第17章 勾股定理 测试卷（含答案）
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第17章 勾股定理 测试卷
(考试时间：100分钟，赋分：120分)
姓名：________ 班级：________ 分数：________
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分)
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答 案
1．设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.已知a＝1，c＝，则b的值为( )
A. B.2 C. D.6
2．下列几组数：①7，24，25；②13，14，15；③60，80，100；④0.3，0.4，0.5，是勾股数的有( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，BC＝2 cm，则AB的长是( )
A．2 cm B．2 cm C．2 cm D．4 cm
4．以下命题的逆命题是假命题的是( )
A．邻补角互补 B．直角三角形中两锐角互余
C．等腰三角形的两底角相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
5．已知平面直角坐标系内点P（1，2），Q（2，－3），那么线段PQ的长等于( )
A.5 B. C. D.2
6．已知 A，B，C三地两两的距离如图所示，B地在A地的正西方向，下面说法不正确的是( )
A.C地在B地的正北方向上 B.A地在B地的正东方向上
C.C地在A地的北偏西60°方向上 D.A地在C地的南偏东30°方向上
第6题图 第7题图 第10题图
7．赵爽弦图是由4个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．若小正方形和大正方形的面积分别是1和5，则直角三角形两条直角边长分别为( )
A．2，1 B．1， C．2， D．2，
8．已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足(a－6)2＋＋|c－10|＝0，那么下列说法中不正确的是( )
A．这个三角形是直角三角形 B．这个三角形的最长边长是10
C．这个三角形的面积是48 D．这个三角形的最长边上的高是4.8
9．在△ABC中，已知AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，则△ABC的周长为( )
A.14 B.42 C.32 D.42或32
10．如图，在一条公路CD的同一侧有A，B两个村庄，A，B与公路的距离AC，BD分别为500m和700m，且C，D两地相距500m.若要在公路旁（CD上）建一个车站，则A，B两村庄到车站的距离之和最短是( )
A.1000m B.1200m C.1300m D.1700m
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,满分24分)
11．命题“如果｜a｜＝｜b｜，那么a＝b”的逆命题是 .
12．在Rt△ABC中，斜边AB＝a，则AB2＋BC2＋AC2＝ ____．
13．如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位：mm)计算两圆孔中心A和B的距离为____mm.
第13题图 第14题图
14．如图，分别以△ABC的三边为直径向外作3个半圆，它们的面积分别为4，5，9，则△ABC____直角三角形．(选填“是”或“不是”)
15．现将一支长20 cm的金属筷子(粗细忽略不计)放入一个长和宽分别为8 cm，6 cm的长方体水槽中，要使水完全淹没筷子，则水槽中的水深至少为 cm.
16．如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是－2，AC＝BC＝BD＝1，若以点A为圆心、AD的长为半径画弧，与数轴交于点E(点E位于点A右侧)，则点E表示的数为 ．
第16题图 第17题图 第18题图
17．如图，∠C＝90°，△ABC的面积为20，在AB的同侧，分别以AB，BC，AC为直径作三个半圆，则阴影部分(即“希波克拉底月牙形”)的面积为____．
18．如图，已知∠BAC＝60°，AD是角平分线且AD＝10，作AD的垂直平分线交AC于点F，作DE⊥AC，则△DEF的周长为 ．
三、解答题(共66分)
19．(8分)一个零件的形状如图所示，按规定，这个零件中∠A和∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD＝4，AB＝3，BD＝5，DC＝12，BC＝13，这个零件符合要求吗？为什么？
20．(8分)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a＋b＝4，ab＝1，c＝，求证：△ABC为直角三角形.
21．(8分)甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源，为了不至于走散，他们用两部对讲机联系，已知对讲机的有效距离为13.5 km，如图，早上8：00甲先出发，他以6 km/h的速度向东行走，1 h后乙出发，他以5 km/h的速度向北行走，上午10：00，甲步行到A，乙步行到B.
(1)求甲、乙二人相距多远？(2)甲、乙二人是否能保持联系？
22．(10分)如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路AC的同侧，两个喷泉的距离AB的长为250m.现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m，BM的长为150m.
（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
（2）直接写出喷泉B到小路AC的距离.
23．(10分)定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
举例：如图，若PB＝PC，则P为△ABC的准外心．
已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心P在AC边上．求PA的长．
24．(10分)在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图①，若∠C＝90°，则有a2＋b2＝c2；若△ABC为锐角三角形，小明猜想：a2＋b2＞c2.理由如下：
如图②，过点A作AD⊥CB于点D，设CD＝x.
