2023-2024学年初中数学人教版八年级下学期 第十七章 勾股定理 单元测试 B卷
一、选择题
1．（2024八上·汉阳期末）下列各组数中能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，8
2．（2024八上·盐田期末）如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
3．（2024八下·宝安开学考）如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为
A． B． C．2 D．
4．（2024八上·福田期末）如图，由六个边长为的小正方形构成一个大长方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·深圳期末） 小华新买了一条跳绳，如图1，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯屈，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度。将图1抽象成如图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1米，小臂到地面的距离约1. 2米，则适合小华的绳长为（ ）
A．2. 2米 B．2. 4米 C．2. 6米 D．2. 8米
6．（2024八上·南明期末）如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米，在长方体一底面的顶点有一只蚂蚁，它想吃点处的食物，沿长方体侧面爬行的最短路程是（ ）
A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米
7．（2024八上·南山期末）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八上·遵义期末）如图，在中，平分交于点，则点到的距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=4，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（ ）
A． B． C．6 D．3
10．如图，，D，E为BC边上的两点，且，连结EF，BF有下列结论：①；②△ABD等腰三角形；③∠ADC=120°；④.其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
11．（2024八上·九台期末）如图，在数轴上点 A 表示的实数是 ．
12．（2024九上·都江堰期末）如图， 中，．以点为圆心，长为半径作弧，交于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点．若，则 ．
13．（2024八上·福田期末）如图，在和中，，点在边的中点上，若，，连结，则的长为 ．
14．（2019八上·凤翔期中）如图，一架15m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙OA上，这时梯子的顶端A离地面距离OA为12m，如果梯子顶端A沿墙下滑3m至C点，那么梯子底端B向外移至D点，则BD的长为 m.
15．（2023八上·四川期中） 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，12），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为 ．
三、解答题
16．（2024八上·靖边期末）荡秋千(图1)是中国古代北方少数民族创造的一种运动． 有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度 ，将它往前推送 (水平距离 )时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．
17．（2023八上·岳阳月考） 如图，△ABC中，D是BC边上的一点，若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）求△ABC的面积，
18．（2024八上·绿园期末）如图，有一张四边形纸片，°．经测得，，，．
（1）求、两点之间的距离．
（2）求这张纸片的面积．
四、实践探究题
19．如图
（1）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个长方形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图1），这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两条直角边a，b与斜边满足关系式，称为勾股定理.
证明：大正方形的面积可表示为，又可表示为，
，
.
即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
（2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程.
20．（2023八上·潮南期中）综合与实践：测雕塑
（1） 如图，雕塑底座正面是四边形ABCD，现提供一足够长的卷尺，请你设计一个方法检测雕塑底座正面的边AB是否垂直于底边BC？并说明理由.
（2） 若雕塑底座是个长方体，量得边BC长50cm，边CD长40cm，边DE长30cm，一只蚂蚁从底部点B沿雕塑的表面爬到顶部的点E，蚂蚁爬行的最短路程是多少？
五、综合题
21．（2023八上·浙江月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=8，BC=6，E，F分别是直线AC，AB上的动点，连结EF.
（1）求CD的长.
（2）若点E在边AC上，且3AE=2CE，EF⊥AC，求证：CF平分∠ACD.
（3）是否存在点E，F，使得以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等 若不存在，请说明理由；若存在，求出所有符合条件的DF的长.
22．（2023八下·义乌期末）若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“半对称四边形”，这条角平分线称为四边形的“分割对角线”．例如：
如图1，在四边形中，，平分，则称四边形是半对称四边形，称为四边形的分割对角线．
（1）如图1，求证：．
（2）如图2，在四边形中，，，．求证：四边形是半对称四边形．
（3）如图3，在中，，，，是所在平面内一点，当四边形是半对称四边形且为分割对角线时，求四边形的面积．
23．（2023八下·金牛期末）在中，，点为直线BC上一动点，，．
（1）如图1，连接交于，，为中点，若，，求的长；
（2）如图2，延长至点使得，连接，求证：；
（3）如图3，，，作点关于直线的对称点，连接，，当最小时，直接写出线段的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、当三边为1，2，3时，1+2=3，不符合三角形三边关系中任意两边之和大于第三边，故不符合题意；
B、当三边为2，3，4时，假设直角边是2，3，斜边为4，，而，显然不符合勾股定理，故不符合提意思；
C、当三边为3，4，5时，假设直角边是3，4，斜边为5，，而，两式相等成立，显然符合勾股定理，故符合提意思；
D、当三边为4，5，8时，假设直角边是3，4，5，斜边为8，，而，显然不符合勾股定理，故不符合提意思；
故答案为：C.
