2023-2024学年初中数学人教版九年级下学期 第二十七章 相似 单元测试 A卷
一、选择题
1．（2023九上·安吉月考）如果，那么（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·揭阳期末）以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，成比例的是（ ）
A．1，2，3，4 B．2，4，8，16
C．2，12，12，4 D．2，10，15，5
3．（2023·重庆）如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（ ）
A．4 B．9 C．12 D．
4．（2024九上·双阳期末）如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知AB=2，BC=4，EF=3，则DE的长为 （ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
5．（2024九上·双流期末）下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个平行四边形 B．两个正方形
C．两个菱形 D．两个矩形
6．（2024九上·贵阳期末）如图，把△AOB缩小后得到△COD，则△COD与△AOB的相似比为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·巴彦期末）如图，是某商店售卖的花架简图，其中，，，，则长为（ ）．
A． B． C．50 D．30
8．（2023九上·仁寿月考）如图，在中，点D在BC边上，连接AD，点C在线段AD上，，且交AD于点E，，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023九上·福州月考）如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC＝，则△ABC移动的距离是（ ）
A． B． C． D．﹣
10．（2024九下·深圳开学考）如图，在中，平分，按如下步骤作图：
第一步，分别以点、为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，交于两点、；
第二步，连接分别交、于点、；
第三步，连接、．
若，，，则的长是
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
11．（2019九上·罗湖期中）已知 ，若b+d≠0，则 ＝ ．
12．（2024九下·惠东开学考）如图，乐器上的一根弦的长度为，两个端点、固定在乐器板面上，支撑点是弦靠近点的黄金分割点，则线段的长度为 .（结果保留根号，参考数据：黄金分割数：）.
13．（2022·临沭模拟）如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是3，则的面积是 ．
14．（2024·深圳模拟） 如图， 4 个小正方形拼成 “ ” 型模具， 其中三个顶点在正坐标轴上， 顶点 在反比例函数 的图象上， 若 ， 则 .
15．（2020九上·台儿庄期末）如图，在 中， ， ， ， ，垂足为 ， 为 的中点， 与 交于点 ，则 的长为 ．
三、解答题
16．（2024九上·揭阳期末）如图，在中，点D、E分别在边AC、AB上，.
求证：.
17．（2024九上·贵阳期末）如图，在△ABC中，BM平分∠ABC，MB＝MC．
（1）求证：△AMB∽△ABC；
（2）若AM＝3，MB＝6，求AB的长．
18．（2023九上·光明月考）如图1，滹沱河是山西地区一条途经了舟山和太行山的知名河流，这条河流的流域面积达到了2.73万平方公里，其发源地处于山西省繁峙县泰戏山桥儿沟村，这条河流早在《山海经》中就有出现过，被叫做为虔池．为了估算河流的宽度，我们在河的对岸选定一个目标P，在近岸取点A和C，使点P、A、C共线且与河垂直，接着在过点C且与直线PC垂直的直线上选择适当的点D，确定PD与过点A且与PC垂直的直线交点B，测得AC＝50m，CD＝120m，AB＝80m，请根据这些数据求河的宽度PA．
四、实践探究题
19．（2024九上·双阳期末）【教材呈现】华师版九年级上册63页例1．
如图，在△ABC中，点D是边AB的三等分点，DE∥BC，DE=5，求BC的长．
【应用拓展】
（1）如图①，在△ABC中，点D是边AB的中点，点F为BC延长线上一点，连接DF交AC于点E，若DE：EF=3：1，DG∥AC，EC=2，则AC的长为 ．
（2）如图②，在△ABC中，点D为边BA延长线上一点，点E为BC上一点，连接DE交AC于点F，若点A为DB的中点，CE：EB=1：2，△DBE的面积为4，则△CFE（阴影部分）面积为 ．
20．（2024九下·福州开学考）根据以下素材，探索解决问题．
测量旗杆的高度
素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如图1，光线，DN，BM分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子．
素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图2，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得．
素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图3，点G，P，C在同一直线上，标杆，测得，．（说明：小陈同学、旗杆CD与标杆PQ均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离）
（1）任务1 利用素材1证明△ABM△CDN；
（2）任务2 在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度（旗杆无法直接测量），才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度；
（3）任务3 利用素材3求出旗杆的高度．
五、综合题
21．（2017·青浦模拟）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点E，点F在边AB上，连接CF交线段BE于点G，CG2=GE GD．
（1）求证：∠ACF=∠ABD；
（2）连接EF，求证：EF CG=EG CB．
22．（2023九上·瑶海月考）如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在CD边的延长线上，且满足∠MAN＝90°，连接MN、AC，MN与边AD交于点E．
（1）求证：AM＝AN；
（2）如果∠CAD＝2∠NAD，求证：AM2＝AC AE；
（3）MN和AC相交于O点，若BM＝1，AB＝3，试猜想线段OM，ON的数量关系并证明．
23．（2019·顺义模拟）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E为 的中点．
（1）求证：∠ACD＝∠DEC；
（2）延长DE、CB交于点P，若PB＝BO，DE＝2，求PE的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵
∴设a=3k(k≠0)，则b=2k
∴
故答案为：D.
