17.2勾股定理的逆定理(1) 教学设计
教学目标：
理解并证明勾股定理的逆定理，了解原命题、逆命题的概念关系；
经历“实验——猜想——论证”的定理探究过程，体会“构造法”证明数学命题的基本思想，并能灵活应用逆定理判定一个三角形是否为直角三角形，体验数形结合方法的应用；
经历探究勾股定理的逆定理的过程，体会从“数”到“形”的思想，渗透利用代数计算的方法解决几何问题的思想；
教学重点：勾股定理逆定理的应用；
教学难点：勾股定理逆定理的证明；
复习回顾
问题1 回忆勾股定理的内容．
勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
题设（条件）： 直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c
结论：a2+b2=c2
问题2： 如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是否是直角三角形？
新知探究
据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．你认为结论正确吗？
实验：
（1）画一画：下列各组数都满足a2+b2=c2，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm），它们是直角三角形吗？
① 3，4，5； ② 5，12，13； ③8，15，17； ④ 7，24，25．
（2）量一量：用量角器测量上述三角形的最大角的度数．
（3）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想．
猜想：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
已知：在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
证明：作一个直角∠MC1N，在C1M上截取C1B1＝a＝CB，
在C1N上截取C1A1＝b＝CA，连接A1B1．
在Rt△A1B1C1中，
由勾股定理，得A1B12＝a2＋b2，∴A1B1＝AB．
在△ABC 和△A1B1C1中，
AB＝A1B1，AC＝ A1C1，BC＝B1C1，
∴△ABC≌△A1B1C1（SSS）．
∴∠C＝∠C1．∴△ABC是直角三角形．
勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
直角三角形的判定有两法可依：
（1）由角的关系：证明两内角互余或一角为直角．
（2）由边的关系：利用勾股定理的逆定理判定．
前面我们学习了两个命题，分别为：
命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
命题2：如果三角形的三边长a ，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
思考：两个命题的题设和结论有何联系？
它们是题设和结论正好相反的两个命题.
题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．
一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理．
三、典例精析
例1.下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？
（1）a=5,b=12,c=13;（2）a=6,b=7,c=8;（3）a=1,b=2,c=;（4）a:b:c=1:2:3;
(1) 是 (2) 不是 (3) 是
（4）解：设a=3k,b=4k,c=5k,则(3k)2+(4k)2=25k2,是
勾股数：
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
常见勾股数：
3，4，5； 5，12，13； 6，8，10； 7，24，25；
8，15，17； 9，40，41； 10，24，26等等.
例2.像（3，4，5）、（6，8，10）、（5，12，13）等满足a2+b2=c2的一组正整数，通常称为勾股数，请你填表并探索规律．
从表中你能发现什么规律？
一组勾股数中各数的相同整数倍组成一组新的勾股数，如3,4,5各数的n倍（n为正整数）组成的数组3n，4n，5n也是勾股数.
例3.试着说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
内错角相等，两条直线平行．成立
如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等．不成立
全等三角形的对应角相等；
对应角相等的两个三角形全等．不成立
（4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
在角平分线上的点到角的两边距离相等．成立
四、课堂小结
（1）谈谈这节课你的收获。
（2）利用勾股定理逆定理证明三角形是直角三角形的步骤
（3）原命题，逆命题它们之间有什么关系？
（4）在探究勾股定理的逆定理的过程中，我们经历了哪些过程？
五、作业布置
详见《精准作业》
六、板书设计
第 5 页 共 5 页17.2勾股定理的逆定理(1) 精准作业
课前诊测
1．如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，为底面圆的直径，一只蚂蚁在圆柱的表面上从点爬到点的最短距离为（ ）．
A． B． C． D．
2．如图，所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，图中，…分别表示对应正方形的面积，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短路程是 ．
精准作业
1．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．2，3，4 C．4，5，6 D．8，9，10
2．以下列各组数为边长的三角形，能组成直角三角形的是（ ）
A．1，2， B．2，3，4 C．1， D．6，8，12
3．在下列条件中，能确定是直角三角形的条件是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，四边形中，，，，．求的度数．
5．为深入学习贯彻党的二十大精神，贯彻落实习近平总书记关于教育的重要论述和重要指示批示精神，綦江区某中学计划在如图阴影区域展示学生的学习心得．现测得，，，，．试求阴影部分的面积．
选做：
6．已知：如图是直角三角形，，点分别在边上，且，，．
(1)证明：线段能组成直角三角形；
(2)当是边上的中点时，判断：的位置关系．
期末冲刺1
1．如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，为底面圆的直径，一只蚂蚁在圆柱的表面上从点爬到点的最短距离为（ ）．
A． B． C． D．
2．如图，所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，图中，…分别表示对应正方形的面积，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短路程是 ．
4．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．2，3，4 C．4，5，6 D．8，9，10
5．以下列各组数为边长的三角形，能组成直角三角形的是（ ）
A．1，2， B．2，3，4 C．1， D．6，8，12
6．在下列条件中，能确定是直角三角形的条件是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，四边形中，，，，．求的度数．
8．为深入学习贯彻党的二十大精神，贯彻落实习近平总书记关于教育的重要论述和重要指示批示精神，迪庆州某中学计划在如图阴影区域展示学生的学习心得．现测得，，，，．试求阴影部分的面积．
9．已知：如图是直角三角形，，点分别在边上，且，，．
(1)证明：线段能组成直角三角形；
(2)当是边上的中点时，判断：的位置关系．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
课前诊测
1．B
2．C
3．
精准作业
1．A
2．A
3．C
4．解：连接，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
5．解：如图，连接．
在中，，，，
，
，，，
，
是直角三角形，且，
阴影部分的面积．
6．（1）证明：∵，，
∴，
∴线段能组成直角三角形；
（2）解：．
理由：延长，使得，连接，
∵是边上的中点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
即．17.2勾股定理的逆定理(1) 学案设计
一、新知探究
据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．你认为结论正确吗？
实验：
