17.2.1 勾股定理的逆定理 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 17.2.1 勾股定理的逆定理 同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-17 09:23:03 | ||
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文档简介
17.2 勾股定理的逆定理
第1课时 勾股定理的逆定理
一、选择题
1．已知三角形的三条边分别为a，b，c，则下列不能判断三角形为直角三角形的是( )
A．a2＝－b2－c2 B．a2＋b2＝c2 C．a2－b2＝c2 D．－a2－b2＝－
2．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是( )
A．1，2，3 B．4，5， C.，， D．6，8，12
3．满足下述条件的三角形中，不是直角三角形的是( )
A．三条边长之比为1∶∶ B．三条边长分别为1，，2
C．三个内角之比为3∶4∶5 D．两个内角分别为40°和50°
4．下列命题的逆命题成立的是( )
A．全等三角形的对应角相等
B．如果ab＝1，那么a＝2＋，b＝2－
C．若a＝b，则|a|＝|b|
D．若a>b，则a2>b2
5．下列各定理中有逆定理的是( )
A．两直线平行，同位角相等
B．若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等
C．对顶角相等
D．如果a＝b，那么a2＝b2
6．下列各组数中，不是勾股数的是( )
A．3，4，5 B．6，8，10 C．7，24，25 D．4，5，6
7．已知a，b，c分别为△ABC的三边长，则符合下列条件的△ABC中，直角三角形有( )
(1)a＝，b＝，c＝；(2)a2＝(b＋c)(b－c)；(3)∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3；(4)a＝9，b＝12，c＝15；(5)a＝2，b＝3，c＝4.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．如图，△ABC中，AB＝1，BC＝2，AC＝，AD是BC边上的中线，则AD的长度为( )
A．1 B．2 C. D.
第8题图 第9题图 第10题图
9．如图，方格中的点A，B称为格点(网格线的交点)，以AB为一边画△ABC，其中是直角三角形的格点C的个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，取AE＝2，DF＝1.图中共有直角三角形( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，AD为△ABC的中线，且AB＝13，BC＝10，AD＝12，则AC等于( )
A．10 B．11 C．12 D．13
12．阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a2＋b2，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是( )
A．②④ B．①②④ C．①② D．①④
二、填空题
13．已知△ABC的三边长分别为9，40，41，则△ABC的面积为 .
14．若一个三角形三边的长度之比为3∶4∶5，且周长为60 cm，则它的面积是 cm2.
15．已知三角形的三边长之比为1∶1∶，则此三角形一定是 三角形．
16．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数．请你写出两组不同于以上所给出的基本勾股数： ．
三、解答题
17．下列各命题都成立，写出它们的逆命题．这些逆命题成立吗？
(1)两直线平行，同旁内角互补；
(2)如果两个角是邻补角，那么这两个角互补．
18．已知：在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，三边分别为下列长度，判断该三角形是不是直角三角形，并指出哪一个角是直角．
(1)a＝，b＝2 ，c＝；
(2)a＝5，b＝7，c＝9；
(3)a＝2，b＝，c＝；
(4)a＝5，b＝2 ，c＝1.
19．四边形ABCD如图所示，已知AB⊥BC，AB＝2，BC＝4，AD＝5，CD＝.
(1)求证：AC⊥CD；
(2)求四边形ABCD的面积．
20．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6.在△ABE中，DE是AB边上的高，DE＝7.若△ABE的面积是35，求∠C的度数．
21．如图所示，在△ABC中，三边分别是a，b，c，并且满足a2＋b2－12a－16b＋100＝0，c＝10.
(1)请你判断△ABC的形状，并说明理由．
(2)求出最长边AB上的高CD.
