(共26张PPT)
期末提分练案
第5讲 因式分解
1 考点梳理与达标训练
一、选择题（每题4分，共32分）
1.下列因式分解正确的是（ D ）
A.x2－x＝x（x＋1）
B.a2－3a－4＝（a＋4）（a－1）
C.a2＋2ab－b2＝（a－b）2
D.x2－y2＝（x＋y）（x－y）
D
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2.已知二次三项式2x2＋bx＋c因式分解为2（x－3）（x＋1），则b，c的值为（ D ）
A.b＝3，c＝－1 B.b＝－6，c＝2
C.b＝－6，c＝4 D.b＝－4，c＝－6
D
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3.利用因式分解，简便计算57×99＋44×99－99，正确的是（ B ）
A.99×（57＋44）＝99×101＝9 999
B.99×（57＋44－1）＝99×100＝9 900
C.99×（57＋44＋1）＝99×102＝10 098
D.99×（57＋44－99）＝99×2＝198
B
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4.下列多项式能用公式法分解因式的是（ D ）
A.a2－b B.a2＋b2
C.a2＋ab＋b2 D.a2－6a＋9
D
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5.【教材P105复习题T7（1）改编】计算＋的结果为（ B ）
A. B.－
C. D.－
B
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6.【教材P105复习题T12改编】若△ABC的三边长a，b，c满足a2－2bc＝c2－2ab，则△ABC一定是（ A ）
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.锐角三角形
A
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7.已知a2＋b2＋4b－2a＋5＝0，则的值为（ D ）
A.3 B. C.－3 D.－
D
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8.若a是整数，则a2叫做完全平方数.若自然数x2是一个完全平方数，则下一个完全平方数是（ D ）
A.x＋1 B.x2＋1
C.x2＋x＋1 D.x2＋2x＋1
D
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二、填空题（每题5分，共20分）
9.【2022·扬州】分解因式：3m2－3＝__________________ .
3（m＋1）（m－1)
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10.如果x2＋2（m－3）x＋25能用公式法分解因式，那么m的值是_________ .
8或－2
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11.已知关于x的二次三项式2x2＋mx＋n，因式分解的结果是（2x－1），则m＝ － ，n＝ － .
－
－
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12.【学科素养·模型观念】甲、乙两个农户各有两块地，如图所示（单位：m），今年这两个农户决定共同投资搞养殖，为此，他们准备将这四块地换成一块地，所换地的长为（a＋b）m，为了使所换地的面积与原来四块地的总面积相等，所换地的宽应该是__________ m.
（a＋c）
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点拨：四块地的总面积是a2＋bc＋ac＋ab＝a（a＋c）＋b（a＋c）＝（a＋c）（a＋b）（m2），则所换地的宽是（a＋c）m.
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三、解答题（共48分）
13.（16分）因式分解：
（1）－12a2bc2＋6ab2c－8a2b2；
解：（1）－12a2bc2＋6ab2c－8a2b2，
＝－2ab（6ac2－3bc＋4ab）；
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（2）4x3y－36xy3；
解：（2）4x3y－36xy3
＝4xy（x2－9y2）
＝4xy（x－3y）（x＋3y）；
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（3）3x2－9x－30；
解：（3）3x2－9x－30
＝3（x2－3x－10）
＝3（x－5）（x＋2）；
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（4）9x2（a－b）＋y2（b－a）.
解：（4）9x2（a－b）＋y2（b－a）
＝9x2（a－b）－y2（a－b）
＝（a－b）（9x2－y2）
＝（a－b）（3x＋y）（3x－y）.
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14.（10分）【2023·厦门五缘实验学校期中】利用因式分解说明：32 022－4×32 021＋10×32 020能被7整除.
解：∵32 022－4×32 021＋10×32 020
＝32 020×（9－12＋10）
＝32 020×7，
∴32 022－4×32 021＋10×32 020能被7整除.
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15.（10分）【2023·山东实验中学质检】如果多项式
x2－3x＋m分解因式的结果为x2－3x＋m＝（x－2）
（x＋n），则当x－2＝0时可得x2－3x＋m＝0，此时可
把x＝2代入x2－3x＋m＝0中得出m＝2.
利用上述阅读材料解答以下两个问题：
（1）若多项式x2＋kx－8有一个因式为x－2，求k的值.
解：（1）令x－2＝0，即当x＝2时，得4＋2k－8＝0，
解得k＝2.∴k的值为2.
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（2）若x＋2，x－1是多项式2x3＋ax2＋7x＋b的两个因式，求a，b的值.
15.（10分）【2023·山东实验中学质检】如果多项式
x2－3x＋m分解因式的结果为x2－3x＋m＝（x－2）
（x＋n），则当x－2＝0时可得x2－3x＋m＝0，此时可
把x＝2代入x2－3x＋m＝0中得出m＝2.
