22．3 实际问题与二次函数(2)
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能根据实际问题建立二次函数的关系式，并探求出在何时刻，实际问题能取得理想值，增强学生解决具体问题的能力．
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重点：用函数知识解决实际问题．
难点：如何建立二次函数模型．
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一、自学指导．(10分钟)
1．自学：自学课本P50，自学“探究2”，理解求实际问题中的最值与二次函数最值之间的关系，完成填空．
总结归纳：在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题，其中一些问题可以归结为求二次函数的最大值或最小值．用二次函数的知识解决实际问题时，关键是先将实际问题抽象成数学问题，即先建立二次函数关系，然后再利用二次函数的图象及性质进行解答．在二次函数y＝a(x－h)2＋k中，若a>0，当x＝h时，函数y有最小值，其值为y＝k；若a<0，当x＝h时，函数y有最大值，其值为y＝k．
点拨精讲：遇到一般式，可先化成顶点式，再求最值；自变量有取值范围的还要考虑在范围内的最值．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)
1．已知二次函数y＝x2－4x＋m的最小值是2，那么m的值是6．
2．边长为10 cm的正方形铁片，中间剪去一个边长是x cm的小正方形，剩下的四方框铁片的面积y(cm2)与x(cm)之间的函数关系是y＝－x2＋100(0＜x＜10)．
3．服装店将进价为100元的服装按x元出售，每天可销售(200－x)件，若想获得最大利润，则x应定为150元．
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一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)
探究 某经销店代销一种材料，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，每售出1吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元，设每吨材料售价为x(元)，该经销店的月利润为y(元)．
(1)当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
(2)求出y与x的函数关系式；(不要求写出x的取值范围)
(3)该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
(4)王强说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．
解：(1)45＋×7.5＝60(吨)；
(2)y＝(x－100)(45＋×7.5)，
化简，得y＝－x2＋315x－24000；
(3)y＝－x2＋315x－24000＝－(x－210)2＋9075
此经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元．
(4)我认为，王强说得不对．
理由：当月利润最大时，x为210元，而月销售额W＝x(45＋×7.5)＝－(x－160)2＋19200，当x为160元时，月销售额W最大，∴当x为210元时，月销售额W不是最大．∴王强说得不对．
点拨精讲：要分清每一吨的利润、销售量与售价的关系；分清最大利润与最大销售额之间的区别．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)
1．若抛物线y＝－x2＋bx＋c的最高点为(1，3)，则b＝________，c＝________．
2．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利 ( http: / / www.21cnjy.com )润恰好是2200元？根据以上的结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？
3．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，床位可全部租出；若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位的租出，若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出；以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床位每晚应提高多少元？
点拨精讲：在根据实际问题建立函数模型时，要考虑自变量的取值范围．(3分钟)
INCLUDEPICTURE "../../../../My%20Documents/模板处理工具最新版v%201.02/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)第2课时 二次函数与商品利润
能根据实际问题建立二次函数的关系式，并探求出在何时刻，实际问题能取得理想值，增强学生解决具体问题的能力.
阅读教材第50页，自学“探究2”，清楚求实际问题中的最值与二次函数最值之间的关系.
自学反馈 学生独立完成后集体订正
(2013·鞍山)某商场购进一批单 ( http: / / www.21cnjy.com )价为4元的日用品.若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y(件)与价格x(元/件)之间满足一次函数关系.
(1)试求y与x之间的函数关系式；
(2)当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大 每月的最大利润是多少？
解：(1)y=-10 000 x+80 000.
(2)当销售定价为6元时，每月利润最大，最大利润为40 000元.
(1)根据数量关系列出函数关系式；
(2)先建立二次函数模型，将二次函数解析式转化为顶点式，再求最值.注意自变量需符合实际意义.
活动1 小组讨论
例1 某经销店为某工厂代销一种建筑材料，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现:当每吨售价下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，综合考虑各种因素，每售出1吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元，设每吨材料售价为x(元)，该经销店的月利润为y(元).