【分析】根据，设a=3k(k≠0)，则b=2k，则，是常用的设“k”法的应用.本题作为选择题，可直接设a为3个单位，则b为2个单位，直接代入所求代数式进行计算.
2．【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、∵1×4≠2×3，∴这四条线段不成比例，故不符合题意；
B、∵4×8=2×16，∴这四条线段成比例，故符合题意；
C、∵2×12≠12×4，∴这四条线段不成比例，故不符合题意；
D、∵2×15≠5×10，∴这四条线段不成比例，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】将四条线段中最小的与最大的积是否等于中间两个的乘积，若相等即成比例.
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵的长度为6，
∴DE=9，
故答案为：B
【分析】根据相似三角形的性质即可求解。
4．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：，
，
，，，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
5．【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】A、∵两个平行四边形不一定相似，∴A不符合题意；
B、∵两个正方形一定相似，∴B符合题意；
C、∵两个菱形不一定相似，∴C不符合题意；
D、∵两个矩形不一定相似，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用相似多边形的判定方法分析求解即可.
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：把△AOB缩小后得到△COD，则△COD与△AOB的相似比为，
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的性质，结合图形判断求解即可。
7．【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴，
∵DE=24，EF=40，BC=50，
∴，
解得；AB=30cm.
故答案为：D.
【分析】根据平行线分线段成比例定理“两条直线被一组平行线所截，所截的对应线段成比例”可得比例式，从而代值计算可求解.
8．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵GE // BD、GF//AC，
∴
∴
故答案为：C.
【分析】由 GE//BD、GF//AC利用平行线分线段成比例，可得出进而可得出，此题得解.
9．【答案】D
【知识点】三角形的面积；平移的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设BC边上的高为x，EC边上的高为y；
∵△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置
∴DE||AB
∴
∵重叠部分的面积是△ABC面积的一半
∴
∴EC==
∴BE=
故答案为：D.
【分析】根据平移的性质，可得DE||AB；
根据三角形相似的判定和性质，可得；
根据面积之比，列等式，可得EC的值；
根据等量关系，列代数式，即可求得平移的距离.
10．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图过程得EF垂直平分AD，
∴AE=DE，AF=DF，
∴∠FAD=∠FDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠EAD=∠FDA，
∴AE∥DF，
同理DE∥AF，
∴四边形AEDF是菱形，
∴AE=DE=DF=AF，
∵ED∥AF，
∴△BED∽△BAC，
∴，
∵BD=6，CD=3，CF=2，
∴，
解得DE=4，
∴AE=4.
故答案为：B.
【分析】由作图过程得EF垂直平分AD，根据线段垂直平分线的性质得AE=DE，AF=DF，进而根据等边对等角及角平分线的定义可推出∠EAD=∠FDA，由内错角相等，两直线平行得AE∥DF，同理DE∥AF，然后根据两组对边分别平行，且一组邻边相等得四边形是菱形得四边形AEDF是菱形，然后又菱形的四边相等得AE=DE=DF=AF，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△BED∽△BAC，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出ED的长，从而得出答案.
11．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】设a=2m，c=2n，
∵ ，
∴b=3m，d=3n，
∴ = = ，
故答案为：
【分析】分别设a=2m，c=2n，根据 可用m、n表示出b、d，代入所给代数式即可得答案.
