2023-2024学年初中数学人教版九年级下学期 第二十七章 相似 单元测试 B卷
一、选择题
1．若=，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2024九下·深圳开学考）如图，和△是以点为位似中心的位似三角形，若为的中点，，则的面积为
A．15 B．12 C．9 D．6
3．（2024九下·福田开学考）如图，将△ABC的AB边与刻度尺的边缘重合，点A，D，B分别对应刻度尺上的整数刻度．已知，，，下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·深圳模拟）如图，安装路灯AB的路面CD比种植树木的地面PQ高CP=1.2 m，在路灯的照射下，路基CP留在地面上的影长EP为0.4 m，通过测量知道BC的距离为1.5 m，则路灯AB的高度是（ ）
A．3 m B．3.6 m C．4.5 m D．6 m
5．（2024·深圳模拟） 如图， 已知 ， 则 CE的长为 （ ）
A． B． C．6 D．
6．（2023八上·花垣期中） 下列说法中正确的是（ ）
A．两个面积相等的三角形是全等三角形
B．三个对应角都相等的三角形是全等三角形
C．两个周长相等的三角形是全等三角形
D．两个完全重合的三角形是全等三角形
7．（2020九上·富平期末）如图，在正方形ABCD中，AB=4，AC与 相交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，P是OD的中点，过点P作PM⊥BC于点M，交 于点N′，则PN-MN′的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·坪山模拟）如图，正方形的边长为12，E是中点，F是对角线上一点，且，在上取点G，使得，交于H，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．
9．（2024九下·福田开学考）如图，在正方形ABCD中，M是边CD上一点，满足，连接BM交AC于点N，延长BN到点P使得，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2024九上·昌平期末）如图，是等边三角形，D，E分别是，边上的点，且，连接，相交于点F，则下列说法正确的是（ ）
①； ②；③；④若，则
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
二、填空题
11．（2024九上·揭阳期末）若均不为0)，那么 .
12．（2022·百色）数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为 米.
13．（2024九上·双阳期末）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，OB：BE=1，若S△ABC＝2，则S△DOF＝ ．
14．（2024九上·锦江期末）如图，点在反比例函数的图象上，点在轴负半轴上，交轴于点，若：：，，则的值为 ．
15．（2023八上·福州月考）如图，在中，，，是边上的高，是边的中线，是的角平分线，交于点，交于点.
①；②；③；④.
其中一定正确的是 .（写出所有正确结论的序号）
三、解答题
16．（2024九上·揭阳期末）已知：如图，四边形ABCD中，为对角线BD的中点，点在边AD上，CF交BD于点.
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2），求证：.
17．（2024九上·都江堰期末）如图，点分别在三边上，且，．
（1）求的长；
（2）若的面积为4，求四边形的面积．
18．（2024九上·衡阳期末） 如图，在平行四边形中，为边上一点，．
（1）求证：∽；
（2）若，，求的长．
四、实践探究题
19．（2024八上·朝阳期末）如图
【问题原型】华师版教材八年级下册第121页有这样一道题：
如图1，在正方形ABCD中，CE⊥DF．求证：CE＝DF．
请你完成这一问题的证明过程．
【问题应用】如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E、F分别是边AB、BC上的点，且AE＝BF．
（1）如图2，连接CE、DF交于点G，H为GE的中点，连接DH，FH．当E为AB的中点时，四边形CDHF的面积为 ；
（2）如图3，连接DE、DF，当点E在边AB上运动时，DE+DF的最小值为 ．
20．（2023九上·锦江期中）【阅读】如图1，若△ABD∽△ACE，且点B，D，C在同一直线上，则我们把△ABD与△ACE称为旋转相似三角形．
（1）【理解】如图2，△ABC和△ADE是等边三角形，点D在边BC上，连接CE．求证：△ABD与△ACE是旋转相似三角形．
（2）【应用】如图3，△ABD与△ACE是旋转相似三角形，AD∥CE，求证：AC＝DE．
（3）【拓展】如图4，AC是四边形ABCD的对角线，∠D＝90°，∠B＝∠ACD，BC＝25，AC＝20，AD＝16，试在边BC上确定一点E，使得四边形AECD是矩形，并说明理由．
21．（2023九上·长清期中）某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：
项目主题：测量旗杆高度
问题驱动：能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度？
组内探究：由于旗杆较高，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，标杆，镜子，甚至还可以利用无人机…确定方法后，先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，从而计算旗杆的高度．
成果展示：下面是同学们进行交流展示时的部分测量方案：
方案一 方案二 …
测量工具 标杆，皮尺 自制直角三角板硬纸板，皮尺 …
测量示意图 说明：线段AB表示学校旗杆，小明的眼睛到地面的距离CD＝1.7m，测点F与B，D在同一水平直线上，D，F，B之间的距离都可以直接测得，且A，B，C，D，E，F都在同一竖直平面内，点A，C，E三点在同一直线上． 说明：线段AB表示旗杆，小明的身高CD＝1.7m，测点D与B在同一水平直线上，D，B之间的距离可以直接测得，且A，B，C，D，E，F，G都在同一竖直平面内，点A，C，E三点在同一直线上，点C，F，G三点在同一直线上．
测量数据 B，D之间的距离 16.8m B，D之间的距离 16.8m …
D，F之间的距离 1.35m EF的长度 0.50m …
EF的长度 2.60m CE的长度 0.75m …
… …
根据上述方案及数据，请你选择一个方案，求出学校旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m）；
五、综合题
22．（2023·聊城）如图，在中，，的平分线交于点D，的平分线交于点E．以上的点O为圆心，为半径作，恰好过点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
23．（2024九上·磐石期末）在中，D为AB边上一点，过点D作交AC于点E，以DE为折线，将翻折，设所得的与梯形DBCE重叠部分的面积为y.