①当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
②求出y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围)；
③该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
④小静说:“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为对吗？请说明理由.
解:①45+×7.5=60(吨).
②y=(x-100)(45+×7.5). 化简，得y=-x2+315x-24 000.
③y=-x2+315x-24 000=-(x-210)2+9 075. 此经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元.
④我认为，小静说得不对. 理由:当月利润最大时，x为210元，而月销售额W=x(45+×7.5)=-(x-160)2+19 200.当x为160元时，月销售额W最大.∴当x为210元时，月销售额W不是最大的.∴小静说得不对.
要分清利润、销售量与售价的关系；分清最大利润与最大销售额之间的区别.
活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价增加x元(x为10的正整数倍).
(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;
(2)设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；
(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？
解: (1)y=50-(0≤x≤160,且x为10的正整数倍).
(2)w=(180-20+x)(50-)=-x2+34x+8 000;
(3)一天订住34个房间时，宾馆每天的利润最大，最大利润为10 880元.
活动3 课堂小结
学生试述:这节课你学到了些什么？22．3 实际问题与二次函数(1)
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1．经历探索实际问题中两个变量的变化过程，使学生理解用抛物线知识解决最值问题的思路．
2．初步学会运用抛物线知识分析和解决实际问题．
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重难点：用抛物线知识解决实际问题．
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一、自学指导．(10分钟)
自学：自学课本P49～50，自学“探究1”，能根据几何图形及相互关系建立二次函数关系式，体会二次函数这一模型的意义．
总结归纳：图象是抛物线的，可设其解析式为y＝ax2＋bx＋c或y＝a(x－h)2＋k，再寻找条件，利用二次函数的知识解决问题；实际问题中没有坐标系，应建立适当的坐标系，再根据图象和二次函数的知识解决实际问题．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)
1．用长16 m的绳子围成如图所示的矩形框，使矩形框的面积最大，那么这个矩形框的最大面积是_m2．
2．如图，点C是线段AB上的一个动点，AB＝1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是( A )
A．当C是AB的中点时，S最小
B．当C是AB的中点时，S最大
C．当C为AB的三等分点时，S最小
D．当C是AB的三等分点时，S最大
第2题图 第3题图
3．如图，某水渠的横断面是等腰梯形，底角为120°，两腰与下底的和为4 cm，当水渠深x为时，横断面面积最大，最大面积是．
点拨精讲：先列出函数的解析式，再根据其增减性确定最值．
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一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)
探究1 某窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长为15 m(图中所有线条长度之和)，当x等于多少时，窗户通过的光线最多？此时，窗户的面积是多少？(结果精确到0.01 m)
解：由题意可知4y＋×2πx＋6x ( http: / / www.21cnjy.com )＝15，化简得y＝，设窗户的面积为S m2，则S＝πx2＋2x×＝－3x2＋x，∵a＝－3<0，∴S有最大值．∴当x＝1.25 m时，S最大值≈4.69(m2)，即当x＝1.25 m时，窗户通过的光线最多．此时，窗户的面积是4.69 m2.
点拨精讲：中间线段用x的代数式来表示，要充分利用几何关系；要注意顶点的横坐标是否在自变量x的取值范围内．
探究2 如图，从一张矩形纸片较短的边上 ( http: / / www.21cnjy.com )找一点E，过E点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？
解：设矩形纸较短边长为a，设DE＝x，则AE＝a－x，那么两个正方形的面积和y为y＝x2＋(a－x)2＝2x2－2ax＋a2，当x＝－＝a时，y最小值＝2×(a)2－2a×a＋a2＝a2.