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解：（2）令x＋2＝0，即当x＝－2时，得
－16＋4a－14＋b＝0①，
令x－1＝0，即当x＝1时，得
2＋a＋7＋b＝0②，
由①②，得a＝13，b＝－22.
∴a的值为13，b的值为－22.
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16.（12分）在一次数学综合与实践活动中，同学们需要制作如图①所示的三种卡片，其中卡片①是边长为a的正方形；卡片②是长为b，宽为a的长方形；卡片③是边长为b的正方形.
（1）卡片①，卡片②，卡片③的面积之和为_______________________ .
a2＋ab＋b2
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（2）小明制作了2张卡片①，3张卡片②，1张卡片③，并用这些卡片无缝无叠合拼成如图②所示的大长方形，请根据图②的面积写一个多项式的因式分解为______________
______________________ .
2a2＋3ab＋b2
＝（2a＋b）（a＋b）
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（3）小刚将自己制作的2张卡片①和1张卡片②送给小明，小明用所有卡片重新无缝无叠合拼成一个大的正方形M，若a＝1.6，b＝2.8，求正方形M的边长.
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解：根据题意得，正方形M的面积
为4a2＋4ab＋b2＝（2a＋b）2，
所以正方形M的边长为（2a＋b），当a＝1.6，b＝2.8时，
2a＋b＝3.2＋2.8＝6，故正方形M的边长为6.(共14张PPT)
期末提分练案
第5讲 因式分解
2 素养专项提升 专项 因式分解的常见题型
因式分解的定义
1.【2023·深圳福田区期中】下列从左到右的变形中，属．于．因式分解的是（ B ）
A.（m－n）（m＋n）＝m2－n2
B.a2－4＝（a－2）（a＋2）
C.（－x－1）2＝x2＋2x＋1
D.x2＋2x＋2＝x（x＋2）＋2
B
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2.若多项式x2－ax－1可分解为（x－2）（x＋m），则a＋m的值为（ A ）
A.2 B.1 C.－2 D.－1
A
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分解因式
3.把下列各式分解因式：
（1）6（a－b）2＋3（a－b）；
解：（1）6（a－b）2＋3（a－b）
＝3（a－b）[2（a－b）＋1]
＝3（a－b）（2a－2b＋1）；
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（2）x2（y2－1）＋2x（y2－1）＋（y2－1）；
解：（2）x2（y2－1）＋2x（y2－1）＋（y2－1）
＝（y2－1）（x2＋2x＋1）
＝（y＋1）（y－1）（x＋1）2；
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解：（3）a5－a3b2＋ab4
＝a
＝a
＝a.
（3）a5－a3b2＋ab4.
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因式分解的应用
整式的化简求值
4.已知：a＋b＝3，ab＝2，则a3b＋a2b2＋ab3＝______ ___.
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5.【2023·济南历下区期中】已知：a为有理数，a3＋a2＋a＋1＝0，求1＋a＋a2＋a3＋…＋a2 024的值.
解：∵a3＋a2＋a＋1＝0，∴1＋a＋a2＋a3＋…＋a2 024＝1＋a（1＋a＋a2＋a3）＋a5（1＋a＋a2＋a3）＋…
＋a2 021（1＋a＋a2＋a3）＝1.
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7
判断三角形的形状
6.已知：a，b，c为△ABC的三边长，且2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，试判断△ABC的形状，并证明你的结论.
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7
解：△ABC是等边三角形.证明如下：
∵2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，
∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc＝0，
∴a2－2ab＋b2＋a2－2ac＋c2＋b2－2bc＋c2＝0，
∴（a－b）2＋（a－c）2＋（b－c）2＝0，
∴（a－b）2＝0，（a－c）2＝0，（b－c）2＝0，
解得a＝b，a＝c，b＝c，∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形.
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阅读理解题
7.【2023·北京丰台区期中】阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，把这种因式分解的方法称为“换元法”.
下面是小涵同学用换元法对多项式（x2＋4x＋1）（x2＋4x＋7）＋9进行因式分解的过程.
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解：设x2＋4x＝y，
原式＝（y＋1）（y＋7）＋9（第一步）
＝y2＋8y＋16（第二步）
＝（y＋4）2（第三步）
＝（x2＋4x＋4）2.（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
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（1）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：_____________ .
（x＋2）4
（2）请你用换元法对多项式（x2－2x）（x2－2x＋2）＋1进行因式分解.
解：（2）设x2－2x＝y，
原式＝y（y＋2）＋1＝y2＋2y＋1＝（y＋1）2＝
（x2－2x＋1）2＝（x－1）4；
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7
解：（3）（x2－2x）（x2－2x＋2）－1＝（x2－2x）2＋
2（x2－2x）－1＝（x2－2x）2＋2（x2－2x）＋1－2＝
（x2－2x＋1）2－2＝（x－1）4－2，
∵（x－1）4≥0，∴当x＝1时，多项式
（x2－2x）（x2－2x＋2）－1存在最小值，最小值为－2.