22．(1)小欢在研究勾股数时发现，某些正整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差，我们把这样的勾股数叫做完美勾股数．如3，4，5中，5＝22＋12，3＝22－12；5，12，13中，13＝32＋22，5＝32－22.判断8，15，17和9，40，41这两组勾股数是不是完美勾股数，并说明理由；
(2)有一个直角三角形两直角边长分别为和，斜边长为4，且a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值．
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参考答案
一、选择题
1．已知三角形的三条边分别为a，b，c，则下列不能判断三角形为直角三角形的是( A )
A．a2＝－b2－c2 B．a2＋b2＝c2 C．a2－b2＝c2 D．－a2－b2＝－
2．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是( B )
A．1，2，3 B．4，5， C.，， D．6，8，12
3．满足下述条件的三角形中，不是直角三角形的是( C )
A．三条边长之比为1∶∶ B．三条边长分别为1，，2
C．三个内角之比为3∶4∶5 D．两个内角分别为40°和50°
4．下列命题的逆命题成立的是( B )
A．全等三角形的对应角相等
B．如果ab＝1，那么a＝2＋，b＝2－
C．若a＝b，则|a|＝|b|
D．若a>b，则a2>b2
5．下列各定理中有逆定理的是( A )
A．两直线平行，同位角相等
B．若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等
C．对顶角相等
D．如果a＝b，那么a2＝b2
6．下列各组数中，不是勾股数的是( D )
A．3，4，5 B．6，8，10 C．7，24，25 D．4，5，6
7．已知a，b，c分别为△ABC的三边长，则符合下列条件的△ABC中，直角三角形有( B )
(1)a＝，b＝，c＝；(2)a2＝(b＋c)(b－c)；(3)∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3；(4)a＝9，b＝12，c＝15；(5)a＝2，b＝3，c＝4.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．如图，△ABC中，AB＝1，BC＝2，AC＝，AD是BC边上的中线，则AD的长度为( D )
A．1 B．2 C. D.
第8题图 第9题图 第10题图
9．如图，方格中的点A，B称为格点(网格线的交点)，以AB为一边画△ABC，其中是直角三角形的格点C的个数为( B )
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，取AE＝2，DF＝1.图中共有直角三角形( D )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，AD为△ABC的中线，且AB＝13，BC＝10，AD＝12，则AC等于( D )
A．10 B．11 C．12 D．13
12．阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a2＋b2，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是( C )
A．②④ B．①②④ C．①② D．①④
二、填空题
13．已知△ABC的三边长分别为9，40，41，则△ABC的面积为 .
【答案】180
14．若一个三角形三边的长度之比为3∶4∶5，且周长为60 cm，则它的面积是 cm2.
【答案】150
15．已知三角形的三边长之比为1∶1∶，则此三角形一定是 三角形．
【答案】等腰直角
16．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数．请你写出两组不同于以上所给出的基本勾股数： ．
【答案】答案不唯一，如5，12，13；7，24，25
三、解答题
17．下列各命题都成立，写出它们的逆命题．这些逆命题成立吗？
(1)两直线平行，同旁内角互补；
(2)如果两个角是邻补角，那么这两个角互补．
解：(1)两直线平行，同旁内角互补的逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，成立．
(2)如果两个角是邻补角，那么这两个角互补的逆命题是：如果两个角互补，那么这两个角是邻补角，不成立．
18．已知：在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，三边分别为下列长度，判断该三角形是不是直角三角形，并指出哪一个角是直角．
(1)a＝，b＝2 ，c＝；
(2)a＝5，b＝7，c＝9；
(3)a＝2，b＝，c＝；
(4)a＝5，b＝2 ，c＝1.
解：(1)是，∠B是直角．(2)不是．
(3)是，∠C是直角．(4)是，∠A是直角．
19．四边形ABCD如图所示，已知AB⊥BC，AB＝2，BC＝4，AD＝5，CD＝.
(1)求证：AC⊥CD；
(2)求四边形ABCD的面积．
解：(1)证明：在△ABC中，
∵AB⊥BC，AB＝2，BC＝4，
∴AC＝＝＝2 ，
在△ACD中，∵AD＝5，CD＝，
∴AC2＋CD2＝(2 )2＋()2＝25＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴AC⊥CD.
(2)∵△ABC的面积为×2×4＝4，
△ACD的面积为×2 ×＝5，
∴四边形ABCD的面积为4＋5＝9.
