上海交通大学附属中学2023-2024学年高一（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年上海交大附中高一（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.对于实数，，，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知是奇函数，当时，，那么当时，的解析式是( )
A. B. C. D.
3.若对任意角，都有，则下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
4.给定集合和定义域为的函数，如果对于任意、及均成立，则称函数是“关联”的对于下列两个命题：
若是“关联”的，则一定是“关联”的为正整数
若是“关联”的、为正整数，则一定是“关联”的
判断正确的是( )
A. 、都是真命题 B. 、都是假命题
C. 真命题，是假命题 D. 是假命题，是真命题
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.集合子集的个数是______．
6.函数的零点是______．
7.若幂函数的图像经过点，则______．
8.在直径为的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为______．
9.已知，则 ______．
10.已知实数，函数的最小正周期为，则 ______．
11.已知对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
12.若，则 ______．
13.已知，则 ______．
14.在中，内角，，的对边分别为，，，且，则 ______．
15.已知函数的值域为，则实数的取值范围是______．
16.已知，且，则的最大值为______．
三、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知、均为第二象限角，且，．
求的值；
求的值．
18.本小题分
设为实数，函数
若，求的取值范围；
求的最小值．
19.本小题分
为加强学生劳动教育，成都石室中学北湖校区将一块四边形园地用于蔬菜种植实践活动经测量，边界与的长度都是米，，．
若的长为米，求的长；
现需要沿实验园的边界修建篱笆以提醒同学们不要随意进入，问所需要篱笆的最大长度为多少米？
20.本小题分
已知函数．
求的定义域；
若当时，函数在有且只有一个零点，求实数的范围；
是否存在实数，使得当的定义域为时，值域为，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
已知函数的定义域为区间，若对于给定的非零实数，存在，使得，则称函数在区间上具有性质．
判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由；
若函数在区间上具有性质，求的取值范围；
已知函数的图像是连续不断的曲线，且，求证：函数在区间上具有性质
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键．
【解答】
解：若，则，则不等式等价为，即充分性成立，
若，若，则不成立，即必要性不成立，
故，“”是“”的充分不必要条件，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：设，可得，
故可得，
又是奇函数，
则，
故可得，
故选：．
设，可得，代入已知式子，由函数的奇偶性可得．
本题考查函数对称区间的解析式，涉及函数的奇偶性，属基础题．
3.【答案】
【解析】解：设，则
对任意角，都有，可看成直线与单位圆有交点
，化简得，
故选D．
先换元，对任意角，都有，可转化成直线与单位圆有交点，利用圆心到直线的距离小于等于半径建立不等关系即可．
本题主要考查了基本不等式，转化成直线和圆恒有交点，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：对，因为是“关联”的，
当时，，
从而可得自变量增加的倍数与相应函数值增加的倍数相同，
一定是“关联”的为正整数，正确；
下证也是真命题：
对于任意，我们估计的范围．
一方面，考虑自变量每次增量为，共增了次，
则；
另一方面，考虑自变量每次增量为，共增了次，
则．
由此可得，
此时中不等式取等号，只能，
即一定是“关联”的．
故选：．
根据题意可得：新概念刻画了在任意处，函数的自变量增量和相应函数值增量之间的关系，再根据新定义分别求解即可．
本题考查命题真假的判断，新定义的应用，属中档题．
5.【答案】
【解析】解：集合子集的个数是：．
故答案为：．
集合中如果有个元素，则集合有个子集．
本题考查集合的子集个数的求法、考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，若，必有，解可得．
故函数的零点为．
故答案为：．
根据题意，解方程，求出的值，即可得答案．
本题考查函数的零点，注意函数零点的定义，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：有题意可知，，
，
故答案为：．
把点坐标代入幂函数解析式，即可求出的值．
本题主要考查了幂函数的定义，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：直径为的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为：．
故答案为：．
根据已知条件，结合弧长公式，即可求解．
本题主要考查弧长公式，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：由题意知，．
故答案为：．