（3）当x为多少时，多项式（x2－2x）（x2－2x＋2）－1存在最值，请你求出这个最值.
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7(共22张PPT)
期末提分练案
第6讲 分式及其运算
1 考点梳理与达标训练
一、选择题（每题4分，共32分）
1.给出几个式子：，，，，x2，，其中分式有（ B ）
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
B
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2.当x＝3时，分式无意义，则b的值为（ B ）
A.－3 B.－ C. D.3
B
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3.若分式的值为正，则x的取值范围为（ C ）
A.x≥－ B.x≤－
C.x＞－且x≠0 D.x＜－
C
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4.如果把中x，y的值都扩大为原来的2倍，那么这个分式的值（ D ）
A.不变
B.缩小为原来的
C.扩大为原来的4倍
D.扩大为原来的2倍
D
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5.下列分式运算，正确的是（ D ）
A.·＝ B.＝
C.＝ D.÷＝
D
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17
6.已知分式，当x＝－a时，下列结论正确的是（ C ）
A.分式的值为零
B.分式无意义
C.若a≠－，则分式的值为零
D.若a≠，则分式的值为零
C
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7.计算÷的结果是（ B ）
A.1 B. C. D.－1
B
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8.【教材P109随堂练习T3改编】将x克含糖10％的糖水与y克含糖30％的糖水混合，混合后的糖水含糖（ D ）
A.20％ B.×100％
C.×100％ D.×100％
D
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二、填空题（每题5分，共20分）
9.【2023·信阳一中二模】若式子有意义，则x的值可以为________________（写出一个即可）.
1（答案不唯一）
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10.要对，－，进行通分，则它们的最简公分母是___________.
12x3yz
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11.一位作家用了m天写完了一部小说的上集，又用了n天写完下集，这部小说（上、下集）共120万字，这位作家平均每天的写作量是_____________.
万字
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12.已知x2－4x＋4与｜y－1｜互为相反数，则式子÷（x＋y）的值等于_____ .
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三、解答题（共48分）
13.（8分）【2022·常德】计算：
÷.
解：原式＝·＝·＝.
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14.（8分）甲乙两人同时从A地出发到B地，如果甲的速度v保持不变，而乙先用0.5v的速度到达中点，再以2v的速度到达B地，问甲乙两人谁先到达B地？
解：设从A地到B地的距离为2s.
∵甲的速度v保持不变，∴甲所用时间为.
又∵乙先用0.5v＝v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地，∴乙所用时间为＋＝＋＞.
∴甲先到达B地.
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15.（10分）已知a＝，b＝，求下列各式的值：
（1）＋.
解：（1）由题意得a＋b＝＋＝，
ab＝×＝1.
∴＋＝＝＝－2＝（）2－2＝3.
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15.（10分）已知a＝，b＝，求下列各式的值：
（2）a2＋b2＋ab.
解：（2）a2＋b2＋ab＝（a＋b）2－ab＝（）2－1＝4.
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16.（10分）【2023·枣庄】先化简，再求值：÷，其中a的值从不等式组－1＜a＜的解集中选取一个合适的整数.
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解：原式＝÷＝
∵a2≠0，a2－1≠0，∴a≠0，a≠±1，
∵2＜＜3，
∴－1＜a＜的整数解有0，1，2，
∵a≠0，a≠±1，
∴a＝2，∴原式＝＝.
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17.（12分）【学科素养·抽象能力】观察：1－＝×，
1－＝×，1－＝×，….
（1）根据你发现的规律填空：1－＝ · .
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17.（12分）【学科素养·抽象能力】观察：1－＝×，
1－＝×，1－＝×，….
（2）计算：···…·.
解：原式＝××××××…××＝×＝.
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17(共21张PPT)
期末提分练案
第6讲 分式及其运算
2 素养专项提升
专项 与分式及其性质有关的常考题型
分式有意义的条件
1.若＝成立，则a的取值范围是 a≠ .
a≠
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2.当a＝________ 时，分式无意义.
±1
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分式的值问题
3.【2022·昆明官渡区期末】若分式的值为0，则x的值为（ A ）
A.3 B.3或－1
C.－1 D.－3或1
A
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4.若表示一个整数，则整数x可取值的个数是（ C ）
A.2个 B.3个
C.4个 D.8个
C
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5.【2023·上海静安区期末】若分式的值大于零，则x的取值范围是_______________.
x＞－2且x≠1
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17
与分式有关的规律探索题
6.给定下面一列分式：，－，，－，…（其中x≠0），根据你发现的规律，其中第7个分式应是（ D ）
A.－ B.－
C. D.
D
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分式的基本性质
7.下列运算中，错误的是（ A ）
A.＝ B.＝－1
C.＝ D.＝（c≠0）
A
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通分与约分
8.下列各式中是最简分式的是（ D ）
A. B.
C. D.
D
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9.小明计算了四个分式，结果如下，其中有一个结果忘记了约分，忘记约分的是（ D ）
A. B.
C. D.
D
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17
B.原式为最简分式，不符合题意；
C.原式为最简分式，不符合题意；
D.原式＝＝x－y，符合题意.故选D.
