4.6函数的应用（二）同步练习（含解析）2023——2024学年人教B版（2019）高中数学必修第二册

4.6函数的应用（二）同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数 ，若方程的实根个数为（ ）
A． B． C． D．
3．数学上，常用表示不大于x的最大整数．已知函数，则下列正确的是（ ）．
A．函数在定义域上是奇函数 B．函数的零点有无数个
C．函数在定义域上的值域是 D．不等式解集是
4．已知函数，若函数有四个不同的零点，，，，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知增函数的图象在上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，若函数与函数的零点相同，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
7．已知命题：函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
8．美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式．已知描述的是一种植物的高度随着时间（单位：年）变化的规律．若刚栽种时该植物的高为1米，经过一年，该植物的高为1.5米，要让该植物的高度超过2.8米，至少需要（ ）年．
A．3 B．4 C．5 D．6
二、多选题
9．下列各图象表示的函数有零点的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知，且方程无实数根，下列命题正确的是（ ）
A．方程也一定没有实数根
B．若，则不等式对一切实数都成立
C．若，则必存在实数，使成立
D．若，则不等式对一切实数都成立
11．已知函数，若方程有四个不同的零点，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．关于x的方程有个不同的解
C．函数与函数恰有两个交点
D．当时，恒成立．
三、填空题
13．用“二分法”研究函数的零点时，第一次经计算可知，说明该函数在区间内存在零点，下一次应计算，则 ．
14．已知函数，则直线与的图象的所有交点的横坐标之和为 ．
15．已知函数的图像经过四个象限，则实数的取值范围是 ．
16．已知函数.若，则的零点为 ；若函数有两个零点，则的最小值为 .
四、解答题
17．已知，
(1)若函数与在时有相同的值域，求的取值范围；
(2)若方程在上有两个不同的根，求的取值范围，并证明：．
18．对于函数，，若存在非零实数以及，使得，则称函数为“伴和函数”.
(1)设，，判断是否存在非零实数，使得函数为“伴和函数”？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；
(2)设，证明：函数，为“伴和函数”；
(3)设，若函数，为“1伴和函数”，求实数的取值范围.
19．已知函数.
(1)若，且，求函数的零点；
(2)若，函数的定义域为I，存在，使得在上的值域为，求实数t的取值范围.
20．已知函数有唯一零点，函数．
(1)求的单调递增区间，并用定义法证明；
(2)求的值域．
21．函数，表示不超过的最大整数，例如：，．
(1)当时，求满足的实数的值；
(2)函数，求满足的实数的取值范围．
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参考答案：
1．B
【分析】先将问题转化为函数图象交点个数问题；再结合函数的图象即可解答.
【详解】方程有三个不同的实数根，即函数与函数的图象有三个不同交点.
作函数的图象如下图所示，
由图可得，.
所以实数的取值范围是：.
故选：B.
2．C
【分析】在同一平面直角坐标系中画出与的图象，数形结合可得与有个交点，不妨设为且，则，再分别判断的根的个数，即可得解.
【详解】因为，则，，，，
令，解得或，
又在同一平面直角坐标系中画出与的图象，
由图象观察可知与有个交点，不妨设为且，
则，
当时，由，，则存在个不同实根，
由，，则存在个不同实根，
由，，则存在个不同实根，
由，，则存在个不同实根，
综上的实根个数为．
故选：C
3．B
【分析】设，A选项，注意到，可判断选项正误；B选项，等价于判断方程根的个数；
C选项，通过分析方程根的存在性可判断选项正误；D选项，等价于解不等式.
【详解】设，A选项，，，
因，则不是奇函数，故A错误；
B选项，令，即函数的零点有无数个，故B正确；
C选项，若，则，
但，则，即函数在定义域上的值域不是，故C错误.
D选项，，故D错误.
故选：B
4．A
【分析】由题意可得函数与有四个不同的交点，作出函数与的图象如图所示，然后结合图象逐个分析判断即可.
【详解】因为函数有四个不同的零点，
所以有四个不同的解，即函数与有四个不同的交点，
作出函数与的图象如图所示：
又时，，由图象可得，故B不正确，
由，得或，所以由图象可得，故A正确；
由图象可得，所以，即，
即，所以，故C错误；
又，关于对称，故，故D错误，
故选：A.
关键点点睛：此题考查对数函数图象的应用，考查函数与方程的综合应用，解题的关键是将问题转化为函数与有四个不同的交点，然后作出函数图象，结合图象分析判断，考查数形结合的思想，属于较难题.
5．B
【分析】根据二分法的过程得到满足的方程组，由此求解出的值，即可得出答案.
【详解】因为依次确定了零点所在区间为，，，
可得，即，解得.
所以.
故选：B.
6．A
【分析】设函数的零点为，由可得出，可求出的值，可得出，进而可得出，由此可知，方程无解或方程与方程的解相同，可得出或，可求得的取值范围，进而可得出的取值范围.
【详解】设的零点为，则，
又，故，即，解得，
所以，，
所以，
因为函数与函数的零点相同，
所以方程无解或方程与方程的解相同，
若方程无解，则，解得，
若方程与方程的解相同，
等式与等式作差可得.
综上所述，，则，所以，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查依据方程的根求参数的取值范围，解题的关键在于利用函数的零点的定义得出，求出的值，进而化简函数的解析式，结合二次函数的零点问题求解.
7．D
【分析】判断函数的单调性，再利用零点存在性定理列式求出的取值范围，结合必要不充分条件的意义判断即得.
【详解】函数在上单调递增，由函数在内有零点，
得，解得，即命题成立的充要条件是，
显然成立，不等式、、都不一定成立，
而成立，不等式恒成立，反之，当时，不一定成立，
所以命题成立的一个必要不充分条件是.
故选：D
8．C
【分析】由题设有，即可求参数、的值，进而判断的单调性且，即可判断植物的高度超过至少需要多少年.
【详解】依题意可得，则，解得，
∴，
因为在定义域上单调递减，且，又在上单调递减，
所以在上单调递增，而，，
即，
∴该植物的高度超过，至少需要年.
故选：C.
9．ABC
【分析】由函数零点的定义对比选项即可得解.
【详解】对比各选项函数图象可知，其中与轴有交点的选项是ABC.
故选：ABC.
10．ABD
【分析】依题意可得函数的图象与直线没有交点，所以或恒成立，从而得到或恒成立，然后再逐一判断即可得出答案.
【详解】因为方程无实数根，即函数的图象与直线没有交点，
所以或恒成立.
因为或恒成立，
所以没有实数根，故A正确；
若，则不等式对一切实数都成立，故B正确；
若，则不等式对一切实数都成立，
所以不存在实数，使，故C错误；
若，则 ，可得 ，因此不等式对一切实数都成立，故D正确；
故选：ABD
11．BD
【分析】在同一个平面直角坐标系内作和的图象，结合图象可判断A，由图可知，且、，再结合各选项一一判断即可.
【详解】如图所示，在同一个平面直角坐标系内作和的图象，从图象可知：