即点E选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的面积和最小．
点拨精讲：此题要充分利用几何关系建立二次函数模型，再利用二次函数性质求解．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)
1．如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬道的宽为x米．
①用含x的式子表示横向甬道的面积；
②当三条甬道的总面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；
③根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？
点拨精讲：想象把所有的阴影部分拼在一起就是一个小梯形．
点拨精讲：解答抛物线形实际问题的一般思路：1.把实际问题中的已知条件转化为数学问题；2.建立适当的平面直角坐标系，把已知条件转化为坐标系中点的坐标；3.求抛物线的解析式；4.利用抛物线解析式结合图象解决实际问题．
INCLUDEPICTURE "../../../../My%20Documents/模板处理工具最新版v%201.02/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)22．3 实际问题与二次函数(3)
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的知识解决实际问题．
重难点：用抛物线知识解决实际问题．
一、自学指导．(10分钟)
自学：自学课本P51，自学“探究3”，学会根据实际问题，建立适当的坐标系和二次函数关系，完成填空．
总结归纳：建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤：①根据题意建立适当的平面直角坐标系；②把已知条件转化为点的坐标；③合理设出函数关系式；④利用待定系数法求出函数关系式；⑤根据求得的关系式进一步分析、判断，并进行有关的计算．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)
1．一个运动员打高尔夫球，如果球的 ( http: / / www.21cnjy.com )飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为y＝(x－30)2＋10，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为( A )
A．10 m B．20 m C．30 m D．40 m
2．某工厂大门是一个抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面3米高处各有一盏壁灯，两壁灯之间的水平距离为6米，如图所示，则厂门的高(水泥建筑物厚度不计，精确到0.1米)为( B )
A．6.8米 B．6.9米 C．7.0米 D．7.1米
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)
探究 小红家门前有一座抛物线形拱桥，如图，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m，水面下降1 m时，水面宽度增加多少？
解：由题意建立如图的直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝ax2，∵抛物线经过点A(2，－2)，∴－2＝4a，∴a＝－，
即抛物线的解析式为y＝－x2，当水面下降1 m时，点B的纵坐标为－3.将y＝－3代入二次函数解析式y＝－x2，得－3＝－x2，∴x＝±，∴此时水面宽度为2|x|＝2 (m)．即水面下降1 m时，水面宽度增加了(2－4) m.
点拨精讲：用二次函数知识解决拱桥类的实际问题一定要建立适当的直角坐标系；抛物线的解析式假设恰当会给解决问题带来方便．
二、跟踪练习：
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(11分钟)
1．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20 m，拱顶距离水面4 m.
(1)在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；
(2)在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，求出将d表示为h的函数解析式；
(3)设正常水位时桥下的水深为2 m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18 m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？
点拨精讲：以桥面所在直线为x轴，以桥拱的对称轴所在直线为y轴建立坐标系．设抛物线的解析式为y＝ax2，则点B的坐标为(10，－4)，即可求出解析式．
2．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y＝－x2＋3x＋1的一部分，如图．
(1)求演员弹跳离地面的最大高度；
(2)已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)21.3实际问题与一元二次方程（2）
（增长率问题）
学习目标
◇会运用方程模型解决增长率问题.
◇掌握增长率问题中的数量关系，会列出一元二次方程求解
◇根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理，培养分析问题、解决问题的能力.
要点归纳
★列一元二次方程解应用题的一般步骤：
(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系；
(2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；
(3)“列”是列方程，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个等量关系列出含有未知数的方程．
(4)“解”就是求出所列方程的解；
（5）“验”指检验.检验所求得的解是否符合实际意义. 如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%或是负数等.
(6)“答”就是书写答案.
★若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b.注意1和x的位置不能调换.