在Rt△ADC中，AD2＝b2－x2；在Rt△ADB中，AD2＝c2－(a－x)2，
∴b2－x2＝c2－(a－x)2，即a2＋b2＝c2＋2ax.
∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0.∴a2＋b2＞c2.
∴当△ABC为锐角三角形时，a2＋b2＞c2.
故小明的猜想是正确的.
请你猜想，当△ABC为钝角三角形时，如图③，a2＋b2与c2的大小关系，并证明你猜想的结论.
25．(12分)在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC.
(1)如图①，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF.若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；
(2)连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图②，若AB2＝AE2＋BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明.
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第4页 共4页
参考答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分)
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答 案 B B C A B D A C D C
1．设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.已知a＝1，c＝，则b的值为( B )
A. B.2 C. D.6
2．下列几组数：①7，24，25；②13，14，15；③60，80，100；④0.3，0.4，0.5，是勾股数的有( B )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，BC＝2 cm，则AB的长是( C )
A．2 cm B．2 cm C．2 cm D．4 cm
4．以下命题的逆命题是假命题的是( A )
A．邻补角互补 B．直角三角形中两锐角互余
C．等腰三角形的两底角相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
5．已知平面直角坐标系内点P（1，2），Q（2，－3），那么线段PQ的长等于( B )
A.5 B. C. D.2
6．已知 A，B，C三地两两的距离如图所示，B地在A地的正西方向，下面说法不正确的是( D )
A.C地在B地的正北方向上 B.A地在B地的正东方向上
C.C地在A地的北偏西60°方向上 D.A地在C地的南偏东30°方向上
第6题图 第7题图 第10题图
7．赵爽弦图是由4个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．若小正方形和大正方形的面积分别是1和5，则直角三角形两条直角边长分别为( A )
A．2，1 B．1， C．2， D．2，
8．已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足(a－6)2＋＋|c－10|＝0，那么下列说法中不正确的是( C )
A．这个三角形是直角三角形 B．这个三角形的最长边长是10
C．这个三角形的面积是48 D．这个三角形的最长边上的高是4.8
9．在△ABC中，已知AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，则△ABC的周长为( D )
A.14 B.42 C.32 D.42或32
10．如图，在一条公路CD的同一侧有A，B两个村庄，A，B与公路的距离AC，BD分别为500m和700m，且C，D两地相距500m.若要在公路旁（CD上）建一个车站，则A，B两村庄到车站的距离之和最短是( C )
A.1000m B.1200m C.1300m D.1700m
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,满分24分)
11．命题“如果｜a｜＝｜b｜，那么a＝b”的逆命题是 .
【答案】如果a＝b，那么｜a｜＝｜b｜
12．在Rt△ABC中，斜边AB＝a，则AB2＋BC2＋AC2＝ ____．
【答案】2a2
13．如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位：mm)计算两圆孔中心A和B的距离为____mm.
【答案】150
第13题图 第14题图
14．如图，分别以△ABC的三边为直径向外作3个半圆，它们的面积分别为4，5，9，则△ABC____直角三角形．(选填“是”或“不是”)
【答案】是
15．现将一支长20 cm的金属筷子(粗细忽略不计)放入一个长和宽分别为8 cm，6 cm的长方体水槽中，要使水完全淹没筷子，则水槽中的水深至少为 cm.
【答案】10
16．如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是－2，AC＝BC＝BD＝1，若以点A为圆心、AD的长为半径画弧，与数轴交于点E(点E位于点A右侧)，则点E表示的数为 ．
【答案】－2
第16题图 第17题图 第18题图
17．如图，∠C＝90°，△ABC的面积为20，在AB的同侧，分别以AB，BC，AC为直径作三个半圆，则阴影部分(即“希波克拉底月牙形”)的面积为____．
【答案】20
18．如图，已知∠BAC＝60°，AD是角平分线且AD＝10，作AD的垂直平分线交AC于点F，作DE⊥AC，则△DEF的周长为 ．
【答案】5＋5
三、解答题(共66分)
19．(8分)一个零件的形状如图所示，按规定，这个零件中∠A和∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD＝4，AB＝3，BD＝5，DC＝12，BC＝13，这个零件符合要求吗？为什么？
解：这个零件符合要求．理由：在△ABD中，
AB2＋AD2＝32＋42＝25，BD2＝52＝25.∴AB2＋AD2＝BD2，
∴∠A＝90°，同理可证∠CDB＝90°，∴这个零件符合要求．
20．(8分)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a＋b＝4，ab＝1，c＝，求证：△ABC为直角三角形.