要使方程有四个不同的零点，只需，选项A错误；
对于B，因为，，，
且函数关于对称，
由图可得，
且，，
所以，所以，则，
所以
令，当且仅当时取最小值，
所以，故B正确；
对于C，是的两根，所以，即，
所以，所以；由是的两根，所以，
所以，即不成立，故C错误；
对于D，由得
令，函数在在上单调递增，所以，
即，故D正确．
故选：BD
12．ACD
【分析】代入即可求解A，当时，求解的根，即可判断B，根据函数图象，结合方程的根即可判断C,画出函数和的图象，结合图象，利用函数的单调性即可求解D.
【详解】在同一坐标系中画出函数和的图象，如图所示：
计算, A正确；
方程可化为，则时，,
当时， ，解得或，
当时，，此时，
解得，
当时，，此时无交点，
故当方程有3个不同的解，B错误；
，
有图象可知，当时，，
当时，，
化简可得，解得，
结合图象可知与函数恰有两个交点，C正确，

由图象知，在,上单调递减，当,时，可化为，
，
等价于，，即，恒成立， D正确．
故选：ACD．

【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
13．1
【分析】根据二分法的原理可解.
【详解】第一次经计算可知，
说明该函数在区间内存在零点，
下次计算，.
故答案为：1
14．12
【分析】由可得，令，，分析可知与图象都关于点对称，数形结合可得结果.
【详解】由可得，
令，，则函数的定义域为，
其最小正周期，令，解得，
当时，，即函数关于点对称，
函数的定义域为，
对任意，，
所以函数图象都关于点对称，
由于函数与在上均为增函数，
则函数在上也为增函数，
当时，，，，，
作出与图象如下：