【分析】 直角三角形，是一个几何图形，是有一个角为直角的三角形，有普通的直角三角形和等腰直角三角形两种，直角三角形的三边符合勾股定理；
勾股定理：指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；
三角形三边关系是三角形三条边关系的定则，具体内容是在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设直角三角形的各边长为a，b，c，满足a2+c2=c2，
可以得到：阴影部分面积+小正方形面积+大正方形面积－重叠部分面积=最大正方形面积，
即：阴影部分面积+a2+b2－重叠部分面积=c2.
所以有阴影部分面积＝重叠部分面积.
故答案为：C.
【分析】结合勾股定理的几何意义，将三个正方形的面积联系起来，再用两种方法表示出最大正方形的面积，问题得到解决.
3．【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=90°，BC=AD=1，
∴，
∵ 以点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点M，
∴AM=AC=，
∵点A所表示的数为-1，
∴点M到原点的距离为，
又∵点M在原点的右边，
∴点M表示的数为.
故答案为：A.
【分析】由矩形的性质得∠B=90°，BC=AD=1，进而由勾股定理算出AC=，由同圆的半径相等得AM=AC=，然后找出点M到原点的距离，并结合点M在原点的右边即可得出点M所表示的数.
4．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：设中边上的高为h，
由勾股定理，得，
∵，，
即，
解得：
故中边上的高是．
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理求出，根据题意得出的面积等于正方形面积减去其他3个三角形的面积，再利用三角形等面积法求出三角形的高即可．
5．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：标字母如图所示，过C作CD⊥AB于点D.
由题意得：AC=BC，AB=1米，
∴AD=BD=0.5（米）.
在Rt△BCD中，∴BD=1.2米，
∴BC=AC===1.3（米），
∴绳长为1.3×2=2.6（米）.
故答案为：C.
【分析】由题意得出图形是等腰三角形，再根据等腰三角形“三线合一”的性质和勾股定理求解即可.
6．【答案】B
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：第一种：将正面右面展开，如图①所示：
，
；
第二种，如图②所示：
，
；
第三种，如图③所示：
，
，
，
蚂蚁沿长方体侧面爬行的最短路程是.
故答案为：B.
【分析】蚂蚁经过两个面都有可能是最短路径，故此展开图有三种，先分别画出每一种平面展开图，把蚂蚁所走的路线放到同一个平面内，根据两点之间，线段最短，利用勾股定理计算出每种情况所爬行的路程，比较大小即可.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：依题意，，
在中，由勾股定理得；，
∵，
在中，由勾股定理得；（），
故答案为：D.
【分析】在中，由勾股定理得；，在中，由勾股定理得；，计算求解即可．
8．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AB=10，AC=6，
∴，
∵BD=5，
∴CD=BC-BD=3，
∵AD 平分交于点D，
∴点D到AB的距离是3，
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理求出BC的值，再求出CD=3，最后由角平分线的性质计算求解即可。
9．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】分别作点关于OA，OB的对称点C，D，连结CD分别交OA，OB于M，N，如图，
则4，，
DC.
，
此时的周长最小，
作于，则，
，
，
.
周长的最小值是.
故选.
【分析】分别作点关于OA，OB的对称点C，D，连结CD分别交OA，OB于M，N，则CD即为△PMN周长的最小值，作于，在Rt△OCH中求出CH，而CD=2CH即可求得.