点拨：A.原式为最简分式，不符合题意；
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17
10.若将分式与通分，则分式的分子应变为（ A ）
A.6m2－6mn B.6m－6n
C.2（m－n） D.2（m－n）（m＋n）
A
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分式的化简及求值
11.计算·的结果是（ C ）
A. B.－ C. D.－
C
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12.化简－的结果是（ B ）
A. B.－
C.－ D.
B
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13.【2023·十堰】化简：÷.
解：÷
＝÷
＝·＝.
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14.【2023·郴州】先化简，再求值：·＋，其中x＝1＋.
解：·＋＝·＋＝＋＝＝，
当x＝1＋时，原式＝＝.
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15.先化简再求值：÷，在－1，0，1，2中选择一个合适的数代入求值.
解：÷＝÷
＝×（x＋1）＝.
根据分式有意义的条件可知x≠0，且x≠±1，故取x＝2，
当x＝2时，＝＝－.
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17
16.先化简，再求值：÷，其中a＝3，b＝2.
解：原式＝÷＝·＝.
当a＝3，b＝2时，原式＝＝1.
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17.【2023·临沂】下面是某同学计算－a－1的解题过程：
解：－a－1
＝－ ①
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＝ ②
＝ ③
＝＝1. ④
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程.
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解：从第①步开始出错，正确的解题过程如下：
＝－
＝.
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17(共23张PPT)
期末提分练案
第7讲 分式方程
1 考点梳理与达标训练
一、选择题（每题5分，共40分）
1.在方程：①＝8＋，②＝x，③＝，
④x－＝0中，是分式方程的有（ C ）
A.①和② B.②和③
C.③和④ D.①和④
C
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2.已知关于x的分式方程＝3的解是x＝3，则m的值为 （ B ）
A.3 B.－3 C.－1 D.1
B
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3.解分式方程＝－2时，去分母变形正确的是（ D ）
A.－1＋x＝－1－2（x－2）
B.1－x＝1－2（x－2）
C.－1＋x＝1＋2（2－x）
D.1－x＝－1－2（x－2）
D
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4.将分式方程－＝3化为整式方程，正确的是（ D ）
A.x－2＝3 B.x＋2＝3
C.x－2＝3（x－2） D.x＋2＝3（x－2）
D
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5.若关于x的分式方程＋＝无解，则m的值为（ D ）
A.－6 B.－10
C.0或－6 D.－6或－10
点拨：∵＋＝，
D
∴＋＝.
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方程两边同时乘（x－2）（x＋2），
得x＋2＋x＋m＝3（x－2），
整理，得x＝m＋8.
∵分式方程无解，∴x＝2或x＝－2.
当x＝2时，2＝m＋8，解得m＝－6；
当x＝－2时，－2＝m＋8，解得m＝－10.
故m＝－6或－10.
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6.【2023·内江】用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2 640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意得方程正确的是（ D ）
D
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A.＝＋2 B.＝－2
C.＝＋2×60 D.＝－2×60
7.【教材P132T10变式】甲、乙两地相距14 km，在一次郊游中，一部分人骑自行车从甲地先走，40 min后其余的人再乘汽车从甲地出发，结果他们同时到达乙地.已知汽车的速度是自行车速度的3倍，则自行车的速度是（ B ）
A.7 km/h B.14 km/h
C.21 km/h D.42 km/h
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8.【2022·通辽】若关于x的分式方程2－＝的解为正数，则k的取值范围为（ B ）
A.k＜2 B.k＜2且k≠0
C.k＞－1 D.k＞－1且k≠0
点拨：解分式方程，得x＝2－k.
∵方程的解为正数，∴2－k＞0，即k＜2.
∵x≠2，∴2－k≠2，即k≠0.
∴k＜2且k≠0.
B
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二、填空题（每题5分，共20分）
9.若关于x的分式方程－1＝有增根，则m的值为____ .
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10.对于非零实数a，b，规定a b＝－.若（2x－1）
2＝1，则x的值为_____ .
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11.【2022·泸州】若方程＋1＝的解使关于x的不等式（2－a）x－3＞0成立，则实数a的取值范围是________.
a＜－1
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12.【立德树人·保护环境意识】“绿水青山就是金山银山”.某地为美化环境，计划种植树木6 000棵，由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划增加了25％，结果提前3天完成任务.则实际每天植树______棵.
