人教版八年级下册17.2　勾股定理的逆定理 课后练习题（含答案）

第十七章　勾股定理
17.2　勾股定理的逆定理
一、选择题
1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 （ ）
A．4，6，8 B．6，8，9
C．5，12，13 D．5，11，12
2．在下列各组数中，是勾股数的是 （ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
3．一辆汽车从点A出发沿正东方向行驶30 km到达点B，然后转向行驶40 km到达点C，最后从点C沿CA方向直接回到出发点A.如果汽车从出发到返回共行驶了120 km，那么BC的方向是 ( )
A．正东或正西 B．正南
C．正北 D．正南或正北
4．下列各定理中有逆定理的是 （ ）
A．两直线平行，同旁内角互补
B．若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等
C．对顶角相等
D．如果a＝b，那么a2＝b2
5．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，取AE＝2，DF＝1.图中共有直角三角形 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，AD为△ABC的中线，且AB＝13，BC＝10，AD＝12，则AC等于（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
二、填空题
7．“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是
，这个命题是 (填“正确”或“错误”)的．
8．已知△ABC的三边长分别为9，40，41，则△ABC的面积为 .
9．已知三角形的三边长之比为1∶1∶，则此三角形一定是 三角形．
10．一组勾股数，若其中两个为15，8，则第三个数为 .
11．某校要对如图所示的一块地进行绿化，已知AD＝4 m，CD＝3 m，AD⊥DC，AB＝13 m，BC＝12 m，则这块地的面积为 m2.
三、解答题
12．判断由线段a，b，c组成的三角形是否是直角三角形．
(1)a＝7，b＝24，c＝25；
(2)a＝6，b＝5，c＝4.
13．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6.在△ABE中，DE是AB边上的高，DE＝7.若△ABE的面积是35，求∠C的度数．
14．如图，小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60 m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80 m到达菜地C处浇水，最后沿第三方向走100 m回到家A处，问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由．
15．某花园小区有一空地(如图所示的△ABC)，为美化小区，居委会准备将其开发种植花草，经测量，AB＝26 m，BC＝20 m，BC边上的中线AD＝24 m．如果每平方米种植花草需要50元，那么种植这块三角形空地需要多少钱？
16．(1)小欢在研究勾股数时发现，某些正整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差，我们把这样的勾股数叫做完美勾股数．如3，4，5中，5＝22＋12，3＝22－12；5，12，13中，13＝32＋22，5＝32－22.判断8，15，17和9，40，41这两组勾股数是不是完美勾股数，并说明理由；
(2)有一个直角三角形两直角边长分别为和，斜边长为4，且a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值．
1
参考答案
一、选择题
1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 （ C ）
A．4，6，8 B．6，8，9
C．5，12，13 D．5，11，12
2．在下列各组数中，是勾股数的是 （ C ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
3．一辆汽车从点A出发沿正东方向行驶30 km到达点B，然后转向行驶40 km到达点C，最后从点C沿CA方向直接回到出发点A.如果汽车从出发到返回共行驶了120 km，那么BC的方向是 ( D )
A．正东或正西 B．正南
C．正北 D．正南或正北
4．下列各定理中有逆定理的是 （ A ）
A．两直线平行，同旁内角互补
B．若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等
C．对顶角相等
D．如果a＝b，那么a2＝b2
5．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，取AE＝2，DF＝1.图中共有直角三角形 （ D ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，AD为△ABC的中线，且AB＝13，BC＝10，AD＝12，则AC等于（ D ）
A．10 B．11 C．12 D．13
二、填空题
7．“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是
，这个命题是 (填“正确”或“错误”)的．
【答案】两边上的高相等的三角形是等腰三角形 正确
8．已知△ABC的三边长分别为9，40，41，则△ABC的面积为 .
【答案】180
9．已知三角形的三边长之比为1∶1∶，则此三角形一定是 三角形．
【答案】等腰直角
10．一组勾股数，若其中两个为15，8，则第三个数为 .
【答案】17
11．某校要对如图所示的一块地进行绿化，已知AD＝4 m，CD＝3 m，AD⊥DC，AB＝13 m，BC＝12 m，则这块地的面积为 m2.
【答案】24
三、解答题
12．判断由线段a，b，c组成的三角形是否是直角三角形．
(1)a＝7，b＝24，c＝25；
(2)a＝6，b＝5，c＝4.
解：（1）∵a＝7，b＝24，c＝25且a∴由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形．
解：（2）∵a＝6，b＝5，c＝4，且c∴由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形．
13．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6.在△ABE中，DE是AB边上的高，DE＝7.若△ABE的面积是35，求∠C的度数．
解：在△ABE中，
DE为AB边上的高，DE＝7，
∴S△ABE＝·AB·DE＝35.
∴AB＝10.∵AC＝8，BC＝6，
∴AC2＋BC2＝64＋36＝100＝AB2.
∴△ABC为直角三角形．∴∠C＝90°.
14．如图，小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60 m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80 m到达菜地C处浇水，最后沿第三方向走100 m回到家A处，问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由．
解：小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的，
理由：∵AB＝60，
BC＝80，AC＝100，
∴AB2＋BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°，
∵∠NBA＝∠BAD＝30°，
∴∠MBC＝60°.
15．某花园小区有一空地(如图所示的△ABC)，为美化小区，居委会准备将其开发种植花草，经测量，AB＝26 m，BC＝20 m，BC边上的中线AD＝24 m．如果每平方米种植花草需要50元，那么种植这块三角形空地需要多少钱？
解：∵AD是中线，BC＝20 m，∴BD＝BC＝10 m.
又∵102＋242＝262，即BD2＋AD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形．∴AD⊥BC.
∴S△ABC＝BC·AD＝×20×24＝240(m2)．
∵每平方米种植花草需要50元，
∴共需50×240＝12 000(元)．
答：种植这块三角形空地需要12 000元．
16．(1)小欢在研究勾股数时发现，某些正整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差，我们把这样的勾股数叫做完美勾股数．如3，4，5中，5＝22＋12，3＝22－12；5，12，13中，13＝32＋22，5＝32－22.判断8，15，17和9，40，41这两组勾股数是不是完美勾股数，并说明理由；
(2)有一个直角三角形两直角边长分别为和，斜边长为4，且a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值．
解：(1)∵17＝42＋12，15＝42－12，
∴8，15，17是完美勾股数；
∵41＝52＋42，9＝52－42，
∴9，40，41是完美勾股数．
(2)由勾股定理得7a－7＋(150－30b)＝16×15，∴a＝.
由题意可知7a－7＞0，150－30b＞0，
∴a＞1，0＜b＜5.∵a和b均为正整数，∴b的可能值为1，2，3，4.
当b＝1时，a＝，不是正整数，不合题意；
当b＝2时，a＝，不是正整数，不合题意；
当b＝3时，a＝，不是正整数，不合题意；
当b＝4时，a＝31，是正整数，
此时＝，＝.
∵()2＋()2＝240，(4)2＝240，
∴()2＋()2＝(4)2，
∴b＝4符合题意．即a＝31，b＝4.