图1图2 图3
（1）如图1，若，，，，则y的值为 ；
（2）如图2，若，，D为AB中点，则y的值为 ；
（3）若，，，设.
①求y与x的函数解析式；
②y是否有最大值，若有，求出y的最大值；若没有，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由=，得
y=x．
故选：A．
【分析】根据等式的性质，可用x表示y，根据分式的性质，可得答案．
2．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵点C1是OC的中点，
∴OC=2OC1，
∴，
∵△ABC与△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，
∴△ABC∽△A1B1C1，且相似比为，
∴，
∵ ，
∴S△ABC=12
故答案为：B.
【分析】根据位似图形一对对应点与位似中心连线的比值等于位似比，而位似图形一定相似，且相似比等于位似比，进而再根据相似图形的面积之比等于相似比的平方可得答案.
3．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：观察可知AD=4，AB=10，BD=6.
∵DE//AC，EF//AB.
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴DE=AF=1.8， EF=AD=4.
∵DE//AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴，
即，
∴AC=3.
故选项A，C，D正确.
∵CF=AC-AF=3-1.8=1.2，EF=4，
∴4-1.2即2.8∴B选项不一定正确.
故答案为：B
【分析】利用平行四边形的判定与性质求出EF和DE的长，再利用相似三角形的判定与性质列比例式可求出AC的长，利用三角形的三边关系可判断出CE的取值范围.
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AB⊥BC，CP⊥QP，
∴∠ABC=∠CPE=90°，
∴AB∥CP，
∴∠A=∠ECP，
∴△ACB∽△CEP，
∴即
解之：AB=4.5.
故答案为：C.
【分析】利用垂直的定义可得到∠ABC=∠CPE=90°，可推出AB∥CP，利用平行线的性质可得到∠A=∠ECP，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ACB∽△CEP，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AB的长.
5．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴即
解之：.
故答案为：B.
【分析】利用平行线分线段成比例定理，可得到，然后将已知线段代入可求出CE的长.
6．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、两个面积相等的三角形不一定是全等三角形，说法错误；
B、三个对应角都相等的三角形是全等三角形不一定是全等三角形，说法错误；
C、两个周长相等的三角形是全等三角形不一定是全等三角形，说法错误；
D、两个完全重合的三角形是全等三角形，说法正确；
故答案为：D.
【分析】能够完全重全的三角形是全等三角形，据此判定。
7．【答案】A
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=4，
∴OA=OC，AD=AB=4，
∵N是AO的中点，P是OD的中点，
∴PN是△AOD的中位线，
∴PN= AD=2，
∵PM⊥BC，
∴PM//CD//AB，
∴点N′为OC的中点，
∴AC=4CN′，
∵PM//AB，
∴△CMN′∽△CBA，
∴ ，
∴MN′=1，
∴PN-MN′=2-1=1，
故答案为：A.
【分析】根据正方形的性质可得点O为AC的中点，根据三角形中位线的性质可求出PN的长，由PM⊥BC可得PM//CD，根据点P为OD中点可得点N′为OC中点，即可得出AC=4CN′，根据MN′//AB可得△CMN′∽△CBA，根据相似三角形的性质可求出MN′的长，进而可求出PN-MN′的长.
8．【答案】C
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点F分别作，垂足分别为M，N，过点E作于点E，则，
在正方形中，，
∴，是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵E是中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：C
【分析】先求出，再求出，最后利用相似三角形的性质计算求解即可。
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，AO=CO=AC，BO=DO=BD，AC⊥BD，AC=BD，AB//CD.
∴BO=CO=AO=DO，∠BOC=90°.
∵BC=3CM，
∴=3.
∵AB//CD，
∴△ABN∽△CMN，
∴=3，
即，
∴CN=AC=CO=BO.