10．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵ ∠BAC=∠DAF=90°，
∴ ∠FAB=∠DAC，
∵ AB=AC，AD=AF，
∴ △AFB≌△ADC（SAS），故 ① 正确；
∵ AB=AC，∠BAC=90°，
∴ ∠ABD=∠C=45°，
∴ 若△ABD为等腰三角形，只能AB=AD，
∵ ∠BAD=∠DAE+∠BAE=45°+∠BAE，
∠ADB=∠C+∠CAD=45°+∠CAD，
∠BAE≠∠CAD，
∴ ∠BAD≠∠ADB，
∴ AB≠AD，故 ② 不正确；
∵ ∠ADC=∠ABC+∠BAD=45°+45°+∠BAE=90°+∠BAE，
∴ ∠ADC≠120°，故 ③ 不正确；
∵ ∠FAB=∠DAC，
∴ ∠FAB+∠BAE=∠DAC+∠BAE=90°-∠DAE=45°=∠DAE，
∵ AF=AD，AE=AE，
∴ △AEF≌△AED（SAS），
∴ EF=DE，
∵ △AFB≌△ADC，
∴ ∠ABF=∠ACD=45°，DC=FB，
∴ ∠EBF=90°，
∴ BE +BF =EF ，
即BE +DC =DE ，故 ④ 正确.
故答案为：C.
【分析】根据∠BAC=∠DAF=90°得∠FAB=∠DAC，依据SAS判定△AFB≌△ADC，即可判断 ① ；根据等腰三角形的判定和外角的性质，即可判断 ② 和 ③ ；依据SAS判定△AEF≌△AED得EF=DE，根据△AFB≌△ADC得∠ABF=∠ACD=45°，DC=FB，推出∠EBF=90°，再根据勾股定理即可判断 ④ .
11．【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
根据勾股定理得：，
，
点表示的实数是，
故答案为：．
【分析】利用勾股定理求的长度，即可得到的长度，根据点的位置即可得到点表示的数．
12．【答案】
【知识点】勾股定理；线段的计算
【解析】【解答】解：，，
，
，
由作图得，，
，
，
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再利用线段的和差求出，再结合AB的长利用线段的和差求出PB的长即可.
13．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：延长到，使得，连接，，
，由等腰三角形的性质可得，
，
∴
，，
，
，，
，
，，
，
点为的中点，
，，
，∴，
在中，由勾股定理得：.
故答案为：．
【分析】延长到，使得，连接，，，由等腰三角形的性质可得，，由“”可证，可得，，在中，利用勾股定理即可求解．
14．【答案】3
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABO中，
∵AB＝15m，AO＝12m，
∴OB＝ ＝9m.
同理，在Rt△COD中，DO＝ ＝12m，
∴BD＝OD﹣OB＝12﹣9＝3(m).
故答案是：3.
【分析】先根据勾股定理求出OB的长，再在Rt△COD中求出OD的长，进而可得出结论.
15．【答案】9
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图所示，在x轴上取，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点C的运动轨迹为直线（该直线经过点F且与直线的夹角为60度），
设点C的运动轨迹所在的直线交y轴于H，过点P作交直线于，
∴当点C运动到点时，的长有最小值，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点P为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为9，
故答案为：9．
【分析】根据坐标与图形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质求解。在x轴上取，连接，证明是等边三角形，得到，则，再证明，得到，则点C的运动轨迹为直线（该直线经过点F且与直线的夹角为60度），设点C的运动轨迹所在的直线交y轴于H，过点P作交直线于，当点C运动到点时，的长有最小值，据此求解即可．
16．【答案】解：由题意得：，
在中，由勾股定理得：，
设绳索的长度为，则，
∴，
解得：，
答：绳索的长度是．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据勾股定理的应用，在中，设绳索即的长度为，则，由勾股定理可得出方程，解方程即可得出的值.
17．【答案】（1）解： AB=10，BD=6，AD=8，
∠ADB=90°，
AD⊥BC，
（2）解：
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）利用勾股定理逆定理判定进而得到∠ADB=90°，从而求解；
（2）先利用勾股定理求得CD的长，再利用三角形面积公式求解即可.
18．【答案】（1）解：连结．
在中，°，，，
．
即、两点之间的距离为
（2）解：，
∴△ACD是直角三角形且，
四边形纸片的面积
（7分）
．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）连结，先根据勾股定理求出AC，进而即可求解；
（2）先根据勾股定理的逆定理得到△ACD是直角三角形且， 进而根据“四边形纸片的面积”即可求解。
19．【答案】（1）
（2）证明：由图得，大正方形面积，由可以表示为，
∴，
整理得，
即.