学情诊断
一、选择题:本大题共5小题，每小题6分，共30分。
1.（2013兰州）据调查，2011年5月兰州市的房价均价为7600/m2，2013年同期将达到8200/m2，假设这两年兰州市房价的平均增长率为x，根据题意，所列方程为（ ）
A．7600（1+x%）2=8200 B．7600（1﹣x%）2=8200
C．7600（1+x）2=8200 D．7600（1﹣x）2=8200
2.（2011贵州毕节）广州亚运会期间，某纪念品原价168元，连续两次降价后售价为128元，下列所列方程正确的是( )
A． B．
C． D．
3.（2012四川成都）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是 ，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4.（2013白银）某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A. 48（1﹣x）2=36 B. 48（1+x）2=36
C. 36（1﹣x）2=48 D. 36（1+x）2=48
5.（2013贵州省黔西南州）某机械厂七 ( http: / / www.21cnjy.com )月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A. 50（1+x2）=196 B. 50+50（1+x2）=196
C. 50+50（1+x）+50（1+x2）=196 D. 50+50（1+x）+50（1+2x）=196
二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分。
6. (2013 新疆）2009年国家扶贫开发工作重点县农村居民人均纯收入为2027元，2011年增长到3985元．若设年平均增长率为x，则根据题意可列方程为 ．
7.（2011江苏扬州）某公司4月 ( http: / / www.21cnjy.com )份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是
8. （2013黑龙江省哈尔滨市）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为 ．
9.由于电子技术的飞速发展,计算机的成本不断降低,若每隔3年计算机的价格降低,若2013年现价为2400元的某款计算机,6年前的价格为______________元.
10.为落实“两免一补”政策，某市 ( http: / / www.21cnjy.com )2012年投入教育经费2500万元，预计2014年要投入教育经费3600万元，已知2012年至2014年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2013年该市要投入的教育经费为 万元．
三、解答题：本大题共3小题，共40分。
11.（13分）（2013广 ( http: / / www.21cnjy.com )东珠海）某渔船出海捕鱼，2010年平均每次捕鱼量为10吨，2012年平均每次捕鱼量为8.1吨，求2010年﹣2012年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率．
12.（13分）（2011湖北襄阳）汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加.据统计，2008年我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到10万辆.若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变，则该品牌汽车2011年的年产量为多少万辆？
13.（14分）（2011四川广安）广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售。
（1）求平均每次下调的百分率。
（2）某人准备以开盘价均价购买一 ( http: / / www.21cnjy.com )套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？
挑战自我
14.（20分）（2011浙江义乌） ( http: / / www.21cnjy.com )商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元. 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．设每件商品降价x元. 据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
第8课时 参考答案
1.C． 2.B 3.C 4.D.
5.C. 解析：依题意得八、九月份的产量为50（1+x），50（1+x）2，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2=196．
故选C．
6.2027（1+x）2=3985
7.25%.解析：设每月增长的百分率为x ，由题意得160（1+x）2=250，解得x1=0.25,x2=-1.25
故填0.25.
8. 20%．解析：设平均每次降价的百分率为x，根据题意得：，
解得 x1 =0.1=20%，x2 =﹣1.8 （不合题意，舍去）．故答案为：20%．
9.5400．解析：设6年前的价格为a，则由题意得a(1-)2=2400,解得a=5400.
10.3000.解析：设教育经费逐年增长率为x，则由题意得2500（1+x）2=3600.
解得x1=0.2，x2=-2.2（不符合实际意义，舍去）.
所以2013年教育经费是2500（1+0.2）=3000（万元）.故填3000.
11.解：设2010年﹣2012年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率x，根据题意列方程得，
10×（1﹣x）2=8.1，
解得x1=0.1，x2=﹣1.9（不合题意，舍去）．
答：2010年﹣2012年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率为10%．
12.解：设该品牌汽车年产量的年平均增长率为x，由题意得
解得.
∵，不符合题意舍去，
∴x＝0.25＝25%.
10×（1＋25%）＝12.5
答：2011年的年产量为12.5万辆.
13.解：（1）设平均每次下调的百分率x，则6000（1－x）2=4860
解得：x1=0.1 x2=1.9（舍去）
∴平均每次下调的百分率10%
（2）方案①可优惠：4860×100×（1－0.98）=9720元
方案②可优惠：100×80=8000元
∴方案①更优惠
14.解：（1） 2x ， 50－x
（2）由题意得：（50－x）（30＋2x）=2100
化简得：x2－35x+300=0
解得：x1=15， x2=20
∵该商场为了尽快减少库存，则x=15不合题意，舍去. ∴x=20
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元.第3课时 实物抛物线
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的知识解决实际问题.
阅读教材第51页，自学“探究3”，学会根据实际问题，建立适当的坐标系和二次函数关系.