∴BO=2CN=2ON.
∴在Rt△BNO中，BN==ON.
∵BO=DO，BN=NP，
∴ON是△BDP的中位线，
∴ON//DP，ON=DP.
∴DP=2ON.
∴==.
故答案为：A
【分析】要求的值，只要分别表示出DP和BN即可.连接BD后，由正方形ABCD，可得AB=BC，BO=CO=AO=DO，BD⊥AC；由BO=DO，BN=PN得ON是中位线，DP可以表示为2ON；由△ABN∽△CMN，可得AN：CN=3，求出CN=AC=BO，从而得到ON=CN=BO，即BO=2ON，由此可将BN表示为ON，这样问题就得到解决.
10．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∴，，
∴，故②正确；
∵，
∴不成立，故③错误；
过点E作，交于点H，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴；故④正确；
综上所述：说法正确的有①②④；
故选：B．
【分析】根据等边三角形性质，全等三角形判定定理可得①正确；再根据全等三角形性质可得，，再进行角之间的转换可得②正确；再根据相似三角形判定定理可得③错误；过点E作，交于点H，再根据相似三角形判定定理可得，再根据其性质可得，再根据直线平行性质，相似三角形判定定理可得，则，即可得④正确，即可求出答案.
11．【答案】5：3
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵5a=3b，
∴b：a=5：3.
故答案为：5：3.
【分析】根据比例的基本性质解答即可.
12．【答案】12
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设旗杆为AB，如图所示：
根据题意得：，
∴
∵米，米，米，
∴
解得：AB=12米.
故答案为：12.
【分析】设旗杆为AB，根据题意得：△ABC∽△DEF，然后根据相似三角形的性质就可求出AB的值.
13．【答案】8
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：，
，
与是位似图形，
，，
，
，
，即，
解得：，
故答案为：8．
【分析】根据位似图形的概念得到，，证明，求出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
14．【答案】-16
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如下图，过点作轴于，
，
在和中，，
∽，
，
，
，
，
，
，
根据反比例函数的几何意义得，
，
，
，
故答案为：．
【分析】过点作轴于，得出∽，即可得出，再利用相似三角形得出，推出，根据反比例函数K的几何意义即可得出答案.
15．【答案】①②
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；角平分线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵BE是AC边的中线，
∴，
∴，故①正确；
∵是的角平分线，
∴，
，
∴，
∴，
∴，故②正确；
由已知不能得到是等腰直角三角形，故③错误；
过点F作于K，
∵平分，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，故④错误，
综上，正确的有①②.
故答案为：①②．
【分析】根据中线定义及等底同高的三角形面积相等得，判断①正确；由角平分线的定义得，结合对顶角相等及等角的余角相等可得，由等角对等边得，判断②正确；由已知不能得到是等腰直角三角形，判断③错误；过点F作于K，由角平分线的性质定理有，证明，可得，判断④错误．
16．【答案】（1）证明：∵∠BAD＝90°，E为BD的中点，
∴AE＝DE＝BD，
∵CF＝BD，
∴AE＝CF＝DE，
∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BCD＝90°，E为BD的中点，∴CE＝BD，
∴AE＝CE，
∴四边形AECF为菱形；
（2）∵四边形AECF为菱形，
∴AD∥CE，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵∠DCG＝∠DEC，∴∠ADE＝∠DCG，
∵AE∥CF，∴∠EAD＝∠CFD，∴△ADE∽△FCD，
∴∴CF DE＝AD CD，
∵AE＝CF＝DE，∴AE2＝AD DC．
【知识点】菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）先证四边形AECF是平行四边形，再利用直角三角斜边中线的性质可得AE=CE，根据菱形的判定即证；
（2）先证△ADE∽△FCD，利用相似三角形的性质可得，继而得解.
17．【答案】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，且，
，
，
，
∴．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行线分线段成比例的性质可得，再结合BC的长求出BF的长，最后利用线段的和差求出CF的长即可；
（2）先证出可得，再求出，再证出可得，再求出，最后利用割补法求出即可.