由图可知，函数与的图象有6个交点，其中这6个交点满足三对点关于点对称，
因此直线与的图象的所有交点的横坐标之和为.
故答案为：12
15．
【分析】，由题意得，在和上均至少存在一个实根，利用二次函数的性质，即可求解．
【详解】的图像经过四个象限，，
且当，，
令，
在和上均至少存在一个实根．
又,
．
实数的取值范围是．
故答案为：．
16． 6 60
【分析】（1）求解即可；
（2）作出的图象，结合题意可得，再根据基本不等式求解最小值即可.
【详解】（1），解得，故的零点为；
（2）由题意有两个零点，作出的图象可得，
且，故，即.
故，当且仅当，即时取等号.
故答案为：6；60
17．(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）由题意知，求得的取值范围；
（2）令，经判断，可得， ，可得的范围. 消去得证得.
【详解】（1）当时，函数的图象是开口向上，
且对称轴为的抛物线，的值域为，
所以的值域也为的充要条件是，
即，或，
即的取值范围为．
（2），即，
由分析知，不妨设，
令
因为在上是单调函数，
所以在上至多有一个解．
若，即就是的解，
所以，与题设矛盾．因此，
由得，所以，
由得，所以，
综上，当时，方程在上有两个解，
由和，消去得，
由，得．
18．(1)不存在，理由见解析
(2)证明见解析
(3).
【分析】（1）假设存在满足题意，即可得到，判断方程无解，即可得解；
（2）依题意可得，令，，结合零点存在性定理说明即可；
（3）依题意可得在上有解，换元、结合基本不等式求出的取值范围，即可得解.
【详解】（1）若存在，使得在中存在，，
即关于的方程，整理得.
该方程判别式，从而无解.
因此不存在，使得函数为“伴和函数”.
（2）考虑关于的方程，
即，
整理得.
记，，
对于函数，，，且其图像是连续曲线，
因此函数在区间有零点，从而在上存在零点.
不妨设其中的一个零点为，则满足，因此函数为“伴和函数”.
（3）若函数，为“伴和函数”，则关于的方程在区间上有解.
方程即，
根据对数的运算性质，方程可以整理为，
也即.
令，，则，且，
于是上式可化为.
由均值不等式，等号成立当且仅当，即.
函数的值域为，
从而函数的值域为.
因此，解得.
综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，关键是理解定义，本题实际即证明方程有解问题，以及由方程有解求参数的取值范围.
19．(1)
(2)
【分析】（1）令，解出方程即可；
（2）考查函数的单调性，可得，转化为关于x的方程有两个不同的根，换元后转化关于λ的方程有两个不同的正实数根，，列出不等式组，解出即可.
【详解】（1）若，且，则，
令，则，解得，
即函数的零点为0.
（2）因为，所以函数在定义域内单调递增，
函数在定义域内单调递增，
所以函数在定义域内单调递增.
因为函数的定义域为I，存在，
使得在上的值域为，
故，
所以关于x的方程有两个不同的根，
所以，即有两个不同的根.
令，则，
则关于λ的方程有两个不同的正实数根，，
所以，
解得，故实数t的取值范围为.
20．(1)的单调递增区间为，证明见解析
(2)
【分析】（1）由函数有唯一零点，可得，即可求出，再利用定义法求函数的增区间即可；
（2）根据函数的单调性求函数的值域即可.
【详解】（1）因为函数有唯一零点，
所以，解得（舍去），
所以，，
函数的单调递增区间为，
令，
则，
因为，所以，
所以，即，
所以函数在上单调递增，
令，
则，
因为，
所以，
所以，即，
所以函数在上单调递减，
综上所述，的单调递增区间为；
（2）由（1）知，
当时，，
所以的值域为．
21．(1)或
(2)
【分析】（1）由取整定义，对分为，，分类讨论，先确定的值，再解对数方程即可；
（2）由求得，讨论和，易得时方程无解，时，，则，化简得，结合求得，再分为和解对应不等式即可.
【详解】（1）当时，即，得（舍去）；
当时，即，得；
当时，即，得；
综上或；
（2）由题可得的定义域为又
，，
当时，，方程左边，右边，左边右边；
当时，，，
由取整定义可得：，
，
，又，
可得，解得，
当时，，即，
解得，；
当时，，即，
解得，或，
综上.
【点睛】本题重点考查了函数新定义取整的理解，形式上比较新颖，由的取整区间确定是解题关键.第二问中，由对数函数定义域求出值域，再由值域确定是突破口，解决这类嵌套函数时，去“”是解题重点，如本题中，如，则，处理这类相对复杂函数式，分类讨论法也往往是解题的重要方法！
答案第1页，共2页
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