自学反馈 学生独立完成后集体订正
①隧道的截面是抛物线，且抛物线的解析式为y=-x2+2,一辆车高3 m,宽4 m，该车不能(填“能”或“不能”)通过该隧道.
②有一抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，把它的示意图放在如图所示的坐标系中，则抛物线的函数关系式为y=-x2+x.
活动1 小组讨论
例1 小红家门前有一座抛物线形拱桥，如图，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m，水面下降1 m时，水面宽度增加多少
解:由题意建立如图的直角坐标系：设抛物线的解析式为y=ax2.
∵抛物线经过点A(2，-2),∴-2=4a,∴a=-.即抛物线的解析式为y=-x2. ( http: / / www.21cnjy.com )
当水面下降1 m时，点B的纵坐标为-3.将y=-3代入二次函数解析式y=-x2，得
-3=-x2，x2=6,x=±.∴此时水面宽度为2|x|=2 m.即水面下降1 m时，水面宽度增加了(2-4)m.
用二次函数知识解决拱桥类的实际问题一定要建立适当的直角坐标系.抛物线的解析式设的恰当会给解决问题带来方便.
活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
1.有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20 m，拱顶距离水面4 m.
①如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式； ( http: / / www.21cnjy.com )
②在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，求出将d表示为h的函数解析式；
③设正常水位时桥下的水深为2 m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18 m，求水深超过多少m时就会影响过往船只在桥下顺利航行.
解：1.①y=-x2；②d=10；③当水深超过2.76 m时，就会影响过往船只在桥下顺利航行
以桥面所在直线为x轴，以桥拱的对称轴所在直线为y轴建立坐标系.设抛物线线解析式为y=ax2，然后点B的坐标为(10，-4)，即可求出解析式.
2.某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4 m加设不锈钢管如图所示的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据.
①求该抛物线的解析式；
②计算所需不锈钢管的总长度.
解：①略；②80 m.
本题可以通过建立不同的平面直角坐标系，求出不同的抛物线的解析式，但对计算总长度没有影响.
活动3 课堂小结
学生试述:这节课你学到了些什么
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.22.3 实际问题与二次函数
学习要求
灵活地应用二次函数的概念解决实际问题．
课堂学习检测
1．矩形窗户的周长是6m，写出窗户的面积y(m2)与窗户的宽x(m)之间的函数关系式，判断此函数是不是二次函数，如果是，请求出自变量x的取值范围，并画出函数的图象．
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2．如图，有一座抛物线型拱桥，已知桥下在 ( http: / / www.21cnjy.com )正常水位AB时，水面宽8m，水位上升3m， 就达到警戒水位CD，这时水面宽4m，若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶．
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3．如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1m的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6m的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4m高．球第一次落地后又弹起．据试验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
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(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；
(2)运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米 (取，)
综合、运用、诊断
4．如图，有长为24m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体(墙体的最大可用长度a＝10m)．
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(1)如果所围成的花圃的面积为45m2，试求宽AB的长；
(2)按题目的设计要求，能围成面积比45m2更大的花圃吗 如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
5．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m＝162－3x．
(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)间的函数关系式；
(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最为合适 最大销售利润为多少
6．某工厂现有80台机器，每台机器平均每天 ( http: / / www.21cnjy.com )生产384件产品．现准备增加一批同类机器以提高生产总量．在试生产中发现，由于其他生产条件没有改变，因此，每增加一台机器，每台机器平均每天将减少生产4件产品．
(1)如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请写出y与x之间的函数关系式；
(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大 最大生产总量是多少
7．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系)．
