第17章 勾股定理 专题训练 利用勾股定理解题的六种常见题型（含解析）
文档属性
| 名称 | 第17章 勾股定理 专题训练 利用勾股定理解题的六种常见题型（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-17 09:15:03 | ||
图片预览
文档简介
第17章 勾股定理 专题训练
利用勾股定理解题的六种常见题型
【题型先知】
【专题训练】
题型1 利用勾股定理求线段长
类型1 求三角形中线段长
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，AC＝6，BC＝8，则DB的长为 .
类型2 求四边形中线段长
2．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四边形ABCD的周长为32.求BC和CD的长度.
类型3 求折叠中线段长(方程思想)
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，D，E分别是边AB和BC上的点，把△ABC沿直线DE折叠，若B恰好落在AC的中点M上，则CE的长为 .
类型4 求动点中线段长
4．如图，∠AOB＝90°，OA＝40 m，OB＝15 m.一机器人在B点处看见一球从A点出发沿AO方向匀速滚向O，机器人立即从B 点出发，沿直线匀速前进拦截球，在C处截住球.若球滚动的速度与机器人行走的速度相同，则机器人行走的路程BC为多少？
题型2 利用勾股定理证明线段相等
5．如图，在四边形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＝2AB2－CD2.求证：AB＝BC.
题型3 利用勾股定理证明线段之间的平方关系
6．如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P.求证：BP2＝BC2＋AP2.
题型4 利用勾股定理解传统数学文化问题
7．《九章算术》是我国古代数学代表作之一，书中记载：今有开门去阃(门槛)一尺，不合四寸，问门广几何？其大意如下：如图①②(图②为图①的平面示意图)，推开双门(大小相同)，双门间隙CD＝4寸，点C、点D与门槛AB的距离CE＝DF＝1尺(1尺＝10寸)，求门槛AB的长.
题型5 利用勾股定理求展开图中的最短距离
8．如图，圆柱形玻璃容器高10 cm，底面周长为30 cm，在外侧距下底1 cm的点S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形玻璃容器的上口外侧距开口处1 cm的点F处有食物，求蚂蚁要吃到食物所走最短路线的长度.
题型6 利用勾股定理求动点中的最短距离
9．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD的中点，M是边BC上的一个动点，N是边CD上的一个动点，求AM＋MN＋EN的最小值.
中小学教育资源及组卷应用平台
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
参考答案
【专题训练】
题型1 利用勾股定理求线段长
类型1 求三角形中线段长
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，AC＝6，BC＝8，则DB的长为 .
【答案】5
【解析】利用勾股定理得AB＝10，根据角平分线的性质得到DE＝CD，利用HL证明Rt△AED≌Rt△ACD得到AE＝AC＝6，则BE＝4，设BD＝x，则CD＝DE＝8－x，最后利用勾股定理建立方程即可求解.
类型2 求四边形中线段长
2．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四边形ABCD的周长为32.求BC和CD的长度.
【解】如图，连接BD.
∵AB＝AD，∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形.
∴∠1＝60°，BD＝AD＝8.
又∵∠ADC＝150°，∴∠2＝90°.
设BC＝x，则CD＝32－8－8－x＝16－x，
由勾股定理得x2＝82＋(16－x)2，
解得x＝10.
∴BC＝10，CD＝6.
类型3 求折叠中线段长(方程思想)
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，D，E分别是边AB和BC上的点，把△ABC沿直线DE折叠，若B恰好落在AC的中点M上，则CE的长为 .
【答案】
【解析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC＝6，结合点M是AC的中点可得CM＝3，由折叠可知ME＝BE＝BC－CE，设CE＝x，则ME＝8－x，在Rt△CME中运用勾股定理求解即可.
类型4 求动点中线段长
4．如图，∠AOB＝90°，OA＝40 m，OB＝15 m.一机器人在B点处看见一球从A点出发沿AO方向匀速滚向O，机器人立即从B 点出发，沿直线匀速前进拦截球，在C处截住球.若球滚动的速度与机器人行走的速度相同，则机器人行走的路程BC为多少？
【解】∵球滚动的速度与机器人行走的速度相同，
∴BC＝AC.
设BC＝AC＝x m，则OC＝(40－x)m，
在Rt△BOC中，∵OB2＋OC2＝BC2，
∴152＋(40－x)2＝x2，解得x＝.
∴机器人行走的路程BC为 m.
题型2 利用勾股定理证明线段相等
5．如图，在四边形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＝2AB2－CD2.求证：AB＝BC.
【证明】∵CD⊥AD，
∴∠ADC＝90°，即△ADC是直角三角形.
由勾股定理得AD2＋CD2＝AC2.
又∵AD2＝2AB2－CD2，
∴AD2＋CD2＝2AB2.
∴AC2＝2AB2.
∵∠ABC＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2.
∴AB2＋BC2＝2AB2.
∴BC2＝AB2，即AB＝BC.
题型3 利用勾股定理证明线段之间的平方关系
6．如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P.求证：BP2＝BC2＋AP2.
【证明】如图，连接BM.
∵PM⊥AB，∴△BMP和△AMP均为直角三角形.
