2023-2024学年初中数学人教版九年级下学期 第二十六章 反比例函数 单元测试 A卷
一、选择题
1．（2024九下·福州开学考）已知反比例函数，当时，y随x增大而增大，则a的值可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024九下·深圳开学考）已知是反比例函数上一点，下列各点不在上的是
A． B． C． D．（，8）
3．（2022九下·雨花期中）反比例函数图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），其中x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
4．（2022九下·厦门月考）点、在函数的图象上，则a、b的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．无法比较大小
5．（2022九下·吉林月考）若抛物线y=ax2经过点P（-
，4），则该抛物线一定还经过点（ ）
A．（4，-
）
B．（-
，-4）
C．（-4，
）
D．（
，4）
6．（2021九下·长沙开学考）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表.根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为
近视眼镜的度数y（度） 200 250 400 500 1000
镜片焦距x（米） 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10
A． B． C． D．
7．（2020九下·江阴期中）若正比例函数y＝－4x与反比例函数y＝ 的图像相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，则k的值为（ ）
A．－16 B．－8 C．16 D．8
8．（2020九下·东台期中）如图，正比例函数y1＝﹣2x的图象与反比例函数y2＝ 的图象交于A、B两点，点C在x轴负半轴上，AC＝AO，△ACO的面积为6.则k的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣6 D．6
9．（2020九下·江阴期中）如图，点A是反比例函数y＝ （x＜0）的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上.已知平行四边形ABCD的面积为8，则k的值为（ ）
A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4
10．（2024九下·深圳开学考）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（反比例函数的性质++++++++ ）若反比例函数y= 的图象位于一、三象限内，则k的取值范围是 ．
12．（2023九下·淳安期中）已知函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … -5 -2 2 5 …
y … -2 m 5 n …
下列命题：①若y是x的反比例函数，则；②若y是x的一次函数，则；③若y是x的二次函数，且图象开口向下，则．其中正确的是 ．（填写正确的序号）
13．（2023九下·深圳月考）如图，在平面直角坐标系中，OA=3，将OA沿y轴向上平移3个单位至CB，连接AB，若反比例函数y=(x>0)的图象恰好过点A与BC的中点D，则k= ．
14．（2024九下·深圳开学考） 如图，正方形ABCD的边长为3，AD边在x轴负半轴上，反比例函数y=（x＜0）的图象经过点B和CD边中点E，则k的值为 ．
15．（2024九下·福田开学考）如图，A，B是函数上两点，P为一动点，作轴，轴，若，则 ．
三、解答题
16．（2022九下·湖南期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C，与反比例的图象交于点A.点B为AC的中点.求一次函数和反比例的解析式.
17．（2021九下·灵石期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x＋2的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数
的图象交于点C（1，m），过点B作y轴的垂线交反比例函数
的图象于点D，连接AD，求k的值及△ABD的面积．
18．（2023九下·德化月考）如图，直线交双曲线于A、B两点，交x轴于点，，过点B作轴于点M，连接，若，，求k的值.
四、实践探究题
19．（2024九下·深圳开学考）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
0 1 2 3 4 5
6 5 4 2 1 7
（1）写出函数关系式中及表格中，的值：
， ， ；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质： ；
（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．
五、综合题
20．（2023九下·淳安期中）已知一次的图象与反比例函数的图象相交．
（1）判断是否经过点．
（2）若的图象过点，且．
①求的函数表达式．
②当时，比较，的大小．
21．（2023九下·灌南期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求出，的值；
（2）若为正轴上的一动点，当的面积为时，求的值．
22．（2023九下·靖江期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，交反比例函数的图象于点，点P在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点Q，D是y轴上任意一点，连接、.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式.
（2）求当面积等于2时n的值.
23．（2023九下·上城月考）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数.已知当时，.
（1）求出这个函数的表达式；
（2）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数为，且当时，y随x增大而增大，
∴
∴
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数中，当k＞0时，图象的两支分布在第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时，图象的两支分布在第二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而而，据此列出不等式，即可求出a的取值范围.