20．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6.在△ABE中，DE是AB边上的高，DE＝7.若△ABE的面积是35，求∠C的度数．
解：在△ABE中，
DE为AB边上的高，DE＝7，
∴S△ABE＝·AB·DE＝35.
∴AB＝10.∵AC＝8，BC＝6，
∴AC2＋BC2＝64＋36＝100＝AB2.
∴△ABC为直角三角形．∴∠C＝90°.
21．如图所示，在△ABC中，三边分别是a，b，c，并且满足a2＋b2－12a－16b＋100＝0，c＝10.
(1)请你判断△ABC的形状，并说明理由．
(2)求出最长边AB上的高CD.
解：(1)△ABC为直角三角形，理由如下：
∵a2＋b2－12a－16b＋100＝0，
∴(a－6)2＋(b－8)2＝0.
∴a＝6，b＝8.
∵a2＋b2＝62＋82＝100＝102＝c2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°.
(2)∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，
即ab＝c·CD，
∴CD＝＝＝4.8.
22．(1)小欢在研究勾股数时发现，某些正整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差，我们把这样的勾股数叫做完美勾股数．如3，4，5中，5＝22＋12，3＝22－12；5，12，13中，13＝32＋22，5＝32－22.判断8，15，17和9，40，41这两组勾股数是不是完美勾股数，并说明理由；
(2)有一个直角三角形两直角边长分别为和，斜边长为4，且a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值．
解：(1)∵17＝42＋12，15＝42－12，
∴8，15，17是完美勾股数；
∵41＝52＋42，9＝52－42，
∴9，40，41是完美勾股数．
(2)由勾股定理得7a－7＋(150－30b)＝16×15，∴a＝.
由题意可知7a－7＞0，150－30b＞0，
∴a＞1，0＜b＜5.∵a和b均为正整数，∴b的可能值为1，2，3，4.
当b＝1时，a＝，不是正整数，不合题意；
当b＝2时，a＝，不是正整数，不合题意；
当b＝3时，a＝，不是正整数，不合题意；
当b＝4时，a＝31，是正整数，
此时＝，＝.
∵()2＋()2＝240，(4)2＝240，
∴()2＋()2＝(4)2，
∴b＝4符合题意．即a＝31，b＝4.
第1课时 勾股定理的逆定理
一、选择题
1．已知三角形的三条边分别为a，b，c，则下列不能判断三角形为直角三角形的是( )
A．a2＝－b2－c2 B．a2＋b2＝c2 C．a2－b2＝c2 D．－a2－b2＝－
2．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是( )
A．1，2，3 B．4，5， C.，， D．6，8，12
3．满足下述条件的三角形中，不是直角三角形的是( )
A．三条边长之比为1∶∶ B．三条边长分别为1，，2
C．三个内角之比为3∶4∶5 D．两个内角分别为40°和50°
4．下列命题的逆命题成立的是( )
A．全等三角形的对应角相等
B．如果ab＝1，那么a＝2＋，b＝2－
C．若a＝b，则|a|＝|b|
D．若a>b，则a2>b2
5．下列各定理中有逆定理的是( )
A．两直线平行，同位角相等
B．若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等
C．对顶角相等
D．如果a＝b，那么a2＝b2
6．下列各组数中，不是勾股数的是( )
A．3，4，5 B．6，8，10 C．7，24，25 D．4，5，6
7．已知a，b，c分别为△ABC的三边长，则符合下列条件的△ABC中，直角三角形有( )
(1)a＝，b＝，c＝；(2)a2＝(b＋c)(b－c)；(3)∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3；(4)a＝9，b＝12，c＝15；(5)a＝2，b＝3，c＝4.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．如图，△ABC中，AB＝1，BC＝2，AC＝，AD是BC边上的中线，则AD的长度为( )
A．1 B．2 C. D.
第8题图 第9题图 第10题图
9．如图，方格中的点A，B称为格点(网格线的交点)，以AB为一边画△ABC，其中是直角三角形的格点C的个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，取AE＝2，DF＝1.图中共有直角三角形( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，AD为△ABC的中线，且AB＝13，BC＝10，AD＝12，则AC等于( )
A．10 B．11 C．12 D．13
12．阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a2＋b2，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是( )
A．②④ B．①②④ C．①② D．①④
二、填空题
13．已知△ABC的三边长分别为9，40，41，则△ABC的面积为 .
