第十七章 勾股定理 章末复习题（含答案） 2023-2024学年人教版数学八年级下册

第十七章　勾股定理
章末复习题
一、选择题
1．在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为 （ ）
A．5　　　　B．6　　　　C．7　　　　D．8
2．在△ABC中，AB＝，BC＝，AC＝，则 ( )
A．∠B＋∠C＝90° B．∠A＋∠C＝90°
C．∠A＋∠B＝90° D．∠B＝∠C
3．下列命题的逆命题是真命题的是 ( )
A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．全等三角形的面积相等
C．如果a＞0，b＞0，那么ab＞0 D．两直线平行，内错角相等
4．下列定理中，没有逆定理的是 ( )
A．等腰三角形的两个底角相等 B．对顶角相等
C．三边对应相等的两个三角形全等 D．直角三角形两个锐角的和等于90°
5．如图①是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC.若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则点B到OC的距离为 （ ）
A. B. C．1 D．2
6．将长为8 cm的橡皮筋放置在水平桌面上，固定两端，然后把中点竖直向上拉升3 cm，则橡皮筋被拉长了 ( )
A．2 cm　 B．3 cm　 C．4 cm　 D．5 cm
7．为了打造“绿洲”，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，已知AB＝10 m，BC＝15 m，∠B＝120°，这种草皮每平方米售价2a元，则购买这种草皮需要 ( )
A．75a元 B．50a元 C.a元 D．150a元
8．如图，正方形ABCB1中，AB＝1，AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4…依此规律，则A2 021A2 022的长度为 ( )
A．()2 021 B．()2 022
C．2()2 021 D．2()2 022
二、填空题
9．将一根25 cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8 cm，6 cm，10 cm的长方体无盖盒子中，则细木棒在盒子外面的最短长度是 cm.
10．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60 cm，则它的面积是 cm2.
11.有一长、宽、高分别为5 cm、4 cm、3 cm的木箱,在它里面放入一根细木条(木条的粗细、形变忽略不计),要求木条不能露出木箱.请你算一算,能放入的细木条的最大长度是 .
12.如图,Rt△ABC纸片中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点D在边BC上,以AD为折痕的△ABD折叠得到△AB'D,AB'与边BC交于点E,若△DEB'为直角三角形,则BD的长是 .
三、解答题
13．如图，△ABC和△DCE都是边长为2的等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，连接BE，求BE的长．
14．下图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26 m，长方形CDEF为一木质平台的主视图．小敏经过现场测量得知：CD＝1 m，AD＝15 m，于是小敏大胆猜想立柱AB段的长为10 m，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，
如果错误，请求出立柱AB段的正确长度．
15．如图，每个小正方形的边长都为1.
(1)CD＝ ，BC＝ ；
(2)求四边形ABCD的面积与周长；
(3)求证：∠BCD＝90°.
16．如图，AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝90°.
(1)求证：CE＝BD；
(2)若AC＝2，CE＝4，DC＝2，求∠ACD的度数；
(3)在(2)的条件下，则DE的长为 .
17.在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC.
(1)如图①，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF.若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；
(2)连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图②，若AB2＝AE2＋BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明.
5
参考答案
一、选择题
1．在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为 （ A ）
A．5　　　　B．6　　　　C．7　　　　D．8
2．在△ABC中，AB＝，BC＝，AC＝，则 ( A )
A．∠B＋∠C＝90° B．∠A＋∠C＝90°
C．∠A＋∠B＝90° D．∠B＝∠C
3．下列命题的逆命题是真命题的是 ( D )
A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．全等三角形的面积相等
C．如果a＞0，b＞0，那么ab＞0 D．两直线平行，内错角相等
4．下列定理中，没有逆定理的是 ( B )
A．等腰三角形的两个底角相等 B．对顶角相等
C．三边对应相等的两个三角形全等 D．直角三角形两个锐角的和等于90°
5．如图①是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC.若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则点B到OC的距离为 （ B ）
A. B. C．1 D．2
6．将长为8 cm的橡皮筋放置在水平桌面上，固定两端，然后把中点竖直向上拉升3 cm，则橡皮筋被拉长了 ( A )
A．2 cm　 B．3 cm　 C．4 cm　 D．5 cm
7．为了打造“绿洲”，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，已知AB＝10 m，BC＝15 m，∠B＝120°，这种草皮每平方米售价2a元，则购买这种草皮需要 ( A )
A．75a元 B．50a元 C.a元 D．150a元
8．如图，正方形ABCB1中，AB＝1，AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4…依此规律，则A2 021A2 022的长度为 ( C )
A．()2 021 B．()2 022
C．2()2 021 D．2()2 022
二、填空题
9．将一根25 cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8 cm，6 cm，10 cm的长方体无盖盒子中，则细木棒在盒子外面的最短长度是 cm.