2．【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点(-1，4)在反比例函数 的图象上，
∴k=-1×4=-4，
A、∵，∴点 在反比例函数 的图象上，故此选项不符合题意；
B、∵2×2=4≠k，∴点 (2，2)不在反比例函数 的图象上，故此选项符合题意；
C、∵4×(-1)=-4=k，∴点 (4，-1)在反比例函数 的图象上，故此选项不符合题意；
D、∵，∴点 在反比例函数 的图象上，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标的乘积等于比例系数k，即可逐项判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数的比例系数8＞0，
∴图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
又，
，
.
故答案为：B.
【分析】反比例函数k>0时，图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，且在第一象限内y>0，在第三象限内y<0，依此比较出大小关系即可.
4．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：法一：当x=-3时，a=
当x=-1时，b=1
∴a＜b
法二：函数中，k=-1＜0
图象分布在第二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大
∴a＜b.
故答案为：B.
【分析】法一：将x=-3、x=-1分别代入中，求出a、b的值，再比较大小即可；法二：由于函数中，k=-1＜0，可知图象分布在第二、四象限，在每一个象限y随x的增大而增大，据此判断即可.
5．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象的对称性
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2的对称轴为y轴，经过点P（-
，4），
∴点P（-
，4）关于y轴的对称点（
，4）也在抛物线上，
∴该抛物线一定还经过点（
，4）.
故答案为：D.
【分析】先求出抛物线的对称轴为y轴，再求出点P（-
，4）关于y轴的对称点为（
，4）即可得出答案.
6．【答案】A
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：由表格中数据可得：xy＝100，
故y关于x的函数表达式为：.
故答案为：A.
【分析】由表格中数据可得：xy＝100，变形即可得到y关于x的函数表达式.
7．【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】∵正比例函数y＝－4x与反比例函数y＝ 的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，
∴把x=2代入正比例函数y＝－4x得y=－8，
∴A（2，－8），
把A（2，－8）代入反比例函数y＝ ，
解得k=－16，
故答案为：A.
【分析】先把x=2代入正比例函数y＝－4x得出点A的纵坐标，再把点A的坐标代入反比例函数y＝ 得出k即可.
8．【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】设A（m，﹣2m），
∵AC＝AO，
∴△ACO是等腰三角形，
∴CO＝﹣2m，
∴S△ACO＝ ×（﹣2m）×（﹣2m）＝6，
∴m2＝3，
∵k＝2m2，
∴k＝﹣6，
故答案为：C.
【分析】设A（m，﹣2m），根据已知得到△ACO是等腰三角形，进而求得CO＝﹣2m，再用△ACO的面积为6，求k的值；
9．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：作AE⊥BC于E，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥x轴，
∴四边形ADOE为矩形，
∴S平行四边形ABCD=S矩形ADOE，
而S矩形ADOE=|k|，
∴|k|=8，
而k＜0
∴k=-8.
故答案为：B.
【分析】作AE⊥BC于E，由四边形ABCD为平行四边形得AD∥x轴，则可判断四边形ADOE为矩形，所以S平行四边形ABCD=S矩形ADOE，根据反比例函数k的几何意义得到S矩形ADOE=|k|.
10．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数的图象经过第一、三象限，
∴ab＞0，即a、b同号；
当a、b同为正数时，二次函数y=ax2-2x的开口向上，对称轴在y轴的右侧，抛物线经过坐标原点；一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、三象限，故B选项错误，不符合题意，C选项正确，符合题意；
当a、b同为负数时，二次函数y=ax2-2x的开口向下，对称轴在y轴的左侧，抛物线经过坐标原点；一次函数y=bx+a的图象经过第二、三、四象限，故A、D选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】反比例函数，当k＞0时，图象的两支分布在一、三象限，当k＜0时图象的两支分布在二、四象限；y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限；二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时图象开口向上，a＜0时图象开口向下，当a、b同号时图象的对称轴在y轴的左侧，当a、b异号时，图象的对称轴在y轴的右侧，当c＞0时，图象交y轴的正半轴，当c=0时，图象经过坐标原点，当c＜0时，图象交y轴的负半轴，据此逐个判断得出答案.