∴BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2.
∵∠C＝90°，∴△MBC为直角三角形.
∴BC2＋CM2＝BM2.
∴BP2＋PM2＝BC2＋CM2.
又∵CM＝AM，∴CM2＝AM2＝AP2＋PM2.
∴BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2.
∴BP2＝BC2＋AP2.
题型4 利用勾股定理解传统数学文化问题
7．《九章算术》是我国古代数学代表作之一，书中记载：今有开门去阃(门槛)一尺，不合四寸，问门广几何？其大意如下：如图①②(图②为图①的平面示意图)，推开双门(大小相同)，双门间隙CD＝4寸，点C、点D与门槛AB的距离CE＝DF＝1尺(1尺＝10寸)，求门槛AB的长.
【解】设AE＝x寸，易知AC＝AO＝(x＋2)寸，BF＝x寸.∵AE2＋CE2＝AC2，
∴x2＋102＝(x＋2)2，解得x＝24.
∴AB＝24＋24＋4＝52(寸)，
即门槛AB的长为52寸.
题型5 利用勾股定理求展开图中的最短距离
8．如图，圆柱形玻璃容器高10 cm，底面周长为30 cm，在外侧距下底1 cm的点S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形玻璃容器的上口外侧距开口处1 cm的点F处有食物，求蚂蚁要吃到食物所走最短路线的长度.
【解】如图，将圆柱形玻璃容器侧面展开，连接SF，过点S作SP⊥MN于点P.
由题意可知FP＝10－2＝8(cm)，
SP＝30÷2＝15(cm).
在Rt△SPF中，SF＝＝＝＝17(cm).
答：蚂蚁要吃到食物所走最短路线的长度为17 cm.
题型6 利用勾股定理求动点中的最短距离
9．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD的中点，M是边BC上的一个动点，N是边CD上的一个动点，求AM＋MN＋EN的最小值.
【解】如图，作A点关于BC的对称点A1，连接A1M，作E点关于DC的对称点E1，连接E1N，A1E1.
易知A，B，A1在一条直线上，A，D，E1在一条直线上.
∵点A和点A1关于BC对称，点E和点E1关于DC对称，
∴AB＝A1B，AM＝A1M，DE＝DE1，EN＝E1N，
∴AM＋MN＋EN＝A1M＋MN＋E1N≥A1E1，
∴AM＋MN＋EN的最小值是A1E1的长.
∵AD＝AB＝4，E是AD的中点，
∴AB＝A1B＝4，ED＝E1D＝2，
∴AA1＝8，AE1＝6.
∵∠BAD＝90°，
∴A1＝62＋82＝102，
∴A1E1＝10，即AM＋MN＋EN的最小值为10.
利用勾股定理解题的六种常见题型
【题型先知】
【专题训练】
题型1 利用勾股定理求线段长
类型1 求三角形中线段长
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，AC＝6，BC＝8，则DB的长为 .
类型2 求四边形中线段长
2．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四边形ABCD的周长为32.求BC和CD的长度.
类型3 求折叠中线段长(方程思想)
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，D，E分别是边AB和BC上的点，把△ABC沿直线DE折叠，若B恰好落在AC的中点M上，则CE的长为 .
类型4 求动点中线段长
4．如图，∠AOB＝90°，OA＝40 m，OB＝15 m.一机器人在B点处看见一球从A点出发沿AO方向匀速滚向O，机器人立即从B 点出发，沿直线匀速前进拦截球，在C处截住球.若球滚动的速度与机器人行走的速度相同，则机器人行走的路程BC为多少？
题型2 利用勾股定理证明线段相等
5．如图，在四边形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＝2AB2－CD2.求证：AB＝BC.
题型3 利用勾股定理证明线段之间的平方关系
6．如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P.求证：BP2＝BC2＋AP2.
题型4 利用勾股定理解传统数学文化问题
7．《九章算术》是我国古代数学代表作之一，书中记载：今有开门去阃(门槛)一尺，不合四寸，问门广几何？其大意如下：如图①②(图②为图①的平面示意图)，推开双门(大小相同)，双门间隙CD＝4寸，点C、点D与门槛AB的距离CE＝DF＝1尺(1尺＝10寸)，求门槛AB的长.
题型5 利用勾股定理求展开图中的最短距离
8．如图，圆柱形玻璃容器高10 cm，底面周长为30 cm，在外侧距下底1 cm的点S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形玻璃容器的上口外侧距开口处1 cm的点F处有食物，求蚂蚁要吃到食物所走最短路线的长度.
题型6 利用勾股定理求动点中的最短距离
9．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD的中点，M是边BC上的一个动点，N是边CD上的一个动点，求AM＋MN＋EN的最小值.
中小学教育资源及组卷应用平台
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
参考答案
【专题训练】
题型1 利用勾股定理求线段长
类型1 求三角形中线段长
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，AC＝6，BC＝8，则DB的长为 .
【答案】5
【解析】利用勾股定理得AB＝10，根据角平分线的性质得到DE＝CD，利用HL证明Rt△AED≌Rt△ACD得到AE＝AC＝6，则BE＝4，设BD＝x，则CD＝DE＝8－x，最后利用勾股定理建立方程即可求解.