【答案】5
10．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60 cm，则它的面积是 cm2.
【答案】120
11.有一长、宽、高分别为5 cm、4 cm、3 cm的木箱,在它里面放入一根细木条(木条的粗细、形变忽略不计),要求木条不能露出木箱.请你算一算,能放入的细木条的最大长度是 .
【答案】5 cm
12.如图,Rt△ABC纸片中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点D在边BC上,以AD为折痕的△ABD折叠得到△AB'D,AB'与边BC交于点E,若△DEB'为直角三角形,则BD的长是 .
【答案】2或5
三、解答题
13．如图，△ABC和△DCE都是边长为2的等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，连接BE，求BE的长．
解：过点E作EF⊥BD，垂足为点F.
∵△DCE为等边三角形，
∴EF是△DCE的中线，
∴CF＝CD＝1.∴BF＝BC＋CF＝2＋1＝3.
在Rt△EFC中，由勾股定理，得
EF2＝EC2－CF2＝22－12＝3.
在Rt△EFB中，由勾股定理，得
BE2＝BF2＋EF2＝32＋3＝12，∴BE＝2.
14．下图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26 m，长方形CDEF为一木质平台的主视图．小敏经过现场测量得知：CD＝1 m，AD＝15 m，于是小敏大胆猜想立柱AB段的长为10 m，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，
如果错误，请求出立柱AB段的正确长度．
解：错误．延长FC交AB于点G，则CG⊥AB，
AG＝CD＝1 m，
GC＝AD＝15 m，
设BG＝x m，则BC＝(26－1－x)m，
在Rt△BGC中，∵BG2＋CG2＝CB2，
∴x2＋152＝(26－1－x)2，解得x＝8，
∴BA＝BG＋GA＝8＋1＝9(m)，
∴小敏的猜想错误，立柱AB段的正确长度为9 m.
15．如图，每个小正方形的边长都为1.
(1)CD＝ ，BC＝ ；
【答案】 2
(2)求四边形ABCD的面积与周长；
(3)求证：∠BCD＝90°.
(2)解：∵AB＝5，AD＝＝，
∴四边形ABCD的周长为
2＋＋5＋＝＋3＋5，
∴S四边形ABCD＝4×5－×2×4－×1×2－　×1×3－1×1＝12.5.
(3)证明：连接BD，则BD2＝32＋42＝25.
∵BC2＋CD2＝(2)2＋()2＝20＋5＝25，
∴BC2＋CD2＝BD2，∴∠BCD＝90°.
16．如图，AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝90°.
(1)求证：CE＝BD；
(2)若AC＝2，CE＝4，DC＝2，求∠ACD的度数；
(3)在(2)的条件下，则DE的长为 .
(1)证明：
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即∠EAC＝∠DAB.
易证△ACE≌△ABD(SAS)．∴CE＝BD.
(2)解：∵△ACE≌△ABD，∴DB＝EC＝4，
在Rt△ABC中，AB2＋AC2＝BC2，∴BC2＝8.
在△DBC中，BC2＋DC2＝BD2，∴∠DCB＝90°，
∴∠ACD＝∠DCB＋∠ACB＝90°＋45°＝135°.
(3)【答案】2
17.在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC.
(1)如图①，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF.若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；
(2)连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图②，若AB2＝AE2＋BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明.
(1)【证明】在△BCD和△FCE中，
∴△BCD≌△FCE(SAS).∴∠DBC＝∠EFC.∴BD∥EF.
∵AF⊥EF，∴BD⊥AF.
(2)【解】由题意补全图形如图②.CD＝CH.
证明：延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BF.
又∵BC＝CF，∴AB＝AF.由(1)可知BD∥EF，△BCD≌△FCE，则BD＝EF，
∵AB2＝AE2＋BD2，∴AF2＝AE2＋EF2.∴∠AEF＝90°.∴AE⊥EF.
∴BD⊥AE.∴∠DHE＝90°.又∵CD＝CE，∴CH＝CD.