12．【答案】（）
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴，
设AC=x，则BC=AB-AC=100-x，
∴，
∴x2+100x=1002，
解得，(舍)，
∴AC的长为：（）cm.
故答案为：（）.
【分析】如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，据此列出方程，求解即可.
13．【答案】12
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵点与点是对应点，
∴，
∴，
∴，
∵的面积是，
∴的面积是12，
故答案为：12．
【分析】根据位似图象的性质可得，再结合的面积是，求出的面积是12即可。
14．【答案】24
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥DE于点F，连接AD，
∵∠ABC=∠BAF=∠AOF=90°
∴∠AFO+∠OAF=90°，∠OAF+∠CAB=90°，
∴∠AFO=∠CAB，
∴△ABC∽△FOA
∴即
解之：；
同理可知△AOF∽△FED，
∴即
解之：，
∴，
∴点D，
∵点D在反比例函数图象上，
∴
故答案为：24.
【分析】过点D作DE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥DE于点F，连接AD，利用余角的性质可证得∠AFO=∠CAB，可推出△ABC∽△FOA，利用相似三角形的对应边成比例可求出AO，OF的长；同理可知△AOF∽△FED，利用相似三角形的性质可求出EF，DE的长，根据OE=OF+EF，代入计算求出OE的长，可得到点D的坐标，将点D的坐标代入函数解析式可求出k的值.
15．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】如解图，过点 作 于 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，点 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ∽
∴
∴ ，
设 为 ，则 ，由勾股定理得 ，
又∵ ，
∴ ，
则 ，
∵ 且 ，
∴ ∽ ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
∴ ．
∵
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】过点 作 于 ，根据 ∽ 可得出AH，FH的关系式，然后根据 ∽ ，可得 ，构建方程即可求解即可。
16．【答案】∵AB＝2AD，AC＝2AE，
，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可.
17．【答案】（1）证明：∵MB＝MC，
∴∠MBC＝∠MCB，
∵BM平分∠ABC，
∴∠MBC＝∠ABM，
∴∠ABM＝∠MCB，
又∵∠A＝∠A，
∴△AMB∽△ABC；
（2）解：∵AM＝3，MB＝6＝MC，
∴AC＝9，
∵△AMB∽△ABC，
∴，
∴AB2＝27，
∴AB＝3（负值舍去），
∴AB的长为3．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出 ∠MBC＝∠MCB， 再根据角平分线求出 ∠MBC＝∠ABM， 最后利用相似三角形的判定方法证明求解即可；
（2）先求出 AC＝9， 再根据相似三角形的性质求出 ， 最后计算求解即可。
18．【答案】解：由题意得，AB⊥PC，CD⊥PC，AC＝50m，CD＝120m，AB＝80m，
∴AB∥CD，
∴∠PAB＝∠PCD，∠PBA＝∠PDC，
∴△PAB∽△PCD，
∴，即，
∴，
解得PA＝100，
答：PA的长为100m．
【知识点】平行线的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】根据平行线的判定定理，可得AB∥CD；
根据三角形相似的判定定理和性质，可得△PAB∽△PCD，两个三角形对应边之比相等；
根据等式的性质，解一元一次方程即可求出河的宽度.
19．【答案】（1）16
（2）
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：[教材呈现]
点是边的三等分点，
，
，
，
，
，
；
[应用拓展]
（1），
，
，
，
，即，
解得；
故答案为：16．
（2）过点作，
点为的中点，
，
，
，
的面积为4，
的面积为1，
的面积2，
，即，
的面积为．
故答案为：．
【分析】[教材呈现]利用可得，再利用相似比即可求解．
[应用拓展]（1）由得出，利用可得，利用相似比即可求解．
（2）过点作，根据平行线分线段成比例得出，结合题意可证，根据的面积为4求出的面积为1，的面积为2，再利用面积和相似比的关系即可求解．
20．【答案】（1）证明：由题意知：，，
即，
∵，
∴，
∴．
（2）解：小陈同学还要测量图中线段DE的长度，记为a．
由题意知：，
∵，，
∴，
∴．
∴，
∵，，，
∴．
（3）解：过点G作于点H，交PQ于点F．
由题意知：，，，
即，
，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）由题意得到：，然后根据平行线的性质得到：，进而即可求证；
（2）把线段DE的长度记为a，由题意得到：，进而证明，得到：，进而可得到CD的长；
（3）过点G作于点H，交PQ于点F，由题意得到：，，，进而求出PF的长度，然后根据垂直的定义和平行线的性质即可证明，得到：，进而即可求出CD的长.