证明：∵a＋b＝4，∴（a＋b）2＝42.
∴a2＋2ab＋b2＝16.
∵ab＝1，∴a2＋b2＝14.
∵c＝，∴c2＝14.∴a2＋b2＝c2.
∴△ABC为直角三角形.
21．(8分)甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源，为了不至于走散，他们用两部对讲机联系，已知对讲机的有效距离为13.5 km，如图，早上8：00甲先出发，他以6 km/h的速度向东行走，1 h后乙出发，他以5 km/h的速度向北行走，上午10：00，甲步行到A，乙步行到B.
(1)求甲、乙二人相距多远？(2)甲、乙二人是否能保持联系？
解：(1)由题意得OA＝12 km，OB＝5 km，
在Rt△OAB中，AB2＝122＋52＝169，∴AB＝13 km，
答：上午10：00时，甲、乙两人相距13 km.
(2)∵13.5＞13，∴甲、乙两人还能保持联系．
22．(10分)如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路AC的同侧，两个喷泉的距离AB的长为250m.现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m，BM的长为150m.
（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
（2）直接写出喷泉B到小路AC的距离.
解：（1）在Rt△MNB中，BN＝＝＝90（m），
∴AN＝AB－BN＝250－90＝160（m）.
在Rt△AMN中，AM＝＝＝200（m）.
∴供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为200＋150＝350（m）.
（2）150 m
23．(10分)定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
举例：如图，若PB＝PC，则P为△ABC的准外心．
已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心P在AC边上．求PA的长．
解：∵BC＝5，AB＝3，∴AC＝＝＝4.
①若PB＝PC，设PA＝x，则PB＝4－x，
在Rt△APB中，有x2＋32＝(4－x)2，解得x＝，即PA＝；
②若PA＝PC，则PA＝2；
③若PA＝PB，由图知在Rt△PAB中不可能．综上可得PA＝2或.
24．(10分)在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图①，若∠C＝90°，则有a2＋b2＝c2；若△ABC为锐角三角形，小明猜想：a2＋b2＞c2.理由如下：
如图②，过点A作AD⊥CB于点D，设CD＝x.
在Rt△ADC中，AD2＝b2－x2；在Rt△ADB中，AD2＝c2－(a－x)2，
∴b2－x2＝c2－(a－x)2，即a2＋b2＝c2＋2ax.
∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0.∴a2＋b2＞c2.
∴当△ABC为锐角三角形时，a2＋b2＞c2.
故小明的猜想是正确的.
请你猜想，当△ABC为钝角三角形时，如图③，a2＋b2与c2的大小关系，并证明你猜想的结论.
【解】当△ABC为钝角三角形时，a2＋b2与c2的大小关系为a2＋b2＜c2.
证明如下：如图③，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.
设CD＝y.在Rt△ADC中，由勾股定理得AD2＝AC2－DC2＝b2－y2；
在Rt△ADB中，由勾股定理得AD2＝AB2－BD2＝c2－(a＋y)2.
∴b2－y2＝c2－(a＋y)2，整理，得a2＋b2＝c2－2ay.
∵a＞0，y＞0，∴2ay＞0.∴a2＋b2＝c2－2ay＜c2.∴当△ABC为钝角三角形时，a2＋b2＜c2.
25．(12分)在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC.
(1)如图①，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF.若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；
(2)连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图②，若AB2＝AE2＋BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明.
(1)【证明】在△BCD和△FCE中，
∴△BCD≌△FCE(SAS).∴∠DBC＝∠EFC.∴BD∥EF.
∵AF⊥EF，∴BD⊥AF.
(2)【解】由题意补全图形如图②.CD＝CH.
证明：延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BF.
又∵BC＝CF，∴AB＝AF.由(1)可知BD∥EF，△BCD≌△FCE，则BD＝EF，
∵AB2＝AE2＋BD2，∴AF2＝AE2＋EF2.∴∠AEF＝90°.∴AE⊥EF.