500
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三、解答题（共40分）
13.（12分）【2023·山西】解下列方程：
（1）＋1＝；
解：（1）原方程可化为＋1＝.
方程两边同乘2（x－1），得2＋2（x－1）＝3.
解得x＝.检验：当x＝时，2（x－1）≠0.
∴原方程的解是x＝.
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13.（12分）【2023·山西】解下列方程：
（2）－＝1.
解：（2）方程两边都乘（x＋1）（x－1），
得（x＋1）2－4＝（x＋1）（x－1），解得x＝1.
检验：当x＝1时，（x＋1）（x－1）＝0，
因此x＝1不是原方程的解.
∴原分式方程无解.
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14.（12分）受国际局势影响，国内汽油价格不断变化.如图是某加油站统计的今年和去年的92号汽油的价格对比信息，请根据图中信息计算该加油站今年4月份92号汽油的价格.
信息1：今年4月份的汽油价格每升比去年10月份汽油价格下降6.25%. 信息2：若用420元给汽车加油，今年4月份的加油量比去年10月份多3.5升.
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解：设去年10月份92号汽油价格为每升x元，则今年4月份92号汽油价格为每升（1－6.25％）x元，
由题意得－＝3.5，
解得x＝8，
经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意，
则（1－6.25％）x＝（1－6.25％）×8＝7.5.
答：该加油站今年4月份92号汽油价格为每升7.5元.
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15.（16分）2023年第31届世界大学生夏季运动会在成都举办，与吉祥物“蓉宝”有关的纪念品现已上市.某商店购进A，B两种“蓉宝”纪念品若干件，购进A种“蓉宝”纪念品花费6 000元，购进B种“蓉宝”纪念品花费3 200元，其中A种纪念品的购进单价比B种纪念品的购进单价多20元，并且购进A种纪念品的数量是B种纪念品数量的1.25倍.
（1）商店购进A种纪念品和B种纪念品各多少件？
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解：（1）设商店购进B种纪念品x件，则购进A种纪念品1.25x件，
根据题意，得－＝20，解得x＝80，
经检验，x＝80是原方程的根，且符合题意，
1.25×80＝100（件）.
答：商店购进A种纪念品100件，B种纪念品80件.
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15.（16分）2023年第31届世界大学生夏季运动会在成都举办，与吉祥物“蓉宝”有关的纪念品现已上市.某商店购进A，B两种“蓉宝”纪念品若干件，购进A种“蓉宝”纪念品花费6 000元，购进B种“蓉宝”纪念品花费3 200元，其中A种纪念品的购进单价比B种纪念品的购进单价多20元，并且购进A种纪念品的数量是B种纪念品数量的1.25倍.
（2）若商店一次性购进A，B两种纪念品共60件，要使总费用不超过3 000元，最少要购进多少件B种纪念品？
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解：（2）A种纪念品的单价为6 000÷100＝60（元），B种纪念品的单价为60－20＝40（元），
设购进m件B种纪念品，根据题意，得，
60（60－m）＋40m≤3 000，解得m≥30.
答：最少要购进30件B种纪念品.
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15(共12张PPT)
期末提分练案
第7讲 分式方程
2 素养专项提升
专项 与分式、分式方程有关的易错点
代数式有意义的条件考虑不全
1.【2023·昭通二模】要使有意义，则实数x的取值范围是（ D ）
A.x≤1 B.x≤1且x≠0
C.x＜1且x≠0 D.x＜1
D
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求分式值为0时字母的值忽略分式有意义
2.若代数式的值为零，则x的取值是（ C ）
A.x＝2或x＝1 B.x＝1
C.x＝2 D.x＝±1
C
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分式的基本性质应用出错
3.【2023·贵阳模拟】若把x，y的值同时缩小为原来的，则下列分式的值保持不变的是（ C ）
A. B.
C. D.
C
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4.【2023·廊坊安次区二模】下列各式从左到右的变形中，不正确的是（ C ）
A.＝－ B.＝
C.－＝－ D.＝－
C
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对分式方程“解”的理解出错
5.已知关于x的分式方程－＋1＝0有解，则k的取值范围为（ C ）
A.k≠－2 B.k≠－6
C.k≠－2且k≠－6 D.k＜－2且k≠－6
C
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点拨：－＋1＝0，去分母得，kx＋3＋2x－1＝0，解得x＝，
∵关于x的分式方程－＋1＝0有解，
∴k＋2≠0且≠，解得k≠－2且k≠－6.
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6.若关于x的方程＝＋1无解，求a的值.
解：＝＋1，
去分母，得2＝ax＋x－1.
移项，得ax＋x＝2＋1.
合并同类项，得（a＋1）x＝3.
又∵关于x的方程＝＋1无解，
∴a＋1＝0或＝1.∴a＝－1或a＝2.
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去分母漏乘及符号错误
7.解分式方程：＝－2.