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【分析】（1）由图1可得大正方形的面积可表示为S＝c2，也可以表示为，根据两个式子相等建立等式，再变形即可得出答案；
（2）因为图二中正方形面积可以看做四个三角形的面积加一个小正方形面积，同理也可以看作边长为（a+b）的正方形，运用二者面积相等列恒等式可证明.
20．【答案】（1）解：分别测量AB、BC和AC的长度，
若，则△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，即AB⊥BC；
（2）解：
答：蚂蚁爬行的最短路程是cm.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平面展开﹣最短路径问题
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求得；
（2）画出长方体的平面展开图，根据两点之间线段最短即可求得DE为最短路径，根据勾股定理即可算得.
21．【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴.
∵CD⊥AB于点D，
∴，
∴ 10CD=6×8，即.
（2）解：如图1，∵3AE=2CE，AC=8，，
∴，即CE=CD.
∵CD⊥AB，EF⊥AC，
∴∠CDF=∠CEF=90°.
∵CF=CF，
∴△CEF≌△CDF(HL)，
∴∠ECF=∠DCF，
∴CF平分∠ACD.
（3）解：存在点E，F，使得以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等.
由题意，以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等，
CF是公共边，有四种情形：
①如图2，若点E，F在线段AC，AD上.
当CE=CD，∠CDF=∠CEF=90°时，
∵CF=CF，∴△CEF≌△CDF，
∴，.
∵EF=FD，EF2+AE2=AF2，
②如图3，若点E，F在射线AC，AB上.
同①可得△CEF≌△CDF，
③如图4，若点E在线段AC上，点在线段BD上.
当时，
，
，
④如图5，若点E在射线CA上，点在射线BA上.
当时，
，此时，
综上，所有符合条件的DF的长是.
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得的长，再利用三角形的面积公式直接求解即可.
（2）先证明，再根据全等三角形的判定证明即可证明.
（3）分4种情况求解：①若点E，F在线段上；②若点E，F在射线上；③若点E在线段上，点F在线段上；④若点E在射线上，点F在射线上．
22．【答案】（1）证明：，
，
平分，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
．
，
，
即为的平分线，
．
，
，
，
．
∴在四边形中，，平分，
四边形是半对称四边形
（3）解：过点作，交的延长线于点，如图，
，，，
，，
，，
，
，
，
．
．
．
①当，平分时，如图，
由题意：，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
；
②当，平分时，如图，
由题意：，
，
，
，
过点作，交的延长线于点，
则，
，
．
设，则，，，
在中，
，
，
（不合题意，舍去）或，
，．
，
．
综上，四边形的面积为或．
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；角平分线的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形，角平分线的定义和平行线的判定定理，即可解答；
（2）利用半对称四边形的定义，解答即可；
（3）过点作，交的延长线于点，先计算出的面积，再分情况讨论：①当，平分时；②当，平分时，分别计算出的面积，进而算出四边形的面积.
23．【答案】（1）解：为中点，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：延长至，使，连接，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）
如图，取的中点，连接，令、交于点，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
点的轨迹为直线，交于，连接，再将该直线沿翻折可得到的轨迹，则，此时，
作交的延长线于，
，
，，，
，，
，
作交于，
，
，
，
，，
，
，
点关于直线的对称点，
，，，
当时，最小，
，
，
，
，
，
．
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；三角形全等及其性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据SAS可证明△ABD和△AFE全等，从而得出对应边BD=FE，进而可得出DE=DF+EF=DF+BD=，再在等腰Rt△ADE中，根据三边之间的数量关系即可求得AD的长；
（2） 延长AB至H，使BH=AB，连接DH， 通过证明△ABG≌△HBD得出AG=HD，△AHD≌△ACE，可得CE=HD，从而得出AG=CE；
（3） 如图，取AC的中点M，连接EM，令BC、EE'交于点O，通过证明△ABD≌△AME，得出对应角∠AME=∠ABC，进而可得∠CNM=∠BAC=120°，∠BNE'=∠BNE=60°，可得出当BE'⊥NE'时BE'最小，作BH⊥AC于点H，利用勾股定理和面积法可得出AG=，BG=4，利用含30°锐角的直角三角形的性质和勾股定理，即可求得答案。
1 / 12023-2024学年初中数学人教版八年级下学期 第十七章 勾股定理 单元测试 B卷
一、选择题
1．（2024八上·汉阳期末）下列各组数中能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，8
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、当三边为1，2，3时，1+2=3，不符合三角形三边关系中任意两边之和大于第三边，故不符合题意；
B、当三边为2，3，4时，假设直角边是2，3，斜边为4，，而，显然不符合勾股定理，故不符合提意思；
C、当三边为3，4，5时，假设直角边是3，4，斜边为5，，而，两式相等成立，显然符合勾股定理，故符合提意思；
D、当三边为4，5，8时，假设直角边是3，4，5，斜边为8，，而，显然不符合勾股定理，故不符合提意思；
故答案为：C.
