第六章 实数 素养基础卷（含解析）
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第六章 实数 素养基础卷
考试分数：120分 考试时间：100分钟
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
阅卷人
得分
一、单选题（本大题共10小题，共30.0分）
1．（本题3.0分）下列各数中，比－3小的数是（ ）
A．－5 B．0 C．－1 D．－
2．（本题3.0分）下列各式中运算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
3．（本题3.0分）下列说法正确的是（ ）
A．-2是 的算术平方根 B．3是-9的算术平方根
C．16的平方根是±4 D．27的立方根是±3
4．（本题3.0分）下列各组数中，互为相反数的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
5．（本题3.0分）数轴上表示的点一定在（ ）
A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段
6．（本题3.0分）若都是实数，且，的立方根是（ ）
A．27 B．-27 C．3 D．-3
7．（本题3.0分）有个数值转换器，程序原理如图．当输入x＝8时，输出y的值是（ ）
A．2 B． C． D．
8．（本题3.0分）如图，数轴上，下列各数是无理数且表示的点在线段上的是（ ）
A．0 B． C． D．
9．（本题3.0分）一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（ ）
A．16的4次方根是2
B．32的5次方根是
C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小
D．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大
10．（本题3.0分）请同学们观察下表：
已知，，则（ ）
A． B． C． D．
阅卷人
得分
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11．（本题3.0分）写出一个小于4的正无理数是_______．
12．（本题3.0分）的平方根是
13．（本题3.0分）若a，b互为相反数，c为8的立方根，则 ．
14．（本题3.0分）已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简= ．
15．（本题3.0分）若，其中，均为整数，则_______．
阅卷人
得分
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）
16．（本题8.0分）计算：
（1）； （2）．
17．（本题8.0分）解方程：
(1)3（x﹣1）2＝27； (2)（x+1）3+＝0．
18．（本题9.0分）已知的立方根是4，的算术平方根是5，是的整数部分
(1)求，，的值；
(2)求的平方根．
19．（本题9.0分）某地气象资料表明:当地雷雨持续的时间t(h)可以用下面的公式来估计:t2=,其中d(km)是雷雨区域的直径.
(1)如果雷雨区域的直径为9km,那么这场雷雨大约能持续多长时间
(2)如果一场雷雨持续了1h,那么这场雷雨区域的直径大约是多少(结果精确到0.1km)
20．（本题10.0分）如图，用两个边长为cm的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形，
(1)则大正方形的边长是 cm；
(2)若将此大正方形纸片的局部剪掉，能否剩下一个长宽之比为3：2且面积为12cm2的长方形纸片，若能，求出剩下的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由．
21．（本题10.0分）用“ ”表示一种新的运算，对于正实数 a，b，都有 a b＝＋b, 例如 25 8＝＋8＝13.
（1）求 1 5 的值；
（2）若 16 （m3－1）＝11，求 m 的值
22．（本题10.0分）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如：∵，即∵，∴的整数部分是2，小数部分为．
(1)的整数部分是 ，小数部分是 ．
(2)的小数部分为a，的整数部分为b，则 ．
(3)已知x是的整数部分，y是的小数部分，求．
23．（本题11.0分）〖发现〗
①；
②；
③；
④；
……
根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式： ．
〖归纳〗
等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个真命题：
对于任意两个有理数，，若 ，则；反之也成立．
〖应用〗
根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：
若与的值互为相反数，求的值．
参考答案
1．【答案】A
【分析】
实数数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【详解】
