第17章 勾股定理 章末复习（含答案）
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第17章 勾股定理 章末复习
【知识网络】
【考点突破】
考点1：勾股定理
1．在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
2．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为( )
A. B．2 C. D.
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若CD＝3，BD＝5，则BE的长为 ．
4．直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高为 ．
5．如图，△ABC和△DCE都是边长为2的等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，连接BE，求BE的长．
.
考点2：勾股定理的应用
6．如图①是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC.若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则点B到OC的距离为( )
A. B. C．1 D．2
7．将长为8 cm的橡皮筋放置在水平桌面上，固定两端，然后把中点竖直向上拉升3 cm，则橡皮筋被拉长了( )
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
8．为了打造“绿洲”，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，已知AB＝10 m，BC＝15 m，∠B＝120°，这种草皮每平方米售价2a元，则购买这种草皮需要( )
A．75a元 B．50a元 C.a元 D．150a元
9．将一根25 cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8 cm，6 cm，10 cm的长方体无盖盒子中，则细木棒在盒子外面的最短长度是 cm.
10．某地交通管理条例规定：小汽车在城市街道上行驶的速度不得超过70 km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方50 m的点B处，6 s后测得这辆小汽车行驶到与车速检测仪距离为130 m的点C处.这辆小汽车超速了吗？请说明理由.
11．下图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26 m，长方形CDEF为一木质平台的主视图．小敏经过现场测量得知：CD＝1 m，AD＝15 m，于是小敏大胆猜想立柱AB段的长为10 m，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度．
12．如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使C，A两点重合，点D落在点G处．已知AB＝4，BC＝8.
(1)求证：△AEF是等腰三角形；
(2)求线段FD的长．
考点3：逆命题及逆定理
13．下列命题中，其逆命题是真命题的是( )
A．对顶角相等 B．两直线平行，同位角相等
C．全等三角形的对应角相等 D．正方形的四个角都相等
14．命题“如果｜a｜＝｜b｜，那么a＝b”的逆命题是 .
考点4：勾股定理的逆定理
15．在△ABC中，AB＝，BC＝，AC＝，则( )
A．∠B＋∠C＝90° B．∠A＋∠C＝90°
C．∠A＋∠B＝90° D．∠B＝∠C
16．已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
17．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60 cm，则它的面积是 cm2.
18．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB＋∠PBA＝ °(点A，B，P是网格线交点)．
考点5：勾股定理及其逆定理的综合应用
19．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿 方向航行．
20．如图，每个小正方形的边长都为1.
(1)CD＝ ，BC＝ ；
(2)求四边形ABCD的面积与周长；
(3)求证：∠BCD＝90°.
考点6：勾股定理中的规律性问题
21．如图，正方形ABCB1中，AB＝1，AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4…依此规律，则A2025A2026的长度为( )
A．()2025 B．()2026 C．2()2025 D．2()2026
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参考答案
【知识网络】
【考点突破】
考点1：勾股定理
1．在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( A )
A．5 B．6 C．7 D．8
2．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为( D )
A. B．2 C. D.
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若CD＝3，BD＝5，则BE的长为 ．
【答案】4
4．直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高为 ．
【答案】或
5．如图，△ABC和△DCE都是边长为2的等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，连接BE，求BE的长．
解：过点E作EF⊥BD，垂足为点F.
∵△DCE为等边三角形，
∴EF是△DCE的中线，
∴CF＝CD＝1.∴BF＝BC＋CF＝2＋1＝3.
在Rt△EFC中，由勾股定理，得
EF2＝EC2－CF2＝22－12＝3.
在Rt△EFB中，由勾股定理，得
BE2＝BF2＋EF2＝32＋3＝12，∴BE＝2.
考点2：勾股定理的应用
6．如图①是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC.若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则点B到OC的距离为( B )
A. B. C．1 D．2
7．将长为8 cm的橡皮筋放置在水平桌面上，固定两端，然后把中点竖直向上拉升3 cm，则橡皮筋被拉长了( A )
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
8．为了打造“绿洲”，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，已知AB＝10 m，BC＝15 m，∠B＝120°，这种草皮每平方米售价2a元，则购买这种草皮需要( A )
A．75a元 B．50a元 C.a元 D．150a元
9．将一根25 cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8 cm，6 cm，10 cm的长方体无盖盒子中，则细木棒在盒子外面的最短长度是 cm.