【分析】 直角三角形，是一个几何图形，是有一个角为直角的三角形，有普通的直角三角形和等腰直角三角形两种，直角三角形的三边符合勾股定理；
勾股定理：指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；
三角形三边关系是三角形三条边关系的定则，具体内容是在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
2．（2024八上·盐田期末）如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设直角三角形的各边长为a，b，c，满足a2+c2=c2，
可以得到：阴影部分面积+小正方形面积+大正方形面积－重叠部分面积=最大正方形面积，
即：阴影部分面积+a2+b2－重叠部分面积=c2.
所以有阴影部分面积＝重叠部分面积.
故答案为：C.
【分析】结合勾股定理的几何意义，将三个正方形的面积联系起来，再用两种方法表示出最大正方形的面积，问题得到解决.
3．（2024八下·宝安开学考）如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=90°，BC=AD=1，
∴，
∵ 以点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点M，
∴AM=AC=，
∵点A所表示的数为-1，
∴点M到原点的距离为，
又∵点M在原点的右边，
∴点M表示的数为.
故答案为：A.
【分析】由矩形的性质得∠B=90°，BC=AD=1，进而由勾股定理算出AC=，由同圆的半径相等得AM=AC=，然后找出点M到原点的距离，并结合点M在原点的右边即可得出点M所表示的数.
4．（2024八上·福田期末）如图，由六个边长为的小正方形构成一个大长方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：设中边上的高为h，
由勾股定理，得，
∵，，
即，
解得：
故中边上的高是．
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理求出，根据题意得出的面积等于正方形面积减去其他3个三角形的面积，再利用三角形等面积法求出三角形的高即可．
5．（2024八上·深圳期末） 小华新买了一条跳绳，如图1，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯屈，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度。将图1抽象成如图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1米，小臂到地面的距离约1. 2米，则适合小华的绳长为（ ）
A．2. 2米 B．2. 4米 C．2. 6米 D．2. 8米
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：标字母如图所示，过C作CD⊥AB于点D.
由题意得：AC=BC，AB=1米，
∴AD=BD=0.5（米）.
在Rt△BCD中，∴BD=1.2米，
∴BC=AC===1.3（米），
∴绳长为1.3×2=2.6（米）.
故答案为：C.
【分析】由题意得出图形是等腰三角形，再根据等腰三角形“三线合一”的性质和勾股定理求解即可.
6．（2024八上·南明期末）如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米，在长方体一底面的顶点有一只蚂蚁，它想吃点处的食物，沿长方体侧面爬行的最短路程是（ ）
A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米
【答案】B
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：第一种：将正面右面展开，如图①所示：
，
；
第二种，如图②所示：
，
；
第三种，如图③所示：
，
，
，
蚂蚁沿长方体侧面爬行的最短路程是.
故答案为：B.
【分析】蚂蚁经过两个面都有可能是最短路径，故此展开图有三种，先分别画出每一种平面展开图，把蚂蚁所走的路线放到同一个平面内，根据两点之间，线段最短，利用勾股定理计算出每种情况所爬行的路程，比较大小即可.
7．（2024八上·南山期末）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：依题意，，
在中，由勾股定理得；，
∵，
在中，由勾股定理得；（），
故答案为：D.