18．【答案】（1）证明：平行四边形，
，
，
又，
∽．
（2）解：四边形平行四边形，
，
，
，
∽，
，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和相似三角形的判定证明。由平行四边形的性质证明∠EBA=∠BEC，再证明相似即可；
（2）根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解。利用（1）中的相似三角形的性质，列出比例式求线段长度即可．
19．【答案】（1）7
（2）4
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：问题原型
证明：由已知，在正方形中，
，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴；
问题应用
（1）∵，，
∴
∵
又∵
∴，
∴，
由已知，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
∵H为的中点，
∴，
∴，
四边形的面积为：
；
故答案为：
（2）连，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
则的最小值为即为的最小值，
如下图，取点关于的对称点，连，交于点，连，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：
【分析】问题原型：利用正方形的性质，根据ASA证明和全等即可；
问题应用：（1）由得到，证明，求出，再分别求出，分别表示和，则四边形的面积可求；
（2）证明得到，将的最小值转化为的最小值问题，由最短路径模型求出最小值，求解即可．
20．【答案】（1）证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，，
∴△ABD∽△ACE，
∵点D在边BC上，
∴点B、D、C在同一直线，
∴△ABD和△ACE是旋转相似三角形；
（2）证明：△ABD与△ACE是旋转相似三角形，
∴△ABD∽△ACE，
∴，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠B＝∠ADE，∠AED＝∠ACB，
∴∠ADE＝∠ACE，
∵AD∥CE，
∴∠ADE＝∠DEC，
∴∠ACE＝∠DEC．
∵∠AED＝∠ACB，
∴∠ACE+∠ACB＝∠AED+∠DEC，
∴∠AEC＝∠DCE，
∵CE＝EC，
∴△AEC≌△DCE（ASA），
∴AC＝DE；
（3）解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，则四边形AECD是矩形，
理由：连接DE，
∵∠AEB＝∠ADC＝90°，∠B＝∠ACD，
∴△ABE∽△ACD，
∴，∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAC＝∠EAD，
∴△ABC∽△AED，
∴，即，
∴DE＝20，
∵△ABE∽△ACD，
∴，
∴，
∵CD＝＝12，
∴，
设AE＝4k，则BE＝3k，CE＝25﹣3k，
在Rt△ACE中，AE2+CE2＝AC2，
∴（4k）2+（25﹣3K）2＝202，解得k＝3，
∴AE＝12，
∵AD＝16，DE＝20，
∴AE2+AD2＝DE2，
∴△ADE是直角三角形，
∴∠DAE＝90°，
∵∠AEC＝∠ADC＝90°，
∴四边形AECD是矩形．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据等边三角形的性质得到AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，进而得到∠BAD＝∠CAE，，从而根据相似三角形的判定结合题意即可求解；
（2）先根据相似三角形的性质得到，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACE，进而根据相似三角形的判定与性质证明△ABC∽△ADE即可得到∠B＝∠ADE，∠AED＝∠ACB，从而结合题意进行角的运算证明∠AEC＝∠DCE，再运用三角形全等的判定与性质证明△AEC≌△DCE（ASA）即可得到AC＝DE；
（3）过点A作AE⊥BC，垂足为E，则四边形AECD是矩形，连接DE，先根据相似三角形的判定与性质即可得到，∠BAE＝∠CAD，进而运用相似三角形的判定与性质即可得到，，再运用勾股定理即可得到CD长，进而得到，设AE＝4k，则BE＝3k，CE＝25﹣3k，根据勾股定理求出k，进而结合题意根据勾股定理的逆定理运用矩形的判定即可求解。
21．【答案】解：方案一：过C作CH∥BD交EF于Q，交AB于H，
则四边形CDFQ，四边形CDBH都是矩形，
∴CQ＝DF＝1.35m，CH＝BD＝16.8m，
∵EQ∥AH，
∴
∵
∴△CEQ∽△CAH，
∴，
即：，
解得：AB＝12.9m；
方案二：（1）∵∠ACG＝∠ACG，∠CGA＝∠AEF＝90°．
∴△CEF∽△CGA，
∴，
即：，
解得：AB＝12.9m；
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】方案一：过C作CH∥BD交EF于Q，交AB于H，四边形CDFQ，四边形CDBH都是矩形， 证明 △CEQ∽△CAH， 根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.
方案二： 证明△CEF∽△CGA，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.
22．【答案】（1）证明：连接，
由题意可知，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴是的切线；
（2）解：过点作，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
可得：，
∴的半径为．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接，先根据等腰三角形的性质结合角平分线的性质即可得到，，进而得到，再根据平行线的判定与性质即可得到，然后结合切线的判定即可求解；
（2）过点作，根据角平分线的性质即可得到，进而根据锐角三角形函数的定义即可得到BF的长，再运用勾股定理即可得到BD、AD的长，然后根据相似三角形的判定与性质证明，进而求出EO即可求解。
23．【答案】（1）
（2）12
（3）解：①当时，；
当时，.
②当时，，
当时，；
当时，.
，，
当时，.
综上所述，当时，y有最大值，最大值是10.