【答案】5
10．某地交通管理条例规定：小汽车在城市街道上行驶的速度不得超过70 km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方50 m的点B处，6 s后测得这辆小汽车行驶到与车速检测仪距离为130 m的点C处.这辆小汽车超速了吗？请说明理由.
【解】这辆小汽车超速了.理由如下：
由题意得∠ABC＝90°，AB＝50 m，AC＝130 m.
在Rt△ABC中，由勾股定理得BC2＋AB2＝AC2，所以BC＝120 m.
所以这辆小汽车的行驶速度为120÷6＝20(m/s).
又20 m/s＝72 km/h，72＞70，
所以这辆小汽车超速了.
11．下图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26 m，长方形CDEF为一木质平台的主视图．小敏经过现场测量得知：CD＝1 m，AD＝15 m，于是小敏大胆猜想立柱AB段的长为10 m，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度．
解：错误．延长FC交AB于点G，则CG⊥AB，
AG＝CD＝1 m，
GC＝AD＝15 m，
设BG＝x m，则BC＝(26－1－x)m，
在Rt△BGC中，∵BG2＋CG2＝CB2，
∴x2＋152＝(26－1－x)2，解得x＝8，
∴BA＝BG＋GA＝8＋1＝9(m)，
∴小敏的猜想错误，立柱AB段的正确长度为9 m.
12．如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使C，A两点重合，点D落在点G处．已知AB＝4，BC＝8.
(1)求证：△AEF是等腰三角形；
(2)求线段FD的长．
解：(1)证明：由折叠性质可知，∠AEF＝∠CEF，
由四边形ABCD为长方形可知，AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CEF，
∴∠AEF＝∠AFE.
∴AE＝AF.
故△AEF为等腰三角形．
(2)由折叠可得AE＝CE，设CE＝x＝AE，
则BE＝BC－CE＝8－x，
∵∠B＝90°，
在Rt△ABE中，有AB2＋BE2＝AE2，
即42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5.
由(1)结论可得AF＝AE＝5，
故FD＝AD－AF＝BC－AF＝8－5＝3.
考点3：逆命题及逆定理
13．下列命题中，其逆命题是真命题的是( B )
A．对顶角相等 B．两直线平行，同位角相等
C．全等三角形的对应角相等 D．正方形的四个角都相等
14．命题“如果｜a｜＝｜b｜，那么a＝b”的逆命题是 .
【答案】如果a＝b，那么｜a｜＝｜b｜
考点4：勾股定理的逆定理
15．在△ABC中，AB＝，BC＝，AC＝，则( A )
A．∠B＋∠C＝90° B．∠A＋∠C＝90°
C．∠A＋∠B＝90° D．∠B＝∠C
16．已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是( B )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
17．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60 cm，则它的面积是 cm2.
【答案】120
18．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB＋∠PBA＝ °(点A，B，P是网格线交点)．
【答案】45
考点5：勾股定理及其逆定理的综合应用
19．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿 方向航行．
【答案】北偏东50°
20．如图，每个小正方形的边长都为1.
(1)CD＝ ，BC＝ ；
(2)求四边形ABCD的面积与周长；
(3)求证：∠BCD＝90°.
【答案】(1) 2
(2)解：∵AB＝5，AD＝＝，
∴四边形ABCD的周长为
2＋＋5＋＝＋3＋5，
∴S四边形ABCD＝4×5－×2×4－×1×2－ ×1×3－1×1＝12.5.
(3)证明：连接BD，则BD2＝32＋42＝25.
∵BC2＋CD2＝(2)2＋()2＝20＋5＝25，
∴BC2＋CD2＝BD2，∴∠BCD＝90°.
