17.1　勾股定理 课后练习题（含答案）2023-2024学年人教版数学八年级下册

第十七章　勾股定理
17.1　勾股定理
一、选择题
1．在△ABC中，∠A＝90°，则下列各式中不成立的是 ( )
A．BC2＝AB2＋AC2 B．AB2＝AC2＋BC2
C．AB2＝BC2－AC2 D．AC2＝BC2－AB2
2．为准备召开新年晚会，大宏搬来一架高2.5 m的木梯，准备把拉花挂到2.4 m高的墙上，则梯脚与墙角的距离为（ ）
A．0.7 m B．0.8 m C．0.9 m D．1.0 m
3．如图，在一个高为5 m，长为13 m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少应是 （ ）
A．13 m　　B．17 m　　C．18 m　　D．25 m
4．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是2，4，6，8，10，选取其中三块(可重复选取)按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是 ( )
A．2，8，10 B．4，6，10 C．6，8，10 D．4，4，8
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝，则BC的长为 ( )
A．3　B.＋1　C.－1　D.＋1
6.如图，车库宽AB的长为3.2米，一辆宽为1.7米（即MN＝1.7米）的汽车正直停入车库（MN∥AB），车门长为1.2米，当左侧车门CD接触到墙壁时，车门与车身的夹角∠CDE为45°，此时右侧车门GH开至最大的宽度FG的长为（　　）
A.0.3米 B.米
C.米 D.米
二、填空题
7．三个正方形的面积如图所示，则S的值为 .
8．如图，一圆柱体的底面周长为24 cm，高AB为5 cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是 .
9．如图，水上乐园的滑梯是一直角梯形，AD＝AB，若高BC＝4 m，CD＝2 m，则滑道AD的长为 .
10．如图，A(8，0)，C(－2，0)，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为 ．
11．如图，数轴上点A所表示的实数是 .
三、解答题
12.在直角三角形中，已知两边长为6和8，求第三边的长．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为点N.求证：AN2－BN2＝AC2.
14．如图是一副秋千架，图①是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5 m(踏板厚度忽略不计)，图②是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B的位置时，点B离地面的垂直高度BC为1 m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5 m(不考虑支柱的直径)．求秋千支柱AD的高．
16.如图①，老旧电视机屏幕的长宽比为4∶3，但是多数电影图像的长宽比为2.4∶1，故在播放电影时电视机屏幕的上方和下方会有两条等宽的黑色带子.
（1）若图①中电视机屏幕为20寸（即屏幕对角线长度）.
①该屏幕的长＝ 　　 寸，宽＝ 　　 寸.
②已知“屏幕浪费比＝”，求该电视机屏幕的浪费比.
（2）为了兼顾电影的收视需求，一种新的屏幕的长宽比诞生了.如图②，这种屏幕（长方形ABCD）恰好包含面积相等且长宽比分别为4∶3的屏幕（长方形EFGH）与2.4∶1的屏幕（长方形MNPQ）.求这种屏幕长宽的比值（参考数据：≈2.2，结果精确到0.1）.
17．如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.
(1)求DB的长；
(2)在△ABC中，求BC边上高的长．
9
参考答案
一、选择题
1．在△ABC中，∠A＝90°，则下列各式中不成立的是 ( B )
A．BC2＝AB2＋AC2 B．AB2＝AC2＋BC2
C．AB2＝BC2－AC2 D．AC2＝BC2－AB2
2．为准备召开新年晚会，大宏搬来一架高2.5 m的木梯，准备把拉花挂到2.4 m高的墙上，则梯脚与墙角的距离为（ A ）
A．0.7 m B．0.8 m C．0.9 m D．1.0 m
3．如图，在一个高为5 m，长为13 m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少应是 （ B ）
A．13 m　　B．17 m　　C．18 m　　D．25 m
4．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是2，4，6，8，10，选取其中三块(可重复选取)按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是 ( B )
A．2，8，10 B．4，6，10 C．6，8，10 D．4，4，8
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝，则BC的长为 ( D )
A．3　B.＋1　C.－1　D.＋1
6.如图，车库宽AB的长为3.2米，一辆宽为1.7米（即MN＝1.7米）的汽车正直停入车库（MN∥AB），车门长为1.2米，当左侧车门CD接触到墙壁时，车门与车身的夹角∠CDE为45°，此时右侧车门GH开至最大的宽度FG的长为（　B　）
A.0.3米 B.米
C.米 D.米
二、填空题
7．三个正方形的面积如图所示，则S的值为 .