解：-5＜-3＜-＜-1＜0，
所以比-3小的数是-5，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了实数数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2．【答案】D
【分析】
直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简判断即可．
【详解】
A：，故此选项错误；
B：，故此选项错误；
C：，故此选项错误；
D：，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】
此题考查了二次根式的性质和化简，正确化简二次根式是解题的关键．
3．【答案】C
【分析】根据算术平方根，平方根，立方根的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、 的算术平方根是，故本选项不符合题意；
B、负数没有算术平方根，故本选项不符合题意；
C、16的平方根是，故本选项符合题意；
D、27的立方根是，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查的是平方根和立方根的一些基础知识，有一定的综合性，熟练掌握算术平方根，平方根，立方根的性质是解题的关键．
4．【答案】C
【分析】先分别求解每个选项里面的各数，再根据结果作出判断即可．
【详解】解：，，故A不符合题意；
，，故B不符合题意；
，，故C符合题意；
，，故D不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查的是算术平方根与立方根的含义，相反数的含义，熟记概念是解本题的关键．
5．【答案】B
【分析】
根据立方根的性质将进行化简计算，再判断在数轴的位置即可．
【详解】
，
在数轴上的第②段，
故选：B．
【点睛】
本题考查了立方根的性质及利用数轴表示数，熟练掌握知识点是解题的关键．
6．【答案】C
【分析】
首先根据算术平方根的非负性可以求出x的值，再将其代入已知等式即可求出y的值，从而求出x+3y的值，再对其开立方根即可求解．
【详解】
∵，
∴，
解得：x=3，
将x=3代入原式，得到y=8，
∴x+3y=3+3×8=27，
∵27的立方根是3，
∴x+3y的立方根为3．
故选：C．
【点睛】
本题考查了算术平方根的非负性和立方根的定义，关键是从已知条件得到x的取值范围，然后得出x的值．
7．【答案】B
【分析】
按照数值转换器的程序进行即可完成．
【详解】
将x＝8代入得：＝2，
将x＝2代入得：，
则输出y的值为：．
故选：B．
【点睛】
本题考查了立方根的计算、实数的认识，掌握立方根的意义并正确区分有理数和无理数是解题的关键．
8．【答案】B
【分析】
先根据数轴可得在线段上的点所表示的无理数的取值范围为大于且小于，再根据无理数的估算、立方根的性质逐项判断即可得．
【详解】
解：由数轴可知，在线段上的点所表示的无理数的取值范围为大于且小于．
A、0是有理数，则此项不符题意；
B、是无理数，且，则此项符合题意；
C、是无理数，但，则此项不符题意；
D、是无理数，但，则此项不符题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了实数与数轴、无理数的估算、立方根，熟练掌握实数与数轴的关系是解题关键．
9．【答案】C
【分析】
根据题意n次方根，列举出选项中的n次方根，然后逐项分析即可得出答案．
【详解】
A. ，16的4次方根是，故不符合题意；
B.，，32的5次方根是2，故不符合题意；
C.设
则
且
当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，故符合题意；
D.由的判断可得：错误，故不符合题意．
故选．
【点睛】
本题考查了新概念问题，n次方根根据题意逐项分析，得出正确的结论，在分析的过程中注意x是否为负数,通过简单举例验证选项是解题关键．
10．【答案】B
【分析】由表格数据得出规律：被开方数每扩大为原来的倍，其算术平方根相应的扩大为原来的倍，据此求解可得．
【详解】解：由表格数据可知，被开方数每扩大为原来的倍，其算术平方根相应的扩大为原来的倍，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查计算器—数的开方和数字的变化规律，解题的关键是得出被开方数每扩大为原来的倍，其算术平方根相应的扩大为原来的倍的规律．掌握数的开方和数字的变化规律是解题的关键．
11．【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据无理数估算的方法求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ,
故答案为 （答案不唯一）.
12．【答案】
【详解】
因为—4的平方等于16， 16的算术平方根为4，4的平方根为±2，
故答案为±2.
13．【答案】
【分析】利用相反数，立方根的性质求出及c的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】根据题意得，.故答案为.
