人教版初中数学九年级下学期 第二十六章 反比例函数 单元测试 B卷

人教版初中数学九年级下学期 第二十六章 反比例函数 单元测试 B卷
一、选择题
1．（2024九下·深圳开学考）下列说法正确的是　　
A．对角线垂直的平行四边形是矩形
B．方程有两个相等的实数根
C．抛物线的顶点为
D．函数，随的增大而增大
2．（2024九上·苍溪期末）反比例函数的图象一定经过的点是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·深圳模拟） 某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤： 制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻 （如图 1）， 当人站上踏板时， 通过电压表显示的读数 换算为人的质量 ）， 已知 随着 的变化而变化 （如图 2）， 与踏板上人的质量 的关系见图3. 则下列说法不正确的是 （　　）
A．在一定范围内， 越大， 越小
B．当 时， 的阻值为
C．当踏板上人的质量为 时，
D．若电压表量程为 ， 为保护电压表， 该电子体重科可称的最大质量是
4．（2023·金华）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
5．（2023九上·平桂期末）若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024九上·锦江期末）反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2023九上·宁远期中）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2018八下·上蔡期中）如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，．∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为时，k的值是（　　）
A．2 B．3 C．5 D．7
9．（2023·湖州）已知在平面直角坐标系中，正比例函数y＝k1x（k1＞0）的图象与反比例函数（k2＞0）的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点A（t，p）和点B（t+2，q）在函数y＝k1x的图象上（t≠0且t≠-2），点C（t，m）和点D（t+2，n）在函数的图象上．当p-m与q-n的积为负数时，t的取值范围是（　　）
A．或 B．或
C．-3＜t＜-2或-1＜t＜0 D．-3＜t＜-2或0＜t＜1
10．（2023九上·天长期中）如图，直线与双曲线交于两点，轴于点，连接交轴于点。下列结论：①；②的面积为定值；③是的中点；④．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2023·沈阳）若点和点都在反比例函数的图象上，则　 　．（用“”“”或“”填空）
12．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册1.3 反比例函数的应用 同步练习）近视眼镜的度数y度与镜片焦距x米呈反比例，其函数关系式为 如果近似眼镜镜片的焦距 米，那么近视眼镜的度数y为　 　．
13．（2015·金华）如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y= （x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（6，8），则点F的坐标是　 　．
14．如图，在平面直角坐标系中，□CODE的顶点C 在x轴的负半轴上，点D，E在第二象限，点E的纵坐标为2，反比例函数 的图象与OD 相交于点A(a，b).若点 B的坐标为 且点B 在∠ODE的边上，则 OB 的长.为　 　.
15．如图， OABC的顶点O 是坐标原点，点 A 在x 轴的正半轴上，点 B，C在第一象限，反比例函数 ，y=kx(k≠0)的图象分别经过点 C，B.若 OC=AC，则k的值为　 　.
三、解答题
16．（2024九上·苍溪期末）已知反比例函数的图象位于第二、四象限．
（1）求k的取值范围；
（2）若点是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值的大小．
17．（2023九上·昌邑期中）已知反比例函数（为常数）．
（1）若函数图象经过点，求的值；
（2）若时，随的增大而减小，求的取值范围．
18．（2023九上·仙居期中）如图，直线与双曲线（k为常数，交于，两点，与轴、轴分别交于，两点，点的坐标为．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）结合图象直接写出当时，的取值范围．
四、实践探究题
19．背景：点A在反比例函数y=（k>0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形.如图1，点A在第一象限内，当AC=4时，小李测得CD=3.
探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系.请帮助小李解决下列问题.
（1）求k的值.
（2）设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”.如图2，小李画出了x>0时“Z函数”的图象.
①求这个“Z函数”的表达式.
②补画x<0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）.
③过点（3，2）作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标.
20．（2023九上·光明月考）【综合实践】
如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，如图，即FA×L1＝FB×L2），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端L1＝1m，距右端L2＝0.4m，在杠杆左端悬挂重力为80N的物体A．
（1）若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为　 　N．
（2）为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，L2的长度随之变化．设重物B的质量为xN，L2的长度为ycm．则：
①y关于x的函数解析式是 ▲ ．
②完成下表：
x/N … 10 20 30 40 50 …
y/cm … 8 a 2 b …
③在直角坐标系中画出该函数的图象．
（3）在（2）的条件下，将函数图象向右平移4个单位长度，与原来的图象组成一个新的函数图象，记为L．若点A的坐标为（2，0），在L上存在点Q，使得S△OAQ＝9．请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．
五、综合题
21．（2021八下·镇海期末）已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数 的图象交于点 和点 ，与 轴交于点 ，
（1）求 的值及点 的坐标；
（2）写出 时 的取值范围；
（3） 是 轴上一点，且满足 的面积等于 .求点 坐标.
22．（2024九上·贵阳期末）在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数（k＜0）的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于C点，过点A作AD⊥y轴，垂足为点D，OD＝3，，点B的坐标为（c，﹣2）．
（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象直接写出使ax+b＜成立的x的取值范围；
（3）形如x2﹣a＞0（a为常数，a＞0）的解集为：x＞或x＜﹣，过点M（6，0）作垂直于x轴的直线MN，直线y＝x+n与双曲线y＝（k＜0）交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线MN交于点R（x3，y3），若y1＜y2＜y3时，求n的取值范围．
23．（2024九上·磐石期末）如图，抛物线与双曲线相交于点A、B.已知点B的坐标为，点A在第一象限内，且点A的横坐标为1.过点A作直线轴，交抛物线于另一点C.
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D，使的面积等于的面积，若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的性质；菱形的判定；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：A、 对角线垂直的平行四边形是菱形，故此选项错误，不符合题意；
B、方程x2+4x+16=0中，a=1，b=4，c=16，∴b2-4ac=42-4×1×16=-48＜0，∴此方程没有实数根，故此选项错误，不符合题意；
C、∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，∴该抛物线的顶点坐标为(1，4)，故此选项错误，不符合题意；
D、在反比例函数中，k=-2＜0，∴图象的两支分布在第二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由对角线垂直的平行四边形是菱形，可判断A选项；对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，
据此算出该方程根的判别式，可判断B选项；利用配方法将抛物线的解析式配成顶点式，得到其顶点坐标，可判断C选项；反比例函数中，当k＞0时，图象的两支分布在第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时，图象的两支分布在第二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大，据此可判断D选项.