11．【答案】k＞3
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：由于反比例函数y= 的图象位于第一、三象限，
则k﹣3＞0，解得：k＞3．
故答案为：k＞3．
【分析】由题意得，反比例函数经过一、三象限，则k﹣3＞0，求出k的取值范围即可．
12．【答案】①②
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：若y是x的反比例函数，则-2m=5n=10，
∴m=-5，n=2，
∴2m+5n=-10+10=0，故①正确；
若y是x的一次函数，设y=kx+b，将（-5，-2）、（2，5）代入可得
解得
∴y=x+3.
当x=-2时，m=1；当x=5时，n=8，
5n-m=8-1=7，故②正确；
若y与x的二次函数，设为y=ax2+bx+c，将（-5，-2）、（2，5）、（5，n）、（-2，m）代入可得
、
∴b=3a+1、n=10b-2，m=-12a+1，n=30a+8，
∴m-n=-42a-7，当a<0时，m不一定小于n，故③错误.
故答案为：①②.
【分析】若y是x的反比例函数，则-2m=5n=10，求出m、n的值，据此判断①；若y是x的一次函数，设y=kx+b，将（-5，-2）、（2，5）代入求出k、b的值，得到一次函数的解析式，然后求出m、n，进而可判断②；若y与x的二次函数，设为y=ax2+bx+c，将（-5，-2）、（2，5）、（5，n）、（-2，m）代入表示出m、n，然后表示出m-n，据此判断③.
13．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】设A（m，n），则B（m，n+3），
∵点D是BC的中点，C（0，3），
∴D（）
∵反比例函数y=（x>0）的图象恰好过点A与BC的中点D，
∴k＝mn＝
解得n＝2，
∴A（m，2），
∵OA＝3，
∴m2+22＝32，
∴m＝（负数舍去），
∴A（）
∴k＝
故答案为：
【分析】设A（m，n），则由题意B（m，n+3），进而求得D（），根据反比例函数系数k＝xy，得到k＝mn＝，解得n＝2，利用勾股定理求得m的值，得到A（），代入解析式即可求得k的值．
14．【答案】-9
【知识点】正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是边长为3的正方形，
∴AB=AD=CD=3，AB⊥x轴，CD⊥X轴，
∵点E是CD的中点，
∴DE=，
设AO=x，则OD=3+x，
∴B(-x，3)，E(-3-x，)，
∵点B与点E都在反比例函数 y=（x＜0）的图象上，
∴-3x=×(-3-x)=k，
解得x=3，
∴k=-3×3=-9.
故答案为：-9.
【分析】根据正方形的性质得AB=AD=CD=3，AB⊥x轴，CD⊥X轴，由中点定义得DE=，设AO=x，则OD=3+x，则点B(-x，3)，E(-3-x，)，进而根据反比例函数图象上任意一点的横坐标的乘积都等于比例系数k，列出方程可求出x的值，从而即可解决此题了.
15．【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图，延长BP交x轴于点B'
∵PB//y轴，
∴PB⊥x轴.
设B'坐标为（b，0），则点B的坐标为.
∴S△OBB'===6.
∵S△BOP=4，
∴BP：BB'=2：3，
∴BB'=3B'P.
可得点P的坐标为，点A的纵坐标为
代入得，点A横坐标为3b，即A.
∵AP//x轴，
∴AP⊥BP，
∴△ABP是直角三角形.
∴S△ABP===8.
故答案为：8
【分析】△ABP为直角三角形，只需要表示出BP和AP的长，就可求出△ABP的面积. 延长PB交x轴于点B'，根据△OBB'和△OBP的面积得出BB'与PB'的数量关系，从而根据B'坐标表示出B，P，A的坐标，进一步表示出线段BP和AP的长，即可求解.
16．【答案】解：把点代入得：，
解得：，
∴一次函数的解析式，
当时，，
∴，
如图，作轴，垂足为D，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∵点在反比例函数
∴，
∴反比例的解析式.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】 将点代入中求出b值，即得，再求出x=0时y=-1，即得C（0，-1），如图，作轴，垂足为D，证明，可得，，即得A（2，1），将点A坐标代入中，求出k值即可.
