17.2.2 勾股定理及其逆定理的综合应用 同步练习（含答案）

17.2　勾股定理的逆定理
第2课时 勾股定理及其逆定理的综合应用
一、选择题
1．一辆汽车从点A出发沿正东方向行驶30 km到达点B，然后转向行驶40 km到达点C，最后从点C沿CA方向直接回到出发点A.如果汽车从出发到返回共行驶了120 km，那么BC的方向是(　　)
A．正东或正西 B．正南 C．正北 D．正南或正北
2．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列选项中正确的是(　　)
A B C D
3．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对
　 　
第3题图　 第5题图 第6题图
4．已知△ABC，AB＝5，BC＝12，AC＝13，点P是AC上一个动点．则线段BP长的最小值是(　　)
A. B．5 C. D．12
5．如图，A，B两个村庄分别在两条公路MN和EF的边上，且MN∥EF，某施工队在A，B，C三个村之间修了三条笔直的路．若∠MAB＝65°，∠CBE＝25°，AB＝160 km，BC＝120 km，则A，C两村之间的距离为(　　)
A．250 km B．240 km C．200 km D．180 km
6．如图，在6×4的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E均在格点上．则∠ABC－∠DCE＝(提示：连接AC，AD)(　　)
A．30° B．42° C．45° D．50°
二、填空题
7．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3,4,5；②5,12,13；③7,24,25；④9,40,41；…请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数 .
8．某校要对如图所示的一块地进行绿化，已知AD＝4 m，CD＝3 m，AD⊥DC，AB＝13 m，BC＝12 m，则这块地的面积为 m2.
9．在△ABC中，a＝5，b＝6，当c＝　　时，∠C是直角；当c＝　 　时，∠B是直角．
三、解答题
10．某花园小区有一空地(如图所示的△ABC)，为美化小区，居委会准备将其开发种植花草，经测量，AB＝26 m，BC＝20 m，BC边上的中线AD＝24 m．如果每平方米种植花草需要50元，
那么种植这块三角形空地需要多少钱？
11．如图，在公路的同侧有A，B两个送奶站，C为公路上一个供奶站，CA和CB为供奶站路线，现已测得AC＝8 km，BC＝15 km，AB＝17 km，∠1＝30°，若有一人从C处出发，沿公路边行走，速度为2.5 km/h，问多长时间后这人距离B送奶站最近．
12．某小区的一所健身中心的平面图如图所示，活动区是面积为200 m2的长方形，其长为20 m，餐饮区是一个半圆形，面积为4.5π m2 ，休息区是一个三角形，边AE＝8 m，求休息区的面积．
13．如图是一个零件的示意图，量得AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm，∠ABC＝90°，根据这些条件，你能求出∠ACD的度数吗？试说明理由．
14．如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°，若AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝.
(1)求AC，CE的长；
(2)求证：∠ACE＝90°.
15．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝1，CD＝，DA＝1，且∠B＝90°.
(1)求∠BAD的度数；
(2)求四边形ABCD的面积(结果保留根号)；
(3)将△ABC沿AC翻折至△AB′C，如图所示，连接B′D，求四边形ACB′D的面积．
16．阅读：能够成为直角三角形三边长的三个正整数a、b、c称为勾股数，世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代的数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为，其中m＞n＞0，m、n是互质的奇数．
应用：当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．
17．通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．如果我们新定义一种三角形——两边的平方和等于第三边的平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．
(1)根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？ (填“是”或“不是”)；
(2)若某三角形的三边长分别为1，，2，则该三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据；
(3)在Rt△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2＝50，c2＝100，则这个三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据；
探究：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b>a.若Rt△ABC是奇异三角形，求a2∶b2∶c2.
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参考答案
一、选择题
1．一辆汽车从点A出发沿正东方向行驶30 km到达点B，然后转向行驶40 km到达点C，最后从点C沿CA方向直接回到出发点A.如果汽车从出发到返回共行驶了120 km，那么BC的方向是(　D　)
A．正东或正西 B．正南 C．正北 D．正南或正北
2．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列选项中正确的是(　C　)
A B C D
3．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为(　A　)
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对
　 　
第3题图　 第5题图 第6题图
4．已知△ABC，AB＝5，BC＝12，AC＝13，点P是AC上一个动点．则线段BP长的最小值是(　A　)
A. B．5 C. D．12
5．如图，A，B两个村庄分别在两条公路MN和EF的边上，且MN∥EF，某施工队在A，B，C三个村之间修了三条笔直的路．若∠MAB＝65°，∠CBE＝25°，AB＝160 km，BC＝120 km，则A，C两村之间的距离为(　C　)
A．250 km B．240 km C．200 km D．180 km
6．如图，在6×4的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E均在格点上．则∠ABC－∠DCE＝(提示：连接AC，AD)(　C　)
A．30° B．42° C．45° D．50°
【解析】连接AC，AD，如图，根据勾股定理可得AD＝AC＝BC＝，CD＝，∴∠ABC＝∠BAC，在△ACD中，AD2＋AC2＝()2＋()2＝10，CD2＝()2＝10，∴AD2＋AC2＝CD2，∴△ACD是直角三角形，∠DAC＝90°，∵AD＝CD，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠ACD＝45°，∵AB∥EC，∴∠BAC＝∠ACE，∴∠ABC－∠DCE＝∠BAC－∠DCE＝∠ACE－∠DCE＝∠ACD＝45°.