解：原分式方程可化为1－x＝－1－2x＋4，解得x＝2，
经检验，x＝2是增根，∴原分式方程无解.
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8.以下是小明同学解方程＝－2的过程：
解：方程两边同时乘x－2，得1＋x＝－1－2， 第一步
解得x＝－4， 第二步
检验：当x＝－4时，x－2＝－4－2＝－6≠0， 第三步
所以x＝－4是原方程的解. 第四步
（1）小明的解法从第_____步开始出现错误.
一
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8
8.以下是小明同学解方程＝－2的过程：
解：方程两边同时乘x－2，得1＋x＝－1－2， 第一步
解得x＝－4， 第二步
检验：当x＝－4时，x－2＝－4－2＝－6≠0， 第三步
所以x＝－4是原方程的解. 第四步
（2）写出正确的解方程的过程.
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解：方程两边同时乘x－2，得1＋x＝－1－2（x－2），
去括号，得1＋x＝－1－2x＋4，解得x＝，
检验：当x＝时，x－2＝－≠0，
所以x＝是原方程的解.
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8(共27张PPT)
期末提分练案
第8讲 平行四边形
1 考点梳理与达标训练
一、选择题（每题5分，共35分）
1.已知一个四边形的一条对角线被另一条对角线平分，请你从下列四个条件中再选取一个作为已知条件，使得这个四边形一定是平行四边形.你的选择是（ A ）
A.一组对边平行 B.一组对角相等
C.一组邻边相等 D.一组对边相等
A
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2.如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，则四边形ABCD是平行四边形.其依据是（ B ）
B
A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
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3.一个正多边形每个内角都等于150°，若用这种多边形拼接地板，需与下列选项中哪种正多边形组合（ A ）
A.正三角形 B.正四边形
C.正五边形 D.正六边形
A
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4.如图，已知l1∥l2，那么下列式子中不正确的是（ D ）
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝S△BOC
D
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5.如图，在△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在DE上，且AF⊥BF，若AB＝5，AC＝8，则EF的长为（ A ）
A.1.5 B.2 C.2.5 D.3
A
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6.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，当满足下列哪个条件时，四边形DEBF不．一．定．是平行四边形？（ B ）
A.OE＝OF
B.DE＝BF
C.∠ADE＝∠CBF
D.∠ABE＝∠CDF
B
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7.【2022·河北】如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（ A ）
A
A.α－β＝0°
B.α－β＜0°
C.α－β＞0°
D.无法比较α与β的大小
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二、填空题（每题5分，共20分）
8.多边形的一个顶点处的所有对角线把多边形分成了11个三角形，则经过这一点的对角线的条数是______条.
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9.成都大运会主火炬塔位于东安湖体育公园，如图，小明想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取OA，OB的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段MN的长，于是小明在AO，BO延长线上分别选取P，Q两点，且满足OP＝ON，OQ＝OM，小明测得线段PQ＝90米，
则A，B两点间的距离是______ 米.
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10.【2023·连云港】如图，以正五边形ABCDE的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形A'B'CD'E'的顶点D'落在直线BC上，则正五边形ABCDE旋转的度数至少为______ °.
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11.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，点E是线段OD上一点，连接AE，CE，若BC＝CE，AE⊥CE，DE＝2，则线段AB的长为_______ .
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∵AC⊥BC，AE⊥CE，∴∠OCB＝90°，∠AEC＝90°，
∴∠CBO＋∠BOC＝90°，∠AEO＋∠CEO＝90°，
∴∠BOC＝∠AEO，
又∵∠AOE＝∠BOC，∴∠AEO＝∠AOE，
∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∠AEC＝90°，
点拨：∵BC＝CE，∴∠CBE＝∠CEB，
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∴OE＝AC＝OA，∴∠AEO＝∠OAE，
∴∠AOE＝∠OAE＝∠AEO，
∴△AOE是等边三角形，
∴∠AOE＝∠OAE＝∠AEO＝60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ACB＝∠CAD＝90°，
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∴∠EAD＝30°，∴∠EDA＝30°，∴AE＝DE＝2，
∵∠AEC＝90°，∠EAC＝60°，
∴∠ACE＝30°，∴AC＝2AE＝4，
∴CE＝＝＝2，
∴BC＝2，
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝2.
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三、解答题（共45分）
12.（12分）【2022·梧州】如图，在 ABCD中，E，G，H，F分别是AB，BC，CD，DA上的点，且BE＝DH，
AF＝CG.求证：EF＝HG.
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证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠A＝∠C.
∵BE＝DH，
∴AB－BE＝CD－DH，即AE＝CH.
在△AEF和△CHG中，
∴△AEF≌△CHG（SAS）.∴EF＝HG.
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13.（15分）【2023·杭州】如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA.
（1）求证：四边形AECF是平行四边形.