2．【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】∵反比例函数的解析式为：，
∴xy=-6.
A：（-3）×（-2）=6，所以A不符合题意；
B：2×3=6，所以B不符合题意；
C：2×（-3）=-6，所以C符合题意；
D：（-2）×（-4）=8，所以d不符合题意。
故答案为：C。
【分析】根据反比例函数图象上的点的特征进行选择即可。
3．【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：A、图2中的图象可知， 在一定范围内， 越大， 越小，故A不符合题意；
B、由图2可知，图象经过点（50，3），
当U0=3V时，R1的阻值为50Ω，故B不符合题意；
C、当m=90kg时，R1=-2m+240=60Ω，
∴当U0=2V时，对应的是90Ω，
∴当踏板上人的质量为90kg时，U0=2V错误，故C符合题意；
D、∵R1=-2m+240，
∴R1随m的增大而减小，
∴R1的最小值为10，
∴-2m+240=10，
解之：m=115，
∴m的最大值为115kg，
∴ 若电压表量程为 ， 为保护电压表， 该电子体重科可称的最大质量是 ，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用图2，可对A，B作出判断；将m=90代入R1=-2m+240，可求出R1的值，由此可得当U0=2V时，对应的是90Ω，可对C作出判断；由R1=-2m+240，利用一次函数的性质可知R1随m的增大而减小，可得到R1的最小值为10，可求出m的最大值，可对D作出判断.
4．【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象经过点A（2，3），B（m，-2）
∴k=2×3=-2m，
∴m=-3，
∴B（-3，-2），
∴ 不等式的解为-3＜x＜0或x＞2.
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标的乘积都等于比例系数k可得k=2×3=-2m，求解可得m的值，从图象看，求不等式的解就是求一次函数的图象在反比例函数图象上方部分相应的自变量的取值范围，结合交点坐标即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】有理数大小比较；反比例函数的图象
【解析】【解答】解∶点在反比例函数的图象上，
故答案为：∶B.
【分析】分别将x=-1、2、3代入反比例函数解析式中求出y1、y2、y3的值，然后进行比较.
6．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图所示，连接AO，
因为AB//y轴，
所以
所以
所以
因为反比例函数图象在第二象限，
所以k<0，
所以k=-6，
故选：D.
【分析】根据反比例函数K的几何意义即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象
【解析】【解答】解：、∵反比例函数经过第一、三象限，则，一次函数经过第一、二、四象限，则，，∴二者的取值范围相同，符合题意；
、∵反比例函数经过第一、三象限，则，一次函数经过第一、二、三象限，则，，∴二者的取值范围不相同，不符合题意；
、∵反比例函数经过第二、四象限，则，一次函数经过第一、二、三象限，则，，∴二者的取值范围不相同，不符合题意；
、∵反比例函数经过第二、四象限，则，一次函数经过第一、二、四象限，则，，∴二者取值范围不相同，不符合题意；
故答案为：．
【分析】根据一次函数和反比例函数的图象和性质逐一分析判断即可．在同一个坐标系中，K的取值是相同的。
8．【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】设OA=3a，则OB=4a，设直线AB的解析式是y=kx+b，则根据题意得：，解得：，则直线AB的解析式是y=﹣x+4a，
直线CD是∠AOB的平分线，则OD的解析式是y=x．根据题意得：，解得：则D的坐标是（，），
OA的中垂线的解析式是x=，则C的坐标是（，），则k=．∵以CD为边的正方形的面积为，∴2（﹣）2=，则a2=，
∴k=×=7．故选D．
【分析】设OA=3a，则OB=4a，利用待定系数法即可求得直线AB的解析式，直线CD的解析式是y=x，OA的中垂线的解析式是x=，解方程组即可求得C和D的坐标，根据以CD为边的正方形的面积为，即CD2=，据此即可列方程求得a2的值，则k即可求解．
9．【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵ 正比例函数y＝k1x（k1＞0）的图象与反比例函数（k2＞0）的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，
∴k1=k2，
设k1=k2=k（k＞0），则y=k1x=kx，，
∵ 点A（t，p）和点B（t+2，q）在函数y＝k1x的图象上（t≠0且t≠-2），
点C（t，m）和点D（t+2，n）在函数的图象上，
∴
∴，
∴
∴，
∵
∴
∴t（t-1）（t+2）（t+3）＜0，
∵p-m与q-n的积为负数，
当t＜-3时，t（t-1）（t+2）（t+3）＞0，
∴t＜-3不符合题意；
当-3＜t＜-2时，t（t-1）（t+2）（t+3）＜0，符合题意；
当-2＜t＜0时，t（t-1）（t+2）（t+3）＞0，不符合题意；
当0＜t＜1时，t（t-1）（t+2）（t+3）＜0，符合题意；
当t＞1时，t（t-1）（t+2）（t+3）＞0，不符合题意；
∴t的取值范围为：-3＜t＜-2或0＜t＜1.
故答案为：D.
【分析】利用已知可得到k1=k2，设k1=k2=k（k＞0），则y=k1x=kx，，将点A，B的坐标代入一次函数解析式，将点C，D的坐标代入反比例函数解析式，可得方程组，结合两个方程组可得到p-m和q-n；再表示出，据此可推出；然后根据p-m与q-n的积为负数，分段讨论：当t＜-3时；当-3＜t＜-2时；当-2＜t＜0时；当0＜t＜1时；当t＞1时；分别可确定出t（t-1）（t+2）（t+3）的符号，综上所述可得到t的取值范围.