【答案】9
8．如图，一圆柱体的底面周长为24 cm，高AB为5 cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是 .
【答案】13cm
9．如图，水上乐园的滑梯是一直角梯形，AD＝AB，若高BC＝4 m，CD＝2 m，则滑道AD的长为 .
【答案】5m
10．如图，A(8，0)，C(－2，0)，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为 ．
【答案】(0，6)
11．如图，数轴上点A所表示的实数是 .
【答案】－1
三、解答题
12.在直角三角形中，已知两边长为6和8，求第三边的长．
设第三边为x，当x为斜边时，由勾股定理得x2＝62＋82.
∴x＝＝＝＝10.
当x为直角边时，由勾股定理得x2＋62＝82.
∴x＝＝＝＝2.
∴这个三角形的第三边长为10或2.
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为点N.求证：AN2－BN2＝AC2.
证明：∵MN⊥AB于点N，
∴AN2＝AM2－MN2，BN2＝BM2－MN2.
∴AN2－BN2＝AM2－BM2.
又∵∠C＝90°，∴AM2＝AC2＋CM2.
∴AN2－BN2＝AC2＋CM2－BM2.
又∵AM是△ABC的中线，
∴CM＝BM.∴AN2－BN2＝AC2.
14．如图是一副秋千架，图①是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5 m(踏板厚度忽略不计)，图②是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B的位置时，点B离地面的垂直高度BC为1 m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5 m(不考虑支柱的直径)．求秋千支柱AD的高．
解：设AD＝x m．由题意，得
AB＝(x－0.5) m，AE＝(x－1) m.
在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2，
即(x－1)2＋1.52＝(x－0.5)2.
解得x＝3.
答：秋千支柱AD的高为3 m.
15.如图①，老旧电视机屏幕的长宽比为4∶3，但是多数电影图像的长宽比为2.4∶1，故在播放电影时电视机屏幕的上方和下方会有两条等宽的黑色带子.
（1）若图①中电视机屏幕为20寸（即屏幕对角线长度）.
①该屏幕的长＝ 　　 寸，宽＝ 　　 寸.
②已知“屏幕浪费比＝”，求该电视机屏幕的浪费比.
（2）为了兼顾电影的收视需求，一种新的屏幕的长宽比诞生了.如图②，这种屏幕（长方形ABCD）恰好包含面积相等且长宽比分别为4∶3的屏幕（长方形EFGH）与2.4∶1的屏幕（长方形MNPQ）.求这种屏幕长宽的比值（参考数据：≈2.2，结果精确到0.1）.
解：（1）①16；12
②设在该屏幕上播放长宽比为2.4∶1的视频时，视频的宽为a寸.
∴16∶a＝2.4∶1，解得a＝.
∴黑色带子的宽的和＝12－＝（寸）.
∴屏幕浪费比＝＝.
（2）由题意得＝，＝，∴PQ＝BC，FG＝EF.
∵S长方形EFGH＝S长方形MNPQ，
∴BC·BC＝EF·EF.
∴＝，
∴＝≈1.8.
答：这种屏幕长宽的比值约为1.8.
16．如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.
(1)求DB的长；
解：(1)∵DB⊥BC，∴∠DBC＝90°.
又∵BC＝4，CD＝5，
∴在Rt△DBC中，
由勾股定理得BD＝
＝＝3.
(2)在△ABC中，求BC边上高的长．
(2)延长BD至点E，使ED＝BD，连接AE.
∵D是AC的中点，∴AD＝CD.
易证△BDC≌△EDA(SAS)，
∴∠AED＝∠DBC＝90°，∴BE⊥AE，
∴BE等于△ABC中BC边上的高，
∴BE＝DE＋BD＝2BD＝6.
即在△ABC中，BC边上高的长为6.