17．【答案】解：在一次函数y=2x+2中，当x=0时，y＝2，
∴B（0，2），
当x=1时，y=4，
∴C（1，4），
将C（1，4）代入 得，k=4；
∵BD⊥y轴，
∴D点的纵坐标为2，
将y=2代入 得，x=2，
∴D（2，2），
∵B（0，2），D（2，2），
∴BD=2，OB＝2，
∴S△ABD= ×BD×OB= ×2×2＝2，
答：k的值为4，△ABD的面积为2．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】利用待定系数法得出点D的坐标，根据点B、D的坐标得出BD=2，OB＝2，再利用三角形面积公式得出△ABD的面积．
18．【答案】解：连接，设.
∵点B在函数上，
∴，且，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，设点O到的距离为h，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】连接OB，设B（a，b），则OM=a，BM=b，根据反比例函数图象上点的坐标特点得ab=k，结合已知得 ，则 ，进而根据同高三角形的面积之比等于底之比可得 ，然后结合 建立方程，求解即可.
19．【答案】（1）-2；3；4
（2）解：通过描点、连线的方法画出该函数的图象，图象如图，
根据图象可知当时函数有最小值
（3）解：或．
【知识点】一次函数的图象；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（1）由表格数据可知点(0，4)在该函数的图象上，
∴0+|0+6|+m=4，
解得m=-2，
∴原函数解析式为：y=x+|-2x+6|-2，
当x=1时，y=3；
当x=4时，y=4；
∴m=-2，a=3，b=4；
故答案为：-2；3；4；
（3）由图象可知：当x＜0或x＞4时，函数y=x+|-2x+6|-2的图象在函数的图象的上方，
∴ 出不等式的解集为x＜0或x＞4.
【分析】（1）将表格中的已知数据任意选择一组代入到解析式中，即可求出m，然后得到完整解析式，进而再分别将x=1与x=4代入函数解析式算出对应的y的值，即可得到a、b的值；
（2）根据表格所给数据描点、连线即可；
（3）结合函数图象与不等式之间的联系，找出函数y=x+|-2x+6|-2的图象在函数的图象的上方部分相应的自变量的取值范围即可.
20．【答案】（1）解：∵
∴把点代入反比例函数，得
∴经过点
（2）解：∵的图象过点
∴把点代入，得
又∵
∴解得，
∴
∴的函数表达式为：
如图所示：
由函数图象得，当时，；当时，；当时，．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将（k，1）代入y2=中进行验证；
（2）①将（k，1）代入y1=x-a+2中可得k-a+2=1，结合2a+k=5可求出a、k的值，据此可得y2的解析式；
②画出一次函数与反比例函数的图象，结合图象可得y1>y2、y1=y2、y121．【答案】（1）解：由题意可知点 在一次函数 的图象上，
∴ ，
∴ ．
∵一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点A，
∴ ，
∴ ；
（2）解：对于 ，令 ，则 ，
解得： ，
∴ ．
令 ，则 ，
∴ ．
∵ 为 正轴上的一动点，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ，
解得： ．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将点A（2，a）代入一次函数的解析式可求出a的值，从而得出点A的坐标，进而将点A的坐标代入反比例函数即可求出k的值；
（2）令一次函数解析式中的y=0算出x的值，可得点C的坐标，令一次函数解析式中的x=0算出y的值，可得点B的坐标，根据两点间的距离公式表示出CM的长，根据三角形的面积计算公式可得S△ACM=，S△BCM=，然后根据S△AMB=S△ACM-S△BCM，列出方程，求解即可.
22．【答案】（1）解：把，代入一次函数得，
，
解得：，
一次函数的关系式为，
当时，，
点，
点C在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的关系式为；
（2）解：点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，
点，点，
，
，
当时，即，
解得：或（舍），
.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将A（0，-4）、B（2，0）代入y1=kx+b中可求出k、b的值，据此可得一次函数的解析式，将x=3代入求出y1的值，得到点C的坐标，然后代入y2=中求出m的值，据此可得反比例函数的关系式；
（2）设P（n，），Q（n，2n-4），则PQ=-(2n-4)，然后根据三角形的面积公式就可求出n的值.
23．【答案】（1）解：设P与V之间的函数表达式为，
当时，，
所以，
∴，
∴P与V之间的函数表达式为；
（2）解：当时，，
∴，
∴为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于.
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）由题意可设，把V=0.8，P=120代入解析式计算可求得F的值，则解析式可求解；
（2）由题意可得关于V的不等式，解这个不等式可求解.