10．【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作于点E，
因为 A、B两点在双曲线的图象上，轴于点，轴于点E，
所以设A，B，则E（），C（），
因为A、B两点在直线y=kx（k>0）的图象上，
所以，，
所以，
所以，则，
所以，
所以，即，
因为OA>0，OB>0，
所以OA=OB，故结论 ① 对的；
根据上述证明得出，在中，
，
所以，BC=AE，
所以，
所以，
所以，即，
所以 的面积为定值 ，故结论 ② 对的；
由上述证明得出，OA=OB，即 O是的中点，
因为与点C，
所以BC//y轴，即BC//OD，
所以，
所以点D是AC的中点，故结论 ③ 对的；
因为于点E，
所以AE//OD，且D是AC的中点，
所以，
所以，且OE=，
所以，故结论 ④ 错的；
综上所述，正确的有 ①、②、③，共3个。
故选：C。
【分析】过点A作于点E，利用反比例函数图象上点坐标的特征，反比例函数与正比例函数图象交点的特征可得点A、B点坐标的关系，再利用“SAS”证出，可得BC=AE，再利用三角形的面积公式及等量代换求解，再利用平行线分线段成比例的性质逐项分析判断即可.
11．【答案】＞
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵y=，
∴反比例函数的图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小.
∵-2<-1，
∴y1>y2.
故答案为：>.
【分析】由反比例函数的性质可得：其图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，据此进行比较.
12．【答案】400
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：把 代入 ，
，
故答案为：400
【分析】将x=0.3代入函数解析式，求出y的值，可解答。
13．【答案】（12， ）
【知识点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FE⊥x于点E，
∵点D的坐标为（6，8），
∴OD= =10，
∵四边形OBCD是菱形，
∴OB=OD=10，
∴点B的坐标为：（10，0），
∵AB=AD，即A是BD的中点，
∴点A的坐标为：（8，4），
∵点A在反比例函数y= 上，
∴k=xy=8×4=32，
∵OD∥BC，
∴∠DOM=∠FBE，
∴tan∠FBE=tan∠DOM= = = ，
设EF=4a，BE=3a，
则点F的坐标为：（10+3a，4a），
∵点F在反比例函数y= 上，
∴4a（10+3a）=32，
即3a2+10a﹣8=0，
解得：a1= ，a2=﹣4（舍去），
∴点F的坐标为：（12， ）．
故答案为：（12， ）．
【分析】首先过点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FE⊥x于点E，由点D的坐标为（6，8），可求得菱形OBCD的边长，又由点A是BD的中点，求得点A的坐标，利用待定系数法即可求得反比例函数y= （x＞0）的解析式，然后由tan∠FBE=tan∠DOM= = = ，可设EF=4a，BE=3a，则点F的坐标为：（10+3a，4a），即可得方程4a（10+3a）=32，继而求得a的值，则可求得答案．
14．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 点A(a，b) 在函数 的图象上，
∴A（a，），
∴B（，），
当点B 在DE上时，则 =2，解得a=，
∴B（，2），
∴OB==，
当点B 在DO上时，
设yOA=kx，把A的坐标代入得k=，即yOA=x，
把B（，）代入yOA=x中，
得·=，解得a=，
∴B（，），不合题意舍去，
∴ OB 的长为 .
故答案为：.
【分析】由点A(a，b) 在函数 的图象上，可得A（a，），B（，），分两种情况：当点B 在DE上时和点B 在DO上时，据此分别解答即可.
15．【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点C作CF⊥OA于点F，连接OB，过点B作BD⊥x轴于点D，
∴∠CFO=∠BDA=90°
∵点C在反比例函数的图象上，
∴S△OCF=，
∵△ACO中，OC=CA，CF⊥OA，
∴OA=2OF，
∴S△OAC=2S△OCF=1，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，OC=AB，OC∥AB，
∴S△OAC=S△OAB=1，∠COF=∠BAD，
在△OCF与△ABD中，
∵∠COF=∠BAD，∠CFO=∠BDA=90°，OC=CA，
∴△OCF≌△ABD（AAS），
∴S△ABD=S△OCF=，
∴S△OBD=S△ABO+S△ABD==|k|，
∴k=±3，
∵图象经过第一象限，
∴k＞0，
∴k=3.
故答案为：3.
【分析】如图，过点C作CF⊥OA于点F，连接OB，过点B作BD⊥x轴于点D，由反比例函数k的几何意义可得S△OCF=，由等要三角形的三线合一及同高三角形面积关系得S△OAC=2S△OCF=1，由平行四边形的性质得BC∥OA，OC=AB，OC∥AB，进而根据同底等高三角形面积相等得S△OAC=S△OAB=1，由平行四边形的性质得∠COF=∠BAD，从而由AAS判断出△OCF≌△ABD，由全等三角形的性质得S△ABD=S△OCF=，进而根据反比例函数k的几何意义可得S△OBD=S△ABO+S△ABD==|k|，求解并结合图象所经过的象限可得k的值.
16．【答案】（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴，
∴；
（2）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴在每个象限内，y随x增大而增大，
∵点是该反比例函数图象上的两点，，
∴点A和点B都在第二象限，
∴．
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【分析】(1)首先根据函数图象的位置得出 ， 再解不等式即可得出k的取值范围；
（2）首先根据函数图象的位置，得出函数的性质： 在每个象限内，y随x增大而增大， 根据性质即可得出 ．
17．【答案】（1）2
（2）m>8
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】（1）将点A（-1，6）代入，
可得：m-8=-1×6，
解得：m=2，
故答案为：2；
（2）∵时，随的增大而减小，
∴m-8>0，
解得：m>8，
故答案为：m>8.
【分析】（1）将点A的坐标代入，可得m-8=-1×6，再求出m的值即可；
（2）利用反比例函数的图象与系数的关系可得m-8>0，再求出m的取值范围即可.
18．【答案】（1）解：把代入直线，可得，
解得，
，
把代入双曲线为常数，(k≠0)，可得，
双曲线的解析式为；
（2）解：
得或，
，
由图象可知，当时，的取值范围或．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）把A(m，2)代入直线，求得点A(1，2)，再将其代入反比函数解析式即可求解；
（2）联立两函数解析式求解可得点D的坐标，进而找出直线在双曲线下方部分相应的自变量的取值范围即可.
19．【答案】（1）解：，，
，
四边形是正方形，
，
轴，轴，
，
点是反比例函数的图象上的点，
.