【点睛】此题考查了代数式求值，相反数、立方根的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．【答案】
【分析】
根据数轴判断出a、b、c的正负情况以及绝对值的大小，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解．
【详解】
解：由图可知：
c＜a＜0＜1＜b，
∴c-a＜0，
∴
=
=
=
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据数轴判断出a、b、c的情况是解题的关键．
15．【答案】或
【分析】根据算术平方根的性质可知，，得出，可能的取值，再代入计算即可．
【详解】解：∵，其中，均为整数，
又∵，，
∴可分以下三种情况：
①，，
解得：，，
∴，
②，，
解得：，，
∴，
③，，
解得：，，
∴，
∴或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查算术平方根的非负性，算术平方根的意义，运用了分类讨论的思想．解题的关键是得出，可能的取值．
16．【答案】（1）；（2）．
【分析】
直接利用立方根的性质及平方根的性质分别化简，然后根据实数的运算法则求得计算结果
【详解】
（1）原式= ，
= ，
=
（2）原式= ，
= ，
=
【点睛】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
17．【答案】(1)x1＝﹣2，x2＝4
(2)x＝﹣1.6
【分析】
（1）利用直接开平方法解方程；
（2）利用立方根的性质解方程即可．
(1)
3（x﹣1）2＝27，
系数化为1得（x﹣1）2＝9，
开平方得x﹣1＝±3，
解得x1＝﹣2，x2＝4．
(2)
（x+1）3+＝0，
（x+1）3＝﹣，
开立方得x+1＝﹣0.6，
解得x＝﹣1.6．
【点睛】
本题考查利用直接开平方解方程、利用立方根的性质解方程等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
18．【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）根据立方根的定义求得的值，根据算术平方根的定义求得的值，估算的大小即可求得的值；
（2）将（1）中，，的值代入代数式，进而根据平方根的定义求得的平方根
【详解】（1）∵已知的立方根是4，
∴，
∴，
∵的算术平方根是5，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的整数部分，
∴，
∴，，，
（2）解：∵，，，
∴，
∴的平方根是．
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，无理数的估算，掌握以上知识是解题的关键．
19．【答案】（1）0.9h （2）9.7km
【分析】
（1）根据t2＝，其中d=9（km）是雷雨区域的直径，开立方，可得答案；
（2）根据t2＝，其中t=1h是雷雨的时间，开立方，可得答案．
【详解】
(1)当d＝9时，则t2＝，因此t＝＝0.9.
答：如果雷雨区域的直径为9km，那么这场雷雨大约能持续0.9h.
(2)当t＝1时，则＝12，因此d＝≈9.65≈9.7.
答：如果一场雷雨持续了1h，那么这场雷雨区域的直径大约是9.7km.
【点睛】
本题考查了立方根，注意任何数都有立方根．
20．【答案】(1)4
(2)不能
【分析】
（1）根据两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，可以得到所求；
（2）设未知数根据面积等于12cm2列方程，求出长方形的边长，再与正方形的边长比较得出结果．
(1)
解：两个正方形的面积之和为2× =16cm2，
∴拼成的大正方形面积为16cm2，
即大正方形的边长为4cm，
故答案为4；
(2)
设长方形的纸片的长为3xcm，宽为2xcm，
则3x·2x=12，
解得x=，
∴3x=3＞4，
所以不能使剩下的正方形纸片的长宽之比为2：3，且面积为12cm2．
【点睛】
本题考查算术平方根的实际应用，根据题意列出算式是解决问题的关键．
21．【答案】(1)6；(2)m=2.
【分析】
(1)根据定义的运算法则进行计算即可；
(2)由新定义的运算法则可得关于m的方程，解方程即可求得答案.
【详解】
(1)∵a b＝＋b，
∴1 5=+5=1+5=6；
(2)∵a b＝＋b，16 (m3－1)＝11，
∴+(m3－1)＝11，
即4+m3－1＝11，
∴m3＝8，
∴m=2.
【点睛】
本题考查了新定义运算，涉及了算术平方根，利用立方根的概念解方程等，弄清新定义运算的运算法则，熟练掌握相关知识是解题的关键.