1 / 12023-2024学年初中数学人教版九年级下学期 第二十六章 反比例函数 单元测试 A卷
一、选择题
1．（2024九下·福州开学考）已知反比例函数，当时，y随x增大而增大，则a的值可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数为，且当时，y随x增大而增大，
∴
∴
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数中，当k＞0时，图象的两支分布在第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时，图象的两支分布在第二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而而，据此列出不等式，即可求出a的取值范围.
2．（2024九下·深圳开学考）已知是反比例函数上一点，下列各点不在上的是
A． B． C． D．（，8）
【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点(-1，4)在反比例函数 的图象上，
∴k=-1×4=-4，
A、∵，∴点 在反比例函数 的图象上，故此选项不符合题意；
B、∵2×2=4≠k，∴点 (2，2)不在反比例函数 的图象上，故此选项符合题意；
C、∵4×(-1)=-4=k，∴点 (4，-1)在反比例函数 的图象上，故此选项不符合题意；
D、∵，∴点 在反比例函数 的图象上，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标的乘积等于比例系数k，即可逐项判断得出答案.
3．（2022九下·雨花期中）反比例函数图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），其中x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数的比例系数8＞0，
∴图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
又，
，
.
故答案为：B.
【分析】反比例函数k>0时，图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，且在第一象限内y>0，在第三象限内y<0，依此比较出大小关系即可.
4．（2022九下·厦门月考）点、在函数的图象上，则a、b的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．无法比较大小
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：法一：当x=-3时，a=
当x=-1时，b=1
∴a＜b
法二：函数中，k=-1＜0
图象分布在第二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大
∴a＜b.
故答案为：B.
【分析】法一：将x=-3、x=-1分别代入中，求出a、b的值，再比较大小即可；法二：由于函数中，k=-1＜0，可知图象分布在第二、四象限，在每一个象限y随x的增大而增大，据此判断即可.
5．（2022九下·吉林月考）若抛物线y=ax2经过点P（-
，4），则该抛物线一定还经过点（ ）
A．（4，-
）
B．（-
，-4）
C．（-4，
）
D．（
，4）
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象的对称性
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2的对称轴为y轴，经过点P（-
，4），
∴点P（-
，4）关于y轴的对称点（
，4）也在抛物线上，
∴该抛物线一定还经过点（
，4）.
故答案为：D.
【分析】先求出抛物线的对称轴为y轴，再求出点P（-
，4）关于y轴的对称点为（
，4）即可得出答案.
6．（2021九下·长沙开学考）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表.根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为
近视眼镜的度数y（度） 200 250 400 500 1000
镜片焦距x（米） 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：由表格中数据可得：xy＝100，
故y关于x的函数表达式为：.
故答案为：A.
【分析】由表格中数据可得：xy＝100，变形即可得到y关于x的函数表达式.
7．（2020九下·江阴期中）若正比例函数y＝－4x与反比例函数y＝ 的图像相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，则k的值为（ ）
A．－16 B．－8 C．16 D．8
【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】∵正比例函数y＝－4x与反比例函数y＝ 的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，
∴把x=2代入正比例函数y＝－4x得y=－8，
∴A（2，－8），
把A（2，－8）代入反比例函数y＝ ，
解得k=－16，
故答案为：A.
【分析】先把x=2代入正比例函数y＝－4x得出点A的纵坐标，再把点A的坐标代入反比例函数y＝ 得出k即可.
8．（2020九下·东台期中）如图，正比例函数y1＝﹣2x的图象与反比例函数y2＝ 的图象交于A、B两点，点C在x轴负半轴上，AC＝AO，△ACO的面积为6.则k的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣6 D．6
【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】设A（m，﹣2m），
∵AC＝AO，
∴△ACO是等腰三角形，
∴CO＝﹣2m，
∴S△ACO＝ ×（﹣2m）×（﹣2m）＝6，
∴m2＝3，
∵k＝2m2，
∴k＝﹣6，
故答案为：C.