（2）①点是反比例函数的图象上的点，
，
，
，
②如图，
性质：1、函数图象与x轴有2个交点；2、当x<0时，z随x的增大而增大.
③ i)当直线轴时，直线与Z函数图象只有一个交点，且交点横坐标为3；
ii)当直线l不平行y轴时，设直线解析式为，
把点代入解析式得，
，
直线l与Z函数图象只有一个交点，
只有一个解，
化简得，
当时，该方程为一元二次方程，
，
解得，，
当时，原方程可化为，解得，
当时，原方程可化为，解得；
当时，该方程为一元一次方程，则，解得，
综上所述，该交点横坐标为2或3或4或6.
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质
【解析】【分析】(1)先利用正方形的性质得到AB=AD=1，进而求得点A的坐标，再利用待定系数法解得k的值.
(2) ① 利用反比例函数图象上点的特征表示出点A坐标为，进而求得，然后表示出z关于x的函数表达式.
② 利用Z函数解析式求出当x=-4，-3，-2，-1，时的点坐标，再用光滑的曲线连接各点，观察图象可得图象与x轴有2个交点，当x<0时，z随x的增大而增大.
③ 当直线轴时，直线与Z函数图象只有一个交点，且交点横坐标为3；当直线l不平行y轴时，设直线解析式为，联立方程组可得，当时，该方程为一元二次方程，要是方程只有一个交点，则，解得k值后再代入原方程，进而求得x值；当时，该方程为一元一次方程，即可解得，综上所述，该交点横坐标为2或3或4或6.
20．【答案】（1）200
（2）解：①；
②由（2）①得，
填表如下：
x/N … 10 20 30 40 50 …
y/cm … 8 4 2 …
③函数图象如下所示：
（3）解：∵点A的坐标为（2，0），
∴OA＝2，
∵S△OAQ＝9，
∴，
∴yQ＝9，
在中，当y＝9时，
∴在函数上满足题意的Q的坐标为，
∵将函数图象向右平移4个单位长度，与原来的图象组成一个新的函数图象，记为L，
∴点，即也在L上，即满足题意的Q的坐标为；
综上所述，点Q的坐标为或．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）∵FA×L1＝FB×L2， ∴ Fb=LA×L1L2=200N，
故答案为：200.
（2）①∵FA×L1＝FB×L2， ∴ L2=FA×L1FB，即
故答案为：.
【分析】（1）根据公式"FA×L1＝FB×L2"进行计算即可；
（2）①根据公式"FA×L1＝FB×L2"即可得到；
②结合①中的函数解析式即可求出a和b的值；
③先描点，再用光滑的曲线将其连接起来；
（3）利用三角形的面积求出点Q的纵坐标，再根据反比例函数的性质和平移的性质即可求出点Q的坐标.
21．【答案】（1）解： 一次函数 经过点 ，
，
，
点 在反比例函数 的图象上，
，
反比例函数为 ，
解 得 或 ，
的坐标为 ；
（2）解：观察图象可知： 时 的取值范围是 或 ；
（3）解：设点 的坐标为 ，
在 中，令 ，得 ，
点 的坐标为 ，
，
，
或 ，
点 的坐标为 或 .
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）把点A（2，m）代入y＝x＋1即可求得m的值，然后用待定系数法即可求得a的值，将解析式联立解方程组即可求得B的坐标；
（2）观察图象即可求解；
（3）设点P的坐标为（m，0），根据△PAB的面积是5可列出关于m的方程，解方程可求解．
22．【答案】（1）解：∵OD＝3，，
∴AD＝4，
∴点A的坐标为（﹣4，3），
把（﹣4，3）代入y＝，可得k＝﹣12，
∴反比例函数的解析式为：y＝﹣，
∵把B（c，﹣2）代入反比例函数y＝﹣中，可得c＝6，
∴点B的坐标为（6，﹣2），
将A（﹣4，3）和B（6，﹣2）代入y＝ax+b，可得，
解得，
∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+1；
（2）解：根据图象，可知使ax+b＜成立的x的取值范围是﹣4＜x＜0或x＞6；
（3）解：∵直线y＝x+n与双曲线y＝﹣有两个交点，
∴x+n＝﹣有两个实数解，
整理得x2+nx+12＝0，
∵Δ＝n2﹣4×12＞0，
∴n＞4或n＜﹣4，
当反比例函数图象与直线y＝x+n在第二象限相交于P、Q时，
∴y1＜y2＜y3时，n的范围为n＞4，
当反比例函数与直线y＝x+n在第四象限相交于P、Q时，
当x＝6时，y＝﹣＝﹣2，则点（6，﹣2）在点R（x3，y3）下方，
∴6+n＞﹣2，
∴n＞﹣8，
∴y1＜y2＜y3时，n的范围为﹣﹣8＜n＜﹣4，
综上所述，n的范围为﹣8＜n＜﹣4或n＞4．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据函数图象求x的取值范围即可；
（3）先求出 x+n＝﹣有两个实数解， 再求出 n＞4或n＜﹣4， 最后求解即可。
23．【答案】（1）解：把点代入，
得，解得，
即双曲线的解析式为：.
当时，，.
把A、B点的坐标代入，得，解得.
即抛物线的解析式为：.
（2）解：轴，点C的纵坐标，
代入，得，
解得，（舍去），
点的坐标为，.
.
