2023-2024学年四川省绵阳市南山中学高一（下）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年四川省绵阳市南山中学高一（下）入学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.设，，且，则( )
A. B. C. D.
4.如果“，”是“”成立的．( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件
5.若函数存在个零点位于内，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知是定义在上的奇函数，，对，，且有，则关于的不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8.著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用黄金分割比，现给出三倍角公式，则与的关系式正确的为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列幂函数中满足条件的函数是( )
A. B. C. D.
10.若正实数，满足，则下列说法正确的是( )
A. 有最小值 B. 的最小值是
C. 有最大值 D. 的最小值是
11.已知函数，若函数有不同的零点，则实数的值可能是( )
A. B. C. D.
12.空旷的田野上两根电线杆之间的电线有相似的曲线形态这些曲线在数学上称为悬链线悬链线在工程上有广泛的应用在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为其中，为非零常数，则对于函数以下结论正确的是( )
A. 若，则为偶函数
B. 若，，则函数的零点为和
C. 若，则函数的最小值为
D. 若为奇函数，且使成立，则的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数且的图象经过点，则函数的反函数 ______．
14.函数的图像的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是______．
15.已知函数的值域为，则实数的取值范围为______．
16.同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：，，称与为同构式已知实数，满足，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：；
化简：．
18.本小题分
设集合，．
化简集合，并求当时，的真子集的个数；
若，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知，求的值；
已知为第二象限角，，求的值．
20.本小题分
已知函数的图象如图所示．
求函数的解析式；
若函数的图象在区间上恰好含个零点，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知函数和函数．
若函数的定义域为，求实数的取值范围；
是否存在非负实数，，使得函数的定义域为，值域为，若存在，求出，的值；若不存在，则说明理由；
当时，求函数的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意可得，，
所以，故A正确．
故选：．
分别求出，，再求解即可求解．
本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
利用诱导公式，结合特殊角的正切值，即可求得结果．
本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：对，当，时，显然错误，故A错；
对，当时，则，，故B错；
对，当，时，，故C错；
对，当时，，，，故；
当时，，，；
当时，，，，
，，所以，，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合特殊值法，以及不等式的性质，即可求解．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查余弦函数的图象与性质，充分必要条件的判断，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
根据余弦函数的图象可得，当时，或，，再判断充分性与必要性，即可．
【解答】
解：当，时，是成立的，即充分性成立；
当时，或，，即必要性不成立．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：函数存在个零点位于内，
在上单调递增，又因为零点存在定理，
，
．
故选：．
应用零点存在定理结合函数单调性列不等式求解即可．
本题考查函数零点存在定理，属中档题．
6.【答案】
【解析】解：对于，函数，定义域为，
因为，所以函数为奇函数，
又，故A符合图象；
对于，函数，定义域为，
因为，所以函数为奇函数，
又，故B不符题意；
对于，函数，定义域为，
因为，故C不符题意；
对于，当时，，故D不符题意．
故选：．
根据函数的奇偶性，再利用特殊值法，逐一判断即可．
本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：对，，且有，可得函数在上单调递增，
因为，又函数为奇函数，所以函数在上为增函数，
所以不等式可得，
所以，解得，
故选：．
由题意可得函数在单调递增，再由奇函数的性质可得函数在上，单调递增，再由题意将化成，由单调性可得不等式，进而求出不等式的解集．
本题考查抽象函数的单调性和奇偶性的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
又，
所以，
化简得，
可得，即，
解得负值舍去，
所以．
故选：．
由题意利用诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式可求，进而解方程即可得解．
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：由题意知，当时，的图象是凹形曲线；
对于，函数的图象是一条直线，则当时，有，不满足题意；