【分析】在中，由勾股定理得；，在中，由勾股定理得；，计算求解即可．
8．（2024八上·遵义期末）如图，在中，平分交于点，则点到的距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AB=10，AC=6，
∴，
∵BD=5，
∴CD=BC-BD=3，
∵AD 平分交于点D，
∴点D到AB的距离是3，
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理求出BC的值，再求出CD=3，最后由角平分线的性质计算求解即可。
9．如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=4，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（ ）
A． B． C．6 D．3
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】分别作点关于OA，OB的对称点C，D，连结CD分别交OA，OB于M，N，如图，
则4，，
DC.
，
此时的周长最小，
作于，则，
，
，
.
周长的最小值是.
故选.
【分析】分别作点关于OA，OB的对称点C，D，连结CD分别交OA，OB于M，N，则CD即为△PMN周长的最小值，作于，在Rt△OCH中求出CH，而CD=2CH即可求得.
10．如图，，D，E为BC边上的两点，且，连结EF，BF有下列结论：①；②△ABD等腰三角形；③∠ADC=120°；④.其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵ ∠BAC=∠DAF=90°，
∴ ∠FAB=∠DAC，
∵ AB=AC，AD=AF，
∴ △AFB≌△ADC（SAS），故 ① 正确；
∵ AB=AC，∠BAC=90°，
∴ ∠ABD=∠C=45°，
∴ 若△ABD为等腰三角形，只能AB=AD，
∵ ∠BAD=∠DAE+∠BAE=45°+∠BAE，
∠ADB=∠C+∠CAD=45°+∠CAD，
∠BAE≠∠CAD，
∴ ∠BAD≠∠ADB，
∴ AB≠AD，故 ② 不正确；
∵ ∠ADC=∠ABC+∠BAD=45°+45°+∠BAE=90°+∠BAE，
∴ ∠ADC≠120°，故 ③ 不正确；
∵ ∠FAB=∠DAC，
∴ ∠FAB+∠BAE=∠DAC+∠BAE=90°-∠DAE=45°=∠DAE，
∵ AF=AD，AE=AE，
∴ △AEF≌△AED（SAS），
∴ EF=DE，
∵ △AFB≌△ADC，
∴ ∠ABF=∠ACD=45°，DC=FB，
∴ ∠EBF=90°，
∴ BE +BF =EF ，
即BE +DC =DE ，故 ④ 正确.
故答案为：C.
【分析】根据∠BAC=∠DAF=90°得∠FAB=∠DAC，依据SAS判定△AFB≌△ADC，即可判断 ① ；根据等腰三角形的判定和外角的性质，即可判断 ② 和 ③ ；依据SAS判定△AEF≌△AED得EF=DE，根据△AFB≌△ADC得∠ABF=∠ACD=45°，DC=FB，推出∠EBF=90°，再根据勾股定理即可判断 ④ .
二、填空题
11．（2024八上·九台期末）如图，在数轴上点 A 表示的实数是 ．
【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
根据勾股定理得：，
，
点表示的实数是，
故答案为：．
【分析】利用勾股定理求的长度，即可得到的长度，根据点的位置即可得到点表示的数．
12．（2024九上·都江堰期末）如图， 中，．以点为圆心，长为半径作弧，交于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点．若，则 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；线段的计算
【解析】【解答】解：，，
，
，
由作图得，，
，
，
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再利用线段的和差求出，再结合AB的长利用线段的和差求出PB的长即可.
13．（2024八上·福田期末）如图，在和中，，点在边的中点上，若，，连结，则的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：延长到，使得，连接，，
，由等腰三角形的性质可得，
，
∴
，，
，
，，
，
，，
，
点为的中点，
，，
，∴，
在中，由勾股定理得：.
故答案为：．
【分析】延长到，使得，连接，，，由等腰三角形的性质可得，，由“”可证，可得，，在中，利用勾股定理即可求解．
14．（2019八上·凤翔期中）如图，一架15m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙OA上，这时梯子的顶端A离地面距离OA为12m，如果梯子顶端A沿墙下滑3m至C点，那么梯子底端B向外移至D点，则BD的长为 m.
【答案】3
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABO中，
∵AB＝15m，AO＝12m，
∴OB＝ ＝9m.
同理，在Rt△COD中，DO＝ ＝12m，
∴BD＝OD﹣OB＝12﹣9＝3(m).