14．若一个三角形三边的长度之比为3∶4∶5，且周长为60 cm，则它的面积是 cm2.
15．已知三角形的三边长之比为1∶1∶，则此三角形一定是 三角形．
16．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数．请你写出两组不同于以上所给出的基本勾股数： ．
三、解答题
17．下列各命题都成立，写出它们的逆命题．这些逆命题成立吗？
(1)两直线平行，同旁内角互补；
(2)如果两个角是邻补角，那么这两个角互补．
18．已知：在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，三边分别为下列长度，判断该三角形是不是直角三角形，并指出哪一个角是直角．
(1)a＝，b＝2 ，c＝；
(2)a＝5，b＝7，c＝9；
(3)a＝2，b＝，c＝；
(4)a＝5，b＝2 ，c＝1.
19．四边形ABCD如图所示，已知AB⊥BC，AB＝2，BC＝4，AD＝5，CD＝.
(1)求证：AC⊥CD；
(2)求四边形ABCD的面积．
20．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6.在△ABE中，DE是AB边上的高，DE＝7.若△ABE的面积是35，求∠C的度数．
21．如图所示，在△ABC中，三边分别是a，b，c，并且满足a2＋b2－12a－16b＋100＝0，c＝10.
(1)请你判断△ABC的形状，并说明理由．
(2)求出最长边AB上的高CD.
22．(1)小欢在研究勾股数时发现，某些正整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差，我们把这样的勾股数叫做完美勾股数．如3，4，5中，5＝22＋12，3＝22－12；5，12，13中，13＝32＋22，5＝32－22.判断8，15，17和9，40，41这两组勾股数是不是完美勾股数，并说明理由；
(2)有一个直角三角形两直角边长分别为和，斜边长为4，且a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值．
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参考答案
一、选择题
1．已知三角形的三条边分别为a，b，c，则下列不能判断三角形为直角三角形的是( A )
A．a2＝－b2－c2 B．a2＋b2＝c2 C．a2－b2＝c2 D．－a2－b2＝－
2．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是( B )
A．1，2，3 B．4，5， C.，， D．6，8，12
3．满足下述条件的三角形中，不是直角三角形的是( C )
A．三条边长之比为1∶∶ B．三条边长分别为1，，2
C．三个内角之比为3∶4∶5 D．两个内角分别为40°和50°
4．下列命题的逆命题成立的是( B )
A．全等三角形的对应角相等
B．如果ab＝1，那么a＝2＋，b＝2－
C．若a＝b，则|a|＝|b|
D．若a>b，则a2>b2
5．下列各定理中有逆定理的是( A )
A．两直线平行，同位角相等
B．若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等
C．对顶角相等
D．如果a＝b，那么a2＝b2
6．下列各组数中，不是勾股数的是( D )
A．3，4，5 B．6，8，10 C．7，24，25 D．4，5，6
7．已知a，b，c分别为△ABC的三边长，则符合下列条件的△ABC中，直角三角形有( B )
(1)a＝，b＝，c＝；(2)a2＝(b＋c)(b－c)；(3)∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3；(4)a＝9，b＝12，c＝15；(5)a＝2，b＝3，c＝4.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．如图，△ABC中，AB＝1，BC＝2，AC＝，AD是BC边上的中线，则AD的长度为( D )
A．1 B．2 C. D.
第8题图 第9题图 第10题图
9．如图，方格中的点A，B称为格点(网格线的交点)，以AB为一边画△ABC，其中是直角三角形的格点C的个数为( B )
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，取AE＝2，DF＝1.图中共有直角三角形( D )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，AD为△ABC的中线，且AB＝13，BC＝10，AD＝12，则AC等于( D )
A．10 B．11 C．12 D．13
12．阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a2＋b2，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是( C )
A．②④ B．①②④ C．①② D．①④
二、填空题
13．已知△ABC的三边长分别为9，40，41，则△ABC的面积为 .