对于，函数的图象是凹形曲线，则当时，有，满足题意；
对于，函数的图象是凸形曲线，则当时，有，不满足题意；
对于，在第一象限内，函数的图象是一条凹形曲线，则当时，有，满足题意．
故选：．
由题意知，当时，的图象是凹形曲线；
由此分析选项中的函数曲线是否满足题意即可．
本题考查了函数的定义与性质的应用问题，也考查了分析问题与转化问题的能力，是中档题．
10.【答案】
【解析】解：，当且仅当时等号成立，对；
，当且仅当，即时等号成立，对；
，则，当且仅当，即时等号成立，错；
由，则，而，
所以，当且仅当时等号成立，错．
故选：．
根据已知等量关系，应用基本不等式及“”的代换、二次函数性质求各式的最值，注意取值条件．
本题主要考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：令，
，解得或，
如图，画出函数的图象，
时，与的图象有个交点，
所以与的图象只能有个交点，则，得，
由选项判断或成立．
故选：．
首先由方程，求得或，再画出函数的图象，再利用数形结合求实数的取值范围，即可求解．
本题考查了函数的零点、转化为思想及数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于，当时，，函数定义域为，所以，则为偶函数，故A正确；
对于，若，，，则函数，整理得，
即，解得，，所以函数的零点为和，故B正确；
对于，若，则，当时，，当且仅当，即时等号成立；
当时，，当且仅当，即时等号成立；
所以，故C错误；
对于，若为奇函数，则，所以，
所以，则，若使成立，则，
若，则，，所以
即能成立，
又，当且仅当时，即时，等号成立，
所以，则的最小值为，故D正确．
故选：．
根据函数的奇偶性定义判断即可；利用函数零点的定义及指对运算即可求得函数的零点，从而判断即可；根据得，讨论的符号从而确定函数值域，从而判断即可；根据含参不等式能成立，利用指数函数的性质进行参变分离，结合基本不等式求得最值，即可得的取值范围，从而判断即可．
本题综合考查了函数性质的应用，还考查了存在性问题与最值关系的转化，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由题可得：，故，其定义域为，值域为；
因为，解得，故的反函数为．
故答案为：．
根据题意求得，再求其反函数即可．
本题主要考查反函数的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题知，的最小正周期为，所以，所以，解得．
故答案为：．
由相邻两支长度可确定周期求出，进而得解．
本题考查了正切函数的图象与性质应用问题，是基础题．
15.【答案】，
【解析】解：当时，，此时，
当且时，，
此时，且，，所以不满足；
当且时，，
由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减，
所以，此时
若要满足的值域为，只需要，解得；
当且时，因为均在上单调递增，
所以在上单调递增，且时，，时，，
所以此时，此时显然能满足的值域为；
综上可知，的取值范围是，，
故答案为：，．
先求解出时的值域，然后根据，，分类讨论时的值域，由此确定出的取值范围．
本题主要考查分段函数性质在函数值域求解中的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：易判断为增函数，，
，
即，
则，
所以，
所以．
故答案为：．
可将拼凑成，结合单调性和同构思想易得，将代入即可得解．
本题主要考查了同构思想，考查了函数单调性的应用，属于中档题．
17.【答案】解：
；
．
【解析】本题考查了幂运算及对数运算性质、同角三角函数关系式、诱导公式等，属于基础题．
由幂运算及对数运算性质化简，，，整理即可；
由同角三角函数关系式及诱导公式化简即可．
18.【答案】解：，
当时，则共个元素，
故集合的真子集的个数为；
，
，
当时，，解得；
当时，，解得，
综上得，实数的取值范围为．
【解析】本题考查了指数函数的单调性，描述法的定义，集合真子集个数的计算公式，交集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
根据函数的单调性即可求出，从而得出时，，从而得出的真子集个数；
根据得出，从而讨论是否为空集：时，；时，，解出的范围即可．
19.【答案】解：因为，
所以，可得，
所以；
因为为第二象限角，，
两边平方，可得，可得，
所以，
所以由可得，，
所以．
【解析】利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式即可求解；
将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求得，可求，进而解得，的值，即可得解．
本题主要考查了诱导公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
20.【答案】解：由题意可得，的最小正周期为，
，
故，
又图象过点，故，
则，即，
而，故，
所以；
由知，
令，，
由，得，
因为函数的图象在区间上恰好含个零点，
等价于与的图象在区间上恰好含有个交点，
设，即与的图象恰有个交点，
故，即．
【解析】由图象确定函数周期求得，再利用特殊点坐标代入函数表达式，可求得，即得答案；
函数的图象在区间上恰好含个零点转化为与的图象在区间上恰好含有个交点，结合正弦函数的性质列出不等式，即可求得答案
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
21.【答案】解：函数的定义域为，
在上恒成立，
当时，恒成立满足题意；
当时，若在上恒成立，
由二次函数的性质可知，解得，
综上可得，
；
函数，
即，
假设存在满足题意的非负实数，，
，
即，是的两根，
解得，，
当，时，定义域为，值域为；
，
当时，
令，则，
令，
函数的对称轴为，
当时，函数在上递增，则；
当时，则；
当时，则；
当时，函数在上递减，则．
综上所述，．
【解析】由题意可得在上恒成立，结合二次函数的性质求解即可；
由题意可得，从而得，是的两根，求解即可；
由题意可得，令，则，结合二次函数的性质求解即可．
本题考查了指数函数、对数函数、二次函数及正弦函数的性质，考查了转化思想，属于中档题．
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