∴BD⊥AE.∴∠DHE＝90°.又∵CD＝CE，∴CH＝CD.
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(考试时间：100分钟，赋分：120分)
姓名：________ 班级：________ 分数：________
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分)
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答 案
1．设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.已知a＝1，c＝，则b的值为( )
A. B.2 C. D.6
2．下列几组数：①7，24，25；②13，14，15；③60，80，100；④0.3，0.4，0.5，是勾股数的有( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，BC＝2 cm，则AB的长是( )
A．2 cm B．2 cm C．2 cm D．4 cm
4．以下命题的逆命题是假命题的是( )
A．邻补角互补 B．直角三角形中两锐角互余
C．等腰三角形的两底角相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
5．已知平面直角坐标系内点P（1，2），Q（2，－3），那么线段PQ的长等于( )
A.5 B. C. D.2
6．已知 A，B，C三地两两的距离如图所示，B地在A地的正西方向，下面说法不正确的是( )
A.C地在B地的正北方向上 B.A地在B地的正东方向上
C.C地在A地的北偏西60°方向上 D.A地在C地的南偏东30°方向上
第6题图 第7题图 第10题图
7．赵爽弦图是由4个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．若小正方形和大正方形的面积分别是1和5，则直角三角形两条直角边长分别为( )
A．2，1 B．1， C．2， D．2，
8．已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足(a－6)2＋＋|c－10|＝0，那么下列说法中不正确的是( )
A．这个三角形是直角三角形 B．这个三角形的最长边长是10
C．这个三角形的面积是48 D．这个三角形的最长边上的高是4.8
9．在△ABC中，已知AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，则△ABC的周长为( )
A.14 B.42 C.32 D.42或32
10．如图，在一条公路CD的同一侧有A，B两个村庄，A，B与公路的距离AC，BD分别为500m和700m，且C，D两地相距500m.若要在公路旁（CD上）建一个车站，则A，B两村庄到车站的距离之和最短是( )
A.1000m B.1200m C.1300m D.1700m
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,满分24分)
11．命题“如果｜a｜＝｜b｜，那么a＝b”的逆命题是 .
12．在Rt△ABC中，斜边AB＝a，则AB2＋BC2＋AC2＝ ____．
13．如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位：mm)计算两圆孔中心A和B的距离为____mm.
第13题图 第14题图
14．如图，分别以△ABC的三边为直径向外作3个半圆，它们的面积分别为4，5，9，则△ABC____直角三角形．(选填“是”或“不是”)
15．现将一支长20 cm的金属筷子(粗细忽略不计)放入一个长和宽分别为8 cm，6 cm的长方体水槽中，要使水完全淹没筷子，则水槽中的水深至少为 cm.
16．如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是－2，AC＝BC＝BD＝1，若以点A为圆心、AD的长为半径画弧，与数轴交于点E(点E位于点A右侧)，则点E表示的数为 ．
第16题图 第17题图 第18题图
17．如图，∠C＝90°，△ABC的面积为20，在AB的同侧，分别以AB，BC，AC为直径作三个半圆，则阴影部分(即“希波克拉底月牙形”)的面积为____．
18．如图，已知∠BAC＝60°，AD是角平分线且AD＝10，作AD的垂直平分线交AC于点F，作DE⊥AC，则△DEF的周长为 ．
三、解答题(共66分)
19．(8分)一个零件的形状如图所示，按规定，这个零件中∠A和∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD＝4，AB＝3，BD＝5，DC＝12，BC＝13，这个零件符合要求吗？为什么？
20．(8分)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a＋b＝4，ab＝1，c＝，求证：△ABC为直角三角形.
21．(8分)甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源，为了不至于走散，他们用两部对讲机联系，已知对讲机的有效距离为13.5 km，如图，早上8：00甲先出发，他以6 km/h的速度向东行走，1 h后乙出发，他以5 km/h的速度向北行走，上午10：00，甲步行到A，乙步行到B.
(1)求甲、乙二人相距多远？(2)甲、乙二人是否能保持联系？
22．(10分)如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路AC的同侧，两个喷泉的距离AB的长为250m.现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m，BM的长为150m.
（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
（2）直接写出喷泉B到小路AC的距离.
23．(10分)定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
举例：如图，若PB＝PC，则P为△ABC的准外心．
已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心P在AC边上．求PA的长．
24．(10分)在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图①，若∠C＝90°，则有a2＋b2＝c2；若△ABC为锐角三角形，小明猜想：a2＋b2＞c2.理由如下：
如图②，过点A作AD⊥CB于点D，设CD＝x.