【答案】180
14．若一个三角形三边的长度之比为3∶4∶5，且周长为60 cm，则它的面积是 cm2.
【答案】150
15．已知三角形的三边长之比为1∶1∶，则此三角形一定是 三角形．
【答案】等腰直角
16．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数．请你写出两组不同于以上所给出的基本勾股数： ．
【答案】答案不唯一，如5，12，13；7，24，25
三、解答题
17．下列各命题都成立，写出它们的逆命题．这些逆命题成立吗？
(1)两直线平行，同旁内角互补；
(2)如果两个角是邻补角，那么这两个角互补．
解：(1)两直线平行，同旁内角互补的逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，成立．
(2)如果两个角是邻补角，那么这两个角互补的逆命题是：如果两个角互补，那么这两个角是邻补角，不成立．
18．已知：在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，三边分别为下列长度，判断该三角形是不是直角三角形，并指出哪一个角是直角．
(1)a＝，b＝2 ，c＝；
(2)a＝5，b＝7，c＝9；
(3)a＝2，b＝，c＝；
(4)a＝5，b＝2 ，c＝1.
解：(1)是，∠B是直角．(2)不是．
(3)是，∠C是直角．(4)是，∠A是直角．
19．四边形ABCD如图所示，已知AB⊥BC，AB＝2，BC＝4，AD＝5，CD＝.
(1)求证：AC⊥CD；
(2)求四边形ABCD的面积．
解：(1)证明：在△ABC中，
∵AB⊥BC，AB＝2，BC＝4，
∴AC＝＝＝2 ，
在△ACD中，∵AD＝5，CD＝，
∴AC2＋CD2＝(2 )2＋()2＝25＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴AC⊥CD.
(2)∵△ABC的面积为×2×4＝4，
△ACD的面积为×2 ×＝5，
∴四边形ABCD的面积为4＋5＝9.
20．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6.在△ABE中，DE是AB边上的高，DE＝7.若△ABE的面积是35，求∠C的度数．
解：在△ABE中，
DE为AB边上的高，DE＝7，
∴S△ABE＝·AB·DE＝35.
∴AB＝10.∵AC＝8，BC＝6，
∴AC2＋BC2＝64＋36＝100＝AB2.
∴△ABC为直角三角形．∴∠C＝90°.
21．如图所示，在△ABC中，三边分别是a，b，c，并且满足a2＋b2－12a－16b＋100＝0，c＝10.
(1)请你判断△ABC的形状，并说明理由．
(2)求出最长边AB上的高CD.
解：(1)△ABC为直角三角形，理由如下：
∵a2＋b2－12a－16b＋100＝0，
∴(a－6)2＋(b－8)2＝0.
∴a＝6，b＝8.
∵a2＋b2＝62＋82＝100＝102＝c2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°.
(2)∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，
即ab＝c·CD，
∴CD＝＝＝4.8.
22．(1)小欢在研究勾股数时发现，某些正整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差，我们把这样的勾股数叫做完美勾股数．如3，4，5中，5＝22＋12，3＝22－12；5，12，13中，13＝32＋22，5＝32－22.判断8，15，17和9，40，41这两组勾股数是不是完美勾股数，并说明理由；
(2)有一个直角三角形两直角边长分别为和，斜边长为4，且a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值．
解：(1)∵17＝42＋12，15＝42－12，
∴8，15，17是完美勾股数；
∵41＝52＋42，9＝52－42，
∴9，40，41是完美勾股数．
(2)由勾股定理得7a－7＋(150－30b)＝16×15，∴a＝.
由题意可知7a－7＞0，150－30b＞0，
∴a＞1，0＜b＜5.∵a和b均为正整数，∴b的可能值为1，2，3，4.
当b＝1时，a＝，不是正整数，不合题意；
当b＝2时，a＝，不是正整数，不合题意；
当b＝3时，a＝，不是正整数，不合题意；
当b＝4时，a＝31，是正整数，
此时＝，＝.
∵()2＋()2＝240，(4)2＝240，
∴()2＋()2＝(4)2，
∴b＝4符合题意．即a＝31，b＝4.