（3）解：存在，符合条件的点D的坐标为或或.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（3）存在，符合条件的点D的坐标为或或．
理由如下：
设点D纵坐标为n，
的面积等于的面积，
，
解得或，
当时，，解得，，
点D坐标为或，
当时，，解得，，
点D坐标为，
符合条件的点D的坐标为或或．
【分析】（1）先把B点的坐标代入双曲线表达式求得双曲线的解析式，再求得点A的坐标，最后将A、B两点的坐标代入抛物线的关系式，求得抛物线的解析式；
（2）先确定点C的纵坐标为4，代入抛物线的解析式求点C的横坐标，利用三角形面积公式云计算即可；
（3）设点D纵坐标为n，根据面积关系得出，求出n的值，把n的值分别代入抛物线的解析式，即可求得答案．
1 / 1人教版初中数学九年级下学期 第二十六章 反比例函数 单元测试 B卷
一、选择题
1．（2024九下·深圳开学考）下列说法正确的是　　
A．对角线垂直的平行四边形是矩形
B．方程有两个相等的实数根
C．抛物线的顶点为
D．函数，随的增大而增大
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的性质；菱形的判定；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：A、 对角线垂直的平行四边形是菱形，故此选项错误，不符合题意；
B、方程x2+4x+16=0中，a=1，b=4，c=16，∴b2-4ac=42-4×1×16=-48＜0，∴此方程没有实数根，故此选项错误，不符合题意；
C、∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，∴该抛物线的顶点坐标为(1，4)，故此选项错误，不符合题意；
D、在反比例函数中，k=-2＜0，∴图象的两支分布在第二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由对角线垂直的平行四边形是菱形，可判断A选项；对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，
据此算出该方程根的判别式，可判断B选项；利用配方法将抛物线的解析式配成顶点式，得到其顶点坐标，可判断C选项；反比例函数中，当k＞0时，图象的两支分布在第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时，图象的两支分布在第二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大，据此可判断D选项.
2．（2024九上·苍溪期末）反比例函数的图象一定经过的点是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】∵反比例函数的解析式为：，
∴xy=-6.
A：（-3）×（-2）=6，所以A不符合题意；
B：2×3=6，所以B不符合题意；
C：2×（-3）=-6，所以C符合题意；
D：（-2）×（-4）=8，所以d不符合题意。
故答案为：C。
【分析】根据反比例函数图象上的点的特征进行选择即可。
3．（2024·深圳模拟） 某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤： 制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻 （如图 1）， 当人站上踏板时， 通过电压表显示的读数 换算为人的质量 ）， 已知 随着 的变化而变化 （如图 2）， 与踏板上人的质量 的关系见图3. 则下列说法不正确的是 （　　）
A．在一定范围内， 越大， 越小
B．当 时， 的阻值为
C．当踏板上人的质量为 时，
D．若电压表量程为 ， 为保护电压表， 该电子体重科可称的最大质量是
【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：A、图2中的图象可知， 在一定范围内， 越大， 越小，故A不符合题意；
B、由图2可知，图象经过点（50，3），
当U0=3V时，R1的阻值为50Ω，故B不符合题意；
C、当m=90kg时，R1=-2m+240=60Ω，
∴当U0=2V时，对应的是90Ω，
∴当踏板上人的质量为90kg时，U0=2V错误，故C符合题意；
D、∵R1=-2m+240，
∴R1随m的增大而减小，
∴R1的最小值为10，
∴-2m+240=10，
解之：m=115，
∴m的最大值为115kg，
∴ 若电压表量程为 ， 为保护电压表， 该电子体重科可称的最大质量是 ，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用图2，可对A，B作出判断；将m=90代入R1=-2m+240，可求出R1的值，由此可得当U0=2V时，对应的是90Ω，可对C作出判断；由R1=-2m+240，利用一次函数的性质可知R1随m的增大而减小，可得到R1的最小值为10，可求出m的最大值，可对D作出判断.
4．（2023·金华）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象经过点A（2，3），B（m，-2）
∴k=2×3=-2m，
∴m=-3，
∴B（-3，-2），
∴ 不等式的解为-3＜x＜0或x＞2.
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标的乘积都等于比例系数k可得k=2×3=-2m，求解可得m的值，从图象看，求不等式的解就是求一次函数的图象在反比例函数图象上方部分相应的自变量的取值范围，结合交点坐标即可得出答案.
5．（2023九上·平桂期末）若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数大小比较；反比例函数的图象
【解析】【解答】解∶点在反比例函数的图象上，
故答案为：∶B.
【分析】分别将x=-1、2、3代入反比例函数解析式中求出y1、y2、y3的值，然后进行比较.
6．（2024九上·锦江期末）反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图所示，连接AO，
因为AB//y轴，
所以
所以
所以
因为反比例函数图象在第二象限，
所以k<0，
所以k=-6，
故选：D.
【分析】根据反比例函数K的几何意义即可求出答案.
7．（2023九上·宁远期中）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象
【解析】【解答】解：、∵反比例函数经过第一、三象限，则，一次函数经过第一、二、四象限，则，，∴二者的取值范围相同，符合题意；
、∵反比例函数经过第一、三象限，则，一次函数经过第一、二、三象限，则，，∴二者的取值范围不相同，不符合题意；
、∵反比例函数经过第二、四象限，则，一次函数经过第一、二、三象限，则，，∴二者的取值范围不相同，不符合题意；
、∵反比例函数经过第二、四象限，则，一次函数经过第一、二、四象限，则，，∴二者取值范围不相同，不符合题意；
故答案为：．
【分析】根据一次函数和反比例函数的图象和性质逐一分析判断即可．在同一个坐标系中，K的取值是相同的。
8．（2018八下·上蔡期中）如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，．∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为时，k的值是（　　）
A．2 B．3 C．5 D．7
【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】设OA=3a，则OB=4a，设直线AB的解析式是y=kx+b，则根据题意得：，解得：，则直线AB的解析式是y=﹣x+4a，
直线CD是∠AOB的平分线，则OD的解析式是y=x．根据题意得：，解得：则D的坐标是（，），
OA的中垂线的解析式是x=，则C的坐标是（，），则k=．∵以CD为边的正方形的面积为，∴2（﹣）2=，则a2=，
∴k=×=7．故选D．
【分析】设OA=3a，则OB=4a，利用待定系数法即可求得直线AB的解析式，直线CD的解析式是y=x，OA的中垂线的解析式是x=，解方程组即可求得C和D的坐标，根据以CD为边的正方形的面积为，即CD2=，据此即可列方程求得a2的值，则k即可求解．
9．（2023·湖州）已知在平面直角坐标系中，正比例函数y＝k1x（k1＞0）的图象与反比例函数（k2＞0）的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点A（t，p）和点B（t+2，q）在函数y＝k1x的图象上（t≠0且t≠-2），点C（t，m）和点D（t+2，n）在函数的图象上．当p-m与q-n的积为负数时，t的取值范围是（　　）
A．或 B．或
C．-3＜t＜-2或-1＜t＜0 D．-3＜t＜-2或0＜t＜1
【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵ 正比例函数y＝k1x（k1＞0）的图象与反比例函数（k2＞0）的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，
∴k1=k2，
设k1=k2=k（k＞0），则y=k1x=kx，，
∵ 点A（t，p）和点B（t+2，q）在函数y＝k1x的图象上（t≠0且t≠-2），
点C（t，m）和点D（t+2，n）在函数的图象上，
∴
∴，
∴
∴，
∵
∴
∴t（t-1）（t+2）（t+3）＜0，
∵p-m与q-n的积为负数，
当t＜-3时，t（t-1）（t+2）（t+3）＞0，
∴t＜-3不符合题意；
当-3＜t＜-2时，t（t-1）（t+2）（t+3）＜0，符合题意；
当-2＜t＜0时，t（t-1）（t+2）（t+3）＞0，不符合题意；
当0＜t＜1时，t（t-1）（t+2）（t+3）＜0，符合题意；
当t＞1时，t（t-1）（t+2）（t+3）＞0，不符合题意；
∴t的取值范围为：-3＜t＜-2或0＜t＜1.