22．【答案】(1)4，
(2)1
(3)
【分析】
（1）根据无理数的估算可得，由此即可得；
（2）先根据无理数的估算可得，，从而可得的值，再代入计算即可得；
（3）先根据无理数的估算可得，从而可得的值，再代入计算即可得．
【详解】
（1）解：，，则的整数部分是4，小数部分是，故答案为：4，．
（2）解：，，，的小数部分为，的整数部分为，，，故答案为：1．
（3）解：，，，是的整数部分，是的小数部分，，．
【点睛】
本题考查了无理数的估算和实数的运算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．
23．【答案】〖发现〗；〖归纳〗；〖应用〗-4
【分析】
（发现）根据题目给出的规律解答；
（归纳）根据已知的等式规律即可求解；
（应用）根据题意列出方程，解方程求出x，根据算术平方根的概念解答即可．
【详解】
解：（发现）①；
②；
③；
④；
……
故可写出一个等式：
故答案为：；
（归纳）根据等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个真命题：
对于任意两个有理数，，若，则；反之也成立．
故答案为：;
（应用）∵与的值互为相反数
∴+=0
∴，
解得，，则．
【点睛】
本题考查的是立方根和算术平方根的概念，根据题意正确找出规律是解题的关键．
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考试分数：120分 考试时间：100分钟
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
阅卷人
得分
一、单选题（本大题共10小题，共30.0分）
1．（本题3.0分）下列各数中，比－3小的数是（ ）
A．－5 B．0 C．－1 D．－
2．（本题3.0分）下列各式中运算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
3．（本题3.0分）下列说法正确的是（ ）
A．-2是 的算术平方根 B．3是-9的算术平方根
C．16的平方根是±4 D．27的立方根是±3
4．（本题3.0分）下列各组数中，互为相反数的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
5．（本题3.0分）数轴上表示的点一定在（ ）
A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段
6．（本题3.0分）若都是实数，且，的立方根是（ ）
A．27 B．-27 C．3 D．-3
7．（本题3.0分）有个数值转换器，程序原理如图．当输入x＝8时，输出y的值是（ ）
A．2 B． C． D．
8．（本题3.0分）如图，数轴上，下列各数是无理数且表示的点在线段上的是（ ）
A．0 B． C． D．
9．（本题3.0分）一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（ ）
A．16的4次方根是2
B．32的5次方根是
C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小
D．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大
10．（本题3.0分）请同学们观察下表：
已知，，则（ ）
A． B． C． D．
阅卷人
得分
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11．（本题3.0分）写出一个小于4的正无理数是_______．
12．（本题3.0分）的平方根是
13．（本题3.0分）若a，b互为相反数，c为8的立方根，则 ．
14．（本题3.0分）已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简= ．
15．（本题3.0分）若，其中，均为整数，则_______．
阅卷人
得分
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）
16．（本题8.0分）计算：
（1）； （2）．
17．（本题8.0分）解方程：
(1)3（x﹣1）2＝27； (2)（x+1）3+＝0．
18．（本题9.0分）已知的立方根是4，的算术平方根是5，是的整数部分
(1)求，，的值；
(2)求的平方根．
19．（本题9.0分）某地气象资料表明:当地雷雨持续的时间t(h)可以用下面的公式来估计:t2=,其中d(km)是雷雨区域的直径.
(1)如果雷雨区域的直径为9km,那么这场雷雨大约能持续多长时间
(2)如果一场雷雨持续了1h,那么这场雷雨区域的直径大约是多少(结果精确到0.1km)
20．（本题10.0分）如图，用两个边长为cm的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形，
(1)则大正方形的边长是 cm；
(2)若将此大正方形纸片的局部剪掉，能否剩下一个长宽之比为3：2且面积为12cm2的长方形纸片，若能，求出剩下的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由．
21．（本题10.0分）用“ ”表示一种新的运算，对于正实数 a，b，都有 a b＝＋b, 例如 25 8＝＋8＝13.
（1）求 1 5 的值；
（2）若 16 （m3－1）＝11，求 m 的值
22．（本题10.0分）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如：∵，即∵，∴的整数部分是2，小数部分为．
(1)的整数部分是 ，小数部分是 ．
(2)的小数部分为a，的整数部分为b，则 ．
(3)已知x是的整数部分，y是的小数部分，求．
23．（本题11.0分）〖发现〗
①；
②；
③；
④；
……