由已知结合同角基本关系即可直接求解．
本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意得，可得的最小正周期，结合解得．
故答案为：．
根据两角和与差的三角函数公式，化简得，再由三角函数的周期公式，算出的值．
本题主要考查两角和与差的三角函数公式、三角函数的周期公式等知识，考查了概念的理解能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：时，不等式化为，对任意实数不等式恒成立，满足条件；
时，根据一元二次不等式恒成立的条件，应满足，
即，
解得；
实数的取值范围是．
故答案为：．
讨论时和时不等式恒成立的条件是什么，从而求出实数的取值范围．
本题考查了利用判别式求不等式恒成立的问题，是基础题．
12.【答案】或
【解析】解：原式
解得：或
故答案为：或．
首先利用二倍角公式化简，然后分子分母同除以，即可得出结果．
本题主要考查了二倍角公式及同角的平方关系的应用，解题的关键是分子分母同时添上并且对进行的变化
13.【答案】
【解析】解：，
易知以为周期，枚举得，，，，，，
所以又，所以．
故答案为：．
根据已知条件，结合枚举法，即可求解．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：在中，，
由正弦定理得：，又，
，
即，
，
，
，又为的内角，
．
故答案为：．
利用正弦定理将已知条件中的“边”转化为边所对角的正弦，再利用三角函数间的关系即可求得答案．
本题考查正弦定理的应用，考查三角函数间的关系式及三角函数中的恒等变换，考查转化与运算能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：因为，值域为，
所以对于，时的函数值范围应包含，
若函数值含有正数，则正数部分不超过，
根据图像可知．
故答案为：．
分别求出函数在两段上的值域，跟值域对比求实数的取值范围．
本题考查了指数函数、二次函数的性质，考查了数形结合思想，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：因，
则，
因函数，均在上单调递增，
则函数在上单调递增，
故有：，
设，其中，
则，
当且仅当时取等号，
则此时，得，
又函数在时单调递减，在时单调递增，
，则，
此时，．
故答案为：．
由，通过研究函数单调性可得，后设，则，其中，，再结合二次函数的单调性求解即可．
本题考查了转化思想、三角函数的性质、不等式的性质、二次函数的性质，属于中档题．
17.【答案】解：由诱导公式可知，
所以；
由第一问可知，同理，
所以．
【解析】利用诱导公式求解．
利用同角三角函数关系式、正切加法定理能求出结果．
本题考查诱导公式、同角三角函数关系式、正切加法定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：若，则：．
当时，，，如图所示：
当时，，．
综上所述：．
【解析】不等式即，故有，且，解不等式组求的取值范围．
分类讨论，去掉绝对值，转化为二次函数的最小值问题，借助二次函数的对称轴及单调性．
本题考查取绝对值的方法，二次函数在区间上的最小值的求法，体现了分类讨论、数形结合的数学思想．
19.【答案】解：连接，由题意是等边三角形，所以，
在中，由余弦定理得，
，
即，解得含去，
故BC的长为米；
设，，
在中，，
所需篱笆的长度为
，
则当时，所需篱笆的最大长度为米．
【解析】在中，根据余弦定理，即可求得；
设，将所需篱笆的长度表示成关于的函数，利用正弦函数的范围即可求得最大值．
本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查解三角形，属中档题．
20.【答案】解：由，得或，
的定义域为；
令，任取，，，
则，
，，，
，
即函数在上单调递增；
又，
在上单调递减，
且当趋于，趋于；趋于，趋于，
函数在有且只有一个零点，
即在有且只有一个解，
函数在的值域为，如图所示，
的取值范围是；
假设存在这样的实数，使得当的定义域为时，值域为，
由且，可得，
又由在上为增函数，在上为减函数．
则在上为减函数，
得，
即在上有两个互异实根，
由，得，
即有两个大于的相异零点．
由，函数开口向上，且对称轴为，
则，解得，
故存在这样的实数符合题意．
【解析】由求出的取值范围，即可得到的定义域；
令在上单调递增，则在上单调递减，即的范围就是在上的值域；
由题可得，则问题转化为在上有两个互异实根，转化为二次方程根的分布问题求解即可．
本题主要考查了对数函数、二次函数的性质，考查了复合函数的单调性及数形结合思想，属于中档题．
21.【答案】解：函数在区间上具有性质，
若，则，
因为，且，
所以函数在区间上具有性质
由题意，存在，使得，
由正弦线的定义得舍或，
则得，
因为，所以，
又因为且，
所以，即所求的取值范围是．
证明：设，，
则有，，，，，，，，
以上各式相加得，
即，
当、、、、、中有一个为时，不妨设，，
即，即，，
所以函数在区间上具有性质
当、、、、、中均不为时，由于其和为，
则其中必存在整数和负数，不妨设，，
其中，，，
由于函数的图像是连续不断的曲线，所以当时，至少存在一个实数当时，至少存在一个实数，
其中，，使得，即，
即存在，使得，
所以函数在区间上也具有性质，
综上所述，函数在区间上具有性质
【解析】若，则，显然函数在区间上具有性质
由题意，存在，使得，由三角函数的性质可得，又因为且，从而求出的取值范围．
设，，则有，，，，，，，，以上各式相加得，再对其中是否有为的数，分情况讨论，结合性质的定义，即可证得函数在区间上具有性质
本题主要考查了新定义问题，考查了函数性质的应用，同时考查了学生分析问题和转化问题的能力，是中档题．
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