故答案为：D.
【分析】利用已知可得到k1=k2，设k1=k2=k（k＞0），则y=k1x=kx，，将点A，B的坐标代入一次函数解析式，将点C，D的坐标代入反比例函数解析式，可得方程组，结合两个方程组可得到p-m和q-n；再表示出，据此可推出；然后根据p-m与q-n的积为负数，分段讨论：当t＜-3时；当-3＜t＜-2时；当-2＜t＜0时；当0＜t＜1时；当t＞1时；分别可确定出t（t-1）（t+2）（t+3）的符号，综上所述可得到t的取值范围.
10．（2023九上·天长期中）如图，直线与双曲线交于两点，轴于点，连接交轴于点。下列结论：①；②的面积为定值；③是的中点；④．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作于点E，
因为 A、B两点在双曲线的图象上，轴于点，轴于点E，
所以设A，B，则E（），C（），
因为A、B两点在直线y=kx（k>0）的图象上，
所以，，
所以，
所以，则，
所以，
所以，即，
因为OA>0，OB>0，
所以OA=OB，故结论 ① 对的；
根据上述证明得出，在中，
，
所以，BC=AE，
所以，
所以，
所以，即，
所以 的面积为定值 ，故结论 ② 对的；
由上述证明得出，OA=OB，即 O是的中点，
因为与点C，
所以BC//y轴，即BC//OD，
所以，
所以点D是AC的中点，故结论 ③ 对的；
因为于点E，
所以AE//OD，且D是AC的中点，
所以，
所以，且OE=，
所以，故结论 ④ 错的；
综上所述，正确的有 ①、②、③，共3个。
故选：C。
【分析】过点A作于点E，利用反比例函数图象上点坐标的特征，反比例函数与正比例函数图象交点的特征可得点A、B点坐标的关系，再利用“SAS”证出，可得BC=AE，再利用三角形的面积公式及等量代换求解，再利用平行线分线段成比例的性质逐项分析判断即可.
二、填空题
11．（2023·沈阳）若点和点都在反比例函数的图象上，则　 　．（用“”“”或“”填空）
【答案】＞
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵y=，
∴反比例函数的图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小.
∵-2<-1，
∴y1>y2.
故答案为：>.
【分析】由反比例函数的性质可得：其图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，据此进行比较.
12．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册1.3 反比例函数的应用 同步练习）近视眼镜的度数y度与镜片焦距x米呈反比例，其函数关系式为 如果近似眼镜镜片的焦距 米，那么近视眼镜的度数y为　 　．
【答案】400
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：把 代入 ，
，
故答案为：400
【分析】将x=0.3代入函数解析式，求出y的值，可解答。
13．（2015·金华）如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y= （x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（6，8），则点F的坐标是　 　．
【答案】（12， ）
【知识点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FE⊥x于点E，
∵点D的坐标为（6，8），
∴OD= =10，
∵四边形OBCD是菱形，
∴OB=OD=10，
∴点B的坐标为：（10，0），
∵AB=AD，即A是BD的中点，
∴点A的坐标为：（8，4），
∵点A在反比例函数y= 上，
∴k=xy=8×4=32，
∵OD∥BC，
∴∠DOM=∠FBE，
∴tan∠FBE=tan∠DOM= = = ，
设EF=4a，BE=3a，
则点F的坐标为：（10+3a，4a），
∵点F在反比例函数y= 上，
∴4a（10+3a）=32，
即3a2+10a﹣8=0，
解得：a1= ，a2=﹣4（舍去），
∴点F的坐标为：（12， ）．
故答案为：（12， ）．
【分析】首先过点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FE⊥x于点E，由点D的坐标为（6，8），可求得菱形OBCD的边长，又由点A是BD的中点，求得点A的坐标，利用待定系数法即可求得反比例函数y= （x＞0）的解析式，然后由tan∠FBE=tan∠DOM= = = ，可设EF=4a，BE=3a，则点F的坐标为：（10+3a，4a），即可得方程4a（10+3a）=32，继而求得a的值，则可求得答案．
14．如图，在平面直角坐标系中，□CODE的顶点C 在x轴的负半轴上，点D，E在第二象限，点E的纵坐标为2，反比例函数 的图象与OD 相交于点A(a，b).若点 B的坐标为 且点B 在∠ODE的边上，则 OB 的长.为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 点A(a，b) 在函数 的图象上，
∴A（a，），
∴B（，），
当点B 在DE上时，则 =2，解得a=，
∴B（，2），
∴OB==，
当点B 在DO上时，
设yOA=kx，把A的坐标代入得k=，即yOA=x，
把B（，）代入yOA=x中，
得·=，解得a=，
∴B（，），不合题意舍去，
∴ OB 的长为 .
故答案为：.
