他摆完这个直角三角形共用火柴棒（ ）
A．10根 B．14根 C．24根 D．30根
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵两直角边分别用了6根、8根长度相同的火柴棒，
∴由勾股定理，得到斜边需用：（根），
∴他摆完这个直角三角形共用火柴棒是：6+8+10=24．
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方；即可求得斜边需要的火柴棒的数量，再由三角形的周长公式来求摆完这个直角三角形共用火柴棒的数量．
6．（2023八下·东莞期中）如图，在中，，分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于、两点，连接直线，分别交、于点、，连接，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可知，MN是BC的垂直平分线，所以MC=BM=3，BN=CN，∠B=∠BCN
∵是直角三角形，BC=6，AB=10
∴AC==8
∵∠B+∠A=∠BCN+∠ACN=90°，∠B=∠BCN
∴∠A=∠ACN
∴CN=AN=BN
∴点N为AB的中点
∴BN=CN=5
∴MN==4
∴S △CMN=.
故答案为：B.
【分析】根据线段的垂直平分线得性质，可得MC=BM，BN=CN，∠B=∠BCN；根据勾股定理，可得AC得值；根据直角三角线得中线性质，可得∠B=∠BCN；最后根据勾股定理和三角形面积公式，可得 的面积.
7．（2023八下·广州期中）点到原点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；勾股定理
【解析】【解答】解： 点到原点的距离为 .
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理直接计算即可.
8．（2019八下·师宗月考）如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面8m，树的顶端离树根6m，则这棵树在折断之前的高度是（ ）
A．18m B．10m C．14m D．24m
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵BC=8m，AC=6m，∠C=90 ，
∴AB= m，
∴树高10+8=18m.
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理可求出AB的长，AB+BC即为树在折断之前的高度.
9．已知 的三边长分别为 ， 且 ， 则 是（ ）
A．以 为斜边的直角三角形 B．以 为斜边的直角三角形
C．以 为斜边的直角三角形 D．等边三角形
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
，
∴a-6=0，b-8=0，c-10=0，
∴ a=6，b=8，c=10，
∵ 62+82=102，即a2+b2=c2，
∴ △ABC是以c为斜边的直角三角形.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式，绝对值和平方的非负性，由几个非负数的和为零，则每一个数都等于零可得a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理，即可求得.
10．（2023八下·松原月考）如图，在中，已知．以为直角边，构造；再以为直角边，构造；…，按照这个规律，在中，点到的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的应用
【解析】【解答】根据题意已知在中，∠A=90°，AO=2，AB=1，OB为直角边，所以可得OB=，同理，OC=，OD=，同理在Rt△OHI中OI=，H到OI的距离为L，，代入得，所以HL=
故答案为：B.
【分析】根据题意可以用勾股定理求出OB=，OC=，OD=，同理可以求出OI=，然后根据三角形的面积公式即可求出答案。
二、填空题
11．已知Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积等于 cm2．
【答案】24
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=14cm，c=10cm，
∴由勾股定理得：a2+b2=c2，即（a+b）2﹣2ab=c2=100，
∴196﹣2ab=100，即ab=48，
则Rt△ABC的面积为ab=24（cm2）．
故答案为：24cm2．
【分析】利用勾股定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b与c的值代入求出ab的值，即可确定出直角三角形的面积．
12．（2023八下·大化期中）如图，圆柱的底面周长是，高是，一只蚂蚁在点想吃到点的食物，需要爬行的最短路径是 ．
【答案】13
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：将圆柱的侧面展开如图所示，连接AB，则AB的长即为蚂蚁所爬行的最短路径，
∴AC=×24=12cm，BC=5cm，
∴AB==13cm，
故答案为：13.
【分析】将圆柱的侧面展开如图所示，连接AB，则AB的长即为蚂蚁所爬行的最短路径，利用勾股定理求出AB的长即可.
13．（2023八下·庆云期末）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得，若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也向右滑，则梯子的长度为 .
【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解： 设梯子的长度为x，
根据勾股定理得，
，
，
解得：.
故答案为：5.
【分析】根据勾股表示出，在直角三角形COD中根据勾股定理求出AB即可.
14．（2023八下·台江期末）如图，平分，于点，点在射线上，且．若，，，则的长为 ．
【答案】6
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过点P作PD⊥AN于点D，
∵AP平分∠MAN，PD⊥AN，PB⊥AM，
∴PB=PD=3，∠ABP=∠ADP=90°，
在Rt△PCD中，∵PD=3，PC=5，
∴CD=，
∴AD=AC+CD=2+4=6；
在Rt△ABP与Rt△ADP中，
∵AP=AP，PB=PD，
∴Rt△ABP≌Rt△ADP（HL），
∴AB=AD=6.
故答案为：6.
【分析】由角平分线上的点到角两边的距离相等得PB=PD=3，∠ABP=∠ADP=90°，在Rt△PCD中，利用勾股定理算出CD的长，进而根据线段的和差算出AD的长，然后利用HL判断出Rt△ABP≌Rt△ADP，根据全等三角形的对应边相等可得AB=AD=6.
15．（2023八下·良庆期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它巧妙利用面积关系证明了勾股定理，如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较短直角边长为a，较长直角边长为b，若大正方形的面积为17，每个直角三角形面积为4，那么为 ．
【答案】1
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：∵大正方形的面积为17，每个直角三角形面积为4，
∴，
∴（a-b）2=a2-2ab+b2=17-2×8=1.
故答案为：1.
【分析】根据直角三角形的面积为4建立方程ab=4，根据勾股定理及正方形面积等于边长平方可得方程a2+b2=17，再根据完全平方公式得出（a-b）2=a2-2ab+b2，代入进行计算，即可得出答案.