在Rt△ADC中，AD2＝b2－x2；在Rt△ADB中，AD2＝c2－(a－x)2，
∴b2－x2＝c2－(a－x)2，即a2＋b2＝c2＋2ax.
∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0.∴a2＋b2＞c2.
∴当△ABC为锐角三角形时，a2＋b2＞c2.
故小明的猜想是正确的.
请你猜想，当△ABC为钝角三角形时，如图③，a2＋b2与c2的大小关系，并证明你猜想的结论.
25．(12分)在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC.
(1)如图①，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF.若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；
(2)连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图②，若AB2＝AE2＋BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明.
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参考答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分)
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答 案 B B C A B D A C D C
1．设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.已知a＝1，c＝，则b的值为( B )
A. B.2 C. D.6
2．下列几组数：①7，24，25；②13，14，15；③60，80，100；④0.3，0.4，0.5，是勾股数的有( B )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，BC＝2 cm，则AB的长是( C )
A．2 cm B．2 cm C．2 cm D．4 cm
4．以下命题的逆命题是假命题的是( A )
A．邻补角互补 B．直角三角形中两锐角互余
C．等腰三角形的两底角相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
5．已知平面直角坐标系内点P（1，2），Q（2，－3），那么线段PQ的长等于( B )
A.5 B. C. D.2
6．已知 A，B，C三地两两的距离如图所示，B地在A地的正西方向，下面说法不正确的是( D )
A.C地在B地的正北方向上 B.A地在B地的正东方向上
C.C地在A地的北偏西60°方向上 D.A地在C地的南偏东30°方向上
第6题图 第7题图 第10题图
7．赵爽弦图是由4个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．若小正方形和大正方形的面积分别是1和5，则直角三角形两条直角边长分别为( A )
A．2，1 B．1， C．2， D．2，
8．已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足(a－6)2＋＋|c－10|＝0，那么下列说法中不正确的是( C )
A．这个三角形是直角三角形 B．这个三角形的最长边长是10
C．这个三角形的面积是48 D．这个三角形的最长边上的高是4.8
9．在△ABC中，已知AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，则△ABC的周长为( D )
A.14 B.42 C.32 D.42或32
10．如图，在一条公路CD的同一侧有A，B两个村庄，A，B与公路的距离AC，BD分别为500m和700m，且C，D两地相距500m.若要在公路旁（CD上）建一个车站，则A，B两村庄到车站的距离之和最短是( C )
A.1000m B.1200m C.1300m D.1700m
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,满分24分)
11．命题“如果｜a｜＝｜b｜，那么a＝b”的逆命题是 .
【答案】如果a＝b，那么｜a｜＝｜b｜
12．在Rt△ABC中，斜边AB＝a，则AB2＋BC2＋AC2＝ ____．
【答案】2a2
13．如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位：mm)计算两圆孔中心A和B的距离为____mm.
【答案】150
第13题图 第14题图
14．如图，分别以△ABC的三边为直径向外作3个半圆，它们的面积分别为4，5，9，则△ABC____直角三角形．(选填“是”或“不是”)
【答案】是
15．现将一支长20 cm的金属筷子(粗细忽略不计)放入一个长和宽分别为8 cm，6 cm的长方体水槽中，要使水完全淹没筷子，则水槽中的水深至少为 cm.
【答案】10
16．如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是－2，AC＝BC＝BD＝1，若以点A为圆心、AD的长为半径画弧，与数轴交于点E(点E位于点A右侧)，则点E表示的数为 ．
【答案】－2
第16题图 第17题图 第18题图
17．如图，∠C＝90°，△ABC的面积为20，在AB的同侧，分别以AB，BC，AC为直径作三个半圆，则阴影部分(即“希波克拉底月牙形”)的面积为____．
【答案】20
18．如图，已知∠BAC＝60°，AD是角平分线且AD＝10，作AD的垂直平分线交AC于点F，作DE⊥AC，则△DEF的周长为 ．
【答案】5＋5
三、解答题(共66分)
19．(8分)一个零件的形状如图所示，按规定，这个零件中∠A和∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD＝4，AB＝3，BD＝5，DC＝12，BC＝13，这个零件符合要求吗？为什么？
解：这个零件符合要求．理由：在△ABD中，
AB2＋AD2＝32＋42＝25，BD2＝52＝25.∴AB2＋AD2＝BD2，
∴∠A＝90°，同理可证∠CDB＝90°，∴这个零件符合要求．
20．(8分)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a＋b＝4，ab＝1，c＝，求证：△ABC为直角三角形.