根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式： ．
〖归纳〗
等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个真命题：
对于任意两个有理数，，若 ，则；反之也成立．
〖应用〗
根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：
若与的值互为相反数，求的值．
参考答案
1．【答案】A
【分析】
实数数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【详解】
解：-5＜-3＜-＜-1＜0，
所以比-3小的数是-5，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了实数数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2．【答案】D
【分析】
直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简判断即可．
【详解】
A：，故此选项错误；
B：，故此选项错误；
C：，故此选项错误；
D：，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】
此题考查了二次根式的性质和化简，正确化简二次根式是解题的关键．
3．【答案】C
【分析】根据算术平方根，平方根，立方根的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、 的算术平方根是，故本选项不符合题意；
B、负数没有算术平方根，故本选项不符合题意；
C、16的平方根是，故本选项符合题意；
D、27的立方根是，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查的是平方根和立方根的一些基础知识，有一定的综合性，熟练掌握算术平方根，平方根，立方根的性质是解题的关键．
4．【答案】C
【分析】先分别求解每个选项里面的各数，再根据结果作出判断即可．
【详解】解：，，故A不符合题意；
，，故B不符合题意；
，，故C符合题意；
，，故D不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查的是算术平方根与立方根的含义，相反数的含义，熟记概念是解本题的关键．
5．【答案】B
【分析】
根据立方根的性质将进行化简计算，再判断在数轴的位置即可．
【详解】
，
在数轴上的第②段，
故选：B．
【点睛】
本题考查了立方根的性质及利用数轴表示数，熟练掌握知识点是解题的关键．
6．【答案】C
【分析】
首先根据算术平方根的非负性可以求出x的值，再将其代入已知等式即可求出y的值，从而求出x+3y的值，再对其开立方根即可求解．
【详解】
∵，
∴，
解得：x=3，
将x=3代入原式，得到y=8，
∴x+3y=3+3×8=27，
∵27的立方根是3，
∴x+3y的立方根为3．
故选：C．
【点睛】
本题考查了算术平方根的非负性和立方根的定义，关键是从已知条件得到x的取值范围，然后得出x的值．
7．【答案】B
【分析】
按照数值转换器的程序进行即可完成．
【详解】
将x＝8代入得：＝2，
将x＝2代入得：，
则输出y的值为：．
故选：B．
【点睛】
本题考查了立方根的计算、实数的认识，掌握立方根的意义并正确区分有理数和无理数是解题的关键．
8．【答案】B
【分析】
先根据数轴可得在线段上的点所表示的无理数的取值范围为大于且小于，再根据无理数的估算、立方根的性质逐项判断即可得．
【详解】
解：由数轴可知，在线段上的点所表示的无理数的取值范围为大于且小于．
A、0是有理数，则此项不符题意；
B、是无理数，且，则此项符合题意；
C、是无理数，但，则此项不符题意；
D、是无理数，但，则此项不符题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了实数与数轴、无理数的估算、立方根，熟练掌握实数与数轴的关系是解题关键．
9．【答案】C
【分析】
根据题意n次方根，列举出选项中的n次方根，然后逐项分析即可得出答案．
【详解】
A. ，16的4次方根是，故不符合题意；
B.，，32的5次方根是2，故不符合题意；
C.设
则
且
当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，故符合题意；
D.由的判断可得：错误，故不符合题意．
故选．
【点睛】
本题考查了新概念问题，n次方根根据题意逐项分析，得出正确的结论，在分析的过程中注意x是否为负数,通过简单举例验证选项是解题关键．
10．【答案】B
【分析】由表格数据得出规律：被开方数每扩大为原来的倍，其算术平方根相应的扩大为原来的倍，据此求解可得．
【详解】解：由表格数据可知，被开方数每扩大为原来的倍，其算术平方根相应的扩大为原来的倍，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查计算器—数的开方和数字的变化规律，解题的关键是得出被开方数每扩大为原来的倍，其算术平方根相应的扩大为原来的倍的规律．掌握数的开方和数字的变化规律是解题的关键．
11．【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据无理数估算的方法求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ,
故答案为 （答案不唯一）.
12．【答案】
【详解】
因为—4的平方等于16， 16的算术平方根为4，4的平方根为±2，
故答案为±2.
13．【答案】
【分析】利用相反数，立方根的性质求出及c的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】根据题意得，.故答案为.