类型2 求四边形中线段长
2．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四边形ABCD的周长为32.求BC和CD的长度.
【解】如图，连接BD.
∵AB＝AD，∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形.
∴∠1＝60°，BD＝AD＝8.
又∵∠ADC＝150°，∴∠2＝90°.
设BC＝x，则CD＝32－8－8－x＝16－x，
由勾股定理得x2＝82＋(16－x)2，
解得x＝10.
∴BC＝10，CD＝6.
类型3 求折叠中线段长(方程思想)
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，D，E分别是边AB和BC上的点，把△ABC沿直线DE折叠，若B恰好落在AC的中点M上，则CE的长为 .
【答案】
【解析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC＝6，结合点M是AC的中点可得CM＝3，由折叠可知ME＝BE＝BC－CE，设CE＝x，则ME＝8－x，在Rt△CME中运用勾股定理求解即可.
类型4 求动点中线段长
4．如图，∠AOB＝90°，OA＝40 m，OB＝15 m.一机器人在B点处看见一球从A点出发沿AO方向匀速滚向O，机器人立即从B 点出发，沿直线匀速前进拦截球，在C处截住球.若球滚动的速度与机器人行走的速度相同，则机器人行走的路程BC为多少？
【解】∵球滚动的速度与机器人行走的速度相同，
∴BC＝AC.
设BC＝AC＝x m，则OC＝(40－x)m，
在Rt△BOC中，∵OB2＋OC2＝BC2，
∴152＋(40－x)2＝x2，解得x＝.
∴机器人行走的路程BC为 m.
题型2 利用勾股定理证明线段相等
5．如图，在四边形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＝2AB2－CD2.求证：AB＝BC.
【证明】∵CD⊥AD，
∴∠ADC＝90°，即△ADC是直角三角形.
由勾股定理得AD2＋CD2＝AC2.
又∵AD2＝2AB2－CD2，
∴AD2＋CD2＝2AB2.
∴AC2＝2AB2.
∵∠ABC＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2.
∴AB2＋BC2＝2AB2.
∴BC2＝AB2，即AB＝BC.
题型3 利用勾股定理证明线段之间的平方关系
6．如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P.求证：BP2＝BC2＋AP2.
【证明】如图，连接BM.
∵PM⊥AB，∴△BMP和△AMP均为直角三角形.
∴BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2.
∵∠C＝90°，∴△MBC为直角三角形.
∴BC2＋CM2＝BM2.
∴BP2＋PM2＝BC2＋CM2.
又∵CM＝AM，∴CM2＝AM2＝AP2＋PM2.
∴BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2.
∴BP2＝BC2＋AP2.
题型4 利用勾股定理解传统数学文化问题
7．《九章算术》是我国古代数学代表作之一，书中记载：今有开门去阃(门槛)一尺，不合四寸，问门广几何？其大意如下：如图①②(图②为图①的平面示意图)，推开双门(大小相同)，双门间隙CD＝4寸，点C、点D与门槛AB的距离CE＝DF＝1尺(1尺＝10寸)，求门槛AB的长.
【解】设AE＝x寸，易知AC＝AO＝(x＋2)寸，BF＝x寸.∵AE2＋CE2＝AC2，
∴x2＋102＝(x＋2)2，解得x＝24.
∴AB＝24＋24＋4＝52(寸)，
即门槛AB的长为52寸.
题型5 利用勾股定理求展开图中的最短距离
8．如图，圆柱形玻璃容器高10 cm，底面周长为30 cm，在外侧距下底1 cm的点S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形玻璃容器的上口外侧距开口处1 cm的点F处有食物，求蚂蚁要吃到食物所走最短路线的长度.
【解】如图，将圆柱形玻璃容器侧面展开，连接SF，过点S作SP⊥MN于点P.
由题意可知FP＝10－2＝8(cm)，
SP＝30÷2＝15(cm).
在Rt△SPF中，SF＝＝＝＝17(cm).
答：蚂蚁要吃到食物所走最短路线的长度为17 cm.
题型6 利用勾股定理求动点中的最短距离
9．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD的中点，M是边BC上的一个动点，N是边CD上的一个动点，求AM＋MN＋EN的最小值.
【解】如图，作A点关于BC的对称点A1，连接A1M，作E点关于DC的对称点E1，连接E1N，A1E1.
易知A，B，A1在一条直线上，A，D，E1在一条直线上.
∵点A和点A1关于BC对称，点E和点E1关于DC对称，
∴AB＝A1B，AM＝A1M，DE＝DE1，EN＝E1N，
∴AM＋MN＋EN＝A1M＋MN＋E1N≥A1E1，
∴AM＋MN＋EN的最小值是A1E1的长.
∵AD＝AB＝4，E是AD的中点，
∴AB＝A1B＝4，ED＝E1D＝2，
∴AA1＝8，AE1＝6.
∵∠BAD＝90°，
∴A1＝62＋82＝102，
∴A1E1＝10，即AM＋MN＋EN的最小值为10.