【知识点】轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1），，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ；
（2），，
边上的高为，
，
为的中点，，
，，
，
，
，
故答案为：12。
【分析】（1）由勾股定理求出AC的长，再证明，利用面积之比等于相似比的平方即可求解；
（2）由勾股定理求出BC边上的高，计算的值，根据D为中点和，即可得出，最后根据面积之比等于相似比的平方求出结果；
（3）作于点H，先求出和的值，再分两种情况时和当进行讨论，分别求出 和 的值，即可求出y的最大值．
1 / 12023-2024学年初中数学人教版九年级下学期 第二十七章 相似 单元测试 B卷
一、选择题
1．若=，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由=，得
y=x．
故选：A．
【分析】根据等式的性质，可用x表示y，根据分式的性质，可得答案．
2．（2024九下·深圳开学考）如图，和△是以点为位似中心的位似三角形，若为的中点，，则的面积为
A．15 B．12 C．9 D．6
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵点C1是OC的中点，
∴OC=2OC1，
∴，
∵△ABC与△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，
∴△ABC∽△A1B1C1，且相似比为，
∴，
∵ ，
∴S△ABC=12
故答案为：B.
【分析】根据位似图形一对对应点与位似中心连线的比值等于位似比，而位似图形一定相似，且相似比等于位似比，进而再根据相似图形的面积之比等于相似比的平方可得答案.
3．（2024九下·福田开学考）如图，将△ABC的AB边与刻度尺的边缘重合，点A，D，B分别对应刻度尺上的整数刻度．已知，，，下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：观察可知AD=4，AB=10，BD=6.
∵DE//AC，EF//AB.
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴DE=AF=1.8， EF=AD=4.
∵DE//AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴，
即，
∴AC=3.
故选项A，C，D正确.
∵CF=AC-AF=3-1.8=1.2，EF=4，
∴4-1.2即2.8∴B选项不一定正确.
故答案为：B
【分析】利用平行四边形的判定与性质求出EF和DE的长，再利用相似三角形的判定与性质列比例式可求出AC的长，利用三角形的三边关系可判断出CE的取值范围.
4．（2024·深圳模拟）如图，安装路灯AB的路面CD比种植树木的地面PQ高CP=1.2 m，在路灯的照射下，路基CP留在地面上的影长EP为0.4 m，通过测量知道BC的距离为1.5 m，则路灯AB的高度是（ ）
A．3 m B．3.6 m C．4.5 m D．6 m
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AB⊥BC，CP⊥QP，
∴∠ABC=∠CPE=90°，
∴AB∥CP，
∴∠A=∠ECP，
∴△ACB∽△CEP，
∴即
解之：AB=4.5.
故答案为：C.
【分析】利用垂直的定义可得到∠ABC=∠CPE=90°，可推出AB∥CP，利用平行线的性质可得到∠A=∠ECP，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ACB∽△CEP，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AB的长.
5．（2024·深圳模拟） 如图， 已知 ， 则 CE的长为 （ ）
A． B． C．6 D．
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴即
解之：.
故答案为：B.
【分析】利用平行线分线段成比例定理，可得到，然后将已知线段代入可求出CE的长.
6．（2023八上·花垣期中） 下列说法中正确的是（ ）
A．两个面积相等的三角形是全等三角形
B．三个对应角都相等的三角形是全等三角形
C．两个周长相等的三角形是全等三角形
D．两个完全重合的三角形是全等三角形
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、两个面积相等的三角形不一定是全等三角形，说法错误；
B、三个对应角都相等的三角形是全等三角形不一定是全等三角形，说法错误；
C、两个周长相等的三角形是全等三角形不一定是全等三角形，说法错误；
D、两个完全重合的三角形是全等三角形，说法正确；
故答案为：D.
【分析】能够完全重全的三角形是全等三角形，据此判定。
7．（2020九上·富平期末）如图，在正方形ABCD中，AB=4，AC与 相交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，P是OD的中点，过点P作PM⊥BC于点M，交 于点N′，则PN-MN′的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=4，
∴OA=OC，AD=AB=4，
∵N是AO的中点，P是OD的中点，
∴PN是△AOD的中位线，
∴PN= AD=2，
∵PM⊥BC，
∴PM//CD//AB，
∴点N′为OC的中点，
∴AC=4CN′，
∵PM//AB，
∴△CMN′∽△CBA，
∴ ，
∴MN′=1，
∴PN-MN′=2-1=1，
故答案为：A.
【分析】根据正方形的性质可得点O为AC的中点，根据三角形中位线的性质可求出PN的长，由PM⊥BC可得PM//CD，根据点P为OD中点可得点N′为OC中点，即可得出AC=4CN′，根据MN′//AB可得△CMN′∽△CBA，根据相似三角形的性质可求出MN′的长，进而可求出PN-MN′的长.
8．（2023·坪山模拟）如图，正方形的边长为12，E是中点，F是对角线上一点，且，在上取点G，使得，交于H，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点F分别作，垂足分别为M，N，过点E作于点E，则，
在正方形中，，
∴，是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵E是中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：C
【分析】先求出，再求出，最后利用相似三角形的性质计算求解即可。
9．（2024九下·福田开学考）如图，在正方形ABCD中，M是边CD上一点，满足，连接BM交AC于点N，延长BN到点P使得，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，AO=CO=AC，BO=DO=BD，AC⊥BD，AC=BD，AB//CD.