考点6：勾股定理中的规律性问题
21．如图，正方形ABCB1中，AB＝1，AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4…依此规律，则A2025A2026的长度为( C )
A．()2025 B．()2026 C．2()2025 D．2()2026
【知识网络】
【考点突破】
考点1：勾股定理
1．在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
2．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为( )
A. B．2 C. D.
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若CD＝3，BD＝5，则BE的长为 ．
4．直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高为 ．
5．如图，△ABC和△DCE都是边长为2的等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，连接BE，求BE的长．
.
考点2：勾股定理的应用
6．如图①是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC.若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则点B到OC的距离为( )
A. B. C．1 D．2
7．将长为8 cm的橡皮筋放置在水平桌面上，固定两端，然后把中点竖直向上拉升3 cm，则橡皮筋被拉长了( )
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
8．为了打造“绿洲”，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，已知AB＝10 m，BC＝15 m，∠B＝120°，这种草皮每平方米售价2a元，则购买这种草皮需要( )
A．75a元 B．50a元 C.a元 D．150a元
9．将一根25 cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8 cm，6 cm，10 cm的长方体无盖盒子中，则细木棒在盒子外面的最短长度是 cm.
10．某地交通管理条例规定：小汽车在城市街道上行驶的速度不得超过70 km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方50 m的点B处，6 s后测得这辆小汽车行驶到与车速检测仪距离为130 m的点C处.这辆小汽车超速了吗？请说明理由.
11．下图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26 m，长方形CDEF为一木质平台的主视图．小敏经过现场测量得知：CD＝1 m，AD＝15 m，于是小敏大胆猜想立柱AB段的长为10 m，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度．
12．如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使C，A两点重合，点D落在点G处．已知AB＝4，BC＝8.
(1)求证：△AEF是等腰三角形；
(2)求线段FD的长．
考点3：逆命题及逆定理
13．下列命题中，其逆命题是真命题的是( )
A．对顶角相等 B．两直线平行，同位角相等
C．全等三角形的对应角相等 D．正方形的四个角都相等
14．命题“如果｜a｜＝｜b｜，那么a＝b”的逆命题是 .
考点4：勾股定理的逆定理
15．在△ABC中，AB＝，BC＝，AC＝，则( )
A．∠B＋∠C＝90° B．∠A＋∠C＝90°
C．∠A＋∠B＝90° D．∠B＝∠C
16．已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
17．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60 cm，则它的面积是 cm2.
18．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB＋∠PBA＝ °(点A，B，P是网格线交点)．
考点5：勾股定理及其逆定理的综合应用
19．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿 方向航行．
20．如图，每个小正方形的边长都为1.
(1)CD＝ ，BC＝ ；
(2)求四边形ABCD的面积与周长；
(3)求证：∠BCD＝90°.
考点6：勾股定理中的规律性问题
21．如图，正方形ABCB1中，AB＝1，AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4…依此规律，则A2025A2026的长度为( )
A．()2025 B．()2026 C．2()2025 D．2()2026
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参考答案
【知识网络】
【考点突破】
考点1：勾股定理
1．在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( A )
A．5 B．6 C．7 D．8
2．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为( D )
A. B．2 C. D.
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若CD＝3，BD＝5，则BE的长为 ．
【答案】4
4．直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高为 ．
【答案】或
5．如图，△ABC和△DCE都是边长为2的等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，连接BE，求BE的长．
解：过点E作EF⊥BD，垂足为点F.
∵△DCE为等边三角形，
∴EF是△DCE的中线，
∴CF＝CD＝1.∴BF＝BC＋CF＝2＋1＝3.
在Rt△EFC中，由勾股定理，得
EF2＝EC2－CF2＝22－12＝3.
在Rt△EFB中，由勾股定理，得
BE2＝BF2＋EF2＝32＋3＝12，∴BE＝2.
考点2：勾股定理的应用
6．如图①是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC.若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则点B到OC的距离为( B )
A. B. C．1 D．2
7．将长为8 cm的橡皮筋放置在水平桌面上，固定两端，然后把中点竖直向上拉升3 cm，则橡皮筋被拉长了( A )
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
8．为了打造“绿洲”，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，已知AB＝10 m，BC＝15 m，∠B＝120°，这种草皮每平方米售价2a元，则购买这种草皮需要( A )
A．75a元 B．50a元 C.a元 D．150a元
9．将一根25 cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8 cm，6 cm，10 cm的长方体无盖盒子中，则细木棒在盒子外面的最短长度是 cm.