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根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；
(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
3)求第8个月公司所获利润为多少万元
拓展、探究、思考
8．已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函 ( http: / / www.21cnjy.com )数y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，且OC＝OB＝3OA．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设点D是点C关于此抛物线对称轴的对称点，直线AD，BC交于点P，试判断直线AD，BC是否垂直，并证明你的结论；
(3)在(2)的条件下，若点M，N分别是射线PC，PD上的点，问：是否存在这样的点M，N，使得以点P，M，N为顶点的三角形与△ACP全等 若存在请求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．
答案与提示
1．y＝－x2＋3x(0＜x＜3)图略． 2．5小时．
3．(1) (2)17米．
4．(1)设花圃的宽AB＝x米，知BC应为(24－3x)米，故面积y与x的关系式为
y＝x(24－3x)＝－3x2＋24x．
当y＝45时，－3x2＋24x＝45，解出x1＝3，x2＝5．
当x2＝3时，BC＝24－3×3＞10，不合题意，舍去；
当x2＝5时，BC＝24－3×5＝9，符合题意．
故AB长为5米．
(2)能围成面积比45m2更大的矩形花圃．
由(1)知，y＝－3x2＋24x＝－3(x－4)2＋48．
，
由抛物线y＝－3(x－4)2＋48知，在对称轴x＜4的左侧，y随x的增大而增大，当x＞4时，y随x的增大而减小．
∴当时，y＝－3（x－4)2＋48有最大值，且最大值为此时，BC＝10m，即围成长为10米，宽为米的矩形ABCD花圃时，其最大面积为
5．(1)y＝－3x2＋252x－4860；
(2)当x＝42时，最大利润为432元．
6．解：(1)由题意得
y＝(80＋x)(384－4x)＝－4x2＋64x＋30720．
(2)∵y＝－4x2＋64x＋30720＝－4(x－8)2＋30976，
∴当x＝8时，y有最大值，为30976．
即增加8台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量为30976件．
7．解：(1)设s与t的函数关系式为x＝at2＋bt＋c，图象上三点坐标分别为
(1，－1．5)，(2，－2)，(5，2．5)．分别代入，得
解得
(2)把s＝30代入
解得t1＝10，t2＝－6(舍去)．
即截止到10月末，公司累积利润可达到30万元．
(3)把t＝7代入
得7月末的累积利润为s7＝10．5(万元)．
把t＝8代入
得8月末的累积利润为s8＝16(万元)．
∴s8－s7＝16－10.5＝5.5(万元)．
即第8个月公司获利润5.5万元．
8．(1)y＝x2－2x－3； (2)AD⊥BC；
(3)存在，M1(1，－2)，N1(4，－3)．或M2(0，－3)，N2(3，－4)．21.3实际问题与一元二次方程（1）
（面积问题）
学习目标
◇能够熟练的利用面积建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题；
◇能够结合实际情况正确决定一元二次方程根的取舍问题；
◇熟练掌握列方程解应用题的步骤和关键．
要点归纳
★面积问题是实际生活中普遍存在的一种问题模式，正确解答此类问题的关键是用不同的方法或途径表示出同一面积，然后据此得到方程，最后要特别注意解的合理性，正确进行取舍．
学情诊断
一、选择题:本大题共5小题，每小题6分，共30分。
1．有一个面积为16 cm2的梯形，它的一条底边长为3 cm，另一条底边长比它的高线长1cm，若设这条底边长为 cm，依据题意，列出方程整理后得（ ）.
A． B．
C． D．
2．在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm，设金色纸边的宽为，那么所满足的方程是（ ）．
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
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3. 三国时期的数学家赵爽，在其 ( http: / / www.21cnjy.com )所著的《勾股圆方图注》中记载用图形的方法来解一元二次方程，四个相等的矩形（每一个矩形的面积都是35）拼成如图6所示的一个大正方形，利用所给的数据，下列方程不正确的是（ ）．
A．x(x+2)=35 B．(2x+2)2=35+4 C．4x(x+2)= (2x+2)2-4 D．x(x+2)=4×35+4
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4.从正方形铁片上截去2cm宽的一条长方形，余下部分的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（ ）．
A．8cm B．64cm C．8cm2 D．64cm2
5.如图，将面积为1363的长方形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )分割成1个灰色长方形与148个面积相等的小正方形。根据下图，若灰色长方形之长与宽的比为5：3，设小正方形的边长为x，则可列方程为（ ）
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A．5x·3x=1363 B．5x·3x=148 C．47x·29x=1363 D．47x·29x=148
二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分。
6. 一个矩形的长比宽多4 cm，面积是96 cm2，若设矩形的宽为xcm，则可得方程_____________．
7.如图9所示，是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12 的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为，则可列出关于的方程为 .