故答案是：3.
【分析】先根据勾股定理求出OB的长，再在Rt△COD中求出OD的长，进而可得出结论.
15．（2023八上·四川期中） 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，12），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为 ．
【答案】9
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图所示，在x轴上取，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点C的运动轨迹为直线（该直线经过点F且与直线的夹角为60度），
设点C的运动轨迹所在的直线交y轴于H，过点P作交直线于，
∴当点C运动到点时，的长有最小值，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点P为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为9，
故答案为：9．
【分析】根据坐标与图形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质求解。在x轴上取，连接，证明是等边三角形，得到，则，再证明，得到，则点C的运动轨迹为直线（该直线经过点F且与直线的夹角为60度），设点C的运动轨迹所在的直线交y轴于H，过点P作交直线于，当点C运动到点时，的长有最小值，据此求解即可．
三、解答题
16．（2024八上·靖边期末）荡秋千(图1)是中国古代北方少数民族创造的一种运动． 有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度 ，将它往前推送 (水平距离 )时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．
【答案】解：由题意得：，
在中，由勾股定理得：，
设绳索的长度为，则，
∴，
解得：，
答：绳索的长度是．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据勾股定理的应用，在中，设绳索即的长度为，则，由勾股定理可得出方程，解方程即可得出的值.
17．（2023八上·岳阳月考） 如图，△ABC中，D是BC边上的一点，若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）求△ABC的面积，
【答案】（1）解： AB=10，BD=6，AD=8，
∠ADB=90°，
AD⊥BC，
（2）解：
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）利用勾股定理逆定理判定进而得到∠ADB=90°，从而求解；
（2）先利用勾股定理求得CD的长，再利用三角形面积公式求解即可.
18．（2024八上·绿园期末）如图，有一张四边形纸片，°．经测得，，，．
（1）求、两点之间的距离．
（2）求这张纸片的面积．
【答案】（1）解：连结．
在中，°，，，
．
即、两点之间的距离为
（2）解：，
∴△ACD是直角三角形且，
四边形纸片的面积
（7分）
．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）连结，先根据勾股定理求出AC，进而即可求解；
（2）先根据勾股定理的逆定理得到△ACD是直角三角形且， 进而根据“四边形纸片的面积”即可求解。
四、实践探究题
19．如图
（1）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个长方形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图1），这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两条直角边a，b与斜边满足关系式，称为勾股定理.
证明：大正方形的面积可表示为，又可表示为，
，
.
即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
（2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程.
【答案】（1）
（2）证明：由图得，大正方形面积，由可以表示为，
∴，
整理得，
即.
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【分析】（1）由图1可得大正方形的面积可表示为S＝c2，也可以表示为，根据两个式子相等建立等式，再变形即可得出答案；
（2）因为图二中正方形面积可以看做四个三角形的面积加一个小正方形面积，同理也可以看作边长为（a+b）的正方形，运用二者面积相等列恒等式可证明.
20．（2023八上·潮南期中）综合与实践：测雕塑
（1） 如图，雕塑底座正面是四边形ABCD，现提供一足够长的卷尺，请你设计一个方法检测雕塑底座正面的边AB是否垂直于底边BC？并说明理由.
（2） 若雕塑底座是个长方体，量得边BC长50cm，边CD长40cm，边DE长30cm，一只蚂蚁从底部点B沿雕塑的表面爬到顶部的点E，蚂蚁爬行的最短路程是多少？
【答案】（1）解：分别测量AB、BC和AC的长度，
若，则△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，即AB⊥BC；
（2）解：
答：蚂蚁爬行的最短路程是cm.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平面展开﹣最短路径问题
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求得；
（2）画出长方体的平面展开图，根据两点之间线段最短即可求得DE为最短路径，根据勾股定理即可算得.
五、综合题
21．（2023八上·浙江月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=8，BC=6，E，F分别是直线AC，AB上的动点，连结EF.
（1）求CD的长.
（2）若点E在边AC上，且3AE=2CE，EF⊥AC，求证：CF平分∠ACD.
（3）是否存在点E，F，使得以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等 若不存在，请说明理由；若存在，求出所有符合条件的DF的长.
【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴.