【分析】由点A(a，b) 在函数 的图象上，可得A（a，），B（，），分两种情况：当点B 在DE上时和点B 在DO上时，据此分别解答即可.
15．如图， OABC的顶点O 是坐标原点，点 A 在x 轴的正半轴上，点 B，C在第一象限，反比例函数 ，y=kx(k≠0)的图象分别经过点 C，B.若 OC=AC，则k的值为　 　.
【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点C作CF⊥OA于点F，连接OB，过点B作BD⊥x轴于点D，
∴∠CFO=∠BDA=90°
∵点C在反比例函数的图象上，
∴S△OCF=，
∵△ACO中，OC=CA，CF⊥OA，
∴OA=2OF，
∴S△OAC=2S△OCF=1，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，OC=AB，OC∥AB，
∴S△OAC=S△OAB=1，∠COF=∠BAD，
在△OCF与△ABD中，
∵∠COF=∠BAD，∠CFO=∠BDA=90°，OC=CA，
∴△OCF≌△ABD（AAS），
∴S△ABD=S△OCF=，
∴S△OBD=S△ABO+S△ABD==|k|，
∴k=±3，
∵图象经过第一象限，
∴k＞0，
∴k=3.
故答案为：3.
【分析】如图，过点C作CF⊥OA于点F，连接OB，过点B作BD⊥x轴于点D，由反比例函数k的几何意义可得S△OCF=，由等要三角形的三线合一及同高三角形面积关系得S△OAC=2S△OCF=1，由平行四边形的性质得BC∥OA，OC=AB，OC∥AB，进而根据同底等高三角形面积相等得S△OAC=S△OAB=1，由平行四边形的性质得∠COF=∠BAD，从而由AAS判断出△OCF≌△ABD，由全等三角形的性质得S△ABD=S△OCF=，进而根据反比例函数k的几何意义可得S△OBD=S△ABO+S△ABD==|k|，求解并结合图象所经过的象限可得k的值.
三、解答题
16．（2024九上·苍溪期末）已知反比例函数的图象位于第二、四象限．
（1）求k的取值范围；
（2）若点是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值的大小．
【答案】（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴，
∴；
（2）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴在每个象限内，y随x增大而增大，
∵点是该反比例函数图象上的两点，，
∴点A和点B都在第二象限，
∴．
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【分析】(1)首先根据函数图象的位置得出 ， 再解不等式即可得出k的取值范围；
（2）首先根据函数图象的位置，得出函数的性质： 在每个象限内，y随x增大而增大， 根据性质即可得出 ．
17．（2023九上·昌邑期中）已知反比例函数（为常数）．
（1）若函数图象经过点，求的值；
（2）若时，随的增大而减小，求的取值范围．
【答案】（1）2
（2）m>8
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】（1）将点A（-1，6）代入，
可得：m-8=-1×6，
解得：m=2，
故答案为：2；
（2）∵时，随的增大而减小，
∴m-8>0，
解得：m>8，
故答案为：m>8.
【分析】（1）将点A的坐标代入，可得m-8=-1×6，再求出m的值即可；
（2）利用反比例函数的图象与系数的关系可得m-8>0，再求出m的取值范围即可.
18．（2023九上·仙居期中）如图，直线与双曲线（k为常数，交于，两点，与轴、轴分别交于，两点，点的坐标为．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）结合图象直接写出当时，的取值范围．
【答案】（1）解：把代入直线，可得，
解得，
，
把代入双曲线为常数，(k≠0)，可得，
双曲线的解析式为；
（2）解：
得或，
，
由图象可知，当时，的取值范围或．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）把A(m，2)代入直线，求得点A(1，2)，再将其代入反比函数解析式即可求解；
（2）联立两函数解析式求解可得点D的坐标，进而找出直线在双曲线下方部分相应的自变量的取值范围即可.
四、实践探究题
19．背景：点A在反比例函数y=（k>0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形.如图1，点A在第一象限内，当AC=4时，小李测得CD=3.
探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系.请帮助小李解决下列问题.
（1）求k的值.
（2）设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”.如图2，小李画出了x>0时“Z函数”的图象.
①求这个“Z函数”的表达式.
②补画x<0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）.
③过点（3，2）作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标.
【答案】（1）解：，，
，
四边形是正方形，
，
轴，轴，
，
点是反比例函数的图象上的点，
.
（2）①点是反比例函数的图象上的点，
，
，
，
②如图，
性质：1、函数图象与x轴有2个交点；2、当x<0时，z随x的增大而增大.
③ i)当直线轴时，直线与Z函数图象只有一个交点，且交点横坐标为3；
ii)当直线l不平行y轴时，设直线解析式为，
把点代入解析式得，
，
直线l与Z函数图象只有一个交点，
只有一个解，
化简得，
当时，该方程为一元二次方程，
，
解得，，
当时，原方程可化为，解得，
当时，原方程可化为，解得；
当时，该方程为一元一次方程，则，解得，
综上所述，该交点横坐标为2或3或4或6.
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质
【解析】【分析】(1)先利用正方形的性质得到AB=AD=1，进而求得点A的坐标，再利用待定系数法解得k的值.
(2) ① 利用反比例函数图象上点的特征表示出点A坐标为，进而求得，然后表示出z关于x的函数表达式.
② 利用Z函数解析式求出当x=-4，-3，-2，-1，时的点坐标，再用光滑的曲线连接各点，观察图象可得图象与x轴有2个交点，当x<0时，z随x的增大而增大.
③ 当直线轴时，直线与Z函数图象只有一个交点，且交点横坐标为3；当直线l不平行y轴时，设直线解析式为，联立方程组可得，当时，该方程为一元二次方程，要是方程只有一个交点，则，解得k值后再代入原方程，进而求得x值；当时，该方程为一元一次方程，即可解得，综上所述，该交点横坐标为2或3或4或6.