21．【答案】（1）证明：∵CG2=GE GD，
∴ ．
又∵∠CGD=∠EGC，
∴△GCD∽△GEC．
∴∠GDC=∠GCE．
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC．
∴∠ACF=∠ABD．
（2）证明：∵∠ABD=∠ACF，∠BGF=∠CGE，
∴△BGF∽△CGE．
∴ ．
又∵∠FGE=∠BGC，
∴△FGE∽△BGC．
∴ ．
∴FE CG=EG CB．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据CG2=GE GD得出 ，再由∠CGD=∠EGC可知△GCD∽△GEC，∠GDC=∠GCE．根据AB∥CD得出∠ABD=∠BDC，故可得出结论；（2）先根据∠ABD=∠ACF，∠BGF=∠CGE得出△BGF∽△CGE，故 ．再由∠FGE=∠BGC得出△FGE∽△BGC，进而可得出结论．
22．【答案】（1）证明∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠CAD＝45°＝∠ACB，∠BAD＝90°＝∠CDA＝∠B，
∴∠BAM+∠MAD＝90°，
∵∠MAN＝90°，
∴∠MAD+∠DAN＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN，
∵AD＝AB，∠ABC＝∠ADN＝90°，
∴△ABM≌△ADN（ASA）
∴AM＝AN；
（2）∵AM＝AN，∠MAN＝90°
∴∠MNA＝45°，
∵∠CAD＝2∠NAD＝45°，
∴∠NAD＝22.5°
∴∠CAM＝∠MAN﹣∠CAD﹣∠NAD＝22.5°
∴∠CAM＝∠NAD，∠ACB＝∠MNA＝45°，
∴△AMC∽△AEN，
∴，
∴AM AN＝AC AE，
∵AN＝AM，
∴AM2＝AC AE；
（3）ON＝2OM，理由：如图，
在Rt△ABM中，AM＝1，AB＝3，
根据勾股定理得，BM＝＝，
过点B作BF⊥MN于F，
∴∠OFB＝∠A＝90°，
由（1）知，AM＝AN，
∵∠MBN＝90°，
∴FB＝NF＝MF＝＝，∠MBF＝45°，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABC＝45°＝∠MBF，
∴∠ABM＝∠FBO，
∴△ABM∽△FBO，
∴，
∴，
∴FO＝，
∴OM＝MF﹣FO＝，ON＝NF+FO＝，
∴ON＝2OM．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）；四边形的综合
【解析】【分析】（1）先利用正方形的性质得到 AB＝AD，∠CAD＝45°＝∠ACB，∠BAD＝90°＝∠CDA＝∠B， 结合题意进而得到 BAM＝∠DAN， 利用ASA即可证明 △ABM≌△ADN，利用三角形全等的性质即可求解；
（2）利用已有的条件证明△AMC∽△AEN， 利用相似三角形的性质得到 ， 结合 AN＝AM， 从而求解；
（3）先利用勾股定理求得 BM的值，过点B作BF⊥MN于F， 根据垂直的定义结合（1）可得 FB＝NF＝MF＝＝，∠MBF＝45°， 再利用正方形的性质可证明得到 ∠ABM＝∠FBO， 从而证明 △ABM∽△FBO， 利用相似三角形的性质求得FO的值，再根据线段的和差关系即可求证.
23．【答案】（1）证明：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵∠DEC＝∠B，
∴∠ACD＝∠DEC．
（2）证明：连结OE
∵E为BD弧的中点．
∴∠DCE＝∠BCE，
∵OC＝OE，
∴∠BCE＝∠OEC，
∴∠DCE＝∠OEC，
∴OE∥CD，
∴△POE∽△PCD，
∴ ，
∵PB＝BO，DE＝2
∴PB＝BO＝OC
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴PE＝4．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】 本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等角的余角相等等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（1）想办法证明∠ACD＝∠B，∠DEC＝∠B即可解决问题
（2）连结OE，利用相似三角形的性质解决问题即可．
1 / 12023-2024学年初中数学人教版九年级下学期 第二十七章 相似 单元测试 A卷
一、选择题
1．（2023九上·安吉月考）如果，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵
∴设a=3k(k≠0)，则b=2k
∴
故答案为：D.