【分析】设A（m，﹣2m），根据已知得到△ACO是等腰三角形，进而求得CO＝﹣2m，再用△ACO的面积为6，求k的值；
9．（2020九下·江阴期中）如图，点A是反比例函数y＝ （x＜0）的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上.已知平行四边形ABCD的面积为8，则k的值为（ ）
A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：作AE⊥BC于E，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥x轴，
∴四边形ADOE为矩形，
∴S平行四边形ABCD=S矩形ADOE，
而S矩形ADOE=|k|，
∴|k|=8，
而k＜0
∴k=-8.
故答案为：B.
【分析】作AE⊥BC于E，由四边形ABCD为平行四边形得AD∥x轴，则可判断四边形ADOE为矩形，所以S平行四边形ABCD=S矩形ADOE，根据反比例函数k的几何意义得到S矩形ADOE=|k|.
10．（2024九下·深圳开学考）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数的图象经过第一、三象限，
∴ab＞0，即a、b同号；
当a、b同为正数时，二次函数y=ax2-2x的开口向上，对称轴在y轴的右侧，抛物线经过坐标原点；一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、三象限，故B选项错误，不符合题意，C选项正确，符合题意；
当a、b同为负数时，二次函数y=ax2-2x的开口向下，对称轴在y轴的左侧，抛物线经过坐标原点；一次函数y=bx+a的图象经过第二、三、四象限，故A、D选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】反比例函数，当k＞0时，图象的两支分布在一、三象限，当k＜0时图象的两支分布在二、四象限；y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限；二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时图象开口向上，a＜0时图象开口向下，当a、b同号时图象的对称轴在y轴的左侧，当a、b异号时，图象的对称轴在y轴的右侧，当c＞0时，图象交y轴的正半轴，当c=0时，图象经过坐标原点，当c＜0时，图象交y轴的负半轴，据此逐个判断得出答案.
二、填空题
11．（反比例函数的性质++++++++ ）若反比例函数y= 的图象位于一、三象限内，则k的取值范围是 ．
【答案】k＞3
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：由于反比例函数y= 的图象位于第一、三象限，
则k﹣3＞0，解得：k＞3．
故答案为：k＞3．
【分析】由题意得，反比例函数经过一、三象限，则k﹣3＞0，求出k的取值范围即可．
12．（2023九下·淳安期中）已知函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … -5 -2 2 5 …
y … -2 m 5 n …
下列命题：①若y是x的反比例函数，则；②若y是x的一次函数，则；③若y是x的二次函数，且图象开口向下，则．其中正确的是 ．（填写正确的序号）
【答案】①②
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：若y是x的反比例函数，则-2m=5n=10，
∴m=-5，n=2，
∴2m+5n=-10+10=0，故①正确；
若y是x的一次函数，设y=kx+b，将（-5，-2）、（2，5）代入可得
解得
∴y=x+3.
当x=-2时，m=1；当x=5时，n=8，
5n-m=8-1=7，故②正确；
若y与x的二次函数，设为y=ax2+bx+c，将（-5，-2）、（2，5）、（5，n）、（-2，m）代入可得
、
∴b=3a+1、n=10b-2，m=-12a+1，n=30a+8，
∴m-n=-42a-7，当a<0时，m不一定小于n，故③错误.
故答案为：①②.
【分析】若y是x的反比例函数，则-2m=5n=10，求出m、n的值，据此判断①；若y是x的一次函数，设y=kx+b，将（-5，-2）、（2，5）代入求出k、b的值，得到一次函数的解析式，然后求出m、n，进而可判断②；若y与x的二次函数，设为y=ax2+bx+c，将（-5，-2）、（2，5）、（5，n）、（-2，m）代入表示出m、n，然后表示出m-n，据此判断③.