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（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝FD，
∴OB－BE＝OD－FD，
∴OE＝OF，
又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形.
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（2）若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积.
13.（15分）【2023·杭州】如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA.
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（2）解：∵S△ABE＝2，BE＝EF，
∴S△AEF＝S△ABE＝2，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴S△CFO＝S△CEF＝S△AEF＝×2＝1.
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14.（18分）如图，在四边形ABDC中，AD与BC相交于点E，∠1＝∠2＝∠3，BD＝CD，∠ADB＝90°，CH⊥AB于点H，CH交AD于点F.
（1）求证：CD∥AB.
证明：（1）∵BD＝CD，∴∠1＝∠DCE.
又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠DCE.
∴CD∥AB.
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14.（18分）如图，在四边形ABDC中，AD与BC相交于点E，∠1＝∠2＝∠3，BD＝CD，∠ADB＝90°，CH⊥AB于点H，CH交AD于点F.
（2）求证：△BDE≌△ACE.
证明：（2）∵AB∥CD，∴∠3＝∠CDE.
∵∠1＝∠3，∠1＝∠DCE，∴∠CDE＝∠DCE.
∴DE＝CE.∵∠2＝∠3，∴BE＝AE.
又∵∠BED＝∠AEC，∴△BDE≌△ACE（SAS）.
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（3）若O为AB的中点，求证：OF＝BE.
14.（18分）如图，在四边形ABDC中，AD与BC相交于点E，∠1＝∠2＝∠3，BD＝CD，∠ADB＝90°，CH⊥AB于点H，CH交AD于点F.
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证明：（3）由△BDE≌△ACE，得∠ACE＝∠BDE＝90°，∠1＝∠FAC.
∵CH⊥AB于H，∴∠ACF＋∠CAH＝90°.
∵∠2＋∠CAH＝90°，
∴∠2＝∠ACF.
又∵∠2＝∠1＝∠FAC，
∴∠FAC＝∠ACF.
∴CF＝AF.
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∵∠1＋∠DEB＝90°，∠2＋∠BCH＝90°，
∴∠DEB＝∠BCH.
∵∠CEF＝∠DEB，
∴∠CEF＝∠BCH.
∴CF＝EF.
∴EF＝AF，即F为AE的中点.
又∵O为AB的中点，
∴OF是△ABE的中位线.
∴OF＝BE.
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14(共27张PPT)
期末提分练案
第8讲 平行四边形
2 素养专项提升
专项 与平行四边形有关的常考类型
平行四边形的判定与计算
1.【2023·杭州上城区期中】如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE＝AF.
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形.
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（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠ABD，
∵DE∥AB，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴∠DBE＝∠BDE，∴BE＝DE，
又∵BE＝AF，∴DE＝AF，
∴四边形ADEF是平行四边形.
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（2）若∠ABC＝60°，BD＝2，求平行四边形ADEF的面积.
1.【2023·杭州上城区期中】如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE＝AF.
解：如图，过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，
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∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBE＝30°，
由（1）知BE＝DE，∵EH⊥BD，
∴BH＝DH＝BD＝×2＝，
BE＝DE＝2HE，
易得BE＝DE＝2，
∵∠ABD＝30°，DG⊥AB，
∴DG＝BD＝，
∴S平行四边形ADEF＝DE·DG＝2×＝2.
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2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，且AO＝OC，EF过点O与AD，BC分别交于E，F.
（1）求证：①△AOE≌△COF.
②四边形ABCD为平行四边形.
（1）证明：①∵AD∥BC，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，
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∴△AOE≌△COF（ASA）.
②在△AOD和△COB中，
∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD＝CB，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形.
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2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，且AO＝OC，EF过点O与AD，BC分别交于E，F.
（2）若EF⊥BD，连接BE，若∠BAD＝100°，
∠DBF＝32°，求∠ABE的度数.
（2）解：∵AD∥BC，∠DBF＝32°，
∴∠EDB＝∠DBF＝32°，
由（1）②得四边形ABCD为平行四边形，∴OB＝OD，
又∵EF⊥BD，
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∴EF是BD的垂直平分线，∴BE＝DE，
∴∠EBD＝∠EDB＝32°，
∵AD∥BC，∠BAD＝100°，
∴∠ABC＝180°－∠BAD＝180°－100°＝80°，
∴∠ABE＝∠ABC－∠EBD－∠DBF＝80°－32°－32°
＝16°.
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平行四边形与图形变换问题
3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝4，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP，PE，若将△AEP沿着边PE折叠，折叠后得到△EPA'，当△EPA'与△BEP的重叠部分的面积恰好为△ABP面积的四分之一时，BP的长为____________.
4或4
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点拨：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝4，E为斜边AB的中点，
∴AB＝8，AE＝AB＝4，∴BC＝4.