（1）画一画：下列各组数都满足a2+b2=c2，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm），它们是直角三角形吗？
① 3，4，5； ② 5，12，13； ③8，15，17； ④ 7，24，25．
（2）量一量：用量角器测量上述三角形的最大角的度数．
（3）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想．
猜想：________________________________________________
已知：在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
勾股定理逆定理：______________________________________________________
前面我们学习了两个命题，分别为：
命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
命题2：如果三角形的三边长a ，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
思考：两个命题的题设和结论有何联系？
二、典例精析
例1.下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？
（1）a=5,b=12,c=13;（2）a=6,b=7,c=8;（3）a=1,b=2,c=;（4）a:b:c=1:2:3;
例2.像（3，4，5）、（6，8，10）、（5，12，13）等满足a2+b2=c2的一组正整数，通常称为勾股数，请你填表并探索规律．
从表中你能发现什么规律？
_____________________________________________________________________________________例3.试着说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
全等三角形的对应角相等；
（4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
三、课堂小结
（1）谈谈这节课你的收获。
（2）利用勾股定理逆定理证明三角形是直角三角形的步骤
（3）原命题，逆命题它们之间有什么关系？
（4）在探究勾股定理的逆定理的过程中，我们经历了哪些过程？
第 5 页 共 5 页(共17张PPT)
17.2勾股定理的逆定理（1）
八年级下册
一、复习回顾
勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
题设（条件）：
结论：
问题1 回忆勾股定理的内容．
形
数
直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c
a2+b2=c2
二、新知探究
问题2：
如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，
那么这个三角形是否是直角三角形？
二、新知探究
据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．你认为结论正确吗？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
如果三角形的三边分别
为3，4，5，这些数满足
关系：32+42=52，围成的
三角形是直角三角形．
二、新知探究
（2）量一量：用量角器测量上述三角形的最大角的度数．
（3）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想．
32＋42＝52
52＋122＝132
（1）画一画：下列各组数都满足a2＋b2＝c2，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm），它们是直角三角形吗？
① 3，4，5； ② 5，12，13； ③8，15，17； ④ 7，24，25．
82＋152＝172
72＋242＝252
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
二、新知探究
已知：在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2．
求证：△ABC是直角三角形．
证明：作一个直角∠MC1N，在C1M上截取C1B1＝a＝CB，
在C1N上截取C1A1＝b＝CA，连接A1B1．
在Rt△A1B1C1中，
由勾股定理，得A1B12＝a2＋b2，∴A1B1＝AB．
在△ABC 和△A1B1C1中，
AB＝A1B1，AC＝ A1C1，BC＝B1C1，
∴△ABC≌△A1B1C1（SSS）．
∴∠C＝∠C1．∴△ABC是直角三角形．
二、新知探究
直角三角形的判定有两法可依：
（1）由角的关系：证明两内角互余或一角为直角．
（2）由边的关系：利用勾股定理的逆定理判定．
勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，
那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
思考：
前面我们学习了两个命题，分别为：
命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
命题2：如果三角形的三边长a ，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
两个命题的题设和结论有何联系？
二、新知探究
三、典例精析
命题1：
直角三角形
a2+b2=c2
命题2：
直角三角形
a2+b2=c2
题设
结论
它们是题设和结论正好相反的两个命题.
两个命题的条件和结论有何联系？
思考：
原命题与逆命题
一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立．
如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理．
勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理．
题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题．
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．
二、新知探究
三、典例精析
例1
下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？
(1) a 5，b 12，c 13；
(2) a 6，b 7，c 8；
是
不是
是
(3) a 1，b 2，c .
52+122 132
62+72 82
12+( )2 22
(4) a:b: c=3:4:5;
是
（4）解：设a=3k,b=4k,c=5k,
∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,
∴(3k)2+(4k)2=(5k)2,
二、新知探究
勾股数
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三角形.
满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
常见勾股数：
3，4，5； 5，12，13； 6，8，10；
7，24，25； 8，15，17； 9，40，41；
10，24，26等等.
三、典例精析
例2：
像（3，4，5）、（6，8，10）、（5，12，13）等满足a2＋b2＝c2的一组正整数，通常称为勾股数，请你填表并探索规律．
a 3 6 9 12 … 3n
b 4 8 12 16 … 4n
c 5 10 15 20 … 5n
一组勾股数中各数的相同整数倍组成一组新的勾股数，如3,4,5各数的n倍（n为正整数）组成的数组3n，4n，5n也是勾股数.
从表中你能发现什么规律？
三、典例精析
1：下列各组数中是勾股数（ ）
A 0.3，0.4，0.5
D 9,12,15
2:将直角三角形的三边长扩大或缩小相同的倍数后是（ ）
A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 等边三角形
D
C
C 4, 7, 8
三、典例精析
试着说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
（3）全等三角形的对应角相等；
（4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
内错角相等，两条直线平行．
成立
如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等．
不成立
对应角相等的两个三角形全等．
不成立
在角平分线上的点到角的两边距离相等．
成立
例3
四、课堂小结
（1）谈谈这节课你的收获。
（2）利用勾股定理逆定理证明三角形是直角三角形的步骤
（3）原命题，逆命题它们之间有什么关系？
（4）在探究勾股定理的逆定理的过程中，我们经历了哪些过程？
谢谢大家！