证明：∵a＋b＝4，∴（a＋b）2＝42.
∴a2＋2ab＋b2＝16.
∵ab＝1，∴a2＋b2＝14.
∵c＝，∴c2＝14.∴a2＋b2＝c2.
∴△ABC为直角三角形.
21．(8分)甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源，为了不至于走散，他们用两部对讲机联系，已知对讲机的有效距离为13.5 km，如图，早上8：00甲先出发，他以6 km/h的速度向东行走，1 h后乙出发，他以5 km/h的速度向北行走，上午10：00，甲步行到A，乙步行到B.
(1)求甲、乙二人相距多远？(2)甲、乙二人是否能保持联系？
解：(1)由题意得OA＝12 km，OB＝5 km，
在Rt△OAB中，AB2＝122＋52＝169，∴AB＝13 km，
答：上午10：00时，甲、乙两人相距13 km.
(2)∵13.5＞13，∴甲、乙两人还能保持联系．
22．(10分)如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路AC的同侧，两个喷泉的距离AB的长为250m.现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m，BM的长为150m.
（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
（2）直接写出喷泉B到小路AC的距离.
解：（1）在Rt△MNB中，BN＝＝＝90（m），
∴AN＝AB－BN＝250－90＝160（m）.
在Rt△AMN中，AM＝＝＝200（m）.
∴供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为200＋150＝350（m）.
（2）150 m
23．(10分)定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
举例：如图，若PB＝PC，则P为△ABC的准外心．
已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心P在AC边上．求PA的长．
解：∵BC＝5，AB＝3，∴AC＝＝＝4.
①若PB＝PC，设PA＝x，则PB＝4－x，
在Rt△APB中，有x2＋32＝(4－x)2，解得x＝，即PA＝；
②若PA＝PC，则PA＝2；
③若PA＝PB，由图知在Rt△PAB中不可能．综上可得PA＝2或.
24．(10分)在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图①，若∠C＝90°，则有a2＋b2＝c2；若△ABC为锐角三角形，小明猜想：a2＋b2＞c2.理由如下：
如图②，过点A作AD⊥CB于点D，设CD＝x.
在Rt△ADC中，AD2＝b2－x2；在Rt△ADB中，AD2＝c2－(a－x)2，
∴b2－x2＝c2－(a－x)2，即a2＋b2＝c2＋2ax.
∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0.∴a2＋b2＞c2.
∴当△ABC为锐角三角形时，a2＋b2＞c2.
故小明的猜想是正确的.
请你猜想，当△ABC为钝角三角形时，如图③，a2＋b2与c2的大小关系，并证明你猜想的结论.
【解】当△ABC为钝角三角形时，a2＋b2与c2的大小关系为a2＋b2＜c2.
证明如下：如图③，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.
设CD＝y.在Rt△ADC中，由勾股定理得AD2＝AC2－DC2＝b2－y2；
在Rt△ADB中，由勾股定理得AD2＝AB2－BD2＝c2－(a＋y)2.
∴b2－y2＝c2－(a＋y)2，整理，得a2＋b2＝c2－2ay.
∵a＞0，y＞0，∴2ay＞0.∴a2＋b2＝c2－2ay＜c2.∴当△ABC为钝角三角形时，a2＋b2＜c2.
25．(12分)在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC.
(1)如图①，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF.若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；
(2)连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图②，若AB2＝AE2＋BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明.
(1)【证明】在△BCD和△FCE中，
∴△BCD≌△FCE(SAS).∴∠DBC＝∠EFC.∴BD∥EF.
∵AF⊥EF，∴BD⊥AF.
(2)【解】由题意补全图形如图②.CD＝CH.
证明：延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BF.
又∵BC＝CF，∴AB＝AF.由(1)可知BD∥EF，△BCD≌△FCE，则BD＝EF，
∵AB2＝AE2＋BD2，∴AF2＝AE2＋EF2.∴∠AEF＝90°.∴AE⊥EF.
∴BD⊥AE.∴∠DHE＝90°.又∵CD＝CE，∴CH＝CD.
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