13．（2023九下·深圳月考）如图，在平面直角坐标系中，OA=3，将OA沿y轴向上平移3个单位至CB，连接AB，若反比例函数y=(x>0)的图象恰好过点A与BC的中点D，则k= ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】设A（m，n），则B（m，n+3），
∵点D是BC的中点，C（0，3），
∴D（）
∵反比例函数y=（x>0）的图象恰好过点A与BC的中点D，
∴k＝mn＝
解得n＝2，
∴A（m，2），
∵OA＝3，
∴m2+22＝32，
∴m＝（负数舍去），
∴A（）
∴k＝
故答案为：
【分析】设A（m，n），则由题意B（m，n+3），进而求得D（），根据反比例函数系数k＝xy，得到k＝mn＝，解得n＝2，利用勾股定理求得m的值，得到A（），代入解析式即可求得k的值．
14．（2024九下·深圳开学考） 如图，正方形ABCD的边长为3，AD边在x轴负半轴上，反比例函数y=（x＜0）的图象经过点B和CD边中点E，则k的值为 ．
【答案】-9
【知识点】正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是边长为3的正方形，
∴AB=AD=CD=3，AB⊥x轴，CD⊥X轴，
∵点E是CD的中点，
∴DE=，
设AO=x，则OD=3+x，
∴B(-x，3)，E(-3-x，)，
∵点B与点E都在反比例函数 y=（x＜0）的图象上，
∴-3x=×(-3-x)=k，
解得x=3，
∴k=-3×3=-9.
故答案为：-9.
【分析】根据正方形的性质得AB=AD=CD=3，AB⊥x轴，CD⊥X轴，由中点定义得DE=，设AO=x，则OD=3+x，则点B(-x，3)，E(-3-x，)，进而根据反比例函数图象上任意一点的横坐标的乘积都等于比例系数k，列出方程可求出x的值，从而即可解决此题了.
15．（2024九下·福田开学考）如图，A，B是函数上两点，P为一动点，作轴，轴，若，则 ．
【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图，延长BP交x轴于点B'
∵PB//y轴，
∴PB⊥x轴.
设B'坐标为（b，0），则点B的坐标为.
∴S△OBB'===6.
∵S△BOP=4，
∴BP：BB'=2：3，
∴BB'=3B'P.
可得点P的坐标为，点A的纵坐标为
代入得，点A横坐标为3b，即A.
∵AP//x轴，
∴AP⊥BP，
∴△ABP是直角三角形.
∴S△ABP===8.
故答案为：8
【分析】△ABP为直角三角形，只需要表示出BP和AP的长，就可求出△ABP的面积. 延长PB交x轴于点B'，根据△OBB'和△OBP的面积得出BB'与PB'的数量关系，从而根据B'坐标表示出B，P，A的坐标，进一步表示出线段BP和AP的长，即可求解.
三、解答题
16．（2022九下·湖南期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C，与反比例的图象交于点A.点B为AC的中点.求一次函数和反比例的解析式.
【答案】解：把点代入得：，
解得：，
∴一次函数的解析式，
当时，，
∴，
如图，作轴，垂足为D，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∵点在反比例函数
∴，
∴反比例的解析式.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】 将点代入中求出b值，即得，再求出x=0时y=-1，即得C（0，-1），如图，作轴，垂足为D，证明，可得，，即得A（2，1），将点A坐标代入中，求出k值即可.
17．（2021九下·灵石期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x＋2的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数
的图象交于点C（1，m），过点B作y轴的垂线交反比例函数
的图象于点D，连接AD，求k的值及△ABD的面积．
【答案】解：在一次函数y=2x+2中，当x=0时，y＝2，
∴B（0，2），
当x=1时，y=4，
∴C（1，4），
将C（1，4）代入 得，k=4；
∵BD⊥y轴，
∴D点的纵坐标为2，
将y=2代入 得，x=2，
∴D（2，2），
∵B（0，2），D（2，2），
∴BD=2，OB＝2，
∴S△ABD= ×BD×OB= ×2×2＝2，
答：k的值为4，△ABD的面积为2．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】利用待定系数法得出点D的坐标，根据点B、D的坐标得出BD=2，OB＝2，再利用三角形面积公式得出△ABD的面积．
18．（2023九下·德化月考）如图，直线交双曲线于A、B两点，交x轴于点，，过点B作轴于点M，连接，若，，求k的值.
【答案】解：连接，设.
∵点B在函数上，
∴，且，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，设点O到的距离为h，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】连接OB，设B（a，b），则OM=a，BM=b，根据反比例函数图象上点的坐标特点得ab=k，结合已知得 ，则 ，进而根据同高三角形的面积之比等于底之比可得 ，然后结合 建立方程，求解即可.