【点睛】此题考查了代数式求值，相反数、立方根的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．【答案】
【分析】
根据数轴判断出a、b、c的正负情况以及绝对值的大小，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解．
【详解】
解：由图可知：
c＜a＜0＜1＜b，
∴c-a＜0，
∴
=
=
=
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据数轴判断出a、b、c的情况是解题的关键．
15．【答案】或
【分析】根据算术平方根的性质可知，，得出，可能的取值，再代入计算即可．
【详解】解：∵，其中，均为整数，
又∵，，
∴可分以下三种情况：
①，，
解得：，，
∴，
②，，
解得：，，
∴，
③，，
解得：，，
∴，
∴或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查算术平方根的非负性，算术平方根的意义，运用了分类讨论的思想．解题的关键是得出，可能的取值．
16．【答案】（1）；（2）．
【分析】
直接利用立方根的性质及平方根的性质分别化简，然后根据实数的运算法则求得计算结果
【详解】
（1）原式= ，
= ，
=
（2）原式= ，
= ，
=
【点睛】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
17．【答案】(1)x1＝﹣2，x2＝4
(2)x＝﹣1.6
【分析】
（1）利用直接开平方法解方程；
（2）利用立方根的性质解方程即可．
(1)
3（x﹣1）2＝27，
系数化为1得（x﹣1）2＝9，
开平方得x﹣1＝±3，
解得x1＝﹣2，x2＝4．
(2)
（x+1）3+＝0，
（x+1）3＝﹣，
开立方得x+1＝﹣0.6，
解得x＝﹣1.6．
【点睛】
本题考查利用直接开平方解方程、利用立方根的性质解方程等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
18．【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）根据立方根的定义求得的值，根据算术平方根的定义求得的值，估算的大小即可求得的值；
（2）将（1）中，，的值代入代数式，进而根据平方根的定义求得的平方根
【详解】（1）∵已知的立方根是4，
∴，
∴，
∵的算术平方根是5，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的整数部分，
∴，
∴，，，
（2）解：∵，，，
∴，
∴的平方根是．
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，无理数的估算，掌握以上知识是解题的关键．
19．【答案】（1）0.9h （2）9.7km
【分析】
（1）根据t2＝，其中d=9（km）是雷雨区域的直径，开立方，可得答案；
（2）根据t2＝，其中t=1h是雷雨的时间，开立方，可得答案．
【详解】
(1)当d＝9时，则t2＝，因此t＝＝0.9.
答：如果雷雨区域的直径为9km，那么这场雷雨大约能持续0.9h.
(2)当t＝1时，则＝12，因此d＝≈9.65≈9.7.
答：如果一场雷雨持续了1h，那么这场雷雨区域的直径大约是9.7km.
【点睛】
本题考查了立方根，注意任何数都有立方根．
20．【答案】(1)4
(2)不能
【分析】
（1）根据两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，可以得到所求；
（2）设未知数根据面积等于12cm2列方程，求出长方形的边长，再与正方形的边长比较得出结果．
(1)
解：两个正方形的面积之和为2× =16cm2，
∴拼成的大正方形面积为16cm2，
即大正方形的边长为4cm，
故答案为4；
(2)
设长方形的纸片的长为3xcm，宽为2xcm，
则3x·2x=12，
解得x=，
∴3x=3＞4，
所以不能使剩下的正方形纸片的长宽之比为2：3，且面积为12cm2．
【点睛】
本题考查算术平方根的实际应用，根据题意列出算式是解决问题的关键．
21．【答案】(1)6；(2)m=2.
【分析】
(1)根据定义的运算法则进行计算即可；
(2)由新定义的运算法则可得关于m的方程，解方程即可求得答案.
【详解】
(1)∵a b＝＋b，
∴1 5=+5=1+5=6；
(2)∵a b＝＋b，16 (m3－1)＝11，
∴+(m3－1)＝11，
即4+m3－1＝11，
∴m3＝8，
∴m=2.
【点睛】
本题考查了新定义运算，涉及了算术平方根，利用立方根的概念解方程等，弄清新定义运算的运算法则，熟练掌握相关知识是解题的关键.
22．【答案】(1)4，
(2)1
(3)
【分析】
（1）根据无理数的估算可得，由此即可得；
（2）先根据无理数的估算可得，，从而可得的值，再代入计算即可得；
（3）先根据无理数的估算可得，从而可得的值，再代入计算即可得．
【详解】
（1）解：，，则的整数部分是4，小数部分是，故答案为：4，．
（2）解：，，，的小数部分为，的整数部分为，，，故答案为：1．
（3）解：，，，是的整数部分，是的小数部分，，．
【点睛】
本题考查了无理数的估算和实数的运算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．
23．【答案】〖发现〗；〖归纳〗；〖应用〗-4
【分析】
（发现）根据题目给出的规律解答；
（归纳）根据已知的等式规律即可求解；
（应用）根据题意列出方程，解方程求出x，根据算术平方根的概念解答即可．
【详解】
解：（发现）①；
②；
③；
④；
……
故可写出一个等式：
故答案为：；
（归纳）根据等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个真命题：
对于任意两个有理数，，若，则；反之也成立．
故答案为：;
（应用）∵与的值互为相反数
∴+=0
∴，
解得，，则．
【点睛】
本题考查的是立方根和算术平方根的概念，根据题意正确找出规律是解题的关键．
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