20．（2023九上·光明月考）【综合实践】
如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，如图，即FA×L1＝FB×L2），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端L1＝1m，距右端L2＝0.4m，在杠杆左端悬挂重力为80N的物体A．
（1）若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为　 　N．
（2）为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，L2的长度随之变化．设重物B的质量为xN，L2的长度为ycm．则：
①y关于x的函数解析式是 ▲ ．
②完成下表：
x/N … 10 20 30 40 50 …
y/cm … 8 a 2 b …
③在直角坐标系中画出该函数的图象．
（3）在（2）的条件下，将函数图象向右平移4个单位长度，与原来的图象组成一个新的函数图象，记为L．若点A的坐标为（2，0），在L上存在点Q，使得S△OAQ＝9．请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．
【答案】（1）200
（2）解：①；
②由（2）①得，
填表如下：
x/N … 10 20 30 40 50 …
y/cm … 8 4 2 …
③函数图象如下所示：
（3）解：∵点A的坐标为（2，0），
∴OA＝2，
∵S△OAQ＝9，
∴，
∴yQ＝9，
在中，当y＝9时，
∴在函数上满足题意的Q的坐标为，
∵将函数图象向右平移4个单位长度，与原来的图象组成一个新的函数图象，记为L，
∴点，即也在L上，即满足题意的Q的坐标为；
综上所述，点Q的坐标为或．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）∵FA×L1＝FB×L2， ∴ Fb=LA×L1L2=200N，
故答案为：200.
（2）①∵FA×L1＝FB×L2， ∴ L2=FA×L1FB，即
故答案为：.
【分析】（1）根据公式"FA×L1＝FB×L2"进行计算即可；
（2）①根据公式"FA×L1＝FB×L2"即可得到；
②结合①中的函数解析式即可求出a和b的值；
③先描点，再用光滑的曲线将其连接起来；
（3）利用三角形的面积求出点Q的纵坐标，再根据反比例函数的性质和平移的性质即可求出点Q的坐标.
五、综合题
21．（2021八下·镇海期末）已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数 的图象交于点 和点 ，与 轴交于点 ，
（1）求 的值及点 的坐标；
（2）写出 时 的取值范围；
（3） 是 轴上一点，且满足 的面积等于 .求点 坐标.
【答案】（1）解： 一次函数 经过点 ，
，
，
点 在反比例函数 的图象上，
，
反比例函数为 ，
解 得 或 ，
的坐标为 ；
（2）解：观察图象可知： 时 的取值范围是 或 ；
（3）解：设点 的坐标为 ，
在 中，令 ，得 ，
点 的坐标为 ，
，
，
或 ，
点 的坐标为 或 .
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）把点A（2，m）代入y＝x＋1即可求得m的值，然后用待定系数法即可求得a的值，将解析式联立解方程组即可求得B的坐标；
（2）观察图象即可求解；
（3）设点P的坐标为（m，0），根据△PAB的面积是5可列出关于m的方程，解方程可求解．
22．（2024九上·贵阳期末）在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数（k＜0）的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于C点，过点A作AD⊥y轴，垂足为点D，OD＝3，，点B的坐标为（c，﹣2）．
（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象直接写出使ax+b＜成立的x的取值范围；
（3）形如x2﹣a＞0（a为常数，a＞0）的解集为：x＞或x＜﹣，过点M（6，0）作垂直于x轴的直线MN，直线y＝x+n与双曲线y＝（k＜0）交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线MN交于点R（x3，y3），若y1＜y2＜y3时，求n的取值范围．
【答案】（1）解：∵OD＝3，，
∴AD＝4，
∴点A的坐标为（﹣4，3），
把（﹣4，3）代入y＝，可得k＝﹣12，
∴反比例函数的解析式为：y＝﹣，
∵把B（c，﹣2）代入反比例函数y＝﹣中，可得c＝6，
∴点B的坐标为（6，﹣2），
将A（﹣4，3）和B（6，﹣2）代入y＝ax+b，可得，
解得，
∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+1；
（2）解：根据图象，可知使ax+b＜成立的x的取值范围是﹣4＜x＜0或x＞6；
（3）解：∵直线y＝x+n与双曲线y＝﹣有两个交点，
∴x+n＝﹣有两个实数解，
整理得x2+nx+12＝0，
∵Δ＝n2﹣4×12＞0，
∴n＞4或n＜﹣4，
当反比例函数图象与直线y＝x+n在第二象限相交于P、Q时，
∴y1＜y2＜y3时，n的范围为n＞4，
当反比例函数与直线y＝x+n在第四象限相交于P、Q时，
当x＝6时，y＝﹣＝﹣2，则点（6，﹣2）在点R（x3，y3）下方，
∴6+n＞﹣2，
∴n＞﹣8，
∴y1＜y2＜y3时，n的范围为﹣﹣8＜n＜﹣4，
综上所述，n的范围为﹣8＜n＜﹣4或n＞4．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据函数图象求x的取值范围即可；
（3）先求出 x+n＝﹣有两个实数解， 再求出 n＞4或n＜﹣4， 最后求解即可。
23．（2024九上·磐石期末）如图，抛物线与双曲线相交于点A、B.已知点B的坐标为，点A在第一象限内，且点A的横坐标为1.过点A作直线轴，交抛物线于另一点C.
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D，使的面积等于的面积，若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由.
【答案】（1）解：把点代入，
得，解得，
即双曲线的解析式为：.
当时，，.
把A、B点的坐标代入，得，解得.
即抛物线的解析式为：.
（2）解：轴，点C的纵坐标，
代入，得，
解得，（舍去），
点的坐标为，.
.
（3）解：存在，符合条件的点D的坐标为或或.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（3）存在，符合条件的点D的坐标为或或．
理由如下：
设点D纵坐标为n，
的面积等于的面积，
，
解得或，
当时，，解得，，
点D坐标为或，
当时，，解得，，
点D坐标为，
符合条件的点D的坐标为或或．
【分析】（1）先把B点的坐标代入双曲线表达式求得双曲线的解析式，再求得点A的坐标，最后将A、B两点的坐标代入抛物线的关系式，求得抛物线的解析式；
（2）先确定点C的纵坐标为4，代入抛物线的解析式求点C的横坐标，利用三角形面积公式云计算即可；
（3）设点D纵坐标为n，根据面积关系得出，求出n的值，把n的值分别代入抛物线的解析式，即可求得答案．
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