四、实践探究题
19．（2024九下·深圳开学考）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
0 1 2 3 4 5
6 5 4 2 1 7
（1）写出函数关系式中及表格中，的值：
， ， ；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质： ；
（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．
【答案】（1）-2；3；4
（2）解：通过描点、连线的方法画出该函数的图象，图象如图，
根据图象可知当时函数有最小值
（3）解：或．
【知识点】一次函数的图象；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（1）由表格数据可知点(0，4)在该函数的图象上，
∴0+|0+6|+m=4，
解得m=-2，
∴原函数解析式为：y=x+|-2x+6|-2，
当x=1时，y=3；
当x=4时，y=4；
∴m=-2，a=3，b=4；
故答案为：-2；3；4；
（3）由图象可知：当x＜0或x＞4时，函数y=x+|-2x+6|-2的图象在函数的图象的上方，
∴ 出不等式的解集为x＜0或x＞4.
【分析】（1）将表格中的已知数据任意选择一组代入到解析式中，即可求出m，然后得到完整解析式，进而再分别将x=1与x=4代入函数解析式算出对应的y的值，即可得到a、b的值；
（2）根据表格所给数据描点、连线即可；
（3）结合函数图象与不等式之间的联系，找出函数y=x+|-2x+6|-2的图象在函数的图象的上方部分相应的自变量的取值范围即可.
五、综合题
20．（2023九下·淳安期中）已知一次的图象与反比例函数的图象相交．
（1）判断是否经过点．
（2）若的图象过点，且．
①求的函数表达式．
②当时，比较，的大小．
【答案】（1）解：∵
∴把点代入反比例函数，得
∴经过点
（2）解：∵的图象过点
∴把点代入，得
又∵
∴解得，
∴
∴的函数表达式为：
如图所示：
由函数图象得，当时，；当时，；当时，．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将（k，1）代入y2=中进行验证；
（2）①将（k，1）代入y1=x-a+2中可得k-a+2=1，结合2a+k=5可求出a、k的值，据此可得y2的解析式；
②画出一次函数与反比例函数的图象，结合图象可得y1>y2、y1=y2、y121．（2023九下·灌南期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求出，的值；
（2）若为正轴上的一动点，当的面积为时，求的值．
【答案】（1）解：由题意可知点 在一次函数 的图象上，
∴ ，
∴ ．
∵一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点A，
∴ ，
∴ ；
（2）解：对于 ，令 ，则 ，
解得： ，
∴ ．
令 ，则 ，
∴ ．
∵ 为 正轴上的一动点，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ，
解得： ．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将点A（2，a）代入一次函数的解析式可求出a的值，从而得出点A的坐标，进而将点A的坐标代入反比例函数即可求出k的值；
（2）令一次函数解析式中的y=0算出x的值，可得点C的坐标，令一次函数解析式中的x=0算出y的值，可得点B的坐标，根据两点间的距离公式表示出CM的长，根据三角形的面积计算公式可得S△ACM=，S△BCM=，然后根据S△AMB=S△ACM-S△BCM，列出方程，求解即可.
22．（2023九下·靖江期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，交反比例函数的图象于点，点P在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点Q，D是y轴上任意一点，连接、.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式.
（2）求当面积等于2时n的值.
【答案】（1）解：把，代入一次函数得，
，
解得：，
一次函数的关系式为，
当时，，
点，
点C在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的关系式为；
（2）解：点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，
点，点，
，
，
当时，即，
解得：或（舍），
.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将A（0，-4）、B（2，0）代入y1=kx+b中可求出k、b的值，据此可得一次函数的解析式，将x=3代入求出y1的值，得到点C的坐标，然后代入y2=中求出m的值，据此可得反比例函数的关系式；
（2）设P（n，），Q（n，2n-4），则PQ=-(2n-4)，然后根据三角形的面积公式就可求出n的值.
23．（2023九下·上城月考）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数.已知当时，.
（1）求出这个函数的表达式；
（2）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？
【答案】（1）解：设P与V之间的函数表达式为，
当时，，
所以，
∴，
∴P与V之间的函数表达式为；
（2）解：当时，，
∴，
∴为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于.
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）由题意可设，把V=0.8，P=120代入解析式计算可求得F的值，则解析式可求解；
（2）由题意可得关于V的不等式，解这个不等式可求解.
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