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8.在一块长35m，宽26m的矩形绿地 ( http: / / www.21cnjy.com )上准备修建宽度相同的两条五彩石小路，如图4所示，其中计划剩余绿地面积为850m2，若设小路宽为xm，则可列出方程为 ．
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9.如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为（）cm，正六边形的边长为（）cm.则这两段铁丝的总长为 .
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10.如图5所示， 8块相同的长方形地砖拼成面积为2400cm2的大矩形，则该小矩形的周长为_______．
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三、解答题：本大题共3小题，共40分。
11.（13分）利达加工厂加工一批 ( http: / / www.21cnjy.com )如图2所示的底面为正方形的长方体酒盒，按照厂家的要求它的高等于30cm，为了美观且摆放稳定，要求侧面积是底面正方形面积的8倍，你能帮助厂家计算出底面的边长吗？
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12.（13分）如图8所示是中北居民小区某一休闲场所的平面示意图．图中阴影部分是草坪和健身器材安装区，空白部分是用做散步的道路．东西方向的一条主干道较宽，其余道路的宽度相等，主干道的宽度是其余道路的宽度的2倍．这块休闲场所南北长18m，东西宽16m．已知这休闲场地中草坪和健身器材安装区的面积为168m2，请问主干道的宽度为多少？
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13.（14分）在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案．
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同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由.
挑战自我
14.（20分）把一张边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当地裁剪，折成一个长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．
（1）如图，若再正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．要使折成的长方体盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？
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（2）若再正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子．若折成的一个长方体盒子的表面积为550cm2，求此时长方体盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）．
第9课时 参考答案
1.A．解析：根据梯形的面积公式得，整理得.故选A.
2. B.解析：由题意得80×50+2×80x+2×50x+4x2=5400,整理得，故选B.
3.D.解析：选项A中，等量关系是每个矩形的面积都是35列方程；选项B中，等量关系是四个矩形以及中间的小正方形围成的面积正好是大正方形的面积；选项C中，等量关系是大正方形的面积减去中间小正方形的面积是四个矩形的面积；选项D不正确.
4.D．解析：设原来正方形的边长 ( http: / / www.21cnjy.com )为x，由题意得x2=2x+48,解得x1=-6(舍去)，x2=8.故原正方形的面积是64 cm2，选D.
5.C.解析：根据长方形对边相等的性质可知，灰色长方形的一条长边和一条宽边上可排列的小正方形的个数为个，根据灰色长方形之长与宽的比为5：3，可知灰色长方形的长边上可排列的小正方形的个数为45个，宽边上可排列的小正方形的个数为27个，那么AD边上可排列的小正方形的个数为49个，AB边上可排列的小正方形的个数为29个，根据长方形的面积公式可得47x·29x=1363.故选C.
6. x（x+4）=96.
7.（9－2x）（5－2x）=12.
8.. 解析：将小路平移到矩形绿地的相邻的两条边上，可得方程（35-x）（26-x）=850,即.
9.420cm.解析：由已知得，正五边形周长为5（）cm，正六边形周长为6（）cm.因为正五边形和正六边形的周长相等，所以.
整理得,解得(舍去).
故正五边形的周长为(cm).
又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420cm.
10.80cm.解析：设小矩形的宽为x ( http: / / www.21cnjy.com )，则由图像可得小矩形的长为3x，由题意得8x·3x=2400，解得x1=10,x2=-10（舍去），所以小矩形的周长为2（10+3×10）=80，故填80cm.
11.解：设底面的边长为x，根据题意，得8×x=4×x×30.
整理，得x－15x=0.
解得x（x－15）=0.
∴(不合题意，舍去)，.