∵CD⊥AB于点D，
∴，
∴ 10CD=6×8，即.
（2）解：如图1，∵3AE=2CE，AC=8，，
∴，即CE=CD.
∵CD⊥AB，EF⊥AC，
∴∠CDF=∠CEF=90°.
∵CF=CF，
∴△CEF≌△CDF(HL)，
∴∠ECF=∠DCF，
∴CF平分∠ACD.
（3）解：存在点E，F，使得以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等.
由题意，以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等，
CF是公共边，有四种情形：
①如图2，若点E，F在线段AC，AD上.
当CE=CD，∠CDF=∠CEF=90°时，
∵CF=CF，∴△CEF≌△CDF，
∴，.
∵EF=FD，EF2+AE2=AF2，
②如图3，若点E，F在射线AC，AB上.
同①可得△CEF≌△CDF，
③如图4，若点E在线段AC上，点在线段BD上.
当时，
，
，
④如图5，若点E在射线CA上，点在射线BA上.
当时，
，此时，
综上，所有符合条件的DF的长是.
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得的长，再利用三角形的面积公式直接求解即可.
（2）先证明，再根据全等三角形的判定证明即可证明.
（3）分4种情况求解：①若点E，F在线段上；②若点E，F在射线上；③若点E在线段上，点F在线段上；④若点E在射线上，点F在射线上．
22．（2023八下·义乌期末）若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“半对称四边形”，这条角平分线称为四边形的“分割对角线”．例如：
如图1，在四边形中，，平分，则称四边形是半对称四边形，称为四边形的分割对角线．
（1）如图1，求证：．
（2）如图2，在四边形中，，，．求证：四边形是半对称四边形．
（3）如图3，在中，，，，是所在平面内一点，当四边形是半对称四边形且为分割对角线时，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：，
，
平分，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
．
，
，
即为的平分线，
．
，
，
，
．
∴在四边形中，，平分，
四边形是半对称四边形
（3）解：过点作，交的延长线于点，如图，
，，，
，，
，，
，
，
，
．
．
．
①当，平分时，如图，
由题意：，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
；
②当，平分时，如图，
由题意：，
，
，
，
过点作，交的延长线于点，
则，
，
．
设，则，，，
在中，
，
，
（不合题意，舍去）或，
，．
，
．
综上，四边形的面积为或．
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；角平分线的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形，角平分线的定义和平行线的判定定理，即可解答；
（2）利用半对称四边形的定义，解答即可；
（3）过点作，交的延长线于点，先计算出的面积，再分情况讨论：①当，平分时；②当，平分时，分别计算出的面积，进而算出四边形的面积.
23．（2023八下·金牛期末）在中，，点为直线BC上一动点，，．
（1）如图1，连接交于，，为中点，若，，求的长；
（2）如图2，延长至点使得，连接，求证：；
（3）如图3，，，作点关于直线的对称点，连接，，当最小时，直接写出线段的长．
【答案】（1）解：为中点，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：延长至，使，连接，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）
如图，取的中点，连接，令、交于点，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
点的轨迹为直线，交于，连接，再将该直线沿翻折可得到的轨迹，则，此时，
作交的延长线于，
，
，，，
，，
，
作交于，
，
，
，
，，
，
，
点关于直线的对称点，
，，，
当时，最小，
，
，
，
，
，
．
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；三角形全等及其性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据SAS可证明△ABD和△AFE全等，从而得出对应边BD=FE，进而可得出DE=DF+EF=DF+BD=，再在等腰Rt△ADE中，根据三边之间的数量关系即可求得AD的长；
（2） 延长AB至H，使BH=AB，连接DH， 通过证明△ABG≌△HBD得出AG=HD，△AHD≌△ACE，可得CE=HD，从而得出AG=CE；
（3） 如图，取AC的中点M，连接EM，令BC、EE'交于点O，通过证明△ABD≌△AME，得出对应角∠AME=∠ABC，进而可得∠CNM=∠BAC=120°，∠BNE'=∠BNE=60°，可得出当BE'⊥NE'时BE'最小，作BH⊥AC于点H，利用勾股定理和面积法可得出AG=，BG=4，利用含30°锐角的直角三角形的性质和勾股定理，即可求得答案。
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