三、解答题
16．如图，在平面直角坐标系中，A(1，1)，B(3，1)，C(1，5)是三角形的三个顶点，求BC的长.
【答案】解：∵A（1，1），B（3，1），C（1，5），
∴AC=5-1=4，AB=3-1=2，
在Rt△ABC中，
.
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理的应用
【解析】【分析】根据点A、B、C的坐标求出AB、AC的长度，再利用直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方列式计算即可求解.
17．（2022八下·杭州月考）如图，在一次课外活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离，已知CD⊥BD，现测得AC= ，BC= ，CD= ，请计算A，B两个凉亭之间的距离.
【答案】解：在Rt△CDA中，∵AC＝ ，CD= ，
∴AD2＝AC2 CD2，AD= ．
在Rt△CDB中，∵CD= ，BC= ，
∴BD2＝BC2 CD2，BD=
∴AB＝BD-AD=
答：A，B两个凉亭之间的距离为 ．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】在Rt△CDA和Rt△CDB中利用勾股定理分别求出AD、BD长，再由AB＝BD-AD，代入数据计算即可得出两个凉亭之间的距离．
18．如图， 扶梯 的坡比为 ， 滑梯 的坡比为 平行于地面， 于点 于点 . 若 ， 一男孩从扶梯走到滑梯的顶部， 然后从滑梯滑下， 他所经过的总路程是多少(结果保留根号)
【答案】解：∵扶梯AB的坡比（BE与AE长度之比）为4：3，AE=30dm，
∴BE=40dm，
∴，，
∵CD的坡比（CF与DF长度之比）为1：2，
∴FD=2CF=2×40=80（dm），
∴，
∴他所经过的总路程是：.
【知识点】二次根式的应用；勾股定理的应用
【解析】【分析】首先在直角三角形ABE中求得AB和BE，然后就可以知道CF的长，在直角三角形CFD中求得CD的长，则他所经过的总路程就是AB+BC+CD.
四、实践探究题
19．（2023八下·西山期末）阅读：在平面直角坐标系中，已知两点的坐标，可构造直角三角形，运用勾股定理，求这两点间的距离；在平面直角坐标系中有两点，，求，两点间的距离过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，相交于点，连接，，在中，由勾股定理得：，若，，从而得到两点间的距离公式解决下列问题：
（1）若，，则两点间的距离 ；
（2）如图：点，点，则 ，若，则 ．
【答案】（1）
（2）；
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理
【解析】【解答】解：，，
，
故答案为：．
（2）∵点，点，
；
过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点，如图所示：
点，点，
，，，，，，
，
，
．
故答案为：；．
【分析】（1）根据阅读材料中的两点间距离公式，代入P、Q的坐标，求出PQ的值即可：
( 2 )根据阅读材料中的两点间距离公式，代入D、E的坐标，求出DE的值即可；先求出△ODE的面积，根据等积法求出OH的值即可.
20．（2023八下·淮安期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．
（1）应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点．如图1，在数轴上找出表示2的点A，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使，以原点O为圆心，为半径作弧，则弧与数轴负半轴的交点C表示的数是 ；
（2）应用场景2——解决实际问题．如图2，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽6尺，求竹竿长．
【答案】（1）
（2）解：竹竿长x尺，由题意，竹竿，门高尺，门宽尺，
在中，
∴，
∴，
解得，
答：竹竿长10尺．
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵l⊥AC，AB=1，OA=2，
∴BO==，
∴OC=OB=，
∴ 点C表示的数是 ；
故答案为：.
【分析】（1）由勾股定理求出BO的长，即得OC的长，从而得出点C表示的数；
（2）设竹竿，则门高尺，门宽尺，在中，利用勾股定理建立关于x方程并解之即可.
21．（2023八下·灌南期末）先阅读材料，然后回答问题：
形如的化简，只要找到两个正数、，使，，
使得，，
那么则有，例如：化简，．
（1）请根据你从上述材料中得到的启发，化简： ； ；
（2）在中，，，其中边的垂直平分线分别交、于点、，当时，求的长．（结果要化为最简形式）
【答案】（1）；
（2）解：是边上的垂直平分线，
，
，
是的外角，
，
在中，，，
，
，
，
在中，
．
【知识点】二次根式的性质与化简；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）.
=.
=.
=.
.
=.
=.
=.
【分析】（1）按照例题的解题思路，进行计算即可解答.
（2）先根据线段垂直平分线的性质可得EA=EB，从而得到∠EAB=∠B=15°，进而利用三角形的外角的性质可得∠AEC=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理可得AE=2及CE的长，从而求出BC的长，最后由勾股定理进行计算即可得到答案.
五、综合题
22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
（1）求作∠BAC的平分线，与BC交于点D（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若CD=4，AB=15，求△ABD的面积．
【答案】（1）解：如图所示：
AD即为所求
（2）解：过点D作DE⊥AB于点E，如图2所示：
∵AD平分∠BAC，AC⊥CD
∴DE=DC=4，
∴△ABD的面积= AB DE= ×15×4=30．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）直接利用角平分线的作法得出答案；（2）过点D作DE⊥AB于点E，利用角平分线的性质结合三角形面积求法得出答案．
23．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒．求：
（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（2）当t=3秒时，P、Q两点之间的距离是多少？
【答案】（1）解：由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=20﹣4t，
∴Rt△CPQ的面积为S= （20﹣2t）×2t=20t﹣4t2（cm2）
（2）解：当t=3秒时，CP=20﹣4t=8cm，CQ=2t=6cm，
在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PQ= =10cm
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】（1）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式S△CPQ= CP×CQ求解；（2）在Rt△CPQ中，由（1）可知CP、CQ的长，运用勾股定理可将PQ的长求出．
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