答：酒盒底面的边长为15cm．
12.解：设主干道的宽度为2xm，则其余道路宽为xm.
根据题意，得（16-4x）(18-4x)=168.
整理，得，．当时，16-4x<0，不合题意，故舍去．
当x=1时，2x=2．
答：主干道的宽度为2m．
13.解：不符合．
设小路宽度均为 m，根据题意，得.
整理、化简，得x2-14x+24=0.解得(不合题意，舍去).
小芳的方案不符合条件，小路的宽度均为2m．
14.解：（1）设剪掉的正方形的边长为xcm，
则(40-2x)2=484，
即40-2x=±22，解得x1=31（不合题意，舍去），x2=9．
∴剪掉的正方形的边长为9cm．
（2）在如图的一种裁剪图中，设剪掉的正方形的边长为xcm，
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2(40-2x)(20-x)+2x(20-x)+2x(40-2x)=550，
解得x1=-35（不合题意，舍去），x2=15．
∴剪掉的正方形的边长为15cm．
此时长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为5cm．22.3 实际问题与二次函数
第1课时 二次函数与图形面积
能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的图象和性质求出实际问题的答案.
阅读教材第49至50页,自学“探究1”，能根据几何图形及相互关系建立二次函数关系式，体会二次函数这一模型的意义.
自学反馈 学生独立完成后集体订正
①如图，点C是线段AB上的一点，AB=1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是(A)
A.当C是AB的中点时，S最小
B.当C是AB的中点时，S最大
C.当C为AB的三等分点时，S最小
D.当C是AB的三等分点时，S最大
②用长8 m的铝合金制成如图所示的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是 m2.
第②题图 第③题图
③如图所示，某村修一条水渠，横断面是等腰梯形，底角为120°，两腰与下底的和为4 cm，当水渠深x为时，横断面面积最大，最大面积是.
先列出函数的解析式，再根据其增减性确定最值.
活动1 小组讨论
例1 某建筑的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料长为15 m(图中所有线条长度之和)，当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01 m)？此时，窗户的面积是多少？
解:由题意可知4y+×2πx+7x=15.化简得y=.
设窗户的面积为S m2，则S=πx2+2x×=-3.5x2+7.5x.
∵a=-3. 5<0，∴S有最大值.∴当x=-=≈1.07 (m)时，
S最大=≈4.02(m2).即当x≈1.07 m时，窗户通过的光线最多.
此时，窗户的面积是4.02 m2.
此题较复杂，特别要注意:中间线段用x的代数式来表示时，要充分利用几何关系；要注意顶点的横坐标是否在自变量x的取值范围内.
活动2 跟踪训练(小组讨论解题思路共同完成并展示)
如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，两腰之间有两条竖直甬道，且它们的宽度相等，设甬道的宽为x米.
①用含x的式子表示横向甬道的面积；
②当三条甬道的总面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；
③根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？
解：①150x m2；②5 m；③当甬道宽度为6 m时，所建花坛总费用最少，为238.44万元.
想象把所有的阴影部分拼在一起就是一个小梯形.
活动1 小组讨论
例2 如图，从一张矩形纸较短的边上找一点E，过E点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE、DE，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？
解:设矩形纸较短边长为a，设DE=x，则AE=a-x.
那么两个正方形的面积和y为y=x2+(a-x)2=2x2-2ax+a2.当x=a时，
y最小=2×(a)2-2a×a+a2=a2. 即点E选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的面积和最小.
此题关键是充分利用几何关系建立二次函数模型，再利用二次函数性质求解.
活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
如图，有一块空地，空地外有一面长 ( http: / / www.21cnjy.com )10 m的围墙，为了美化生活环境，准备靠墙修建一个矩形花圃，用32 m长的不锈钢作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为1 m的通道及在左右花圃各放一个1 m宽的门，花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？
解：当x=6.25 m时，面积最大为56.25 m2 .
此题要结合函数图象求解，顶点不在取值范围内.
活动3 课堂小结
学生试述:这节课你学到了些什么？
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.