【分析】根据，设a=3k(k≠0)，则b=2k，则，是常用的设“k”法的应用.本题作为选择题，可直接设a为3个单位，则b为2个单位，直接代入所求代数式进行计算.
2．（2024九上·揭阳期末）以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，成比例的是（ ）
A．1，2，3，4 B．2，4，8，16
C．2，12，12，4 D．2，10，15，5
【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、∵1×4≠2×3，∴这四条线段不成比例，故不符合题意；
B、∵4×8=2×16，∴这四条线段成比例，故符合题意；
C、∵2×12≠12×4，∴这四条线段不成比例，故不符合题意；
D、∵2×15≠5×10，∴这四条线段不成比例，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】将四条线段中最小的与最大的积是否等于中间两个的乘积，若相等即成比例.
3．（2023·重庆）如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（ ）
A．4 B．9 C．12 D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵的长度为6，
∴DE=9，
故答案为：B
【分析】根据相似三角形的性质即可求解。
4．（2024九上·双阳期末）如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知AB=2，BC=4，EF=3，则DE的长为 （ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：，
，
，，，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
5．（2024九上·双流期末）下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个平行四边形 B．两个正方形
C．两个菱形 D．两个矩形
【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】A、∵两个平行四边形不一定相似，∴A不符合题意；
B、∵两个正方形一定相似，∴B符合题意；
C、∵两个菱形不一定相似，∴C不符合题意；
D、∵两个矩形不一定相似，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用相似多边形的判定方法分析求解即可.
6．（2024九上·贵阳期末）如图，把△AOB缩小后得到△COD，则△COD与△AOB的相似比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：把△AOB缩小后得到△COD，则△COD与△AOB的相似比为，
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的性质，结合图形判断求解即可。
7．（2024九上·巴彦期末）如图，是某商店售卖的花架简图，其中，，，，则长为（ ）．
A． B． C．50 D．30
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴，
∵DE=24，EF=40，BC=50，
∴，
解得；AB=30cm.
故答案为：D.
【分析】根据平行线分线段成比例定理“两条直线被一组平行线所截，所截的对应线段成比例”可得比例式，从而代值计算可求解.
8．（2023九上·仁寿月考）如图，在中，点D在BC边上，连接AD，点C在线段AD上，，且交AD于点E，，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵GE // BD、GF//AC，
∴
∴
故答案为：C.
【分析】由 GE//BD、GF//AC利用平行线分线段成比例，可得出进而可得出，此题得解.
9．（2023九上·福州月考）如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC＝，则△ABC移动的距离是（ ）
A． B． C． D．﹣
【答案】D
【知识点】三角形的面积；平移的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设BC边上的高为x，EC边上的高为y；
∵△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置
∴DE||AB
∴
∵重叠部分的面积是△ABC面积的一半
∴
∴EC==
∴BE=
故答案为：D.
【分析】根据平移的性质，可得DE||AB；
根据三角形相似的判定和性质，可得；
根据面积之比，列等式，可得EC的值；
根据等量关系，列代数式，即可求得平移的距离.
10．（2024九下·深圳开学考）如图，在中，平分，按如下步骤作图：
第一步，分别以点、为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，交于两点、；
第二步，连接分别交、于点、；
第三步，连接、．
若，，，则的长是
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图过程得EF垂直平分AD，
∴AE=DE，AF=DF，
∴∠FAD=∠FDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠EAD=∠FDA，
∴AE∥DF，
同理DE∥AF，
∴四边形AEDF是菱形，
∴AE=DE=DF=AF，
∵ED∥AF，
∴△BED∽△BAC，
∴，
∵BD=6，CD=3，CF=2，
∴，
解得DE=4，
∴AE=4.
故答案为：B.