∴BO=CO=AO=DO，∠BOC=90°.
∵BC=3CM，
∴=3.
∵AB//CD，
∴△ABN∽△CMN，
∴=3，
即，
∴CN=AC=CO=BO.
∴BO=2CN=2ON.
∴在Rt△BNO中，BN==ON.
∵BO=DO，BN=NP，
∴ON是△BDP的中位线，
∴ON//DP，ON=DP.
∴DP=2ON.
∴==.
故答案为：A
【分析】要求的值，只要分别表示出DP和BN即可.连接BD后，由正方形ABCD，可得AB=BC，BO=CO=AO=DO，BD⊥AC；由BO=DO，BN=PN得ON是中位线，DP可以表示为2ON；由△ABN∽△CMN，可得AN：CN=3，求出CN=AC=BO，从而得到ON=CN=BO，即BO=2ON，由此可将BN表示为ON，这样问题就得到解决.
10．（2024九上·昌平期末）如图，是等边三角形，D，E分别是，边上的点，且，连接，相交于点F，则下列说法正确的是（ ）
①； ②；③；④若，则
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∴，，
∴，故②正确；
∵，
∴不成立，故③错误；
过点E作，交于点H，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴；故④正确；
综上所述：说法正确的有①②④；
故选：B．
【分析】根据等边三角形性质，全等三角形判定定理可得①正确；再根据全等三角形性质可得，，再进行角之间的转换可得②正确；再根据相似三角形判定定理可得③错误；过点E作，交于点H，再根据相似三角形判定定理可得，再根据其性质可得，再根据直线平行性质，相似三角形判定定理可得，则，即可得④正确，即可求出答案.
二、填空题
11．（2024九上·揭阳期末）若均不为0)，那么 .
【答案】5：3
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵5a=3b，
∴b：a=5：3.
故答案为：5：3.
【分析】根据比例的基本性质解答即可.
12．（2022·百色）数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为 米.
【答案】12
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设旗杆为AB，如图所示：
根据题意得：，
∴
∵米，米，米，
∴
解得：AB=12米.
故答案为：12.
【分析】设旗杆为AB，根据题意得：△ABC∽△DEF，然后根据相似三角形的性质就可求出AB的值.
13．（2024九上·双阳期末）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，OB：BE=1，若S△ABC＝2，则S△DOF＝ ．
【答案】8
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：，
，
与是位似图形，
，，
，
，
，即，
解得：，
故答案为：8．
【分析】根据位似图形的概念得到，，证明，求出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
14．（2024九上·锦江期末）如图，点在反比例函数的图象上，点在轴负半轴上，交轴于点，若：：，，则的值为 ．
【答案】-16
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如下图，过点作轴于，
，
在和中，，
∽，
，
，
，
，
，
，
根据反比例函数的几何意义得，
，
，
，
故答案为：．
【分析】过点作轴于，得出∽，即可得出，再利用相似三角形得出，推出，根据反比例函数K的几何意义即可得出答案.
15．（2023八上·福州月考）如图，在中，，，是边上的高，是边的中线，是的角平分线，交于点，交于点.
①；②；③；④.
其中一定正确的是 .（写出所有正确结论的序号）
【答案】①②
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；角平分线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵BE是AC边的中线，
∴，
∴，故①正确；
∵是的角平分线，
∴，
，
∴，
∴，
∴，故②正确；
由已知不能得到是等腰直角三角形，故③错误；
过点F作于K，
∵平分，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，故④错误，
综上，正确的有①②.
故答案为：①②．
【分析】根据中线定义及等底同高的三角形面积相等得，判断①正确；由角平分线的定义得，结合对顶角相等及等角的余角相等可得，由等角对等边得，判断②正确；由已知不能得到是等腰直角三角形，判断③错误；过点F作于K，由角平分线的性质定理有，证明，可得，判断④错误．
三、解答题
16．（2024九上·揭阳期末）已知：如图，四边形ABCD中，为对角线BD的中点，点在边AD上，CF交BD于点.
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2），求证：.
【答案】（1）证明：∵∠BAD＝90°，E为BD的中点，
∴AE＝DE＝BD，
∵CF＝BD，
∴AE＝CF＝DE，
∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BCD＝90°，E为BD的中点，∴CE＝BD，
∴AE＝CE，
∴四边形AECF为菱形；
（2）∵四边形AECF为菱形，
∴AD∥CE，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵∠DCG＝∠DEC，∴∠ADE＝∠DCG，
∵AE∥CF，∴∠EAD＝∠CFD，∴△ADE∽△FCD，
∴∴CF DE＝AD CD，
∵AE＝CF＝DE，∴AE2＝AD DC．
【知识点】菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）先证四边形AECF是平行四边形，再利用直角三角斜边中线的性质可得AE=CE，根据菱形的判定即证；
（2）先证△ADE∽△FCD，利用相似三角形的性质可得，继而得解.