【答案】5
10．某地交通管理条例规定：小汽车在城市街道上行驶的速度不得超过70 km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方50 m的点B处，6 s后测得这辆小汽车行驶到与车速检测仪距离为130 m的点C处.这辆小汽车超速了吗？请说明理由.
【解】这辆小汽车超速了.理由如下：
由题意得∠ABC＝90°，AB＝50 m，AC＝130 m.
在Rt△ABC中，由勾股定理得BC2＋AB2＝AC2，所以BC＝120 m.
所以这辆小汽车的行驶速度为120÷6＝20(m/s).
又20 m/s＝72 km/h，72＞70，
所以这辆小汽车超速了.
11．下图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26 m，长方形CDEF为一木质平台的主视图．小敏经过现场测量得知：CD＝1 m，AD＝15 m，于是小敏大胆猜想立柱AB段的长为10 m，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度．
解：错误．延长FC交AB于点G，则CG⊥AB，
AG＝CD＝1 m，
GC＝AD＝15 m，
设BG＝x m，则BC＝(26－1－x)m，
在Rt△BGC中，∵BG2＋CG2＝CB2，
∴x2＋152＝(26－1－x)2，解得x＝8，
∴BA＝BG＋GA＝8＋1＝9(m)，
∴小敏的猜想错误，立柱AB段的正确长度为9 m.
12．如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使C，A两点重合，点D落在点G处．已知AB＝4，BC＝8.
(1)求证：△AEF是等腰三角形；
(2)求线段FD的长．
解：(1)证明：由折叠性质可知，∠AEF＝∠CEF，
由四边形ABCD为长方形可知，AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CEF，
∴∠AEF＝∠AFE.
∴AE＝AF.
故△AEF为等腰三角形．
(2)由折叠可得AE＝CE，设CE＝x＝AE，
则BE＝BC－CE＝8－x，
∵∠B＝90°，
在Rt△ABE中，有AB2＋BE2＝AE2，
即42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5.
由(1)结论可得AF＝AE＝5，
故FD＝AD－AF＝BC－AF＝8－5＝3.
考点3：逆命题及逆定理
13．下列命题中，其逆命题是真命题的是( B )
A．对顶角相等 B．两直线平行，同位角相等
C．全等三角形的对应角相等 D．正方形的四个角都相等
14．命题“如果｜a｜＝｜b｜，那么a＝b”的逆命题是 .
【答案】如果a＝b，那么｜a｜＝｜b｜
考点4：勾股定理的逆定理
15．在△ABC中，AB＝，BC＝，AC＝，则( A )
A．∠B＋∠C＝90° B．∠A＋∠C＝90°
C．∠A＋∠B＝90° D．∠B＝∠C
16．已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是( B )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
17．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60 cm，则它的面积是 cm2.
【答案】120
18．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB＋∠PBA＝ °(点A，B，P是网格线交点)．
【答案】45
考点5：勾股定理及其逆定理的综合应用
19．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿 方向航行．
【答案】北偏东50°
20．如图，每个小正方形的边长都为1.
(1)CD＝ ，BC＝ ；
(2)求四边形ABCD的面积与周长；
(3)求证：∠BCD＝90°.
【答案】(1) 2
(2)解：∵AB＝5，AD＝＝，
∴四边形ABCD的周长为
2＋＋5＋＝＋3＋5，
∴S四边形ABCD＝4×5－×2×4－×1×2－ ×1×3－1×1＝12.5.
(3)证明：连接BD，则BD2＝32＋42＝25.
∵BC2＋CD2＝(2)2＋()2＝20＋5＝25，
∴BC2＋CD2＝BD2，∴∠BCD＝90°.
考点6：勾股定理中的规律性问题
21．如图，正方形ABCB1中，AB＝1，AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4…依此规律，则A2025A2026的长度为( C )
A．()2025 B．()2026 C．2()2025 D．2()2026