【分析】由作图过程得EF垂直平分AD，根据线段垂直平分线的性质得AE=DE，AF=DF，进而根据等边对等角及角平分线的定义可推出∠EAD=∠FDA，由内错角相等，两直线平行得AE∥DF，同理DE∥AF，然后根据两组对边分别平行，且一组邻边相等得四边形是菱形得四边形AEDF是菱形，然后又菱形的四边相等得AE=DE=DF=AF，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△BED∽△BAC，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出ED的长，从而得出答案.
二、填空题
11．（2019九上·罗湖期中）已知 ，若b+d≠0，则 ＝ ．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】设a=2m，c=2n，
∵ ，
∴b=3m，d=3n，
∴ = = ，
故答案为：
【分析】分别设a=2m，c=2n，根据 可用m、n表示出b、d，代入所给代数式即可得答案.
12．（2024九下·惠东开学考）如图，乐器上的一根弦的长度为，两个端点、固定在乐器板面上，支撑点是弦靠近点的黄金分割点，则线段的长度为 .（结果保留根号，参考数据：黄金分割数：）.
【答案】（）
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴，
设AC=x，则BC=AB-AC=100-x，
∴，
∴x2+100x=1002，
解得，(舍)，
∴AC的长为：（）cm.
故答案为：（）.
【分析】如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，据此列出方程，求解即可.
13．（2022·临沭模拟）如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是3，则的面积是 ．
【答案】12
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵点与点是对应点，
∴，
∴，
∴，
∵的面积是，
∴的面积是12，
故答案为：12．
【分析】根据位似图象的性质可得，再结合的面积是，求出的面积是12即可。
14．（2024·深圳模拟） 如图， 4 个小正方形拼成 “ ” 型模具， 其中三个顶点在正坐标轴上， 顶点 在反比例函数 的图象上， 若 ， 则 .
【答案】24
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥DE于点F，连接AD，
∵∠ABC=∠BAF=∠AOF=90°
∴∠AFO+∠OAF=90°，∠OAF+∠CAB=90°，
∴∠AFO=∠CAB，
∴△ABC∽△FOA
∴即
解之：；
同理可知△AOF∽△FED，
∴即
解之：，
∴，
∴点D，
∵点D在反比例函数图象上，
∴
故答案为：24.
【分析】过点D作DE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥DE于点F，连接AD，利用余角的性质可证得∠AFO=∠CAB，可推出△ABC∽△FOA，利用相似三角形的对应边成比例可求出AO，OF的长；同理可知△AOF∽△FED，利用相似三角形的性质可求出EF，DE的长，根据OE=OF+EF，代入计算求出OE的长，可得到点D的坐标，将点D的坐标代入函数解析式可求出k的值.
15．（2020九上·台儿庄期末）如图，在 中， ， ， ， ，垂足为 ， 为 的中点， 与 交于点 ，则 的长为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】如解图，过点 作 于 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，点 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ∽
∴
∴ ，
设 为 ，则 ，由勾股定理得 ，
又∵ ，
∴ ，
则 ，
∵ 且 ，
∴ ∽ ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
∴ ．
∵
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】过点 作 于 ，根据 ∽ 可得出AH，FH的关系式，然后根据 ∽ ，可得 ，构建方程即可求解即可。
三、解答题
16．（2024九上·揭阳期末）如图，在中，点D、E分别在边AC、AB上，.
求证：.
【答案】∵AB＝2AD，AC＝2AE，
，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可.