17．（2024九上·都江堰期末）如图，点分别在三边上，且，．
（1）求的长；
（2）若的面积为4，求四边形的面积．
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，且，
，
，
，
∴．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行线分线段成比例的性质可得，再结合BC的长求出BF的长，最后利用线段的和差求出CF的长即可；
（2）先证出可得，再求出，再证出可得，再求出，最后利用割补法求出即可.
18．（2024九上·衡阳期末） 如图，在平行四边形中，为边上一点，．
（1）求证：∽；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：平行四边形，
，
，
又，
∽．
（2）解：四边形平行四边形，
，
，
，
∽，
，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和相似三角形的判定证明。由平行四边形的性质证明∠EBA=∠BEC，再证明相似即可；
（2）根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解。利用（1）中的相似三角形的性质，列出比例式求线段长度即可．
四、实践探究题
19．（2024八上·朝阳期末）如图
【问题原型】华师版教材八年级下册第121页有这样一道题：
如图1，在正方形ABCD中，CE⊥DF．求证：CE＝DF．
请你完成这一问题的证明过程．
【问题应用】如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E、F分别是边AB、BC上的点，且AE＝BF．
（1）如图2，连接CE、DF交于点G，H为GE的中点，连接DH，FH．当E为AB的中点时，四边形CDHF的面积为 ；
（2）如图3，连接DE、DF，当点E在边AB上运动时，DE+DF的最小值为 ．
【答案】（1）7
（2）4
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：问题原型
证明：由已知，在正方形中，
，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴；
问题应用
（1）∵，，
∴
∵
又∵
∴，
∴，
由已知，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
∵H为的中点，
∴，
∴，
四边形的面积为：
；
故答案为：
（2）连，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
则的最小值为即为的最小值，
如下图，取点关于的对称点，连，交于点，连，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：
【分析】问题原型：利用正方形的性质，根据ASA证明和全等即可；
问题应用：（1）由得到，证明，求出，再分别求出，分别表示和，则四边形的面积可求；
（2）证明得到，将的最小值转化为的最小值问题，由最短路径模型求出最小值，求解即可．
20．（2023九上·锦江期中）【阅读】如图1，若△ABD∽△ACE，且点B，D，C在同一直线上，则我们把△ABD与△ACE称为旋转相似三角形．
（1）【理解】如图2，△ABC和△ADE是等边三角形，点D在边BC上，连接CE．求证：△ABD与△ACE是旋转相似三角形．
（2）【应用】如图3，△ABD与△ACE是旋转相似三角形，AD∥CE，求证：AC＝DE．
（3）【拓展】如图4，AC是四边形ABCD的对角线，∠D＝90°，∠B＝∠ACD，BC＝25，AC＝20，AD＝16，试在边BC上确定一点E，使得四边形AECD是矩形，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，，
∴△ABD∽△ACE，
∵点D在边BC上，
∴点B、D、C在同一直线，
∴△ABD和△ACE是旋转相似三角形；
（2）证明：△ABD与△ACE是旋转相似三角形，
∴△ABD∽△ACE，
∴，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠B＝∠ADE，∠AED＝∠ACB，
∴∠ADE＝∠ACE，
∵AD∥CE，
∴∠ADE＝∠DEC，
∴∠ACE＝∠DEC．
∵∠AED＝∠ACB，
∴∠ACE+∠ACB＝∠AED+∠DEC，
∴∠AEC＝∠DCE，
∵CE＝EC，
∴△AEC≌△DCE（ASA），
∴AC＝DE；
（3）解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，则四边形AECD是矩形，
理由：连接DE，
∵∠AEB＝∠ADC＝90°，∠B＝∠ACD，
∴△ABE∽△ACD，
∴，∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAC＝∠EAD，
∴△ABC∽△AED，
∴，即，
∴DE＝20，
∵△ABE∽△ACD，
∴，
∴，
∵CD＝＝12，
∴，
设AE＝4k，则BE＝3k，CE＝25﹣3k，
在Rt△ACE中，AE2+CE2＝AC2，
∴（4k）2+（25﹣3K）2＝202，解得k＝3，
∴AE＝12，
∵AD＝16，DE＝20，
∴AE2+AD2＝DE2，
∴△ADE是直角三角形，
∴∠DAE＝90°，
∵∠AEC＝∠ADC＝90°，
∴四边形AECD是矩形．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据等边三角形的性质得到AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，进而得到∠BAD＝∠CAE，，从而根据相似三角形的判定结合题意即可求解；