二、填空题
7．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3,4,5；②5,12,13；③7,24,25；④9,40,41；…请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数 .
【答案】13,84,85
8．某校要对如图所示的一块地进行绿化，已知AD＝4 m，CD＝3 m，AD⊥DC，AB＝13 m，BC＝12 m，则这块地的面积为 m2.
【答案】24
9．在△ABC中，a＝5，b＝6，当c＝　　时，∠C是直角；当c＝　 　时，∠B是直角．
【答案】
三、解答题
10．某花园小区有一空地(如图所示的△ABC)，为美化小区，居委会准备将其开发种植花草，经测量，AB＝26 m，BC＝20 m，BC边上的中线AD＝24 m．如果每平方米种植花草需要50元，
那么种植这块三角形空地需要多少钱？
解：∵AD是中线，BC＝20 m，∴BD＝BC＝10 m.
又∵102＋242＝262，即BD2＋AD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形．∴AD⊥BC.
∴S△ABC＝BC·AD＝×20×24＝240(m2)．
∵每平方米种植花草需要50元，
∴共需50×240＝12 000(元)．
答：种植这块三角形空地需要12 000元．
11．如图，在公路的同侧有A，B两个送奶站，C为公路上一个供奶站，CA和CB为供奶站路线，现已测得AC＝8 km，BC＝15 km，AB＝17 km，∠1＝30°，若有一人从C处出发，沿公路边行走，速度为2.5 km/h，问多长时间后这人距离B送奶站最近．
解：过点B作BD⊥CD于点D.
∵AC2＋BC2＝82＋152＝172＝AB2.∴△ABC是直角三角形，
且∠ACB＝90°.∵∠1＝30°，∴∠BCD＝60°.
在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，∴∠CBD＝30°.
∴CD＝BC＝×15＝7.5(km)．
∵7.5÷2.5＝3(h)，
∴3 h后这人距离B送奶站最近．
12．某小区的一所健身中心的平面图如图所示，活动区是面积为200 m2的长方形，其长为20 m，餐饮区是一个半圆形，面积为4.5π m2 ，休息区是一个三角形，边AE＝8 m，求休息区的面积．
解：休息区的面积为24 m2.
13．如图是一个零件的示意图，量得AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm，∠ABC＝90°，根据这些条件，你能求出∠ACD的度数吗？试说明理由．
解：在△ABC中，∵AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，
∴根据勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝42＋32＝52.
∴AC＝5.
∵AC2＋CD2＝52＋122＝25＋144＝169，
AD2＝132＝169，
∴AC2＋CD2＝AD2.
∴△ACD是直角三角形，且AD为斜边，
即∠ACD＝90°.
14．如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°，若AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝.
(1)求AC，CE的长；
(2)求证：∠ACE＝90°.
解：(1)∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝2，
∴AC＝＝
＝.
∵在Rt△EDC中，∠D＝90°，CD＝6，DE＝4，
∴CE＝＝＝＝2.
(2)证明：∵AC＝，CE＝，AE＝，
∴AE2＝AC2＋CE2.∴∠ACE＝90°.
15．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝1，CD＝，DA＝1，且∠B＝90°.
(1)求∠BAD的度数；
(2)求四边形ABCD的面积(结果保留根号)；
(3)将△ABC沿AC翻折至△AB′C，如图所示，连接B′D，求四边形ACB′D的面积．
解：(1)∠BAD＝135°.
(2)S四边形ABCD＝.
(3)S四边形ACB′D＝.
16．阅读：能够成为直角三角形三边长的三个正整数a、b、c称为勾股数，世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代的数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为，其中m＞n＞0，m、n是互质的奇数．
应用：当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．
解：当n＝1时，a＝(m2－1)，b＝m，c＝(m2＋1)，∵直角三角形有一边长为5，∴当a＝5时，(m2－1)＝5，m＝±(舍去)；当b＝5时，m＝5，则a＝12，c＝13；当c＝5时，(m2＋1)＝5，m＝±3，∵m＞0，∴m＝3，则a＝4，b＝3.综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12、13或3、4.
17．通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．如果我们新定义一种三角形——两边的平方和等于第三边的平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．
(1)根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？ 是 (填“是”或“不是”)；
(2)若某三角形的三边长分别为1，，2，则该三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据；
(3)在Rt△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2＝50，c2＝100，则这个三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据；
探究：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b>a.若Rt△ABC是奇异三角形，求a2∶b2∶c2.
解：(1)是
(2)∵12＋()2＝2×22，
∴该三角形是奇异三角形．
(3)当c为斜边时，b2＝c2－a2＝50，Rt△ABC不是奇异三角形；
当b为斜边时，b2＝c2＋a2＝150，
∵50＋150＝2×100，∴a2＋b2＝2c2.
∴Rt△ABC是奇异三角形．
探究：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴a2＋b2＝c2.
∵c>b>a，∴2c2>b2＋a2，2a2∵Rt△ABC是奇异三角形，∴2b2＝a2＋c2.
∴2b2＝a2＋a2＋b2.∴b2＝2a2.∴c2＝3a2.
∴a2∶b2∶c2＝1∶2∶3.