17．（2024九上·贵阳期末）如图，在△ABC中，BM平分∠ABC，MB＝MC．
（1）求证：△AMB∽△ABC；
（2）若AM＝3，MB＝6，求AB的长．
【答案】（1）证明：∵MB＝MC，
∴∠MBC＝∠MCB，
∵BM平分∠ABC，
∴∠MBC＝∠ABM，
∴∠ABM＝∠MCB，
又∵∠A＝∠A，
∴△AMB∽△ABC；
（2）解：∵AM＝3，MB＝6＝MC，
∴AC＝9，
∵△AMB∽△ABC，
∴，
∴AB2＝27，
∴AB＝3（负值舍去），
∴AB的长为3．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出 ∠MBC＝∠MCB， 再根据角平分线求出 ∠MBC＝∠ABM， 最后利用相似三角形的判定方法证明求解即可；
（2）先求出 AC＝9， 再根据相似三角形的性质求出 ， 最后计算求解即可。
18．（2023九上·光明月考）如图1，滹沱河是山西地区一条途经了舟山和太行山的知名河流，这条河流的流域面积达到了2.73万平方公里，其发源地处于山西省繁峙县泰戏山桥儿沟村，这条河流早在《山海经》中就有出现过，被叫做为虔池．为了估算河流的宽度，我们在河的对岸选定一个目标P，在近岸取点A和C，使点P、A、C共线且与河垂直，接着在过点C且与直线PC垂直的直线上选择适当的点D，确定PD与过点A且与PC垂直的直线交点B，测得AC＝50m，CD＝120m，AB＝80m，请根据这些数据求河的宽度PA．
【答案】解：由题意得，AB⊥PC，CD⊥PC，AC＝50m，CD＝120m，AB＝80m，
∴AB∥CD，
∴∠PAB＝∠PCD，∠PBA＝∠PDC，
∴△PAB∽△PCD，
∴，即，
∴，
解得PA＝100，
答：PA的长为100m．
【知识点】平行线的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】根据平行线的判定定理，可得AB∥CD；
根据三角形相似的判定定理和性质，可得△PAB∽△PCD，两个三角形对应边之比相等；
根据等式的性质，解一元一次方程即可求出河的宽度.
四、实践探究题
19．（2024九上·双阳期末）【教材呈现】华师版九年级上册63页例1．
如图，在△ABC中，点D是边AB的三等分点，DE∥BC，DE=5，求BC的长．
【应用拓展】
（1）如图①，在△ABC中，点D是边AB的中点，点F为BC延长线上一点，连接DF交AC于点E，若DE：EF=3：1，DG∥AC，EC=2，则AC的长为 ．
（2）如图②，在△ABC中，点D为边BA延长线上一点，点E为BC上一点，连接DE交AC于点F，若点A为DB的中点，CE：EB=1：2，△DBE的面积为4，则△CFE（阴影部分）面积为 ．
【答案】（1）16
（2）
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：[教材呈现]
点是边的三等分点，
，
，
，
，
，
；
[应用拓展]
（1），
，
，
，
，即，
解得；
故答案为：16．
（2）过点作，
点为的中点，
，
，
，
的面积为4，
的面积为1，
的面积2，
，即，
的面积为．
故答案为：．
【分析】[教材呈现]利用可得，再利用相似比即可求解．
[应用拓展]（1）由得出，利用可得，利用相似比即可求解．
（2）过点作，根据平行线分线段成比例得出，结合题意可证，根据的面积为4求出的面积为1，的面积为2，再利用面积和相似比的关系即可求解．
20．（2024九下·福州开学考）根据以下素材，探索解决问题．
测量旗杆的高度
素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如图1，光线，DN，BM分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子．
素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图2，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得．
素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图3，点G，P，C在同一直线上，标杆，测得，．（说明：小陈同学、旗杆CD与标杆PQ均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离）
（1）任务1 利用素材1证明△ABM△CDN；
（2）任务2 在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度（旗杆无法直接测量），才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度；
（3）任务3 利用素材3求出旗杆的高度．
【答案】（1）证明：由题意知：，，
即，
∵，
∴，
∴．
（2）解：小陈同学还要测量图中线段DE的长度，记为a．
由题意知：，
∵，，
∴，
∴．
∴，
∵，，，
∴．
（3）解：过点G作于点H，交PQ于点F．
由题意知：，，，
即，
，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）由题意得到：，然后根据平行线的性质得到：，进而即可求证；
（2）把线段DE的长度记为a，由题意得到：，进而证明，得到：，进而可得到CD的长；
（3）过点G作于点H，交PQ于点F，由题意得到：，，，进而求出PF的长度，然后根据垂直的定义和平行线的性质即可证明，得到：，进而即可求出CD的长.