① 若PA'与AB交于点F，连接A'B，如图①所示，
由折叠可得S△A'EP＝S△AEP，A'E＝AE＝4，
∵点E是AB的中点，
∴S△BEP＝S△AEP＝S△ABP，
由题意得，S△EFP＝S△ABP，
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∴EF＝BE＝BF，
PF＝A'P＝A'F，
∴四边形A'EPB是平行四边形，∴BP＝A'E＝4.
②若EA'与BC交于点G，连接AA'，交EP于点H，
如图②所示，同理可得GP＝BP＝BG，
由题意得，S△EFP＝S△ABP，
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EG＝EA'＝×4＝2，
∵BE＝AE，∴EG＝AP＝2，
∴AP＝AC＝4，∴点P与点C重合，
∴BP＝BC＝4.
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4.【2023·宁波金东区期末】一副三角板如图①放置，AB＝CD，顶点E重合，将△DEC绕其顶点E旋转，如图②，在旋转过程中，当∠AED＝75°，连接AD，BC，AC.求证：
（1）四边形ABCD是平行四边形.
证明：（1）由题意得AB＝CD，
∠BAE＝∠ABE＝45°，
∠DEC＝60°，∠EDC＝30°，
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过点E作EF∥AB交AD于点F，则∠FEA＝∠BAE＝45°，
∴∠FED＝75°－∠FEA＝30°，
∴∠FED＝∠EDC＝30°，
∴EF∥CD，∴AB∥CD，
又AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
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（2）直线CE垂直平分AB.
4.【2023·宁波金东区期末】一副三角板如图①放置，AB＝CD，顶点E重合，将△DEC绕其顶点E旋转，如图②，在旋转过程中，当∠AED＝75°，连接AD，BC，AC.求证：
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证明：（2）∵∠AEC＝∠AED＋∠DEC＝135°，
∴∠BEC＝360°－∠AEB－∠AEC＝135°，
∵△AEB是等腰直角三角形，
∴EB＝AE，
又∵EC＝EC，∠AEC＝∠BEC，
∴△AEC≌△BEC，
∴AC＝BC，
又EB＝AE，
∴直线CE垂直平分AB.
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动点问题与平行四边形
5.【2023·武汉实验外国语学校期末】在△ABC中，
AB＝AC，点P为△ABC所在平面内的一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F.
（1）如图①，若点P在BC边上，此时PD＝0，直接写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系.
解：（1）PD＋PE＋PF＝AB.
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（2）如图②，当点P在△ABC内时，猜想并写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想.
5.【2023·武汉实验外国语学校期末】在△ABC中，
AB＝AC，点P为△ABC所在平面内的一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F.
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解：（2）PD＋PE＋PF＝AB.
证明：如图②，过点P作MN∥CB分别交AB，AC于点M，N.
由（1）易得PE＋PF＝AM，
∵MN∥BC，DF∥AB，
∴四边形BDPM是平行四边形，
∴MB＝PD，
∴PD＋PE＋PF＝MB＋AM＝AB.
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（3）如图③，当点P在△ABC外时，猜想并写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系.（不用说明理由）
5.【2023·武汉实验外国语学校期末】在△ABC中，
AB＝AC，点P为△ABC所在平面内的一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F.
解：（3）PE＋PF－PD＝AB.
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与函数有关的平行四边形存在性问题
6.如图，在平面直角坐标系中，直线m：y＝－x＋b与直线n：y＝ax＋8（a≠0）交于点A（－1，5），直线m，n分别与x轴交于点B，C.
（1）求S△ABC.
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解：（1）将点A（－1，5）的坐标代入y＝－x＋b，
得1＋b＝5，解得b＝4，
∴直线m：y＝－x＋4，
将点A（－1，5）的坐标代入y＝ax＋8，得－a＋8＝5，
解得a＝3，∴直线n：y＝3x＋8，
当y＝－x＋4＝0时，x＝4，
∴点B的坐标为（4，0），
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当y＝3x＋8＝0时，x＝－，
∴点C的坐标为，
∴BC＝4＋＝，
∴△ABC的面积为××5＝.
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6.如图，在平面直角坐标系中，直线m：y＝－x＋b与直线n：y＝ax＋8（a≠0）交于点A（－1，5），直线m，n分别与x轴交于点B，C.
（2）若线段AC上存在一点P，使得S△ABP＝10，求点P的坐标.
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解：（2）∵S△ABP＝10，
∴△CBP的面积＝－10＝，
点P在线段AC上，
则设点P（p，3p＋8），
∴△CBP的面积＝×（3p＋8）＝，
∴p＝－2，
∴点P的坐标为（－2，2）.
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6.如图，在平面直角坐标系中，直线m：y＝－x＋b与直线n：y＝ax＋8（a≠0）交于点A（－1，5），直线m，n分别与x轴交于点B，C.
（3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标.
解：（3）点Q的坐标为（3，－3）
或（5，3）或（－7，7）.
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