（2）先根据相似三角形的性质得到，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACE，进而根据相似三角形的判定与性质证明△ABC∽△ADE即可得到∠B＝∠ADE，∠AED＝∠ACB，从而结合题意进行角的运算证明∠AEC＝∠DCE，再运用三角形全等的判定与性质证明△AEC≌△DCE（ASA）即可得到AC＝DE；
（3）过点A作AE⊥BC，垂足为E，则四边形AECD是矩形，连接DE，先根据相似三角形的判定与性质即可得到，∠BAE＝∠CAD，进而运用相似三角形的判定与性质即可得到，，再运用勾股定理即可得到CD长，进而得到，设AE＝4k，则BE＝3k，CE＝25﹣3k，根据勾股定理求出k，进而结合题意根据勾股定理的逆定理运用矩形的判定即可求解。
21．（2023九上·长清期中）某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：
项目主题：测量旗杆高度
问题驱动：能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度？
组内探究：由于旗杆较高，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，标杆，镜子，甚至还可以利用无人机…确定方法后，先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，从而计算旗杆的高度．
成果展示：下面是同学们进行交流展示时的部分测量方案：
方案一 方案二 …
测量工具 标杆，皮尺 自制直角三角板硬纸板，皮尺 …
测量示意图 说明：线段AB表示学校旗杆，小明的眼睛到地面的距离CD＝1.7m，测点F与B，D在同一水平直线上，D，F，B之间的距离都可以直接测得，且A，B，C，D，E，F都在同一竖直平面内，点A，C，E三点在同一直线上． 说明：线段AB表示旗杆，小明的身高CD＝1.7m，测点D与B在同一水平直线上，D，B之间的距离可以直接测得，且A，B，C，D，E，F，G都在同一竖直平面内，点A，C，E三点在同一直线上，点C，F，G三点在同一直线上．
测量数据 B，D之间的距离 16.8m B，D之间的距离 16.8m …
D，F之间的距离 1.35m EF的长度 0.50m …
EF的长度 2.60m CE的长度 0.75m …
… …
根据上述方案及数据，请你选择一个方案，求出学校旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m）；
【答案】解：方案一：过C作CH∥BD交EF于Q，交AB于H，
则四边形CDFQ，四边形CDBH都是矩形，
∴CQ＝DF＝1.35m，CH＝BD＝16.8m，
∵EQ∥AH，
∴
∵
∴△CEQ∽△CAH，
∴，
即：，
解得：AB＝12.9m；
方案二：（1）∵∠ACG＝∠ACG，∠CGA＝∠AEF＝90°．
∴△CEF∽△CGA，
∴，
即：，
解得：AB＝12.9m；
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】方案一：过C作CH∥BD交EF于Q，交AB于H，四边形CDFQ，四边形CDBH都是矩形， 证明 △CEQ∽△CAH， 根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.
方案二： 证明△CEF∽△CGA，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.
五、综合题
22．（2023·聊城）如图，在中，，的平分线交于点D，的平分线交于点E．以上的点O为圆心，为半径作，恰好过点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：连接，
由题意可知，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴是的切线；
（2）解：过点作，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
可得：，
∴的半径为．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接，先根据等腰三角形的性质结合角平分线的性质即可得到，，进而得到，再根据平行线的判定与性质即可得到，然后结合切线的判定即可求解；
（2）过点作，根据角平分线的性质即可得到，进而根据锐角三角形函数的定义即可得到BF的长，再运用勾股定理即可得到BD、AD的长，然后根据相似三角形的判定与性质证明，进而求出EO即可求解。
23．（2024九上·磐石期末）在中，D为AB边上一点，过点D作交AC于点E，以DE为折线，将翻折，设所得的与梯形DBCE重叠部分的面积为y.
图1图2 图3
（1）如图1，若，，，，则y的值为 ；
（2）如图2，若，，D为AB中点，则y的值为 ；
（3）若，，，设.
①求y与x的函数解析式；
②y是否有最大值，若有，求出y的最大值；若没有，请说明理由.
【答案】（1）
（2）12
（3）解：①当时，；
当时，.
②当时，，
当时，；
当时，.
，，
当时，.
综上所述，当时，y有最大值，最大值是10.
【知识点】轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1），，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ；
（2），，
边上的高为，
，
为的中点，，
，，
，
，
，
故答案为：12。
【分析】（1）由勾股定理求出AC的长，再证明，利用面积之比等于相似比的平方即可求解；
（2）由勾股定理求出BC边上的高，计算的值，根据D为中点和，即可得出，最后根据面积之比等于相似比的平方求出结果；
（3）作于点H，先求出和的值，再分两种情况时和当进行讨论，分别求出 和 的值，即可求出y的最大值．
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