五、综合题
21．（2017·青浦模拟）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点E，点F在边AB上，连接CF交线段BE于点G，CG2=GE GD．
（1）求证：∠ACF=∠ABD；
（2）连接EF，求证：EF CG=EG CB．
【答案】（1）证明：∵CG2=GE GD，
∴ ．
又∵∠CGD=∠EGC，
∴△GCD∽△GEC．
∴∠GDC=∠GCE．
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC．
∴∠ACF=∠ABD．
（2）证明：∵∠ABD=∠ACF，∠BGF=∠CGE，
∴△BGF∽△CGE．
∴ ．
又∵∠FGE=∠BGC，
∴△FGE∽△BGC．
∴ ．
∴FE CG=EG CB．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据CG2=GE GD得出 ，再由∠CGD=∠EGC可知△GCD∽△GEC，∠GDC=∠GCE．根据AB∥CD得出∠ABD=∠BDC，故可得出结论；（2）先根据∠ABD=∠ACF，∠BGF=∠CGE得出△BGF∽△CGE，故 ．再由∠FGE=∠BGC得出△FGE∽△BGC，进而可得出结论．
22．（2023九上·瑶海月考）如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在CD边的延长线上，且满足∠MAN＝90°，连接MN、AC，MN与边AD交于点E．
（1）求证：AM＝AN；
（2）如果∠CAD＝2∠NAD，求证：AM2＝AC AE；
（3）MN和AC相交于O点，若BM＝1，AB＝3，试猜想线段OM，ON的数量关系并证明．
【答案】（1）证明∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠CAD＝45°＝∠ACB，∠BAD＝90°＝∠CDA＝∠B，
∴∠BAM+∠MAD＝90°，
∵∠MAN＝90°，
∴∠MAD+∠DAN＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN，
∵AD＝AB，∠ABC＝∠ADN＝90°，
∴△ABM≌△ADN（ASA）
∴AM＝AN；
（2）∵AM＝AN，∠MAN＝90°
∴∠MNA＝45°，
∵∠CAD＝2∠NAD＝45°，
∴∠NAD＝22.5°
∴∠CAM＝∠MAN﹣∠CAD﹣∠NAD＝22.5°
∴∠CAM＝∠NAD，∠ACB＝∠MNA＝45°，
∴△AMC∽△AEN，
∴，
∴AM AN＝AC AE，
∵AN＝AM，
∴AM2＝AC AE；
（3）ON＝2OM，理由：如图，
在Rt△ABM中，AM＝1，AB＝3，
根据勾股定理得，BM＝＝，
过点B作BF⊥MN于F，
∴∠OFB＝∠A＝90°，
由（1）知，AM＝AN，
∵∠MBN＝90°，
∴FB＝NF＝MF＝＝，∠MBF＝45°，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABC＝45°＝∠MBF，
∴∠ABM＝∠FBO，
∴△ABM∽△FBO，
∴，
∴，
∴FO＝，
∴OM＝MF﹣FO＝，ON＝NF+FO＝，
∴ON＝2OM．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）；四边形的综合
【解析】【分析】（1）先利用正方形的性质得到 AB＝AD，∠CAD＝45°＝∠ACB，∠BAD＝90°＝∠CDA＝∠B， 结合题意进而得到 BAM＝∠DAN， 利用ASA即可证明 △ABM≌△ADN，利用三角形全等的性质即可求解；
（2）利用已有的条件证明△AMC∽△AEN， 利用相似三角形的性质得到 ， 结合 AN＝AM， 从而求解；
（3）先利用勾股定理求得 BM的值，过点B作BF⊥MN于F， 根据垂直的定义结合（1）可得 FB＝NF＝MF＝＝，∠MBF＝45°， 再利用正方形的性质可证明得到 ∠ABM＝∠FBO， 从而证明 △ABM∽△FBO， 利用相似三角形的性质求得FO的值，再根据线段的和差关系即可求证.
23．（2019·顺义模拟）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E为 的中点．
（1）求证：∠ACD＝∠DEC；
（2）延长DE、CB交于点P，若PB＝BO，DE＝2，求PE的长．
【答案】（1）证明：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵∠DEC＝∠B，
∴∠ACD＝∠DEC．
（2）证明：连结OE
∵E为BD弧的中点．
∴∠DCE＝∠BCE，
∵OC＝OE，
∴∠BCE＝∠OEC，
∴∠DCE＝∠OEC，
∴OE∥CD，
∴△POE∽△PCD，
∴ ，
∵PB＝BO，DE＝2
∴PB＝BO＝OC
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴PE＝4．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】 本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等角的余角相等等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（1）想办法证明∠ACD＝∠B，∠DEC＝∠B即可解决问题
（2）连结OE，利用相似三角形的性质解决问题即可．
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